高等數(shù)學(xué)課件1-6

1、第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限1夾逼準(zhǔn)則和重要極限夾逼準(zhǔn)則和重要極限2重要極限重要極限0sinlim1xxx 1lim(1)xxex 一一 夾逼準(zhǔn)則和重要極限夾逼準(zhǔn)則和重要極限0sinlim1xxx 定理定理1 100(2)lim( ), lim ( ),xxxxg xah xa那末當(dāng)那末當(dāng)0lim( ).xxf xa 的極限存在的極限存在, , 且且0 xx時(shí)時(shí),( )f x(1) (1) 存在存在時(shí)時(shí), ,有有( )( )( ),g xf xh x0, 使當(dāng)使當(dāng)00 |xx 設(shè)設(shè)( )yf x ( )yg x 0 x01x 0 x 02x 01x 0 x

2、02x a aa ( )yh x xyo證證0, 00lim( ), lim ( ),xxxxg xah xa所以所以12,0, 使當(dāng)使當(dāng)010 |xx 時(shí)時(shí),即即( )ag xa| ( )|g xa 恒有恒有當(dāng)當(dāng)020 |xx 時(shí)時(shí),12min , 取取即即( )ah xa當(dāng)當(dāng)00 |xx 時(shí)時(shí),即恒有即恒有|( )|,f xa 所以所以0lim( ).xxf xa | ( )|,h xa 恒有恒有( )( )g xh x恒有恒有( )f xa a 定理定理2 2(1)(,(2) lim, lim,nnnnnnnyxznn nyaza為某個(gè)正整數(shù)）為某個(gè)正整數(shù)）nnyx ,及及nz滿足下列條

3、件滿足下列條件: :如果數(shù)列如果數(shù)列對(duì)于自變量其他的趨向過(guò)程下的極限對(duì)于自變量其他的趨向過(guò)程下的極限, 也有類(lèi)似也有類(lèi)似的定理的定理, 例如夾逼準(zhǔn)則的數(shù)列形式是例如夾逼準(zhǔn)則的數(shù)列形式是:那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且lim.nnxa 定理定理1 1和定理和定理2 2稱(chēng)為稱(chēng)為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則. .注意注意: : 夾逼準(zhǔn)則不僅可以用來(lái)判別極限的存在性?shī)A逼準(zhǔn)則不僅可以用來(lái)判別極限的存在性, ,還可以用來(lái)求極限還可以用來(lái)求極限. 例例1 1222111lim().12nnnnn求求解解,11112222 nnnnnnnn21limlim11nnnnnn 又又, 1 22111li

4、m1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2證明證明lim1.nnn 證證顯然顯然1nn 記記1,nnhn則則2(1)(1)12nnnnn nnhnhh 2(1)2nn nh 所以所以21nhn 即即211nnn 因?yàn)橐驗(yàn)?lim(1)1,1nn 所以所以lim1.nnn 例例3求極限求極限1lim(123 ) .xxxxx解解記記1( )(123 ) ,xxxxf x 顯然顯然3( ).f x 因?yàn)橐驗(yàn)?1( )(3 3 )3 3,xxxf x 而而110lim 3lim31uxuxxu 所以所以1lim(123 )3.xxxxx例

5、例4證明證明0sinlim1xxx 證證先證先證0sinlim1.xxx ,o設(shè)單位圓圓心為設(shè)單位圓圓心為c作單位圓的切線，作單位圓的切線，2,xoabs圓心角為 的扇形面積為圓心角為 的扇形面積為3,bdoabs 高為的面積為高為的面積為sin,xbd xab 弧弧tan,xac ,tansinxxx sincos1,xxx 即即1,acacos 得高為的面積為得高為的面積為且且321,sss, (0)2aobxx 圓心角圓心角odaxb00limcoslim11xxx由于由于所以所以0sinlim1xxx 而而000sinsin()sinlimlimlim1xxtxxtxxt 所以所以0s

6、inlim1xxx 例例6 6201coslim.xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例5求求0tanlim.xxx解解0tanlimxxx0sin1limcosxxxx 00sin1limlimcosxxxxx 1 0tanlim1xxx 201cos1lim2xxx 例例7求求0arcsinlim.xxx解解0arcsinlimxxxarcsinux 令令0limsinuuu1 0arcsinlim1xxx 同理同理0arctanlim1xxx 例例8求求0sin2lim.sin

7、3xxx解解0sin2limsin3xxx0sin223lim()23sin3xxxxxxx 2.3 二二 重要極限重要極限1lim(1)xxex在第二節(jié)中在第二節(jié)中,利用單調(diào)有界原理證明了重要極限利用單調(diào)有界原理證明了重要極限1lim(1)nnen現(xiàn)在說(shuō)明現(xiàn)在說(shuō)明n換成連續(xù)變量換成連續(xù)變量,x在在,xxx 時(shí)時(shí), 極限仍然存在極限仍然存在, 且等于且等于. e例例8證明證明1lim(1).xxex證證先證先證1lim(1).xxex不妨設(shè)不妨設(shè)1,x 取取 ,nx 由于由于1,nxn所以所以1111(1)(1)(1),1nxnnxn , e 11111lim(1)lim(1)lim(1)11

8、1nnxxxnnn, e 1111111nxn 由于由于,xn 1111lim(1)lim(1)lim(1)nnxxxnnn 而而所以由夾逼準(zhǔn)則得所以由夾逼準(zhǔn)則得1lim(1).xxex再證再證1lim(1).xxex令令(1),xt 則則,xt 所以所以111lim(1)lim(1)1xtxtxt 1lim()1tttt 1111lim()lim(1) lim(1)ttttttttt . e 所以所以1lim(1).xxex1,tx 令令0,xt 所以所以10lim(1).ttte例例9 93lim(1) .xxx 求求解解331(lim)3(1)xxx 333lim(1)xxx 原式原式31.e 例例101023lim().2xxxx 求求解解2 2411lim(1) (1)22xxxx原式原式.2e 例例1