高二數(shù)學選修4-4平面直角坐標系中的伸縮變換與極坐標系(上課用-公開課課件)

1、（1）平面直角坐標系的伸縮變換（二）極坐標系1xo2y=sinxy=sin2x思考：（1 1）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinxy=sinx得到得到曲線曲線y=sin2x?y=sin2x?2x= xy=y121通常把 叫做平面直角坐標系中的一個壓縮變換。1坐標對應關(guān)系為：3（2 2）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinxy=sinx得到曲線得到曲線y=3sinx?y=3sinx?寫出其坐標變換。寫出其坐標變換。設(shè)點p（x,y）經(jīng)變換得到點為p(x,y)x=xy=3y2通常把 叫做平面直角坐標系中的一個坐標伸長變換。24（3 3）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinxy=sinx

2、得到曲線得到曲線y=3sin2x? y=3sin2x? 寫寫出其坐標變換。出其坐標變換。設(shè)點設(shè)點p p（x,yx,y）經(jīng)變換得到點為）經(jīng)變換得到點為p(x,y)p(x,y)x= xx= xy=3yy=3y12通常把這樣的變換叫做平面直角坐標系中的一個坐標通常把這樣的變換叫做平面直角坐標系中的一個坐標伸縮變換。伸縮變換。5定義：設(shè)定義：設(shè)p(x,y)p(x,y)是平面直角坐標系中任意是平面直角坐標系中任意一點，在變換一點，在變換(0):(0)xxyy 的作用下，點的作用下，點p(x,y)p(x,y)對應對應p(x,y).p(x,y).稱稱 為為平面直角坐標系中的伸縮變換平面直角坐標系中的伸縮變換

3、。 6注注 （1 1）（2 2）把圖形看成點的運動軌跡，平面圖形）把圖形看成點的運動軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換得到；的伸縮變換可以用坐標伸縮變換得到；（3 3）在）在同一直角坐標系同一直角坐標系下進行伸縮變換。下進行伸縮變換。0,071)2(032) 1 (32222yxyxyyxx、后的圖形。換對應的圖形經(jīng)過伸縮變，求下列方程所、在平面直角坐標系中例80032320, 032)5()5(312132) 1 (yxyxyyxxyxyxyyxxyyxx變成直線后，直線所以，經(jīng)過伸縮變換后的方程為得到經(jīng)過伸縮變換代入將得到由伸縮變換解：9194132194, 1)5()2(2222

4、2222yxyxyyxxyxyx變成橢圓后，圓所以，經(jīng)過伸縮變換圖形的方程是得到經(jīng)過伸縮變換后的代入、將10由上所述可以發(fā)現(xiàn)，由上所述可以發(fā)現(xiàn)，在伸縮變換下，直線在伸縮變換下，直線仍然變成直線，而仍然變成直線，而圓圓可以變成橢圓可以變成橢圓。思考：思考：在伸縮變換下，橢圓是否可以變成圓？在伸縮變換下，橢圓是否可以變成圓？拋物線、雙曲線變成什么曲線？拋物線、雙曲線變成什么曲線？11課堂練習（2分鐘）課本p8 第4、6題12四四食堂在什么位置？食堂在什么位置？13以超市所在直線為以超市所在直線為x軸軸以牛奶棚所在直線為以牛奶棚所在直線為y軸軸. .腦子腦子進水了？進水了？14從這向北走從這向北走1

5、00米。米。我知道了。我知道了。15從 這 向 北 走從 這 向 北 走 1 01 0 0 0 米 ！米 ！出發(fā)點出發(fā)點方向方向距離距離 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用點的位置。這種用方向方向和和距離距離表示平面上一表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。16極坐標系與極坐標極坐標系與極坐標mo|om極徑極徑極點極點極軸極軸點點o o極點極點射線射線oxox極軸極軸極徑極徑角角極角極角極角極角有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對( , ) 極坐標極坐標x逆時針為正角逆時針為正角順時針為負角順時針為負角極角

6、是以射線極角是以射線oxox為始邊為始邊, ,射線射線omom為為終邊的角終邊的角, ,用弧度制表示用弧度制表示17例題解析例題解析例例1 1.在極坐標系中表示下列坐標對應的點在極坐標系中表示下列坐標對應的點.xo4234547432(4,)65(3,)127(2,)623(5,)123(1,)4由極坐標描點的步驟：由極坐標描點的步驟： (1) 先按先按極角極角找到點所找到點所在射線；在射線； (2) 在此射線上按在此射線上按極徑極徑描點描點.18例題解析例題解析例例2.2.試寫出下列點所對應的極坐標試寫出下列點所對應的極坐標. .xo232(5,)6a(3,)2bab5(4,)6cc7(5,

7、)6dde11(4,)6e一點的極坐標唯一嗎？一點的極坐標唯一嗎？( , ) ( ,2)k 表示同一點表示同一點19與直角坐標系的聯(lián)系與區(qū)別與直角坐標系的聯(lián)系與區(qū)別極坐標系與直角坐標系的異同是什么？極坐標系與直角坐標系的異同是什么？都是用都是用有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對來表示平面上的點來表示平面上的點. .其中的其中的有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對意義不同意義不同. .直角系的坐標與平面上點是直角系的坐標與平面上點是一一對應一一對應的的; ;極坐標系的坐標與平面上點極坐標系的坐標與平面上點多對一多對一的的; ;有沒有辦法使極坐標與點之間一一對應？有沒有辦法使極坐標與點之間一一對應？0,02且（或）除極點除極點

8、(0, )外，限制外，限制20探索探索ox已知一點已知一點, , 與它關(guān)于與它關(guān)于極軸極軸所在直線對稱的點如何表示？所在直線對稱的點如何表示？m( , )m ( ,)若若m m的坐標為的坐標為 , ,則則mm的坐標可以是的坐標可以是( , ) ( ,).21探索探索ox已知一點已知一點, , 與它關(guān)于與它關(guān)于極點極點對稱的點如何表示？對稱的點如何表示？m( , )m ( ,) 若若m m的坐標為的坐標為 , , 則則mm的坐標可以是的坐標可以是( , ) ( ,). 22極徑的推廣負的極徑有意義嗎？“負”的意義是什么？標準之下3攝氏度與-3攝氏度.方向相反a與. a與.ox(, )m ( ,

9、) 若m的坐標為 則m的坐標也可以是(, ) ( ,). 特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時）特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認為，認為 0 。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。23極坐標系與極坐標極坐標系與極坐標極徑極徑點點o o極點極點射線射線oxox極軸極軸角角極角極角有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對( , ) 極坐標極坐標逆時針為正角逆時針為正角順時針為負角順時針為負角0 終邊上取終邊上取m m0 終邊反向延長線上取終邊反向延長線上取m mox(, )m ( , ) |2425在直角坐標系中在直角坐標系中, , 以原點作以原點作為極點為極點,x,x軸的正半軸作為

10、極軸的正半軸作為極軸軸, , 并且兩種坐標系中取相并且兩種坐標系中取相同的長度單位同的長度單位26x=cos, y=sin271. 1. 極點與直角坐標系的原點重合極點與直角坐標系的原點重合; ;2. 2. 極軸與直角坐標系的極軸與直角坐標系的x x軸的正半軸的正半 軸重合軸重合; ;3. 3. 兩種坐標系的單位長度相同兩種坐標系的單位長度相同. .互化公式的三個前提條件：互化公式的三個前提條件：28已知下列點的極坐標，求它們已知下列點的極坐標，求它們的直角坐標。的直角坐標。293031作業(yè)：優(yōu)化方案做到第9頁32點的軌跡點的軌跡設(shè)設(shè)m m( (x x, , y y) )是直角坐標系內(nèi)一點是直

11、角坐標系內(nèi)一點, , 當當m m按按某種規(guī)律某種規(guī)律在平面內(nèi)在平面內(nèi)運動時運動時, , 所留下的運動軌跡所留下的運動軌跡, , 反映在圖形上就是一條曲線反映在圖形上就是一條曲線. .o ox xy y所謂某種規(guī)律：所謂某種規(guī)律：m m( (x x, , y y) )坐標之間所滿足一定關(guān)系式坐標之間所滿足一定關(guān)系式. .某個方程某個方程 若要用一個方程刻畫坐標平面內(nèi)的曲線若要用一個方程刻畫坐標平面內(nèi)的曲線c c, , 則方程與曲則方程與曲線之間應當滿足怎樣的關(guān)系？線之間應當滿足怎樣的關(guān)系？33曲線與方程定義. 在直角坐標系中, 如果曲線c和二元方程 之間滿足:( , )0f x y 曲線c上的點

12、的坐標都是方程的解;方程的解為坐標的點都在曲線c上;則稱：方程 為曲線c的方程;( , )0f x y 曲線c是方程 的曲線.( , )0f x y 34極坐標方程定義. 在極坐標系中, 如果曲線c和二元方程 之間滿足:( , )0f 曲線c上的點的極坐標都是方程的解;方程的解為極坐標的點都在曲線c上;則稱：方程 為曲線c的極坐標方程;( , )0f 曲線c是方程 的曲線.( , )0f 這樣推廣合理嗎？為什么？35問題探索 極軸所在直線的極坐標方程是什么？ox0曲線上的點的坐標都是方程的解;(r)方程的解為坐標的點都在曲線上;極點(0,0)(0,2 )符合方程不符合方程極坐標的不唯一性導致了

13、上述情況. 這個方程合理嗎？36極坐標方程定義. 在極坐標系中, 如果曲線c和二元方程 之間滿足:( , )0f 曲線c上的點的所有極坐標中, 至少有一個是方程的解;方程的解為極坐標的點都在曲線c上;則稱：方程 為曲線c的極坐標方程;( , )0f 曲線c是方程 的曲線.( , )0f 37求曲線的極坐標方程步驟求曲線的極坐標方程步驟1、設(shè)點、設(shè)點m(,)是曲線上任意一點；是曲線上任意一點；2、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于,的方程，并化簡；的方程，并化簡；3、檢驗并確認所得的方程即為所求。、檢驗并確認所得的方程即為所求。38例題解析例2.求以 為圓心, 半徑為 的圓的極坐標方程.

14、( ,0)c a(0)a a ( , )p 2amox解: 如圖所示:設(shè)點p坐標為( , ) 即2 cosa則|cos|opom( , )p ()22()2239例題解析例3.如圖, 求過 , 與極軸夾角為 的直線方程.( ,0)(0)m aa ( , )p ( ,0)m ao解:則 ,|(0)op 設(shè)點p坐標為 ,( , ) x(0),pom若點p位于極軸上方,( , )p 在 中,opmsin()sin()asin()sina40例題解析例4. 設(shè)質(zhì)點m為射線oa上的動點, 已知m沿 方向作勻速運動, 同時射線oa又繞著它的端點o作等角速度旋轉(zhuǎn), 求質(zhì)點m運動的軌跡方程.oa xo阿基米德

15、螺線解:0mma設(shè)點m的初始位置為 ,00(,0)m以o為極點, 以射線om0為極軸,設(shè)m的運動速度為v,設(shè)oa的角速度為,時間為t, 則有0.a41練習練習 求下圖中的圓的極坐標方程求下圖中的圓的極坐標方程, ,半徑都是半徑都是a( ,)2c axxooa2 sinap42練習練習 求下列直線的極坐標方程求下列直線的極坐標方程)3, 3(p(1)過極點與點(2)過點且與極軸垂直(3)過點且與極軸平行(2,0)m(3,)2m23cos2sin34322121212122cos()p p 設(shè)兩點設(shè)兩點 ，則由余弦定理得：，則由余弦定理得：111222(,),(,)pp 極坐標系下兩點間的距離公式

16、極坐標系下兩點間的距離公式oxab4 56 44ex2.3.3 兩種坐標的互化45引入 已知點的極坐標，如何得到其直角坐標？ox(4,)3p例如：(4,)3ppxpy4cos23px設(shè)其直角坐標為 ,(,)ppxy4sin2 33pyy46極坐標直角坐標ox( , )p pxpy則有：cossinxy一般地, 設(shè)點p是平面上任意一點, 其極坐標為 , 如圖建立直角坐標系, 設(shè)直角坐標為 ,( , ) ( , )x y( , )x y 如何證明？47ox0時,cossinxyp的直角坐標為：p在極點, 顯然成立;0時,|( , )p p的坐標可改寫為(,) (0)0時,ycoscos()sin(

17、)xy 則sin48極坐標直角坐標ox( , )p pxpy則有：cossinxy一般地, 設(shè)點p是平面上任意一點, 其極坐標為 , 如圖建立直角坐標系, 設(shè)直角坐標為 ,( , ) ( , )x y 點的極坐標化直角坐標是唯一的。49例題解析例1. 將下列極坐標化為直角坐標：極坐標(2,)6( 3,1)直角坐標5(4,)3(2, 2 3)直角坐標( 2, )(2,0)直角坐標(2,)3(1,3)直角坐標50直角坐標極坐標則由：cossinxy一般地, 設(shè)點p是平面上任意一點, 其直角坐標為 , 如圖建立極坐標系, 設(shè)極坐標為 ,( , ) ( , )x y222tan(0)xyyxx,0)2

18、z(kxk 點的直角坐標化極坐標，不是唯一的。51例題解析例2. 將下列點的直角坐標化為極坐標：直角坐標( 1, 3)2(2,)3極坐標( 3,3)(0, 4)3(4,)2極坐標( 2, 2 3)3(3 3,)4極坐標( 4,)3極坐標 由點所在象限確定極角的值52極坐標方程定義. 在極坐標系中, 如果曲線c和二元方程 之間滿足:( , )0f 曲線c上的點的所有極坐標中, 至少有一個是方程的解;方程的解為極坐標的點都在曲線c上;則稱：方程 為曲線c的極坐標方程;( , )0f 曲線c是方程 的曲線.( , )0f 53例題解析例3.化直角組表方程 為極坐標方程.0 xy解:cossinxy由 ,