第四節(jié)曲面與曲線PPT課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 曲面與曲線曲面與曲線 一、一、幾種常見的曲面及其方程幾種常見的曲面及其方程 1. 球面球面 空間一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為空間一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為球球面面，定值叫做，定值叫做半徑半徑，定點(diǎn)，定點(diǎn)叫叫做做球心球心. 球心為球心為0000(,)Mxy z，半徑為，半徑為 R 的球面方程為的球面方程為 2222000()()()xxyyzzR （此方程曲面兩點(diǎn)距離公式易推得）特別地，球心在原（此方程曲面兩點(diǎn)距離公式易推得）特別地，球心在原點(diǎn)點(diǎn)(0,0,0)O，半徑，半徑為為 R 的球面方程為的球面方程為 2222xyzR 例例 1 1 方程方程222422

2、10 xyzxyz 表示怎樣表示怎樣的曲面？的曲面？ 解解 通過配方，方程寫成通過配方，方程寫成 222(2)(1)(1)5xyz 所以，它表示從點(diǎn)所以，它表示從點(diǎn)(2, 1,1)為球心，半徑為為球心，半徑為5的球面的球面. 2.柱面柱面 一動(dòng)直線一動(dòng)直線 L 沿曲線沿曲線 C 移動(dòng)，且始終與定移動(dòng)，且始終與定直線直線 l 平行，動(dòng)直線的軌跡稱為柱面平行，動(dòng)直線的軌跡稱為柱面, 定曲線定曲線 C 稱為柱稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 稱為柱面的母線稱為柱面的母線. 現(xiàn)在討論母線平行于現(xiàn)在討論母線平行于 z 軸， 準(zhǔn)線是軸， 準(zhǔn)線是 xOy面上的曲線面上的曲線C： ( , )00F

3、x yz 的柱面方程的柱面方程. 設(shè)設(shè)( , , )M x y z是是柱柱面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，過過點(diǎn)點(diǎn) M 作作與與 z 軸軸平平行行的的直直線線，交交準(zhǔn)準(zhǔn)線線 C 于于點(diǎn)點(diǎn)1M（圖圖 7-24）.顯顯然然，點(diǎn)點(diǎn)1M和和點(diǎn)點(diǎn)M 有有相相同同的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)及及縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)，由由于于點(diǎn)點(diǎn)1( , ,0)M x y在在準(zhǔn)準(zhǔn)線線 C上上，它它的的坐坐標(biāo)標(biāo)滿滿足足準(zhǔn)準(zhǔn)線線 C 的的方方程程( , )0F x y ，而而方方程程中中不不出出現(xiàn)現(xiàn)z， 所所以以點(diǎn)點(diǎn)( , , )M x y z， 也也滿滿足足此此方方程程， 即即方方程程( , )0F x y 是是母母線線平平行行于于 z 軸軸，準(zhǔn)準(zhǔn)線

4、線是是 曲曲線線 C 的的柱柱面面方方程程. y圖圖7-24zxOM(x,y.z)F(x,y)=0DM1(x,y,0)類類似似地地，母母線線與與 x 軸軸平平行行，準(zhǔn)準(zhǔn)線線 是是yOz面面上上的的曲曲線線 C ( , )00G y zx 的的柱柱面面方方程程為為( , )0G y z ； 母母線線與與 y 軸軸平平行行，準(zhǔn)準(zhǔn)線線是是zOx面面 上上的的曲曲線線 C( , )00H x zy的的柱柱面面方方程程 為為( , )0H x z . 例如，母線與例如，母線與 z 軸平行，準(zhǔn)線為軸平行，準(zhǔn)線為xOy面上的圓周面上的圓周222xya的的圓柱面圓柱面（圖（圖 7-25）的方程為）的方程為 2

