高等數(shù)學(xué)課件：1-10 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15日星期三1第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章第一章 返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15日星期三2一、有界性與最大值最小值定理一、有界性與最大值最小值定理注意注意: 若函數(shù)在開區(qū)間開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .即: 設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷有間斷 點(diǎn)點(diǎn) ,返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15日星期三3例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,3

2、1,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15日星期三4二、零點(diǎn)定理和介值定理二、零點(diǎn)定理和介值定理定理定理2 ( 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ), ,)(baCxf至少有一點(diǎn), ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 證明略證明略 )定理定理3 (介值介值定理定理 )設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對(duì) A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn), ),(ba使.)(Cf至少有( 可利用零點(diǎn)定理證明可利用零點(diǎn)定理證明 )返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15日星

3、期三501423 xx一個(gè)根一個(gè)根 .證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423說明說明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取取 1 ,21的中點(diǎn)的中點(diǎn),43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區(qū)間在區(qū)間)1 ,0(的中點(diǎn)取1 ,0內(nèi)至少有內(nèi)至少有則則則則例例1 證明方程證明方程返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15

4、日星期三60)()()(212xfxff上連續(xù)上連續(xù) , 且恒為正且恒為正 ,)(xf在在,ba對(duì)任意的對(duì)任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點(diǎn)必存在一點(diǎn)證證:, ,21xx使使. )()()(21xfxff令令)()()()(212xfxfxfxF, 則則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使使,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點(diǎn)定理知故由零點(diǎn)定理知 , 存在存在, ),(21xx,0)(F即即. )()()(21xfxff當(dāng)當(dāng))()(21x

5、fxf時(shí)時(shí), 取取1x或或2x, 則有則有)()()(21xfxff證明證明:例例2 設(shè)設(shè)返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15日星期三7內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)則設(shè), ,)(baCxf在在)(. 1xf上達(dá)到最大值與最小值上達(dá)到最大值與最小值;3. 當(dāng)當(dāng)0)()(bfaf時(shí)時(shí), ),(ba使使( )0;f必存在必存在,ba上有界上有界;在在)(. 2xf,ba上可取最大與最小值之間的任何上可取最大與最小值之間的任何值值. .在在4.( )f x,ba返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15日星期三8思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 任給一塊面積為任給一塊面積為 A 的蛋糕的蛋糕(如

6、圖如圖), 證明必可將它證明必可將它一刀切為面積相等的兩塊一刀切為面積相等的兩塊.提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.xoy則面積函數(shù)則面積函數(shù),)(CS因因,0)(SAS)(故由介值定理可知故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15日星期三9,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf3e1xx至少有一個(gè)不超過 4 的正根 .證證：證明令3( )e1xf xx且)0(f3e1)4(f4 34e103e0根據(jù)零點(diǎn)定理 , )4,0(,0)(f使原命題得證 .)4,0(內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間顯然2. 返回返回上頁上頁下頁下頁結(jié)束結(jié)束2021年12月15日星期三10, 2,0)