高等數(shù)學(xué)：1-7 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

1、第七節(jié)第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,),()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的增量的增量相應(yīng)于相應(yīng)于稱為函數(shù)稱為函數(shù)xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y xy0 xxx 00 x y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx就是就是 ).()(00 xfxfy就是就是 .)(0)()

2、(lim , 0lim )()(,)( 1 000 000000連續(xù)連續(xù)在點在點那末就稱那末就稱或或即即也趨于零，也趨于零，對應(yīng)的函數(shù)增量對應(yīng)的函數(shù)增量零時零時趨于趨于如果當(dāng)自變量的增量如果當(dāng)自變量的增量有定義有定義的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義xxfyxfxxfyxfxxfyxxxxxfxxxx .)(),()(lim ),( )( ,)( 2 00 00000連續(xù)連續(xù)在點在點那末就稱那末就稱即即處的函數(shù)值處的函數(shù)值在，且等于它在點在，且等于它在點時的極限存時的極限存當(dāng)當(dāng)如果函數(shù)如果函數(shù)有定義有定義的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義xxfyxfxfxf

3、xxxxfxxfxx :定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng).0, 0, 0, 0,1sin)( 1 處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù)例例 xxxxxxf證明證明, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()( 0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf .)()( 00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()

4、0(,),)( 0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf .0, 0, 2, 0, 2)( 2 連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxxxxf解解 )(lim0 xfx2 ),0(f )(lim0 xfx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf)2(lim0 xx)2(lim0 xx定理4.4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù), ,叫做在該區(qū)叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)間上的連續(xù)函數(shù), ,或者說函數(shù)在該區(qū)間

5、上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). .,)(,),( 上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)端點端點并且在左并且在左內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. ),(cos內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的在在例如，例如， xy.),(sin 3內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明例例 xy證明證明),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當(dāng)當(dāng)對任意的對任意的 ,s

6、in 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處處有有定定義義在在點點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf1.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),

7、0()0(, )( 0000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點在點如果如果xfxxfxfxxf .0, 0,1, 0,)( 4 連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy2.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx .1 , 1,11, 1

8、0, 1,2 )( 5 處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxxxxxfoxy12xy 1xy2 1解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點特點.0處的左、右極限都存

9、在處的左、右極限都存在函數(shù)在點函數(shù)在點 x121oyx3.3.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf.0, 0, 0,1)( 6處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f . 0為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x . 斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間.01sin)( 7處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù)例例 xxxf解解,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.0, 0, 0,cos)(, 8 處連續(xù)處連