數(shù)學(xué)篇——數(shù)列講解

1、第五章數(shù)列學(xué)習(xí)要求：1. 了解數(shù)列和其通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和的概念2. 理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念，會(huì)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題 .3. 理解等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念，會(huì)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題 .一、數(shù)列的概念1. 定義按照一定順序排列的一列數(shù)，數(shù)列里的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，L ，第 n項(xiàng)，L ，第一項(xiàng)也叫首項(xiàng).一般地，常用 a1，a2，a3，L an L來表示數(shù)列，其中an 是數(shù)列的第 n項(xiàng)，又叫做數(shù)列的通項(xiàng). 數(shù)列記為an例如 , 數(shù)列1,3,5,7 L ,2 n1,L第 1項(xiàng)是 1，第 2項(xiàng)是 3，

2、第3項(xiàng)是 5，L ，第 n項(xiàng)是 2n1，數(shù)列記作2n12. 數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列an 的第 n 項(xiàng) an 與項(xiàng)數(shù) n 之間的關(guān)系，如果可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.例如，數(shù)列 1,3,5,7L ,2 n1,L通項(xiàng)公式是 an2n1.3. 數(shù)列的前 n項(xiàng)和對(duì)于數(shù)列a1, a2 , a3 ,L ,an L稱 a1 a2a3 L an為這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，記作 Sn .即 Sna1a2a3Lan4. 數(shù)列 an 的 an 與 Sn 的關(guān)系a1S1,anSnSn 1 (n2)例 1 已 知 數(shù) 列 an 的 前 n 項(xiàng) 和S 3n22n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 ann解析 :

3、由 Sn3n22n得Sn 13(n 1)22(n1)3n28n5所以，當(dāng) n2時(shí)aSS3n22n(3n28n5) 6n 5nnn 1當(dāng) n 1n ,a1S13 12211,滿足公式an65n所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an6n5歷年試題（ 2014 年試題）2. 已知數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和 Snn22n，求（I ） an的前三項(xiàng)；（ II ）數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式解析 ：（I ）a1S1122 11a2S2S12222(1)1a3S3S23223 (2222)3（ II）當(dāng) n2,anSnSn 1n22n( n1)22(n 1) 2n 3當(dāng) n1時(shí) a11,滿足 an2n 33所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為2a

4、nn（ 2007 年試題）已知數(shù)列an 前 n 項(xiàng)和 Snn(2n1)（ I ）求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ II ）判斷 39 是該數(shù)列的第幾項(xiàng) .解 :（ I ）當(dāng) n 2,anSnSn 12n2n2(n1)2(n 1) 4n 1當(dāng) n1時(shí) a13,滿足 an4n 11所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為4an n(II)設(shè) 39是 該 數(shù) 列 的 第 n 項(xiàng) ， 則394n1, n10，即 39 是該數(shù)列的第10項(xiàng)二、等差數(shù)列1. 等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起， 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于一個(gè)常數(shù)， 這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公差，記為d ，即d an an 1等差數(shù)列的一般形式為a1,a1

5、d, a12d,L , a1(n1)d,L2. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè) an 是首項(xiàng)為 a1，公差為 d 的等差數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d3. 等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式設(shè) an 是首項(xiàng)為 a1，公差為 d 的等差數(shù)列， Sn為其前 n項(xiàng)和，則S(a1an ) nn2或 Snna11 n(n 1)d24. 等差中項(xiàng)如果 A, B,C 稱等差數(shù)列， B就稱為 A與 C 的等差中項(xiàng)，則 BAC2注：一般證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，經(jīng)常是按它們的定義證明an 1and 為常量5. 等差數(shù)列的性質(zhì)（ 1）在等差數(shù)列中，間隔相同抽出的項(xiàng)來按照原來的順序組成新的數(shù)列仍是等差數(shù)列 .對(duì)于等差數(shù)

6、列 a1, a2 , a3 ,L , an L數(shù)列 a1,a3 ,a5 ,L , a2 n 1 L 也是等差數(shù)列，數(shù)列 a2 , a4 , a6 ,L , a2n L 也是等差數(shù)列數(shù)列 a1, a5 ,a9 , a13 L 也是等差數(shù)列例 2 如 在 等 差 數(shù) 列 an 中 ， 已 知a24, a79，求 a12解 析 ： a2 ,a7 , a12 構(gòu) 成 等 差 數(shù) 列 ， 因 為a7a2945，所以a12a759514（ 2）對(duì)等差數(shù)列 an ，若 m, n, s,t 均為正整數(shù)，且 m n s t ，則 am an as at如a1 a9a2a8a3a7a4a62a5例 3 在等差數(shù)列

