普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

1、2014 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學（新課標卷）第卷一選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設集合M， x | x23x20，則MN( )0,1,2 NA 1B 2C 0,1D 1,22設復數 z1 , z2 在復平面內的對應點關于虛軸對稱，z12i ，則 z1z2 （）A 5B 5C 4 iD 4 i3設向量 a, b 滿足 | ab |10 ， | ab |6 ，則 a b()A 1B 2C 3D 54鈍角三角形 ABC 的面積是1，AB1， BC2，則 AC( )2A 5B 5C2D 15某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，

2、一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是075 ，連續(xù)兩天優(yōu)良的概率是 06，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是（）A 08B 075C 06D 0456如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1（表示 1cm）, 圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為 6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）A 17B 5C 10D 12792737執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x, t均為 2，則輸出的S（）開始輸入x ，tM1，S 3k1是否是kt否MM x輸出 SkSMS結束kk1A4B5C6D78設曲線 yax ln( x 1) 在點

3、(0,0) 處的切線方程為y2x ，則 a（）A0B1C2D3xy 70,9設 x, y 滿足約束條件x3 y10, 則 z 2xy 的最大值為（）3x y50.A 10B8C3D 210設 F 為拋物線 C : y23x 的焦點，過 F 且傾斜角為30 的直線交 C 于 A,B 兩點， O 為坐標原點，則OAB 的面積為（）A3 3B93C 63D 94832411直三棱柱ABC A1B1C1BCA 90M , NA1B1, AC中，分別是1 1 的中點，BC CACC1 ，則 BM 與AN 所成的角的余弦值為（）A 1B 2C30D210510212設函數 f ( x)3 sinx 若存在

4、 f ( x) 的極值點 x0滿足 x2 f ( x )2m2，則 m 的取值m00范圍是（）A,66,B,44,C,22,D,14,第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第 13 題 第 21 題為必考題 ，每個試題考生必須做答第22 題 第 24 題為選考題 ，考生根據要求做答二填空題13 ( x a)10 的展開式中， x7的系數為15，則 a_( 用數字填寫答案 )14函數 f (x)sin( x 2 )2sincos( x) 的最大值為 _15已知偶函數f ( x) 在 0,) 單調遞減， f (2)0 若 f ( x1) 0 ，則 x 的取值范圍是_ 16設點 M (x0 ,1)，若在圓

5、 O : x2y21上存在點 N ，使得OMN 45，則 x0 的取值范圍是 _三 解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分12 分）已知數列 a 滿足a1a3a1n1，n 1n（）證明 an1 是等比數列，并求 an 的通項公式；2（）證明：1113a1a2an218（本小題滿分 12 分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面 ABCD為矩形， PA平面 ABCD， E為 PD的中點（）證明：PB平面 AEC ；（）設二面角 DAEC 為 60°， AP1 ， AD3 ，求三棱錐 E ACD 的體積19 （本小題滿分12 分）某地區(qū)2007 年至 2013 年農村

6、居民家庭純收入y （單位：千元）的數據如下表：年份年份代號人均純收入y20072008200920102011201220131234567293 33 64 44 85259（）求y 關于的線性回歸方程；（）利用（）中的回歸方程，分析 2007 年至 2013 年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū) 2015 年農村居民家庭人均純收入附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：nti tyiy?bi 1，?nybtti2ati 120（本小題滿分 12 分）設 F1 , F2 分別是橢圓 x2y21（ ab 0 ）的左右焦點，a2b2上一點且 MF2 與 x 軸垂直，

7、直線MF1 與 C的另一個交點為N（）若直線MN的斜率為 3，求 C 的離心率；4（）若直線MN在 y 軸上的截距為2，且 |MN |5| F1 N |，求 a,b 21（本小題滿分12 分）已知函數f ( x)exe x2x 。（）討論f (x) 的單調性；（）設 g( x)f (2 x)4bf ( x) ，當 x 0時， g x0 , 求b 的最大值；（）已知1.4142 21.4143，估計 ln 2的近似值（精確到0.001 ）。22（本小題滿分10）選修 4 1：幾何證明選講如圖，P 是O外一點， PA 是切線， A 為切點， 割線 PBC與O相交于點 B，C，PCD 為 PC的中點

