第二章空間描述和變換PPT課件

1、第二章第二章 空間描述和變換空間描述和變換2.1 概述2.2 描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系2.3 映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換2.4 算子：平移、旋轉(zhuǎn)和變換2.5 總結(jié)和說明2.6 變換算法2.7 變換方程2.8 姿態(tài)的其他描述方法2.9 自由矢量的變換2.10 計算分析如何計算機(jī)器人手部在空間的位置與姿態(tài)首要問題。要實現(xiàn)對機(jī)器人在空間運動軌跡的控制，從而完成預(yù)定的作業(yè)任務(wù)，必須首先知道機(jī)器人手部在空間瞬時的位置與姿態(tài)。本章僅研究建立機(jī)器人運動的表達(dá)式，暫不考慮引起運動的力。position and orientation?p Homogeneous coordinate transformati

2、on；（齊次坐標(biāo)變換）p Establishment of coordinate transformation equation；（坐標(biāo)變換方程的建立）p D-H method ； （ D-H參數(shù)法）p Example analysis； （實例分析）（重點）Focus2.1 概述概述vRobotic manipulation, by definition, implies that parts and tools will be moved around in space by some sort of mechanism. This naturally leads to a need fo

3、r representing positions and orientations of parts, of tools, and of the mechanism itself.v機(jī)器人操作：通過某種機(jī)構(gòu)使零件和工具在空間中運動。這自然就需要表達(dá)零件、工具以及機(jī)構(gòu)本身的位置和姿態(tài)。vTo define and manipulate mathematical quantities that represent position and orientation, we must define coordinate systems and develop conventions for repre

4、sentation.v如何定義和運用表達(dá)操作臂位姿的數(shù)學(xué)量？我們必須定義坐標(biāo)系并給出表達(dá)規(guī)則。vPosition and orientation will form a basis for our later consideration of linear and rotational velocities, forces, and torques.v位姿的描述是表達(dá)線速度和角速度、力和力矩的基礎(chǔ)。vWe will describe all positions and orientations with respect to the universe coordinate system or

5、with respect toother Cartesian coordinate systems that are (or could be) defined relative to the universe system.v世界坐標(biāo)系：討論任何問題都能夠參照這個坐標(biāo)系，定義的位姿都是參照世界坐標(biāo)系或者由世界坐標(biāo)系定義的笛卡爾坐標(biāo)系。vA robot is composed of a series of linkages connected by joints - an open chain structure. In order to find the motion law of robo

6、t hand in space, a suitable mathematical method is needed to describe it.v機(jī)器人是由一系列關(guān)節(jié)連接起來的連桿所組成開式鏈開式鏈結(jié)構(gòu)。為了求機(jī)器人手部在空間的運動規(guī)律，需要一種合適的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法來描述。vUsually, the coordinate system is fixed on the joints of each link. If we know the positions and postures of these coordinate systems, we can determine the posi

7、tion and postures of hands in space.v通常把坐標(biāo)系坐標(biāo)系固定于每一個連桿的關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)上，如果知道了這些坐標(biāo)系之間的相互位置與姿態(tài)位置與姿態(tài)，手部在空間的位置與姿態(tài)也就能夠確定了。vA tool to describe the relationship between two adjacent coordinate systems - homogeneous coordinate transformation.v描述兩個相鄰坐標(biāo)系相鄰坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系的工具齊齊次坐標(biāo)變換次坐標(biāo)變換。2.2 描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系vA descript

8、ion is used to specify attributes of various objects with which a manipulation system deals. These objects are parts, tools, and the manipulator itself. v描述描述：用來確定一個操作系統(tǒng)處理的各種對象的特性。這些對象包括零件、工具和操作臂本身。 vwe discuss the description of positions, of orientations, and of an entity that contains both of the

9、se descriptions: the frame.v我們將討論位姿的描述以及包含這兩個描述的統(tǒng)一體：坐標(biāo)系。位置描述位置描述vOnce a coordinate system is established, we can locate any point in the universe with a 3 x 1 position vector.v一旦建立了坐標(biāo)系，我們就能用一個31位置矢量位置矢量對世界坐標(biāo)系中的任何一點進(jìn)行定位。vVectors must be tagged with information identifying which coordinate system they

10、 are defined within.注意：位置矢量必須附加信息，標(biāo)明是在哪一個坐標(biāo)系哪一個坐標(biāo)系被定義的。For example, AP , this means that the components of A P have numerical values that indicate distances along the axes of A.v比如：AP ，這個前置的上標(biāo)前置的上標(biāo)A標(biāo)明此位置矢量是在坐標(biāo)在坐標(biāo)系系A(chǔ)中定義的。練一練vAP表示的物理意義？vBP表示的物理意義？vCP表示的物理意義？vDP表示的物理意義？vUP表示的物理意義？vSP表示的物理意義？vGP表示的物理意義？