7、an中，已知 a2a810，求 a5解析：因?yàn)?a2a8a5a5，即 2a5a2a8 ,所以， a(a2a8 )105522例 4 設(shè) an 為 等 差 數(shù) 列 , 其 中a59,a1539，則 a10（ A）24 （B）127 （C） 30 （D）33解析 : 解法一由 等 差 數(shù) 列 an 的 通 項(xiàng) 公 式an a1a14d9(n 1)d 知14d39a1a13a19d 24得所以 a10d3解法二an 為等差數(shù)列， 所以 a5 , a10 , a15 也是等差數(shù)列，所以， a10 是 a5 與 a15 的等差中項(xiàng)，a10a5a159 392242例 5 在等差數(shù)列an 中，如果 a22

8、,a35，則 S10 _解析： d a3a25 2 3，由 a2a1d,得 a1a2d231S10a110(101)d101210( 1)110(101)31252例 6 等差數(shù)列an 中，若 a4a5a690則其前9項(xiàng)的和 S9（）A. 300B.C. 540D.270135解析： an 是等差數(shù)列，所以 a4a62a5 ，由 a4a5a690得 3a590， a530由 Sn(a1an ) n得， S9(a1a9 ) 9，22又 a1 a9 2a5 ，所以S9(a1 a9 )92a5930927022，選 B歷年試題（ 2013 年試題）等差數(shù)列 an 中，若 a12,a3 6，則 a2A

9、.3 B.4 C.8D. 12解析： a2a1a3 26242（ 2012 年試題）已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為31，公差為 ，那么該數(shù)列的前5項(xiàng)和為（）A. 35 B. 30C. 20D.10解析：由 Snna11 n(n1)d 得2S5115(51)33552選 A（ 2011 年試題）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)與公差相等， an的前 n項(xiàng)的和記作 S ，且 S840.n20（ ） 求數(shù)列an的首項(xiàng) a1及通項(xiàng)公式；（ ）數(shù)列an 的前多少項(xiàng)的和等于 84?解析 : （ ） 已知等差數(shù)列an 的公差da1又S20a20(201) d20a 190d210a201211即 210a1 840，所以，

10、 a1 4又 da1，即 d4，所以，ana1 (n 1)d4 (n 1)4 4n即數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式為 a4nnn（ ）設(shè)Sn84， 又S(a1an ) n(4 4n) n2n22n，n222即2n2n84，解得n 6,n7（舍去）所以數(shù)列a的前 6項(xiàng)的和等于 84.n（ 2009 年試題）面積為 6 的直角三角形三邊的長(zhǎng)由小到大成等差數(shù)列，公差為 d ，求 d 的值 ;在以最短邊的長(zhǎng)為首項(xiàng)，公差為 d 的等差數(shù)列中， 102 為第幾項(xiàng)？解析 :（ I ）由已知條件可設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)分別為ad , a, a2則 (ad )d,其中 a2a(a0, d0,2d ) ，得 a4d三邊長(zhǎng)分別為

11、 3d,4 d,5dS13d 4d 6, d 12故三角形三邊長(zhǎng)分別是3,4,5 . 公差 d1(II) 以 3 為首項(xiàng)， 1 為公差的等差數(shù)列通項(xiàng)公式為an3(n1), 3(n1)102,n100故第 100項(xiàng)為 102（ 2008 年試題）已知等差數(shù)列an 中, a19,a3a80. 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ; 當(dāng) n為何值時(shí) ,數(shù)列 a的前 n項(xiàng)和 Snn取得最大值 ,并求該最大值 .解析:設(shè)等差數(shù)列an 的公差為 d, 由已知 aa0,得 2a9d0.又已知381a19,所以 d2.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an9 2 n1 ,即an112n. 解法一：數(shù)列an的前 n項(xiàng)和Sn9112nn2

12、10nn2525.n2當(dāng) n5時(shí)， Sn 取得最大值25.令解 法二： 由 知11 2,annan112n0n11,所以數(shù)列前5 項(xiàng)2的和最大，最大值為S5a54 d5954225.5122三、等比數(shù)列1. 等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起， 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比，記為q ，即q anan 1等比數(shù)列的一般形式為a ,a q, a q2,L , a qn 1,L11112. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè) an 是首項(xiàng)為 a1，公比為 q 的等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為ana1qn 13. 等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式設(shè) an 是首項(xiàng)為 a1，

13、公比為 q 的等比數(shù)列， Sn為其前 n項(xiàng)和，則a (1qn )1(q 1)Sn1q或 Sa1anq (q 1)n1q4. 等比中項(xiàng)如果 A, B,C 稱等比數(shù)列， B就稱為 A與 C 的等比中項(xiàng)，則 B2AC 或 BAC注：一般證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，經(jīng)常是按它們的定義證明an 1q為常量an5. 等比數(shù)列的性質(zhì)（ 1）在等比數(shù)列中，間隔相同抽出的項(xiàng)來按照原來的順序組成新的數(shù)列仍是等比數(shù)列 .對(duì)于等比數(shù)列 a1,a2 , a3 ,L , an L數(shù)列 a1,a3 ,a5 ,L , a2 n 1 L 也是等比數(shù)列，數(shù)列 a2 , a4 , a6 ,L , a2n L 也是等比數(shù)列數(shù)列 a1,