5、22xya 母線與母線與 y 軸平行，準(zhǔn)線是軸平行，準(zhǔn)線是zOx面的拋物線面的拋物線21zx 的的拋拋物柱面物柱面（圖（圖 7-26）的方程為）的方程為 21zx zxyOa圖圖7-25Ozyx圖圖7-263 3 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面 一條曲線一條曲線 C 繞一定直線繞一定直線 l 旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.曲線曲線 C 叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線l 叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸（簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)軸）叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸（簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)軸）. 現(xiàn)在討論旋轉(zhuǎn)軸為現(xiàn)在討論旋轉(zhuǎn)軸為 z 軸，母線是軸，母線是yOz面上的曲線面上的曲線 C： ( , )00f y zx的旋轉(zhuǎn)曲面的旋

6、轉(zhuǎn)曲面 S 的方程的方程. 設(shè)設(shè)( , , )M x y z是曲面是曲面 S 上任意一點(diǎn)，它是由曲線上任意一點(diǎn)，它是由曲線 C 上上一點(diǎn)一點(diǎn)111(0,)My z旋轉(zhuǎn)而成的（圖旋轉(zhuǎn)而成的（圖 7-27）.M 和和1M的坐標(biāo)有的坐標(biāo)有如下關(guān)系如下關(guān)系 22211xyyzz 而而11,y z滿足方程滿足方程( , )0f y z ， xyzO圖圖7-27MM1所以所以( , , )M x y z的坐標(biāo)滿足方程的坐標(biāo)滿足方程 22(, )0fxyz 它就是曲面它就是曲面 S 的方程，類似地，旋轉(zhuǎn)軸為的方程，類似地，旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸，準(zhǔn)線仍軸，準(zhǔn)線仍是曲線是曲線 C 的旋轉(zhuǎn)面方程為的旋轉(zhuǎn)面方程為 22

7、( ,)0f yxz 用同樣的方法，可推得，準(zhǔn)線是用同樣的方法，可推得，準(zhǔn)線是xOy面上的曲線：面上的曲線： ( , )00g x yz旋轉(zhuǎn)軸分別是旋轉(zhuǎn)軸分別是 x軸和軸和 y軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程分別軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程分別是是22( ,)0g xyz和和22(, )0gxzy;準(zhǔn)線是準(zhǔn)線是zOx面面上的曲線：上的曲線：( , )0,0,h x zy旋轉(zhuǎn)軸分別是旋轉(zhuǎn)軸分別是 x 軸和軸和 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程分別是面方程分別是22( ,)0h xyz和和22(, )0hxyz. 例例 2 2 將將yOz面上的橢圓面上的橢圓22221yzab分別繞分別繞 z 軸和軸和 y 軸軸旋轉(zhuǎn)，求所形成的

8、旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面（圖軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面（圖 7-28）方程）方程為為 222221xyzab， 即即 2222221xyzaab. 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 222221yxzab， 即即 2222221xyzbab. yxzaab圖圖7-28例例 3 3 求求xOy面上的拋物線面上的拋物線22(0)xaya繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所形成的所形成的旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面（圖（圖 7-29）的方程）的方程. 解解 旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為 22()xa yz. 例例 4 4 求

9、求yOz面上的直線面上的直線(0)zky k繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所形軸旋轉(zhuǎn)所形成的成的圓錐面圓錐面（圖（圖 7-30）的方程）的方程. 解解 圓錐面的方程為圓錐面的方程為 22zkxy ， 即即 2222()zkxy. xyz圖圖7-29zyxO圖圖7-30二、二、 二次曲面二次曲面 三元二次方程表示的曲面稱為三元二次方程表示的曲面稱為二次曲面二次曲面.給定一個(gè)給定一個(gè)三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形狀和特征，三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形狀和特征，可采用可采用“截痕法截痕法”, ,即用平行于坐標(biāo)面的截面去截曲面，即用平行于坐標(biāo)面的截面去截曲面，考察它們的交線（叫做截痕）的形狀，然后