8、， AD的延長線交O于點 E證明：（） BEEC；（） AD DE2PB2 。M是 C2PA ，23 （本小題滿分10）選修 4-4 ：坐標系與參數方程在直角坐標系xoy 中，以坐標原點為極點，x 軸為極軸建立極坐標系，半圓C 的極坐標方程為2cos，0,2（）求 C 的參數方程；（）設點D 在 C 上， C在 D 處的切線與直線l : y3x2 垂直，根據（）中你得到的參數方程，確定D 的坐標24（本小題滿分10）選修 4-5 ：不等式選講設函數f ( x)| x1| xa |（ a0）。a（）證明：f ( x)2 ；（）若f (3)5，求a 的取值范圍參考答案一、選擇題1 D解析 1：直接

9、檢驗法把M0,1,2x23x 2 0，經檢驗 x 1,2 滿足。中的數，代入不等式解析 2：把 0， 1， 2 代人 x23x 20 驗證，只有1， 2 滿足不等式，故選 D.考點：考查集合與一元二次不等式的知識，簡單題.2 A.解析：z12i與 z2關于虛軸對稱，z22i z1z2(2i)( 2i)5 ，故選 A.解析2：考察復平面坐標與復數一一對應，z1 2 i 對應點 (2,1) 關于虛軸（ y 軸）對稱點為 (2,1) ，因此 z22 i, z1 z2i 245考點：考查復數的基本知識，簡單題.3 A.解析：| ab |10,| ab |6a22abb210, a22ab b264a

10、b4a b1，故選 A.222解 析 2 ： 考 察 向 量 的 運 算 ， 是 課 本 上 的 原 型 ， a ba 2a b b 10 （ 1 ） 同 理 有2226 （ 2）， (1)-(2)= 4a b4 即 a b1a ba2a b b考點：考查平面向量的數量積，中等題.4 B.解析 1： ABC面積為1， AB1,BC22 1 1 2 sin B1sin B2B45 ,135222當 B=45°時，AC2AB2BC 22 AB BC cos4512 2 1221 AC12此時， AC=AB=1,故 A=90°，這與 ABC為鈍角三角形矛盾.當 B=135

11、6;時，AC 2AB2BC 22ABBC cos135122 1225AC5 ，故選 B.22：因為 S ABC1121sin B12，所以B，或 B3解析ac sin B，所以 sin B。222244當 B時，經計算ABC 為等腰直角三角形，不符合題意，舍去。43，使用余弦定理，得 b2a2c22ac cosB5 。所以B4解 析3：考察三角形面積公式與余弦定理的簡單應用， S1 ABBCsin ABC1 則 有22s i n ABC2，因此當ABC時 AC2AB2BC 22 AB BC cosABC1，AC=1 注意此時243為等腰直角三角形不合題意舍去，當ABC時4AC 2AB2BC

12、22AB BC cosABC5 ， AC5 （大邊對大角）滿足條件考點：考查正余弦定理的應用，中等題.5 A.解析 1：設第 i 天空氣優(yōu)良記著事件Ai ，則 P(A i )0.75,P(A iA i 1)0.6(i1,2,) ,第 1 天空氣優(yōu)良，第2 天空氣也優(yōu)良這個事件的概率為P( A1 A2) 0.60.8，故選 A.P( A2 | A1)P(A1)0.75解析 2：考察獨立事件的概率乘法，設某一天空氣優(yōu)良為事件A, 后一天空氣優(yōu)良概B ，則根據概率乘法有連續(xù)兩天空氣優(yōu)良 P( AB )P( A) P( B) ，得 P( B) 0.8考點：考查條件概率的概率，簡單題.6 C.解析 1：

13、毛胚的體積V32 654制成品的體積 V1322224 34切削掉的體積與毛胚體積之比為：1 V113410，故選 C.V5427解析 2：因為加工前的零件半徑為3，高為6，所以體積 v19 654。因為加工后的零件，左半部分為小圓柱，半徑2，高為 4，右半部分為大圓柱，半徑為3，高為 2，所以體積 v244 9234。所以，削掉部分的體積與原體積之比等于54341054。27解析 3：三視圖，注意三視圖位置為（正，側，俯）由圖可以看出相當于一個平躺的圓柱（底面圓的半徑為 3，高為6）外側消掉一部分（剩余部分小圓柱底面半徑為2，高為 4，大圓柱底面半徑為3，高為 2）V原54 ，剩余部分體積為

14、V剩161834V削2010則原毛坯的體積為，因此5427V毛考點：考查三視圖于空間幾何體的體積，中等題.7 D.解析 1：第 1 次循環(huán)， M1 22， S235， k2 ；1第2次循環(huán)， M222 ， S257 ， k3。2退出循環(huán)， S 7。解析 2：簡單的程序框圖，但由于變量涉及到5 個，容易出錯，同時一定要注意每一步執(zhí)行的順序根據流程圖模擬運算有第一次結果M2, S5, k2 ，第二次結果 M2, S7, k3，此時 kt 不成立退出循環(huán)，輸出 S 7考點：考查算法的基本知識，簡單題.8 D.解析 1：考察導數的幾何意義，復合函數求導y 'a1, y '(0)a1 2

15、, a3x1解析 2：因為曲線 yaxln( x1)在點 (0,0)處的切線方程為 y2 x ，又因為 y1a1x所以 y |x 0a12，解得 a3 ，故選 D.10考點：考查導數的幾何應用，中等題.9 B解析1：考察線性規(guī)劃問題，通過對應方程兩兩聯立得交點分別為(5, 2)，(3, 4)，（ 1,2）經檢驗都在可行域內，因此x5, y2, zmax8解析 2：畫出可行域，如右圖：可行域為ABC ，計算得：A(3, 4) ， B(5, 2) ， C (2,1) 。因為：z( A)2342，z( B)2528，z(C )2213，所以 z 2xy 的最大值為 8xy70解析 3：作出 x ，

16、y 滿足約束條件 x3y10 表示的平面區(qū)域如圖陰影部分： 做出目標函數3xy50l0 ：yl 2Ax 3y 1 0C1BO2xl0l1xy703xy50y2x ， y2xz ，當 y2xz 的截距最小時， z 有最大值。當 y2xz經過 C 點時， z 有最大值。由 x3 y 10得： C (5, 2)xy70此時： z有最大值2 5 28，故選 B解析 4：作圖即可 .考點：考查二元一次不等式組的應用，中等題.10 D解析 1： y23x拋物線 C的焦點的坐標為：F ( 3,0 )43)所以直線 AB的方程為： ytan 30 (x4y3 (x3)故34y23x從而 16x2168x 90

17、x1x22132弦長 |AB|=x1x2122又 O點到直線 AB : 4x43y30 的距離 d=3342(43) 28 SOAB11239,故選 D.284解析 2：過點 F ( 3 ,0) 且傾斜角為30 的直線 AB 的方程為 y3 (x3) 。434由 y3 (x3) ，得 x3 y3，將 x3 y3代入 y23x ，消去 x ，整理得 y233 y90 。34444由弦長公式得， | AB |11( y1y2 )24 y1 y212 。k 2直線 AB 的一般式方程為43x12 y3 30 ，原點 O 到直線 AB 的距離 d| 33 |3 。481448S ABC13129。28

18、4解析3 ：考察拋物線的定義及三角形面積，由已知得焦點坐標為F (3 ,0) ，因此AB直線方程為4y3(x3),即4 x4 3y 30 ，與拋物線方程聯立化簡得：聯立方程得：4y2123y90 ，34因 此21139yAyB( yA)yB同 時SOABO F yAyB6或 者 有4 yA yB 64224x221 x90, xA xB21又根據拋物線的定義有ABxAxB p21312 ，同時根據原點216222到直線距離有高為h33 ，因此 S OAB1 AB h9( 4423)2 824解析 4： F ( 3 ,0) ，設 A(x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，直線 AB

19、的方程為 y3 (x3 ) ，代入拋物線434方程得： x221x90 ， x1x221 ， x1x29216216由弦長公式得 | AB |(1k 2 )( x1x2 )24x1 x2 12|30 03 |3由點到直線的距離公式得： O 到直線 AB 的距離 d343 ) 28( 1)23SOAB 11239284考點：綜合考查拋物線的知識，弦長計算與分析直線和圓錐曲線位置關系的能力，難度為困難題.11 C.解析 1：設 AC=2，BCCACC12A(2,0,0), N (1,0,2), B(0,2,0), M (1,1,2)BM(1, 1,2), AN( 1,2,0)cosAN BM333

20、0AN, BM6 53010|AN| | BM |解析 2： C故選 C.分別以 C1B1 , C1 A1 ,C1C 為 x, y, z 軸，建立直角坐標系。不妨設 BCCACC12，則 A(0,2,2) ， B(2,0,2) ， M (1,1,0) ， N (0,1,0) ，所以 BM( 1,1, 2) ，AN(0, 1, 2)。cosBM,ANBM AN0 1430 。|BM | |AN|6510解析 3：考察異面直線夾角問題，取 BC 中點 D ，連結 MN,ND ，由于 MN / / 1 BC / /B1C1 因此有 ND / /BM ，2則 ND 與 NA 所成夾角即為異面直線 BN

