數(shù)學歸納法測試題及答案

1、選修 2-22. 3 數(shù)學歸納法一、選擇題1用數(shù)學歸納法證明1 11 n1 <n(n N* ，n>1) 時，第一步應驗證不等式()232 1A11B 111 22<22 311111C1 233D 1 234 3答案 B*， n1， n 取第一個自然數(shù)為 2，左端分母最大的項為11解析 nN22 13，2用數(shù)學歸納法證明1a a2 an 1 1 an 2(n N* ， a 1)，在驗證 n1時，1 a左邊所得的項為 ()A 1B 1 a a2C1 aD 1 a a2 a3答案 B解析 因為當 n 1時， an 1 a2 ，所以此時式子左邊 1 a a2.故應選 B.11 1*

2、3設 f(n) n 1 n22n(n N ) ，那么 f(n 1) f( n) 等于 ()11A.B.2n 12n 211112n22n 2C.2n 1D.2n 1答案 D解析 f( n 1) f(n)11111 2n(n 1) 1 ( n1) 22n 12(n 1)11111 1 2n n 1n 22n 12(n1) n 111.2n 12n 24某個命題與自然數(shù)n 有關，若 n k(k N* )時，該命題成立，那么可推得nk 1 時該命題也成立現(xiàn)在已知當n5時，該命題不成立，那么可推得()A 當 n 6 時該命題不成立B當 n 6 時該命題成立C當 n 4 時該命題不成立D當 n 4 時該

3、命題成立答案C解析 原命題正確，則逆否命題正確故應選C.5用數(shù)學歸納法證明命題“當n 是正奇數(shù)時， xnyn 能被 xy 整除”，在第二步的證明時，正確的證法是()A 假設 nk( kN * )，證明 n k 1 時命題也成立B假設 n k(k 是正奇數(shù) )，證明 n k 1 時命題也成立C假設 n k(k 是正奇數(shù) )，證明 n k 2 時命題也成立D假設 n2k 1(k N)，證明 nk 1 時命題也成立答案C解析 n 為正奇數(shù)，當n k 時， k 下面第一個正奇數(shù)應為k 2，而非k 1.故應選C.6凸 n 邊形有 f(n)條對角線，則凸n 1 邊形對角線的條數(shù)f(n 1)為 ()A f(

4、n) n1 Bf(n) n Cf(n) n 1 D f(n) n2答案C解析 增加一個頂點，就增加n 1 3 條對角線，另外原來的一邊也變成了對角線，故 f(n 1)f(n) 1 n 1 3 f(n) n 1.故應選 C.7用數(shù)學歸納法證明 “對一切nN * ，都有 2n>n2 2”這一命題， 證明過程中應驗證()A n 1 時命題成立Bn 1， n2 時命題成立Cn 3 時命題成立D n 1， n 2， n 3 時命題成立答案D解析 假設 n k 時不等式成立，即2k>k2 2，當 nk 1 時 2k1 2·2k>2(k2 2)由 2(k2 2) (k 1)2 4

5、? k22k 3 0? (k 1)(k 3) 0? k 3，因此需要驗證n 1,2,3 時命題成立故應選D.nm，使得對任意*，都能使 m 整除 f( n) ，8已知 f(n) (2n 7) ·3 9，存在自然數(shù)nN則最大的 m 的值為 ()A30B26C36D 6答案 C解析 因為 f(1) 36， f(2) 108 3× 36， f(3) 360 10× 36，所以 f(1)， f(2) ， f(3) 能被 36 整除，推測最大的 m 值為 36.9已知數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn n2an( n 2)，而 a1 1，通過計算a2 、a3、 a4，猜想 a

6、n()2222A. (n 1)2B.n(n 1)C.2n 1D. 2n 1答案 B解析 由 Snn2an 知 Sn 1 (n 1)2an122Sn1Sn (n1)an1n an22an1( n 1) an1 n anan1 nn(n 2)n 2aa11當 n2 時， S2 4a2 ，又 S2 a1 a2，a2 33213a31.a3 a2 ，a410465由 a1 1，a21， a31，a413610猜想 an2，故選 B.n(n 1)10對于不等式2)，某學生的證明過程如下：n n n 1(n N(1)當 n 1 時，12 1 1 1，不等式成立(2)假設 n k(k N)時，不等式成立，

7、即k2 k<k 1，則 n k1 時， ( k 1)2 (k 1)k2 3k 2<(k2 3k 2) (k 2) (k 2)2 ( k1) 1，當 n k 1 時，不等式成立，上述證法()A 過程全都正確B n 1 驗證不正確C歸納假設不正確D 從 n k 到 n k 1 的推理不正確答案D解析 n 1 的驗證及歸納假設都正確，但從n k 到 n k 1 的推理中沒有使用歸納假設，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學歸納法的證題要求故應選D.二、填空題11用數(shù)學歸納法證明“2n 1 n2 n 2(nN * )”時，第一步的驗證為_答案 當 n 1 時，左邊 4，右邊 4，左右，

8、不等式成立解析 當 n 1 時，左 右，不等式成立，nN * ，第一步的驗證為n 1 的情形12已知數(shù)列1 ，1 ，1 ， ，1，通過計算得S11， S2 2， S33，由1× 22× 33× 4n(n 1)234此可猜測Sn_.答案 nn 1解析 解法 1：通過計算易得答案解法 2： Sn113 1 11×2 2×3×4n(n 1)1111111122334 nn 11 1 n.n 1n1*, 4 n 22n 1都能被 14 整除，則最小的自然數(shù)a _.13對任意 nN 3 a答案 5解析 當 n 1時， 36a3 能被 14 整除

9、的數(shù)為a3 或 5，當 a 3 時且 n3 時， 31035 不能被 14整除，故 a 5.14用數(shù)學歸納法證明命題：1× 42× 7 3× 10 n(3n 1) n(n1) 2.(1)當 n0 _時，左邊 _ ，右邊 _ ；當n k 時，等式左邊共有 _ 項，第 (k 1)項是 _ (2)假設 n k 時命題成立，即_ 成立(3)當 nk 1 時，命題的形式是_ ；此時，左邊增加的項為_ 答案 (1)1； 1× (3× 1 1)； 1× (11) 2； k；(k 1)3( k 1) 1(2)1× 4 2×7 3&

10、#215; 10 k(3k 1) k(k1) 2(3)1× 4 2×7 (k 1)3( k 1) 1( k 1)( k 1) 12； (k 1)3( k 1) 1三、解答題15求證： 12 22 32 42 (2n 1)2 (2n)2 n(2n 1)(nN * )證明 n1 時，左邊 12 22 3，右邊 3，等式成立假設 n k 時，等式成立，即12 22 32 42 (2k 1)2 (2k)2 k(2k 1)2.當 n k 1 時， 12 2232 42 (2k 1)2 (2k)2 (2k 1)2 (2k 2)2 k(2k 1) (2k1) 2 (2k2)2 k(2k

11、1) (4k 3) (2k25k 3) (k 1)2( k 1) 1，所以 n k 1 時，等式也成立由得，等式對任何 nN* 都成立1 111n 216求證： 234 2n 1>2 (n 2)1證明 當 n 2時，左2>0右，不等式成立假設當 n k(k 2，kN* )時，不等式成立111k 2即23 2k 1>2 成立111那么 n k 1 時， 23 2k1 k1 k11 11k12 22k 21 1 k 2 1 11>2 k1k>2 k k 2k2 122 2k 2 2k1(k1) 2 22k 2，當nk 1 時，不等式成立據(jù)可知，不等式對一切nN* 且

12、n 2 時成立17在平面內(nèi)有n 條直線， 其中每兩條直線相交于一點，并且每三條直線都不相交于同一點求證：這 n 條直線將它們所在的平面分成n2 n2個區(qū)域2證明 (1)n 2 時，兩條直線相交把平面分成4 個區(qū)域，命題成立k2 k 2(2)假設當 nk(k2)時， k 條直線將平面分成2塊不同的區(qū)域，命題成立當 n k 1 時，設其中的一條直線為l ，其余 k 條直線將平面分成k2 k 2塊區(qū)域，直2線 l 與其余 k 條直線相交，得到k 個不同的交點，這k 個點將 l 分成 k1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域k 1 塊從而 k1 條直線將平面分成k2 k 2(k 1)2 (k

13、 1) 22 k 12塊區(qū)域所以 n k 1 時命題也成立由 (1)(2) 可知，原命題成立18 (2010 ·水高二檢測衡 )試比較2n 2 與 n2 的大小 (n N* )，并用數(shù)學歸納法證明你的結論分析 由題目可獲取以下主要信息：此題選用特殊值來找到2n 2 與 n2 的大小關系；利用數(shù)學歸納法證明猜想的結論解答本題的關鍵是先利用特殊值猜想解析 當 n 1 時， 212 4>n2 1，當 n2 時， 22 26>n2 4，當 n3 時， 23 210>n2 9，當 n4 時， 24 218>n2 16，由此可以猜想，2n 2>n2(nN* )成立下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當 n 1 時，左邊 212 4，右邊 1，所以左邊 >右邊，所以原不等式成立當 n2 時，左邊 22 2 6，右邊 224，所以左邊 >右邊；當 n3 時，左邊 23 2 10，右邊 32 9，所以左邊