14、 a5 ,a9 , a13 L 也是等比數(shù)列例 7如在等比數(shù)列an 中 , a26,a424,則 a（）6A. 8B. 24C. 96D. 384解 析 ： a2 , a4 , a6 是 等 比 數(shù) 列 ， 因 為a6a424a4a24，6a64 a44 24 96，選 C（ 2）對(duì)等比數(shù)列an ，若 m, n, s,t 均為正整數(shù)，且 mn st ，則 amanas at如 a1 a9a2 a8a3 a7a4 a6a52例如在等比數(shù)列an 中，已知 a1 a516，求 a3解析： a32a1 a516，即 a3164例 8 設(shè)等比數(shù)列an 的各項(xiàng)都為正數(shù)，若a31,a59，則公比 q=（A）

15、3（B）2（C）-2（ D）-3解 析 : 由 等 比 數(shù) 列an的 通 項(xiàng) 公 式ana1qn 1知2a1q 1得q2 9又因n n 列各 n 都是正的， a1q4 9所以 q3例 9 設(shè) 等 比 數(shù) 列 an的 公 比 q =2 ， 且a2a4 8則 a1a7（A）8（B）16（C） 32（D）64解 析 : 由 等 比 數(shù) 列 an的通項(xiàng)公式ana1qn 1知1a q a q3 8, a2q4 8 a2a a a2q63211112171例 10 在 等 比 數(shù) 列 an 中 ， 若a32S25,a42S35 ， 則an的 公 比q _解析：a4 a3 2S3 5 (2S2 5) 2(S

16、3 S2 ) ，又 S3 S2 a3 ，所以 a4 a3 2a3，即3a3 , qa433a4a3，填例 11 已 知 等 比 數(shù) 列 an 中 ，a210,a320 ， 那 么 它 的 前 5 項(xiàng) 和S5_解 析 ： 由 a10,a 20 ， 可 求 得 公 比23qa3202，從而 a1a210a210q52所以 S5a1 (1 q5 )5 (1 25)155 ，填1q1 2155例 12 已知等比數(shù)列an 的各項(xiàng)都為正數(shù)，a12,前 3 項(xiàng)的和為 14（ I ）求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ II）設(shè) bn log2 an ,求數(shù)列 bn 的前 20 項(xiàng)的和解析 : （I ） 設(shè)等比數(shù)列an 的

17、公比為 q,則2 2q2q214所以 q2q60, q2,q231(舍去)所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 Q an2n（ II ） blog2anlog22nn則ns20b1b2b3L L b20123L L20(120)202102例 13 設(shè) an 為等差數(shù)列 , 且公差 d 為正數(shù) ,已知 a2a3a415,又a2 ,a31,a4成等比數(shù)列求a1和d解析 :由 an 為等差數(shù)列知a2 a42a3 a315a2a410351)2a2a4(5解得 a22 (a28舍去 )由此得da3a2523a1a2d231歷年試題（ 2015 年試題）若等比數(shù)列an 的公比為 3, a49,則 a1A.1B.193

18、C.3D.27（ 2014 年試題）等比 數(shù)列 an中 , 若 a28,公比為1, 則4a5_（ 2015 年試題）已知等差數(shù)列an 的公差 d 0, a11 ，且2a1, a2, a5成等比數(shù)列（ I ）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式（ II ）若數(shù)列 a的前項(xiàng)和 S50，求 n.nn（ 2013 年試題）已 知 公 比 為 q 的 等 比 數(shù) 列an中 ,a24,a532（ I ）求 q；（ II ）求 an 的前 6項(xiàng)和 S6解 : （I ）由已知得 a q3a ，即 4q332，解得 q225（ II ） aaq 121221( 2)642S61( 2)（ 2012 年試題）已知等比數(shù)列 an 中, a1a2a3 27 （ I ）求 a2；（II）若an的公比q1, 且a1a2a313，求 an 的前 5項(xiàng)和解析 : （ I ）因?yàn)?an為等比數(shù)列，所以a aa22 ，又 a a a27，可得 a 327，131232所以 a23（ II） 由 a1a2a313 ， a23 得a1a310，由 a1a2a327,a23得 a1a39，a1a310，得 a1或 a 9解方程組a1a3911a11a1 9由a23（舍去）或1，得3qq3所以 an的前 5項(xiàng)和 S51 (1 35)11213（ 2010 年試題）已知數(shù)列a