11、vFigure 2.1 pictorially represents a coordinate system, A, with three mutually orthogonal unit vectors with solid heads.v圖2.1用三個相互正交的帶箭頭的單位矢量單位矢量表示一個點APvAP is simply as an ordered set of three numbers.vAP可以簡單用一組有序的三個數(shù)字表示三個數(shù)字表示。向量向相應(yīng)軸的投影其它坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系vIndividual elements of a vector are given the subs

12、cripts x, y, and z.v矢量的各個元素用下標(biāo)x, y和 z標(biāo)明。姿態(tài)描述姿態(tài)描述vwe will find it necessary not only to represent a point in space but also to describe the orientation of a body in space.v對于一個剛體來說，我們發(fā)現(xiàn)不僅經(jīng)常需要表示它在空間中的位置，還經(jīng)常需要描述空間中物體的姿態(tài)?？臻g中物體的姿態(tài)。vIn order to describe the orientation of a body, we will attach a coordina

13、te system to the body and then give a description of this coordinate system relative to the reference system.v為了描述剛體的姿態(tài)，我們將在剛體上固定一個坐標(biāo)系并且給出此坐標(biāo)系相對于參考系的表達(dá)。vIn Fig. 2.2, coordinate system (B) has been attached to the body in a known way. A description of B relative to (A) now suffices to give the orient

14、ation of the body.v圖2-2中，已知坐標(biāo)系B以某種方式固定在物體上。 B相對于A中的描述就可以表示出物體的姿態(tài)。vpositions of points are described with vectors and orientations of bodies are described with an attached coordinate system.v點的位置可以用矢量描述，物體的姿態(tài)可以用固定在物體上的坐標(biāo)系描述。vWe denote the unit vectors giving the principal directions of coordinate sys

15、tem as XB、YB and ZB. When written in terms of coordinate system A, they are called AXB、AYB、AZB .v我們用XB、YB、ZB來表示坐標(biāo)系B主軸方向的單位矢量。當(dāng)用坐標(biāo)系A(chǔ)的坐標(biāo)表達(dá)時，寫成AXB、AYB、AZB 。vIt will be convenient if we stack these three unit vectors together as the columns of a 3 * 3 matrix, in the order AXB、AYB、AZB .v我們將XB、YB、ZB按順序排列組

16、成3*3的矩陣，成為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矩陣矩陣。333131232221131211rrrrrrrrrZYXRBABABAABvThis particular rotation matrix describesB relative to A, we name it with the notation ABR.v由于這個矩陣是B相對于A的表達(dá)，所以我們用符號ABR來表示。v一組三個矢量可以用來確定一個姿態(tài)。v點的位置可以用一個矢量來表示；物體的姿態(tài)可以用一個矩陣來表示。v標(biāo)量rij可用每個矢量在其參考坐標(biāo)系中單位方向上投影的分量來表示。111213212223313133AAAABBBBrrrRXYZrr

17、rrrrABABABABABABABABABBABABAABZZZYZXYZYYYXXZXYXXZYXRvwe have omitted the leading superscripts in the rightmost matrix of(2.3). In fact, the choice of frame in which to describe the unit vectors is arbitrary as long as it is the same for each pair being dotted. The dot product of two unit vectors yie

18、lds the cosine of the angle between them, so it is clear why the components of rotation matrices are often referred to as direction cosines.最右邊矩陣內(nèi)的前置上標(biāo)被忽略了，因為只要點積的各對矢量是在同一個坐標(biāo)系中描述，坐標(biāo)系的選擇是任意的。由于兩個單位矢量的點積可得到兩者之間夾角的余弦，因此旋轉(zhuǎn)矩陣內(nèi)的分量也稱為方向余弦。v1. 正交矩陣（orthogonal matrix），即v2. 與自身的逆變換互為轉(zhuǎn)置（The inverse of itself i

19、s the transpose of itself）v3. 只有3個獨立元素v行向量的模等于1；不同的行向量的點積等于0；v考慮到對稱性，列向量亦然；v4. 對應(yīng)的行列式（determinant）等于1v旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)ABBABAABRRRRI1TABBAABRRRvProperties of the rotation matrixABABABABABABABABABBABABAABZZZYZXYZYYYXXZXYXXZYXRZYXABABABBABABAABZYXRTBABAABRRR1v以上表明旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣3IZYXRRABABABABABABBATBAZYXTBAAB

20、RRv矩陣的行是單位向量A在B中的表達(dá)v轉(zhuǎn)置v旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置v(1)方向角v,稱為向量OA的方向角v(2)方向余弦vcos,cos,cos稱為向量OA的方向余弦222coscbaara222coscbabrb222coscbacrcv(3)性質(zhì) cos,cos,cos,1coscoscos222rrrcbaOA補(bǔ)充內(nèi)容坐標(biāo)系的描述坐標(biāo)系的描述vThe information needed to completely specify the whereabouts of the manipulator hand in Fig. 2.2 is a position and an or