21、 與 AN 夾角，設BC2，則BM ND6,AN5, AD5 ，因此 cosANDND 2NA2AD 2302ND NA10解析 4：如圖所示，取 BC 的中點 P ，連結 NP 、 APCPBAC1NB1MA1M，N分別是A1B1， AC11 的中點，四邊形 NMBP 為平行四邊形， BMPN所求角的余弦值等于ANP 的余弦值不妨令 BC CA CC12，則 AN AP5|AN|2| NP|2|AP|2( 5)2( 6)2( 5)230N P M B 6 ， cos ANP256102 |AN| |NP|考點：考查空間夾角問題.中等題 .12 C.解析 1：f ( x)3 sinxf( x)

22、3cos xmmm令f()0cosx0xk(kZ)xmm2 x(2k1)m ，即 f (x) 的極值點 x0(2 k1) m ( k Z)22存在 f ( x) 的極值點 x0 ，滿足 x02f (x0 ) 2m2(2k1) m 23 sin 2x0m22m又 sin 2x0sin 2 (m(2 k1) m )sin 2 2ksin 2 ( k)1m222存在 kZ ，使得 (2 k1) m 23m22存在 kZ ,使得 31(2k1) 2m24 31(2 k1)2max113| m |2，故選 C.m2444解析2：考察三角函數的性質及特稱命題與全稱命題（正難則反）轉化，以及關于不等式恒成立

23、問題f (x)3sin(x) 的極值點即為三角型函數的最高或者最低點處的橫坐標，由三角形性質可知2mT2m ，因此 x0mkm(kZ ) ,假設不存在這樣的x0，即對任意的 x0 都有 x02 f (x0 )2m2 ，m2則 (mkm)23m2m2( k2k33 0恒 成 立 ， 即 k2332， 整 理 得 ： f (m)km2 ，344f (k ) kk最小值為(k1或 0）2m 2因此原特稱命題成立的條件是m 223，44解析 3： f '( x)3cos x ，令 f '( x)3cosx0 得： xm( 1k) kZmmmm2 x0m( 1k) kZ ，又 x02 f

24、 ( x0 )2m2 ， m2 ( 1k )2 3 sin(k ) 2m2222即：3m21( 1k)2 ， 1( 1k )20 ，故： k022 3m21( 1)2 ，即： m24 ，故： m2 或 m22考點：考查導數與極值，三角函數，不等式的知識，為困難題.二、填空題13 12解析：( x a)10 展開式的通項為 Tr 1C10r x10r ar (r0,1, ,10) ( x a)10 展開式中 x7 的系數為 C103 a315a12考點：考查二項展開式的通項公式，簡單題.14 1解析 1：f (x) sin( x 2 )2sin cos(x)sin( x)coscos(x)sin

25、2sin cos(x )sin( x)cossincos(x)sin xf (x)sin x 的最大值為 1.解 析2 ： 考 察 兩 角 和 差 的 正弦 公 式 ， 注 意 角 的 拆分 f ( x) sin( x) 2sin cos(x ) ， 又f ( x)sin( x)sin(x) coscos(x)，si因此 f ( x) sin( x)coscos(x)sinsin x 即最大值為 1考點：本題考查和差角公式，為中等題.15 ( 1,3)解析 1：考察偶函數的性質，對稱區(qū)間單調性相反，數形結合易得2x12, 1x3解析 2：作出函數f ( x) 的示意圖，如圖所示因為 f ( x 1) 02 x 1 21 x 3解析 3：特殊化，數形結合因為偶函數 f x在 0,單調遞減，f 2 0 ，所以不妨畫出圖像如下：函數 f ( x1) 的圖像為：由圖可知，不等式f (x1)0 的解集為 ( 1,3) 。考點：本題考查函數的單調性與奇偶性. 簡單題.16 1,1解析1：數形結合，當M (1,1)時，恰好存在圓上（0,1）（ 1,0）兩個點使得，OMN45結合圖像，當M 繼續(xù)向右運動時，與圓上任意一點形成的夾角都小于45 度，再結合對稱性可得x0 范圍在 1,11k1| x0解析 2：直線 OM