10、綜合分析考察它們的交線（叫做截痕）的形狀，然后綜合分析. 1.1.球面球面 方程方程2222221xyzabc表示的曲面稱為表示的曲面稱為橢球面橢球面., ,a b c叫做叫做橢球面的半軸，橢球面的半軸，原點(diǎn)叫做原點(diǎn)叫做橢球面的中心橢球面的中心.當(dāng)當(dāng)abc時(shí)，方程變?yōu)闀r(shí)，方程變?yōu)?2222xyza， 它是球心在原點(diǎn)，半徑為它是球心在原點(diǎn)，半徑為 a 的球面方程的球面方程. 1. 1. 橢球面橢球面橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線： 222210 xyabz ，222210 xzacy，222210yzbcx 分別是三個(gè)坐標(biāo)面上的橢圓分別是三個(gè)坐標(biāo)面上的橢圓. 用平行于用平行于

11、xOy的平面的平面()zh hc去截橢球面，交線為去截橢球面，交線為 2222221xyhabczh ， 它是它是zh的一個(gè)橢圓的一個(gè)橢圓.當(dāng)當(dāng)h由由 0 逐漸增大到逐漸增大到 c 時(shí)， 橢圓逐漸時(shí)， 橢圓逐漸變小，最后變成一點(diǎn)，這些橢圓形成了球面變小，最后變成一點(diǎn)，這些橢圓形成了球面. 用平行于用平行于yOz的平面的平面()xd da或平行于或平行于zOx的平的平面面()yk kb分別去截橢球面時(shí)，也有類似的結(jié)果分別去截橢球面時(shí)，也有類似的結(jié)果.橢球橢球面的形狀如圖面的形狀如圖 7-31 所示所示. yxz圖圖7-31hO2 2. .橢橢圓圓拋拋物物面面 方方程程 22( ,)22xyz p

12、 qpq同號(hào) 所所表表示示的的曲曲面面稱稱為為橢橢圓圓拋拋物物面面.0,0pq時(shí)，z0，它它在在xOy面面上上方方，0,00,pqz時(shí)，它它在在xOy面面下下方方，原原點(diǎn)點(diǎn)是是橢橢圓圓拋拋物物面面似似的的最最高高或或最最低低點(diǎn)點(diǎn)，稱稱為為頂頂點(diǎn)點(diǎn). 設(shè)設(shè)0,0pq， 用平行于， 用平行于xOy面的平面面的平面(0)zh h去去截橢圓拋物面，交線為截橢圓拋物面，交線為 22122xyphqhzh， 它是平面它是平面zh上的一個(gè)橢圓上的一個(gè)橢圓.當(dāng)當(dāng) h 逐漸由小變大時(shí)， 橢圓逐漸由小變大時(shí)， 橢圓也逐漸有小變大，這些橢圓就形成了橢圓拋物面也逐漸有小變大，這些橢圓就形成了橢圓拋物面. 橢圓拋物面與

13、橢圓拋物面與yOz面及面及zOx面的交線分別為面的交線分別為 220yqzx ， 220 xpzy 旋轉(zhuǎn)它們分別是旋轉(zhuǎn)它們分別是yOz面及面及zOx面的拋物線面的拋物線. 用平行于用平行于zOx的平面的平面yk去截橢圓拋物面，交線為去截橢圓拋物面，交線為 222 ()2kxp zqyk 它是平面它是平面yk上的一條拋物線上的一條拋物線.同樣，用平行于同樣，用平行于yOz面面xd去截橢圓拋物面， 交線也是拋物線的圖形， 如圖去截橢圓拋物面， 交線也是拋物線的圖形， 如圖 7-32 和圖和圖 7-33 所示所示. p0,q0,q0的情形的情形圖圖7-32yOxz三、曲線三、曲線 1.曲線方程曲線方

14、程 如果曲線如果曲線 的方程是方程組的方程是方程組 ( , , )0,( , , )0,F x y zG x y z 此方程組成為此方程組成為曲線曲線 的一般方程的一般方程. 如果曲線如果曲線 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)( , , )M x y z的坐標(biāo)都用參數(shù)的坐標(biāo)都用參數(shù) t表示，表示， ( ),( ),( ),xx tyy tzz t 此方程組稱為此方程組稱為曲線曲線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程. 例例 5 5 方程組方程組22225,3,xyzz 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2225xyz表示球心在原點(diǎn)，半徑為表示球心在原點(diǎn)，半徑為5 的球面，方程的球面，方程3z 表示通過點(diǎn)

15、表示通過點(diǎn)(0,0,3)，且與，且與 xOy面平面平行的平面， 所以方程組表示球面與平面的交線 （圖行的平面， 所以方程組表示球面與平面的交線 （圖 7-34） .它是平面它是平面3z 上的圓，圓心為上的圓，圓心為(0,0,3)，半徑為，半徑為 4. O圖圖7-34xyz解解 取時(shí)間取時(shí)間 t 為參數(shù)，設(shè)為參數(shù)，設(shè)0t 時(shí)動(dòng)時(shí)動(dòng) 點(diǎn)在點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)( ,0,0)A a處，在處，在 t 時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)在 點(diǎn)點(diǎn)( , , )M x y z處處.過點(diǎn)過點(diǎn) M 作作xOy面的面的 垂線，則垂足為垂線，則垂足為( , ,0)M x y.由于由于 ,AOMt MMvt 故故 coscos,xaAOMat

16、 sinsin,yaAOMat ,zMMvt 所以螺旋線的參數(shù)方程為：所以螺旋線的參數(shù)方程為：cos,sin,.xatyatzvt 例例 6 6 一動(dòng)點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn) M 在圓柱面在圓柱面222xya上以角速度上以角速度 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，同時(shí)又以線軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，同時(shí)又以線速速度度 v 沿平行于沿平行于 z 軸的正方軸的正方向上升，向上升，( ,)v都是常數(shù)， 則點(diǎn)， 則點(diǎn) M 的幾何軌跡叫做螺旋線的幾何軌跡叫做螺旋線（7-35） ，試建立其參數(shù)方程） ，試建立其參數(shù)方程. xOz圖圖7-35yMM2空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 如果一柱面如果一柱面 S 的母線與的母線與 z 軸平行

17、，且以空間曲線軸平行，且以空間曲線 為準(zhǔn)為準(zhǔn)線，那么稱柱面線，那么稱柱面 S 是是曲線曲線 于于xOy面的投影柱面面的投影柱面，投影柱面，投影柱面與與xOy面的交線稱為面的交線稱為曲線曲線 在在xOy面上的投影曲線面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱投投影影. 設(shè)曲線設(shè)曲線 的方程為的方程為( , , )0,( , , )0,F x y zG x y z從兩個(gè)方程中消去從兩個(gè)方程中消去 z，得得( , )0H x y ，它是母線平行于它是母線平行于 z 軸的柱面，而由上面的做軸的柱面，而由上面的做法知，曲線法知，曲線 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)( , , )M x y z的坐標(biāo)滿足柱面方程，即的坐標(biāo)滿足柱面方

18、程，即曲線曲線 在柱面上是柱面的準(zhǔn)線在柱面上是柱面的準(zhǔn)線.所以曲線所以曲線 關(guān)于關(guān)于xOy面投影柱面投影柱面的方程為面的方程為 ( , )0H x y 曲線曲線 在在xOy面上的投影方程為面上的投影方程為 ( , )00H x yz 類似地，從曲線類似地，從曲線 的方程中消去的方程中消去xy或，得方程，得方程 ( , )0( , )0R y zP x z和 它們分別是曲線它們分別是曲線 關(guān)于關(guān)于yOz面和面和zOx面上的投影柱面方程，面上的投影柱面方程，而而 ( , )0( , )000R y zP x zxy和 分別是曲線分別是曲線 在在yOz面和面和zOx面上的投影方程面上的投影方程. 例例 7 7 求曲線求曲線 ： 2222zxyzxy 在在xOy面上的投影方程面上的投影方程. 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 幾種空間曲面方程幾種空間曲面方程 球面球面2202020)()()