高等數(shù)學(xué)課件：7-2數(shù)量積 向量積 混和積

1、2021-12-151第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 混合積混合積二二 兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積三三 兩向量的向量積兩向量的向量積四四 兩向量的混合積兩向量的混合積五五 小結(jié)與思考判斷題小結(jié)與思考判斷題一一 問題的提出問題的提出2021-12-152 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點(diǎn)1M移動到點(diǎn)2M，以s表示位移，則力F所作的功為作的功為 cos|sFW (其中 為F與s的夾角) 例兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個數(shù)量.一一 問題的提出問題的提出.的余弦的乘積及它們的夾角、它等于ba2021-12-153向量a與b的數(shù)量積為ba (其中 為a與b的夾角) 定義二二 兩向量的數(shù)量積

2、兩向量的數(shù)量積(Scalar Product) cos|baba 數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.SFWSFW位移的數(shù)量積，即與是力的功前面的例子中，力所作2021-12-154cos|baba,jPrcos|bba,jPrcos|aababbabjPr| .jPr|baa1）兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.關(guān)于數(shù)量積的說明：).(|)2(22aaaaaa, 0.|cos|2aaaaa證證2021-12-155, 0ba如果, 0|a, 0|b, 0cos. ba,ba反之，如果, 0cos . 0cos|baba證證,2,2 0,0,) 3(bab

3、a時當(dāng).ba都垂直。認(rèn)為零向量與任何向量看作是任意的，所以由于零向量的方向可以上述結(jié)論可敘述為0ba. ba2021-12-156（4）數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：1）交換律：;abba 2）分配律：;)(cbcacba 若 為數(shù)： ),()()(bababa 若 、 為數(shù)： ).()()(baba 3）結(jié)合律2021-12-157例例1 1 試用向量證明三角形的余弦定理.ABCab c BCAABC中，中，設(shè)在設(shè)在要證明要證明,cABbCAaBC cos2222abbac baccABbCAaCB 則有則有記記,)()(2babaccc babbaa 2 cos222baba cos2222ab

4、bac 2021-12-158,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式2021-12-159 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa兩向量垂直的充要條件為2021-12-1510例 2 證明向量c與向量acbbca)()( 垂直. 證證cacbbca )()()()(cacb

5、cbca )(cacabc 0 cacbbca )()(2021-12-1511解解; 1100111 AMB cosAMBBAM 求求和和、已知三點(diǎn)已知三點(diǎn)例例),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( 3.,的夾角的夾角與與就是向量就是向量作向量作向量 MBMAAMBMBMA1 , 0 , 1,0 , 1 , 1 MBMA MBMA2,2 MBMA MBMAMBMA21221 3 AMB2021-12-1512 設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn)，有一力 F作用于這杠桿上P點(diǎn)處 力F與PO的夾角為 ， 力 F對支點(diǎn)O的力矩是一向量M，它的模 |FOQM sin|FOP M的方

6、向垂直于OP與F所決定的平面, 指向符合右手系. 先研究物體轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的力矩三三 兩向量的向量積兩向量的向量積（Vector Product)LFPQO 2021-12-1513向量a與b的向量積為 bac sin|) 1bacc的模大小：(其中 為a與b的夾角) 定義2)方向：c的方向既垂直于a，又垂直于b， 即垂直于a，b所決定的平面， 指向符合右手系. 向量積也稱為“叉積”、“外積”.上面的力矩FOPMFOPM即的向量積，與等于2021-12-1514由向量積的定義可以推出：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/的的充充分分必必要要條條件件. 0 ba)0, 0( ba00sin

7、02aaa，所以這是因?yàn)閵A角, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 “充分性”0sin . 0sin| baba證ba/ba/或或0 “必要性”2021-12-1515向量積符合下列運(yùn)算律：（1）.abba （2）分配律：.)(cbcacba （3）若 為數(shù) ).()()(bababa 合律：向量積還符合如下的結(jié)證明從略。標(biāo)表示式，下面來推導(dǎo)向量積的坐2021-12-1516,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabaj

8、babaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 上式即為向量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 2021-12-1517為了幫助記憶，向量積可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/的的充充分分必必要要條條件件zzyyxxbababa 由上式可推出00zyxxaaba 0, 0 zyaaxb、yb、zb不能同時為零，但允許兩個為零， 比如，2021-12-1518結(jié)論|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積.abbac 例 4 在頂點(diǎn)為)3 , 2 , 1(A、)7 , 4 , 2(),5 , 4 , 3(CB的三角形中，求三角形ABC的面積. 4

9、 , 2 , 1 AC2 , 2 , 2 AB三角形ABC的面積為|21ABACS 141 , 3, 242122221 kji解解2021-12-1519例 3 求與kjia423 ，kjib2 都垂直的單位向量. 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj2021-12-1520例 5 設(shè)向量pnm,兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且4| m，2| n，3| p，計(jì)算pnm )(. 解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與

10、p同同向向， 2021-12-1521(1)定義 設(shè)已知三個向量 a、b、c，數(shù)量cba )( 稱為這三個向量的混合積，記為cba. cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式四四 向量的混合積向量的混合積(Triple Scalar product)2021-12-1522（2）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積cbacba )(是這樣的一個數(shù)，它的絕對值表示以向量a、b、c為棱的平行六面體的體積. acbba hSVAOBD OABDbaOBOASAOBD cosch .的夾角的夾

11、角與與是是bac cba cba 2021-12-1523例 7 已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面體的體積. 解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 2021-12-1524,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負(fù)號的選擇必須和行列式的符號一致.2021-12-1525混合積的幾個結(jié)論：)2(cbacba)(（1）三向量a、b、c共面的充分必要條件是 . 0 cba利用混合積的幾何意義可證明利用行列式的性質(zhì)可證明acb)(bac)(2021-12-1526 已知已知2 cba， 計(jì)算計(jì)算)()()(accbba . 解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba