數(shù)值分析 第二章 插值

1、一、引例一、引例已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（深度（M M） 466 741 950 1422 1634466 741 950 1422 1634水溫（水溫（o oC C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.137.04 4.28 3.40 2.54 2.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500500米，米，600600米，米，10001000米米）處的水溫）處的水溫. .這就是本章要討論的這就是本章要討論的“插值問題插值問題” 插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法。早在插值法是一種古老

2、的數(shù)學(xué)方法。早在10001000多年前，我國歷法上已經(jīng)記載了應(yīng)用一次插值多年前，我國歷法上已經(jīng)記載了應(yīng)用一次插值和二次插值的實(shí)例。和二次插值的實(shí)例。 偉大的數(shù)學(xué)家：拉格朗日（偉大的數(shù)學(xué)家：拉格朗日（Lagrange）、牛頓）、牛頓Newton）、埃爾米特（）、埃爾米特（Hermite）等人分別給出了）等人分別給出了不同的解決方法。不同的解決方法。 二、插值問題的定義二、插值問題的定義這個(gè)問題稱為這個(gè)問題稱為“插值問題插值問題” (2.1.1) 0,1,iig xyin這里這里g(x) 稱為稱為f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù); 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 稱為稱為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn);條件條件(2.1.1)稱為稱為插

3、值條件插值條件; 區(qū)間區(qū)間 稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間。如果如果利用利用g(x)來求來求f(x) 在在y點(diǎn)的近似值，則稱點(diǎn)的近似值，則稱y為為插值點(diǎn)。插值點(diǎn)。,a b01,nx xx ,由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù) g(x) f(x)，滿足條件，滿足條件 上一系列節(jié)點(diǎn)上一系列節(jié)點(diǎn) 處測(cè)得函數(shù)值處測(cè)得函數(shù)值 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時(shí)，設(shè)在區(qū)間非常復(fù)雜或未知時(shí)，設(shè)在區(qū)間, a b01,nx xx 00,nnyf xyf x定義定義2.1 插值函數(shù)的類型有很多種插值函數(shù)的類型有很多種,最常用的插值函數(shù)最常用的插值函數(shù)是是 代數(shù)多項(xiàng)式。代數(shù)多項(xiàng)式。

4、用代數(shù)多項(xiàng)式作插值函數(shù)的插值稱為用代數(shù)多項(xiàng)式作插值函數(shù)的插值稱為代數(shù)插值代數(shù)插值，即，即選取次選取次數(shù)不超過數(shù)不超過n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 Pn(x) ，使得使得 代數(shù)插值代數(shù)插值v一、一、插值多項(xiàng)式的存在唯一性？插值多項(xiàng)式的存在唯一性？v二、二、插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法？插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法？v三、三、插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式的誤差如何估計(jì)？的誤差如何估計(jì)？ (2.1.2) 0,1,niiPxyin一、插值多項(xiàng)式的存在唯一性一、插值多項(xiàng)式的存在唯一性設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為：設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為： 由插值條件由插值條件 得到如下線性代數(shù)方程組得到如下線性代數(shù)方程組： ()(0,1, )nii

5、P xy in nnnnnnnnnyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111nnnxaxaxaaxP 2210)( （2.2.1）此方程組的系數(shù)行列式為此方程組的系數(shù)行列式為 nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111 nijjixx0)(當(dāng)當(dāng) ()ijxxij 時(shí)時(shí)， D 0，因此，因此，Pn(x) 由由a0, a1, an唯一確定。唯一確定。范得蒙行列式的轉(zhuǎn)置！范得蒙行列式的轉(zhuǎn)置！定理定理2.1插值條件插值條件 的的 n 階插值階插值(),0,.,niiP xyin多項(xiàng)式多項(xiàng)式Pn(x)存在且唯一。存在且唯一。插值多項(xiàng)式的構(gòu)造：插值多項(xiàng)式的構(gòu)造：插值多

6、項(xiàng)式的存在唯一性說明，滿足插值條件的插值多項(xiàng)式的存在唯一性說明，滿足插值條件的多項(xiàng)式存在，并且插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式存在，并且插值多項(xiàng)式與構(gòu)造方法無關(guān)與構(gòu)造方法無關(guān)。如何如何構(gòu)造構(gòu)造插值函數(shù)才能達(dá)到預(yù)期的效果呢？插值函數(shù)才能達(dá)到預(yù)期的效果呢？對(duì)于給定的互異對(duì)于給定的互異節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) x0 xn, 滿足滿足 ，簡(jiǎn)單函數(shù)元素集是指構(gòu)成多項(xiàng)式的基函數(shù)集合，例如簡(jiǎn)單函數(shù)元素集是指構(gòu)成多項(xiàng)式的基函數(shù)集合，例如自然形式（自然形式（2.2.1）的自然基底）的自然基底 ,21, ,nx xx、 、 ( (結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)) )( (集合集合) )若求自然形式若求自然形式(2.2.1)的插值多項(xiàng)式問題，只要求的插值多項(xiàng)式問題，只

7、要求解線性方程組（解線性方程組（2.2.2）計(jì)算出多項(xiàng)式系數(shù)即可。）計(jì)算出多項(xiàng)式系數(shù)即可。一般插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法一般插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法通過解方程組通過解方程組(2.2.2)(2.2.2)求得插值多項(xiàng)式求得插值多項(xiàng)式 的方法的方法并不可取并不可取. .這是因?yàn)楫?dāng)這是因?yàn)楫?dāng)n n較大時(shí)解方程組的計(jì)算量較大時(shí)解方程組的計(jì)算量較大，而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大較大，而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大（可能（可能是是病態(tài)方程組病態(tài)方程組）, ,當(dāng)階數(shù)當(dāng)階數(shù)n n越越高時(shí)，高時(shí)， 病態(tài)越重病態(tài)越重。怎樣可以不通過求解方程怎樣可以不通過求解方程組而獲得插值多項(xiàng)式呢組而獲得插值多項(xiàng)式呢? nPx在在

8、n n次多項(xiàng)式空間次多項(xiàng)式空間P Pn n中找一組合適的基函數(shù)中找一組合適的基函數(shù) , ,使使 01,nxxx 0011nnnPxaxaxax不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的插值方法插值方法. .Lagrange插插值值Newton插插值值Hermite插值插值1n次次拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式 設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù) 在在 上對(duì)給定的上對(duì)給定的 個(gè)不同個(gè)不同節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 上分別取函數(shù)值上分別取函數(shù)值 試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過n的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式使之滿足插值條件使之滿足插值條件: 01( ),nnnL xaaxa x( )(0,1, )niiL

9、 xy in01, ,( ),niiy yyyf x( )yf x , a b1n01naxxxb二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)插值插值定義定義2.2 若若n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 在在 個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) 上滿足條件上滿足條件1,()0,( ,0,1, )jkkjlxkjj kn1( )( )nnk kkLxy lx 由定理由定理2.12.1得：得： 01nxxx( )(0,1, )jl xjn1n則稱這則稱這 個(gè)個(gè) 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) 上的上的 次插值基函數(shù)。次插值基函數(shù)。01( ), ( ),( )nlx l xlxn1n01,nxxxn因此，令因此，令01110( )()

10、()()()()()nkkknjjj klxxxxxxxxxxxxx)()()(11110nkkkkkkkxxxxxxxxxx 的表達(dá)式推導(dǎo)：的表達(dá)式推導(dǎo)： klx根據(jù)根據(jù) 的定義的定義， 以外所有的結(jié)點(diǎn)都是以外所有的結(jié)點(diǎn)都是 的根的根， klx klxkx又由又由 ，得得： 1kklx011100111()()()()()( )()()()()()njkknkjkkkkkkknkjj kxxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxx2線性插值線性插值 (n=1) xkxk+1(xk ,yk)(xk+1 ,yk+1)f(x)P1(x)1011111( )(),()kkkkL xaa xL

11、 xy L xy求,使得11kkkkkkyyyxxxx1111kkkkkkkkxxxxxxyxyx11( )( )kkkkyylxlx11(),()kkkkyf xyf x已知，11111( ):()1,()0( ):()1,()0kkkkkkkkkkl xl xl xlxlxlx3拋物插值拋物插值(n=2)p2(x) f(x)xk-1xkxk+1f(x)因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值拋物插值。 1111(),(),()kkkkkkyf xyf xyf x已知，22( )()(1, ,1)jjL xL xyjkk k求,使得21111( )(,),

12、(,),(,)kkkkkkL xxyx yxy易知是通過三點(diǎn)的二次曲線211( )( ),( ),( ),kkkL xlxlxlx用基函數(shù)方法求步驟如下： 設(shè)基函數(shù)為21111( )( )( )( )kkk kkkL xy lxy l xy lx則11111()()()()kkkkkkkxxxxyxxxx1111()()()()kkkkkkkxxxxyxxxx211+111()()+=()()kkkkkkkxxxxyaxbxcxxxx11111111111111( ):()1,()()=0( ):()1,()()=0( ):()1,()()0kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkklxlxl

13、xlxl xl xl xl xlxlxlxlx11111()()( )()()kkkkkkkxxxxlxxxxx1111()()( )()()kkkkkkkxxxxlxxxxx11+111()()( )()()kkkkkkkxxxxlxxxxx注注：（1 1） 次數(shù)次數(shù) 。( )nL xn（2 2）記）記 ， 則則 ， 所以所以 10( )()()()nknxxxxxxx1011()()()()()nkkkkkkknxxxxxxxxx11011( )( )( ),( )()()()()nnnknkkknkknkxxlxL xyxxxxxx4 、插值余項(xiàng)、插值余項(xiàng)定理定理2.2 (1)1( )(

14、 )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn設(shè)設(shè) 在在a , b上連續(xù)，上連續(xù)， 在（在（a , b）內(nèi)存在內(nèi)存在, 則在則在a , b上的上的n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)個(gè)互異的節(jié)點(diǎn) ，對(duì)，對(duì) 所作的所作的n次次Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 有誤差估計(jì)有誤差估計(jì) (1)( )nfx nLx( )f x01naxxxb( )( )nfxRolles Theorem的推論的推論: 若若 充分光滑，且充分光滑，且0)()(0 nxx 存在存在),(ba 使得使得0)()( n)(x nnfxPxRx01, :;0nniinixxxxPxfxRx因?yàn)闀r(shí)即 1( )nnRxKxx構(gòu)造構(gòu)

15、造(固定固定 ) 1( )nnQ tf tP tK xtnixxxxt,0 0tQ由由Roll定理定理, 知存在知存在 1(1)( )1 !0nnQfK xn證明證明:x當(dāng)當(dāng) f(x) 為任一個(gè)次數(shù)為任一個(gè)次數(shù) n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 時(shí)，時(shí)， ，可知，可知 ，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù) n 的的多項(xiàng)式是多項(xiàng)式是精確精確的。的。0)( xRn0)()1( xfn插值多項(xiàng)式一般僅用來估計(jì)插值區(qū)間內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值（即內(nèi)插值多項(xiàng)式一般僅用來估計(jì)插值區(qū)間內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值（即內(nèi)插），用它來計(jì)算插值區(qū)間外點(diǎn)的函數(shù)值（即外插）時(shí)，插），用它來計(jì)算插值區(qū)間外點(diǎn)的函數(shù)值（即外插）時(shí)，誤差可能很大。誤差可能

16、很大。注：注： 通常不能確定通常不能確定 , 而是估計(jì)而是估計(jì) ， x (a,b)，將將 作為誤差估計(jì)上限。通常取作為誤差估計(jì)上限。通常取 。1)1()( nnMxf11( )(1)!nnMxn(1)1max|( )|nna x bMfx ( )nRx也稱為也稱為Lagrange插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)。 當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，時(shí)，10101( )( )()(), (,)2fR xxxxxxx當(dāng)當(dāng)n = 2時(shí)，時(shí)，201202( )( )()()(), (,)6fR xxxxxxxxx例：例：已知已知233sin,214sin,216sin 分別利用分別利用 1次、次、2次次 La

17、grange 插值計(jì)算插值計(jì)算 sin 50 ，并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。 解：解：n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計(jì)算計(jì)算4,610 xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL015sin50()0.7761418L(2)1( )13( )()(),sin,2!64 22xxfR xxx150.01319()0.0076218R利用利用 3,421 xx計(jì)算得：計(jì)算得：sin 50 0.76008, 150.005380.0066018R利用利用x0, x1 作為插值節(jié)點(diǎn)的實(shí)際誤差作為插值節(jié)點(diǎn)的實(shí)際誤差 0.010010.01001 利用利用x

18、1, x2作為插值節(jié)點(diǎn)的實(shí)際誤差作為插值節(jié)點(diǎn)的實(shí)際誤差 0.005960.00596sin 50 = 0.7660444n = 24363264634643643634()()()()11( )()()2()()2()()3()()2xxxxL xxx025sin50()0.7654318L23cos21; )3)(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 250.000440.0007718R2次插值的實(shí)際誤差次插值的實(shí)際誤差 0.00061三、牛頓插值三、牛頓插值（NewtonNewtons Interpolations Interpolation）Lagrange Lagrange 插

19、值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部全部基函數(shù)基函數(shù)li(x) 都需要重新計(jì)算。都需要重新計(jì)算。希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只附加一項(xiàng)只附加一項(xiàng)上去即可上去即可。能否重新在能否重新在 中尋找新的中尋找新的基函數(shù)基函數(shù) ？ 1, ,nnPxspanxx回顧：回顧：Lagrange 插值的優(yōu)缺點(diǎn)：插值的優(yōu)缺點(diǎn)： 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：具有嚴(yán)格的規(guī)律性具有嚴(yán)格的規(guī)律性,便于記憶。便于記憶。 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：計(jì)算量大、不具有承襲性。計(jì)算量大、不具有承襲性。01020101( )()()()()()nnnN xAA x xA x xx xA x xx x利用插值條件利

20、用插值條件 代入上式，得關(guān)于代入上式，得關(guān)于 的線性代數(shù)方程組的線性代數(shù)方程組: :()()(0,1,)njjN xf xjn0,1,kA kn設(shè)設(shè)0010111000100()10()1()()nninniAfxxxAfxxxxxAfx當(dāng)當(dāng) 互異時(shí)，系數(shù)矩陣非奇異，且容易求解互異時(shí)，系數(shù)矩陣非奇異，且容易求解jx00(),Afx10110()()fxfxAxx20102212010()()()()() /(),fxfxfxfxAxxxxxx1差商及其性質(zhì)差商及其性質(zhì)(1) 差商的定義差商的定義(亦稱均差亦稱均差) 定義定義2.3 設(shè)已知函數(shù)設(shè)已知函數(shù)f (x)在互不相等的節(jié)點(diǎn)在互不相等的節(jié)點(diǎn)

21、 上的函數(shù)值為上的函數(shù)值為 ， 稱稱 為為f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)xi , xj處的處的一階差商一階差商，記記作作f xi , xj； ()( )()jijif xf xijxx01, ,nx xx稱稱 為為f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)xi, xj, xk處的處的二階差商二階差商，記作，記作f xi , xj , xk；,()ikijijkkjf xxf xxf xxxjkxx稱稱 為為f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0, x1, xk處的處的k階差商階差商，記作，記作f x0, x1, xk。 012011011,kkkkkkf x xxxf x xxf x xxxx由差商定義知由差商定義知高階差商是兩個(gè)低一階差商的差

22、商高階差商是兩個(gè)低一階差商的差商( )(0,1, )if x in(2) 差商的性質(zhì)差商的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1( (差商與函數(shù)值的關(guān)系差商與函數(shù)值的關(guān)系) ): : 記記 , ,則則 01nxxxxxxx 010,niniif xf x xxx00, , ,ijnjinf xxxxf xxxx性質(zhì)性質(zhì)2 （對(duì)稱性）（對(duì)稱性）：差商的值與結(jié)點(diǎn)排列順序無關(guān)，即：差商的值與結(jié)點(diǎn)排列順序無關(guān)，即性質(zhì)性質(zhì)3 3 ( (差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系) ): : 設(shè)設(shè) 在在 上有上有 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 且且 則存在則存在 使得使得 f x, a bn01,nx xxa b( , )a b 01,!nnff x

23、 xxn性質(zhì)性質(zhì)4 4 ( (特征定理特征定理) ): :101010,nnnnf xxf xxf x xxxx差商可列表計(jì)算：差商可列表計(jì)算： f (x0)f (x1)f (x2)f (xn 1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f xn 1, xnf x0, x1 , x2 f xn 2, xn 1, xnf x0, , xnxi yi 一階差商一階差商 二階差商二階差商 n 階差商階差商 x0 x1x2xn-1xn xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn 1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1(3) 差商的計(jì)算差商的計(jì)算

24、 利用差商的定義利用差商的定義, ,可得可得 的的系數(shù)系數(shù) : : nNxjA00010101(),nnAf xf xAf xxAf xxx從而從而0010012010011( )( ) , () , ,()() ,()()()nnnN xf xf x x x xf x x xx xx xf xxx xx xx x00100100010001000110101( )( )( )( ) , ()( ) , ()( )( ) , () ,()()( )( ) ,()()()kkkkkkkN xf xN xf xf x x x xN xf x x x xN xf xf x x x xf xxx xx

25、 xNxN xf xxx xx xx x因此每增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，因此每增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，NewtonNewton插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，克服插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，克服了了LagrangeLagrange插值的缺點(diǎn)。插值的缺點(diǎn)。 2.2.牛頓插值公式牛頓插值公式3.3.牛頓插值余項(xiàng)牛頓插值余項(xiàng)由插值多項(xiàng)式的由插值多項(xiàng)式的唯一性可知唯一性可知 ， 故其余項(xiàng)也相同，即故其余項(xiàng)也相同，即 nnNxLx(1)011( ), .,( )( )(1)!nnnnff xxxxxn，(1)01( ),.,(1)!nnf x xxxnf，命題命題 Newton插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為 011,nnnRxf x

26、xxxx 101nnxxxxxxx其中其中從而，從而，例例: : 給定給定 的數(shù)據(jù)表的數(shù)據(jù)表 2.20 2.40 2.60 2.80 3.002.20 2.40 2.60 2.80 3.00 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1. 1.構(gòu)造差商表構(gòu)造差商表 2. 2.分別寫出二次、四次分別寫出二次、四次NewtonNewton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 lnf xxjx( )jf x解解: :構(gòu)造差商表構(gòu)造差商表ix( )if x一階差商一階差商 二階差商二階差商 三階差商三

27、階差商 四階差商四階差商2.202.402.602.803.000.435050.788460.875470.955511.029621.098610.400100.0873750.370550.0738750.344950.064000.022500.016460.00755 20.788460.435052.200.0873752.202.40Nxxxx 40.78846 0.435052.200.0873752.202.40Nxxxx0.02252.202.402.60 xxx0.007552.202.402.602.80 xxxx 2( )2.202.402.603!fRxxxx312

28、.202.402.603xxx (5)4( )2.202.402.602.803.005!fRxxxxxx余項(xiàng)余項(xiàng)四、等距節(jié)點(diǎn)插值四、等距節(jié)點(diǎn)插值 引入引入( (微商的離散化微商的離散化) )： 0limiiihf xhf xfxh 0limiihf xf xhh022limiihhhfxfxh1差分的定義差分的定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在等距節(jié)點(diǎn)在等距節(jié)點(diǎn) 上的上的值值 已知已知,這里這里 為常數(shù)為常數(shù), 稱為稱為步長步長，分別稱，分別稱 yf x0(0,1, )kxxkh knkkff xh1,kkkfff1,kkkfff112222kkkkkhhffxfxff為為 在在 處以處以 為步長的為步長

29、的一階向前差分一階向前差分, , 一階一階向后向后差分差分, ,以及以及一階一階中心差分。中心差分。 f xkxh高階差分：高階差分：1111(),mmmmkkkkffff 11(),()mmmmkkkkffff 定義定義2.4 引進(jìn)不變算子引進(jìn)不變算子 ，移位算子，移位算子 ，即，即IE11111221122,kkkkkkkkkkIffEffEffEffEff則有則有 111111111112222221122()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkfffEfIfEI fEIfffIfEfIEfIEfffE fEfEEfEE 2、差分表（差分計(jì)算）、差分表（差分計(jì)算）計(jì)算各階向前差分

30、可按如下差分表進(jìn)行：計(jì)算各階向前差分可按如下差分表進(jìn)行：23423400000023111112222233344iixfxfffffxffffxfffxffxf計(jì)算各階向后差分可按如下差分表進(jìn)行：計(jì)算各階向后差分可按如下差分表進(jìn)行：23400111222222333333234444444iixfxfxffxfffxffffxfffff3 3、差分的性質(zhì)、差分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 (差分與函數(shù)值的關(guān)系差分與函數(shù)值的關(guān)系): 各階差分均可表示為函數(shù)值各階差分均可表示為函數(shù)值 的線性組合的線性組合:00( 1),( 1)!()!kkkjjkkjjikij kikij kjjjkfC ffC fkCj

31、 kj 其中其中kkii kff 性質(zhì)性質(zhì)2 (向前差分與向后差分的關(guān)系向前差分與向后差分的關(guān)系):性質(zhì)性質(zhì)3 3 ( (差分與差商的關(guān)系差分與差商的關(guān)系) ): : 在等距節(jié)點(diǎn)的前提下，在等距節(jié)點(diǎn)的前提下，1,!kiiiikkff xxxk h1,!kiiiikkff xxxk h性質(zhì)性質(zhì)4 (差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系）差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系）：在等距節(jié)點(diǎn)的前提下，在等距節(jié)點(diǎn)的前提下，( )1! ,( )()kkkkiiii kii kfk h f x xxh fxx性質(zhì)性質(zhì)5：常數(shù)的差分等于零常數(shù)的差分等于零.性質(zhì)性質(zhì)6 6：差分算子為線性算子，即差分算子為線性算子，即( )( )( )( )a f x

32、b g xaf xbg x性質(zhì)性質(zhì)7：()kkkkkkf gfggf這個(gè)性質(zhì)類比于這個(gè)性質(zhì)類比于 gdffdggfd )(0()(),kkff xf xkh0( )()kkgg xg xkh 4、等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式、等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式牛頓公式牛頓公式:0010001( )( ) , () , () ()nnnN xf xf x x x xf xxx xx x 牛頓前插公式牛頓前插公式（用于計(jì)算最小節(jié)點(diǎn)附近的函數(shù)值（用于計(jì)算最小節(jié)點(diǎn)附近的函數(shù)值）利用差分的性質(zhì)利用差分的性質(zhì), 可將可將Newton公式簡(jiǎn)化為公式簡(jiǎn)化為020000( )()(01)(1)(1)(1)1!2!nnnN xN

33、xthttt tt ttnffffn (1)稱公式稱公式(1)(1)為為NewtonNewton向前差分插值公式向前差分插值公式, ,其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為0(0,1, )kxxkh kn1(1)00(1)()( )()( ),(,)(1)!nnnnnt ttnR xR xthhfx xn(2) 牛頓后插公式牛頓后插公式（用于計(jì)算最大節(jié)點(diǎn)附近的函數(shù)值）（用于計(jì)算最大節(jié)點(diǎn)附近的函數(shù)值）如果將如果將Newton插值公式插值公式改為按節(jié)點(diǎn)改為按節(jié)點(diǎn) 的的次序排次序排列的列的Newton插值公式插值公式,即即10,nnxxx11110( )()() ,()()() ,nnnnnnnnnNxf xxxf xx

34、xxxxxxf xxx(3)令令x=xn-th, 則當(dāng)則當(dāng)xn-1xxn時(shí)時(shí),0t1. 利用差商與向后差分的關(guān)利用差商與向后差分的關(guān)系系, , 式式(3)(3)可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為22(1)( )()(1)2!(1)(1)(1)!nnnnnnnnnt tNxNxthftfft ttnfn (4)稱式稱式(4)(4)為為NewtonNewton向后差分插值公式向后差分插值公式。其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為(1)110( )( )()( 1)(1)()(1)!nnnnnnnfRxRxthht ttnnxx注：注：一般當(dāng)一般當(dāng) x 靠近靠近 x0 時(shí)用前插，靠近時(shí)用前插，靠近 xn 時(shí)用后插，時(shí)用后插，故兩種公式亦

35、稱為故兩種公式亦稱為表初公式表初公式和和表末公式表末公式。例例 給定給定f f( (x x) )在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下: : xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi) 1.5 1.8 2.2 2.8 分別用分別用NewtonNewton向前和向后公式求向前和向后公式求f f(0.5)(0.5)及及f f(0.9)(0.9) 的近似值的近似值. . 解解 先構(gòu)造向前差分表如下先構(gòu)造向前差分表如下: : xi fi fi 2 2fi 3 3fi 0.4 1.5 0.3 0.1 0.1 0.6 1.8 0.4 0.2 0.8 2.2 0.6 1.0 2.8 x0

36、=0.4, h=0.2, x3=1.0. 分別用差分表中第一行上的值分別用差分表中第一行上的值和對(duì)角線的值和對(duì)角線的值, ,得得NewtonNewton向前和向后插值公式如下向前和向后插值公式如下: :33(1)(1)(2)(0.40.2 )1.50.30.10.123!(1)(1)(2)(1 0.2 )2.80.60.20.123!t tt ttNttt tt ttNtt (1) (2)當(dāng)當(dāng) x=0.5時(shí)時(shí), ,用公式用公式(1),(1),這時(shí)這時(shí)t=(x-x0)/h=0.5. 將將t=0.5代代入入(1),(1),得得 f (0.5)N3(0.5)=1.64375.當(dāng)當(dāng)x=0.9時(shí)時(shí), ,

37、 用公式用公式(2), (2), 這時(shí)這時(shí)t=(x3-x)/h=0.5. 將將t=0.5代入代入(2), (2), 得得 f (0.9)N3(0.9)=2.46875.1 1引入引入 在實(shí)際問題中，對(duì)所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，在實(shí)際問題中，對(duì)所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，不僅不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)也重合。也重合。即要求插值函數(shù)即要求插值函數(shù) P(x) 滿足滿足:（1）把此類插值問題稱為把此類插值問題稱為 ( )( )(0,1, ,0,1,)kkiiPxfxin km相應(yīng)的插值多項(xiàng)式稱為相應(yīng)的插值多項(xiàng)式稱為埃米爾特（埃米爾特（Hermite）插）插值多項(xiàng)式或稱帶

38、導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式，值多項(xiàng)式或稱帶導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式，記為記為H (x)。H (x) 存在且唯一。存在且唯一。埃米爾特（埃米爾特（Hermite）插值）插值Hermite 插值插值2.2.推導(dǎo)推導(dǎo)只討論函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)相等，且一階情況。只討論函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)相等，且一階情況。設(shè)在節(jié)點(diǎn)設(shè)在節(jié)點(diǎn) 上上, , 01naxxxb(),()(0,1, )jjjjyf xmfxjn要求插值多項(xiàng)式要求插值多項(xiàng)式 , ,滿足條件滿足條件 H x(),()0,1,jjjjH xyH xmjn(2)這里給出的這里給出的 個(gè)條件個(gè)條件, ,可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過過 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 其形式為

39、其形式為22n21n21( )( ),nHxH x根據(jù)條件根據(jù)條件(2)(2)來確定來確定 個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù) , ,顯然非常復(fù)雜。顯然非常復(fù)雜。22n0121,na aa21210121( )nnnHxaa xax(3)插值基函數(shù)插值基函數(shù) 及及 , , 共有共有 個(gè)個(gè), ,每一個(gè)基函數(shù)都是每一個(gè)基函數(shù)都是 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, ,且滿足條件且滿足條件( )jx( )0,1,jxjn22n21n(Lagrange(Lagrange型型HermiteHermite插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式):):基函數(shù)方法基函數(shù)方法0,0,1,0,0,1,.jkjkjkjkjkjkj kxxj kxxj kn(3)于是滿足

40、條件于是滿足條件(2)(2)的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式 可寫成用插值可寫成用插值基函數(shù)表示的形式基函數(shù)表示的形式, ,即即 21nHx 210.nnjjjjjHxyxmx顯然有顯然有2121(),()(0,1, ).nkknkkHxyHxmkn(4)下面利用下面利用LagrangeLagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù) 求求 及及 。令令 ( )jx( )jx( )jlx2( )()( )jjjjxa xb lx其中其中 是是 ( )jlx011011()()()()( )()()()()jjnjjjjjjjnxxxxxxxxl xxxxxxxxx0,1,jn 0,0,1,0,0,1, , . (

41、3)jkjkjkjkjkjkj kxxj kxxj kn2()()()1,jjjjjjjxa xb lx()()()2()()0,jjjjj jjjjjjjxlxa lxa xb lx由條件式由條件式(3)有有整理整理, ,得得1,2 ()0.jjjjjja xbalx解得解得2 (),12().jjjjj jjalxbx lx 由于由于011011()()()()( )()()()()jjnjjjjjjjnxxxxxxxxlxxxxxxxxx兩端取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)兩端取對(duì)數(shù)再求導(dǎo), ,得得01,njjkjkkjlxxx于是于是 2011 2.njjjkjkkjxxxlxxx(5)同理可得同理可得2

42、( )() ( ).jjjxxx lx(6)（1）仿照）仿照Lagrange插值余項(xiàng)，插值余項(xiàng)， Hermite 插值余項(xiàng)可描述為：插值余項(xiàng)可描述為： (22)2211(22)!nnnfR xfxHxxn(7)注：注：設(shè)設(shè) 在在a , b上連續(xù)，上連續(xù)， 在（在（a , b）內(nèi)存在）內(nèi)存在, 則則 且依賴于且依賴于 ，有插值余項(xiàng)，有插值余項(xiàng)(22)( )nfx(21)( )nfx , ,( , )xa ba b x（2）作為帶導(dǎo)數(shù)插值多項(xiàng)式作為帶導(dǎo)數(shù)插值多項(xiàng)式(4)(4)的重要特例是的重要特例是n=1n=1的情形。的情形。這時(shí)可取節(jié)點(diǎn)為這時(shí)可取節(jié)點(diǎn)為 及及 , ,插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為 ,

43、,滿足條件：滿足條件：kx1kx3( )Hx33113311(),(),(),().kkkkkkkkHxyHxyHxmHxm(8)相應(yīng)的插值基函數(shù)為相應(yīng)的插值基函數(shù)為 , ,它們滿足：它們滿足：11( ),( ),( ),( )kkkkxxxx111111()0,()1,()()0,kkkkkkkkxxxx11()()0,()1,()0,kkkkkkkkxxxx111111()()0,()0,()1.kkkkkkkkxxxx根據(jù)根據(jù)(5)(5)式及式及(6)(6)式的一般表達(dá)式式的一般表達(dá)式, ,可得可得211121111( )1 2,( )1 2,kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxx

44、xxxxxxxxxx2112111( )(),( )().kkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx11()1,()0,()()0,kkkkkkkkxxxx于是滿足條件于是滿足條件(8)(8)的插值多項(xiàng)式是的插值多項(xiàng)式是 31111,kkkkkkkkHxyxyxmxmx其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為 2243311.4!kkRxf xHxfxxxx（3） N個(gè)條件可以確定個(gè)條件可以確定N-1階多項(xiàng)式，要求在階多項(xiàng)式，要求在1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) 處直處直 到到 階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項(xiàng)式即為階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項(xiàng)式即為 在在 點(diǎn)處的點(diǎn)處的 Taylor多項(xiàng)式多項(xiàng)式:0 x0 x( )f xm()00000()(

45、 )()()()()!mmfxxf xfxxxxxm(1)(1)0( )( )( )( )()(1)!mmfR xf xxxxm其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為 Newton型型Hermite插值插值（1）單節(jié)點(diǎn)的重節(jié)點(diǎn)差商）單節(jié)點(diǎn)的重節(jié)點(diǎn)差商( )0000(),!nfxf x xxn（2）多節(jié)點(diǎn)的重節(jié)點(diǎn)差商）多節(jié)點(diǎn)的重節(jié)點(diǎn)差商 411422433411422,.Hxy Hxy HxyHxm Hxm插值條件：插值條件： 01,!nnffxxxn 重節(jié)點(diǎn)差商可列表計(jì)算：重節(jié)點(diǎn)差商可列表計(jì)算： 重節(jié)點(diǎn)差商的計(jì)算重節(jié)點(diǎn)差商的計(jì)算1111222233()kkxf xxyxyxyxyxy一階差商二階差商三階差商四階差商

46、11 , f x x,21xxf22 ,f x x23 ,f x x112 , ,f x x x122 ,f x x x223 ,f x x x1122 , ,f x x x x1223 ,f x x x x11223 , ,f x x x x x其中其中，1111 ,()f x xfxm2222,()f xxfxm12111221 ,() ,f x xfxf x x xxx122112112221,f x xxf x x xf x x xxxx122311221122331 , , ,f x x x xf x x x xf x x x x xxx41111211212112212221122

47、312( )( ) ,() ,() ,() () ,() ()Hxf xf x xxxf x x xxxf x x xxxxxxf x x xxxxxxx例例1：已知已知 求三次多項(xiàng)式求三次多項(xiàng)式 P(x) 滿足滿足 11, 10.2,ff 11 ,22 ,PfPf4. 舉例舉例 21.1486984, 20.1148698,ff 11 ,22 ,PfPf()11.000000011.000000021.148698421.1486984kkxf x一階差商二階差商三階差商0.20000000.14869840.11486980.05130160.03382860.0174730解：解：22(

48、 ) 1 0.2(1) 0.0513016(1)0.0174730(1) (2)P xxxxx 例例2：已知已知 求三次多項(xiàng)式求三次多項(xiàng)式 P(x) 滿足滿足 11, 10.2, 1-0.16,fff 11 ,22 ,PfPf 21.1486984, f 11 ,11 ,PfPf注意注意:1,1,1(1)/ 2!0.08, ff ()11.000000011.000000011.000000021.1486984kkxf x一階差商二階差商三階差商0.20000000.20000000.14869840.08000000.05130160.286984解：解：23( ) 1 0.2(1) 0.

49、08(1)0.0286984(1) .P xxxx 1. 多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf105(0,1, )ixiinn -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ln(x) f (x) n 越大，越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱為越大，稱為Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象分段低次插值分段低次插值2. 分段線性插值分段線性插值在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間 上，用上，用1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 (直線直線) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiii

50、iiiiyxxxxyxxxxxPxf記記 ,易證：當(dāng)易證：當(dāng) 時(shí)，時(shí)，|max1iixxh 0h1( )( )P xf x一致一致, 1 iixxxyxo1x2x3x4x5x6xy=p(x)y= f(x)失去了原函數(shù)失去了原函數(shù)的光滑性。的光滑性。1,()0,.ijijijxij則則 是分段一次的連續(xù)函數(shù)且滿足條件是分段一次的連續(xù)函數(shù)且滿足條件( )jx分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造：分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造：111111,(1, 2,);( ),(0 1,1 ;0, elsejjjjjjjjjjjxxxxxjnxxxxxxxxjnxx，） 即為分段線性插值的基函數(shù)。即為分段線性插值的基函數(shù)。 (

51、),0,1,jxjn基函數(shù)基函數(shù) 只在只在 附近不為零附近不為零,在其它地方均為零。這種在其它地方均為零。這種性質(zhì)稱為性質(zhì)稱為局部非零性質(zhì)局部非零性質(zhì)。相應(yīng)的分段線性插值函數(shù)為：。相應(yīng)的分段線性插值函數(shù)為：( )jxjx 111110,iiiiiiiiiiniiixxxxp xyyxx xxxxxyxaxb分段線性插值的誤差估計(jì)：分段線性插值的誤差估計(jì)：如果如果 在在 上二階連續(xù)可微上二階連續(xù)可微, ,則分段線性則分段線性插值函數(shù)插值函數(shù) 的余項(xiàng)有以下估計(jì)的余項(xiàng)有以下估計(jì) f x,a b( )p x2( )( )( )8hR xf xp xM101max (),max( )iii na x b

52、hxxMfx 其中其中,3. 分段三次分段三次Hermite插值插值 0niiiiiHxyxmx其中基函數(shù)為其中基函數(shù)為 給定節(jié)點(diǎn)給定節(jié)點(diǎn) ， 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn) 上的上的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值分別為函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值分別為 , ,在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間 上作兩點(diǎn)三次上作兩點(diǎn)三次Hermite插值，因此是分段三次，總插值，因此是分段三次，總體是直至一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，插值函數(shù)為體是直至一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，插值函數(shù)為01naxxxb f xix,iiy m1,iixx 2010100110112,0, nxxxxxxxxxxxxxxx 2111101,12,0, nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxx 2111

53、1211111112,12,0, ,iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1,2,1in 210010011211101,0, , ,0, ,nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx21112111,0 ,.iiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxelse1, 2,1in分段分段Hermite插值余項(xiàng)插值余項(xiàng): 由三次由三次Hermite插值的余項(xiàng)可以估計(jì)分段插值的余項(xiàng)可以估計(jì)分段Hermite插值的余項(xiàng)：設(shè)插值的余項(xiàng)：設(shè) ( )H x 是給定節(jié)點(diǎn)是給定節(jié)點(diǎn) 012naxxxxb上的分段

54、三次上的分段三次Hermite插值函數(shù)，插值函數(shù)， ， 與與 的誤差限為的誤差限為4( ) , f xC a b( )H x( )f x44|( )| |( )( )|384hR xf xH xM其中，其中， (4)101max |, max|( )|iii na x bhxxMfx 要求：要求：插值曲線既要簡(jiǎn)單，又要在曲線的連接處比插值曲線既要簡(jiǎn)單，又要在曲線的連接處比較光滑。較光滑。 這樣的分段插值函數(shù)在分段上要求多項(xiàng)式次數(shù)低，這樣的分段插值函數(shù)在分段上要求多項(xiàng)式次數(shù)低，這種插值方法稱為這種插值方法稱為樣條插值樣條插值。它所對(duì)應(yīng)的曲線稱為它所對(duì)應(yīng)的曲線稱為樣條曲線樣條曲線，其節(jié)點(diǎn)稱為，其節(jié)

55、點(diǎn)稱為樣點(diǎn)樣點(diǎn)，把滿足這樣條件的插值函數(shù)，稱為把滿足這樣條件的插值函數(shù)，稱為樣條插值函數(shù)樣條插值函數(shù)，而在節(jié)點(diǎn)上不僅連續(xù)，還存在連續(xù)的低階導(dǎo)數(shù)，而在節(jié)點(diǎn)上不僅連續(xù)，還存在連續(xù)的低階導(dǎo)數(shù)，圖圖2.1 早期機(jī)翼下輪廓的放樣早期機(jī)翼下輪廓的放樣 如圖如圖2.1所示，在早期的板材曲線切割時(shí)，常把富所示，在早期的板材曲線切割時(shí)，常把富有彈性的細(xì)長木條（樣條）固定在樣點(diǎn)上，其它地有彈性的細(xì)長木條（樣條）固定在樣點(diǎn)上，其它地方讓其自由彎曲，然后畫出長條的曲線稱為樣條曲方讓其自由彎曲，然后畫出長條的曲線稱為樣條曲線，由此啟發(fā)設(shè)計(jì)整體連續(xù)光滑的樣條插值函數(shù)。線，由此啟發(fā)設(shè)計(jì)整體連續(xù)光滑的樣條插值函數(shù)。分段低次插

56、值雖然具有簡(jiǎn)單、收斂性、整分段低次插值雖然具有簡(jiǎn)單、收斂性、整體連續(xù)性及數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)，但體連續(xù)性及數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)，但在節(jié)點(diǎn)處常有在節(jié)點(diǎn)處常有“尖點(diǎn)尖點(diǎn)”出現(xiàn)，光滑性較差出現(xiàn)，光滑性較差。特別是需要給出節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這在。特別是需要給出節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這在多數(shù)問題中是不實(shí)際的。如何在沒有節(jié)點(diǎn)多數(shù)問題中是不實(shí)際的。如何在沒有節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)時(shí)也能達(dá)到上述目的？為此引入導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)時(shí)也能達(dá)到上述目的？為此引入樣條插值函數(shù)樣條插值函數(shù)。1. 引入引入三次樣條插值三次樣條插值定義定義2.5 2.5 設(shè)對(duì)設(shè)對(duì)y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上給定一組節(jié)點(diǎn)上給定一組節(jié)點(diǎn)a = x0 x1

57、x2 xn = b和相應(yīng)的函數(shù)值和相應(yīng)的函數(shù)值y0, y1, yn，如果如果s(x)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：（1）在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間xi-1, xi (i = 1, 2, n)上上s (x)是不高是不高 于三次的多項(xiàng)式于三次的多項(xiàng)式; ;（2）s (x)， ，s (x)在在 a, b上連續(xù)；則稱上連續(xù)；則稱s (x)為為 三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù). .如再有如再有（3） s (xi ) = f (xi) (i = 0, 1, 2, n)， 則稱則稱s (x)為為y = f (x)的的三次樣條三次樣條插值函數(shù)插值函數(shù)。( )s x注：注：三次樣條與分段三次樣條與分段 Hermite 插

58、值的根本區(qū)別在于插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑自身光滑，不需要知道不需要知道 f 的導(dǎo)數(shù)值（除了在的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而端點(diǎn)可能需要）；而Hermite插值依賴于插值依賴于f 在所有在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。S(x)H(x)f(x)給定函數(shù)給定函數(shù) 在在 a, b上的一組節(jié)點(diǎn)：上的一組節(jié)點(diǎn)： 及節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值及節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 ，( )f x函數(shù)函數(shù) 是滿足下列條件的函數(shù)：是滿足下列條件的函數(shù)：的三次樣條插值的三次樣條插值； 2. 三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造(3) ( )S x在插值節(jié)點(diǎn)處連續(xù)，即在插值節(jié)點(diǎn)處連續(xù)，即 (0)(0), 1,2,1

59、iiS xS xin(4) 2( ) , S xC a b(0)(0), 1,2,1iiSxSxin即即012naxxxxb( ),0,1,iiyf xin ( )S x( )f x(1)( )( ),0,1,iiiS xf xy in(2) 在子區(qū)間在子區(qū)間 1 ,iix x上是三次多項(xiàng)式，記為上是三次多項(xiàng)式，記為( )iS x( )S x。 要保證要保證S(x)的存在唯一性，必須附加兩個(gè)邊界條件。例如，的存在唯一性，必須附加兩個(gè)邊界條件。例如，滿足下列四種滿足下列四種邊界條件邊界條件中的任意一個(gè)：中的任意一個(gè)：(1) 固支邊界條件（固支邊界條件（D1-樣條）：樣條）： 000()()()(

60、)nnnS xfxmS xfxm3. 邊界條件邊界條件(2) 彎矩邊界條件（彎矩邊界條件（D2-樣條）：樣條）： 000()()()()nnnSxfxMSxfxM0()0()0nSxSx(3) 自然邊界條件（自然樣條）：自然邊界條件（自然樣條）： (4) 周期邊界條件周期邊界條件（周期樣條）（周期樣條） ：000()()()()()()nnnS xS xS xS xSxSx上述幾種邊界條件都有它們的實(shí)際意義，從力學(xué)上述幾種邊界條件都有它們的實(shí)際意義，從力學(xué)角度看，附加邊界條件相當(dāng)于在細(xì)梁兩端加上約角度看，附加邊界條件相當(dāng)于在細(xì)梁兩端加上約束。工程中常用自然邊界條件求樣條插值函數(shù)，束。工程中常用