21、ientation.v完整描述圖中的操作手位姿所需的信息為位置和姿態(tài).vFor convenience, the point whose position we will describe is chosen as the origin of the body-attached frame. v我們可在物體上任選一點描述其位置，為方便起見，將其作為連體坐標(biāo)系的原點。vThe situation of a position and an orientation pair arises so often in robotics that we define an entity called a f

22、rame, which is a set of four vectors giving position and orientation information. v在機(jī)器人學(xué)中，位置和姿態(tài)經(jīng)常成對出現(xiàn)，于是我們將此組合稱作坐標(biāo)系，四個矢量為一組，表示了位置和姿態(tài)信息。旋轉(zhuǎn)矩陣原點位置矢量vEquivalently, the description of a frame can be thought of as a position vector and a rotation matrix.v一個坐標(biāo)系可以等價用一個位置矢量和一個旋轉(zhuǎn)矩陣來描述。v坐標(biāo)系可用三個標(biāo)有箭頭單位矢量定義的坐標(biāo)系的主

23、軸來描述；v從原點到另一點的箭頭表示了一個矢量，這個矢量表示了箭頭處的原點相對于箭尾所在坐標(biāo)系的位置；例如在圖中，箭頭方向表示C相對于A的關(guān)系而不是A相對于C的關(guān)系。v一個參考系可以用一個坐標(biāo)系相對于另一坐標(biāo)系的關(guān)系來描述。坐標(biāo)系的圖形表示坐標(biāo)系的圖形表示2.3 映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換vIn a great many of the problems in robotics, we are concerned with expressing the same quantity in terms of various reference coordinate sy

24、stems. The previous section introduced descriptions of positions, orientations, and frames; we now consider the mathematics of mapping in order to change descriptions from frame to frame.在機(jī)器人學(xué)的許多問題中，需要用不同的參考坐標(biāo)系來表達(dá)同一個量。在上節(jié)中介紹了位置、姿態(tài)和坐標(biāo)系的描述方法；現(xiàn)在為了描述從一個坐標(biāo)系到另一個坐標(biāo)系的變換，我們討論映射的數(shù)學(xué)方法。關(guān)于平移坐標(biāo)系的映射關(guān)于平移坐標(biāo)系的映射兩個坐標(biāo)系

25、具有相同的姿態(tài)BORGABAPPPvWe wish to express this point in space in terms of frame A, when A has the same orientation as B. In this case, B differs from A only by a translation.v當(dāng)A與B的姿態(tài)相同時，我們希望用坐標(biāo)系A(chǔ)來表達(dá)空間中的某一點。B不同于A的只是平移平移，可用矢量表示B的原點相對于A的位置。平移量vIn this simple example, we have illustrated mapping a vector fro

26、m one frame to another.這個例子說明了如何將一個矢量從一個坐標(biāo)系映射到另一個坐標(biāo)系。映射的概念，即描述一個坐標(biāo)系到另一個坐標(biāo)系的變換。vNote that only in the special case of equivalent orientations may we add vectors thatvare defined in terms of different frames.v注意：上述式子只有在坐標(biāo)系的姿態(tài)相同時才可以進(jìn)行矢量的相加。關(guān)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射關(guān)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射vwe would like to know its definition with

27、respect to another frame (A, where the origins of the two frames are coincident.v我們已知矢量相對于某坐標(biāo)系B的定義 ，怎樣求矢量相對另一個坐標(biāo)系A(chǔ)的定義 ？且這兩個坐標(biāo)系原點重合。PBPAPBv這個姿態(tài)用旋轉(zhuǎn)矩陣來表示。v例2.1 圖中表示坐標(biāo)系B相對于坐標(biāo)系A(chǔ)繞 軸旋轉(zhuǎn)30度。這里 軸指向為由紙面向外。ZZB繞 軸旋轉(zhuǎn)30度Zv在A中寫出B單位矢量，將它們按列組成旋轉(zhuǎn)矩陣，得到:000. 1000. 0000. 0000. 0866. 0500. 0000. 0500. 0866. 0RAB已知：求出 ：PA0

28、 . 00 . 20 . 0PB000. 0732. 1000. 1PRPBABA這里， 的作用是將相對于坐標(biāo)系A(chǔ)描述的 映射到 。注意:從映射的角度看，原矢量P在空間并沒有改變，我們只不過求出了這個矢量相對于另一個坐標(biāo)系的新的描述。ABRPBPA10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxRRRv這些旋轉(zhuǎn)變換可以通過右圖推導(dǎo)zBzAyBxByAyBxBxAppppppppcossinsincoszByBxBzAyAxApppppp1000cossin0sincos映射到同一個平面上映射到同一個平面上利用三角形勾股定理利用三角形勾股定理課堂練習(xí)1vThe co

29、ordinates of known point u are 7,3,1 T. The transformation of point u is rotating 90 degrees around Z axis to get point v; Find the homogeneous coordinates of v.v已知點u的坐標(biāo)為7,3,1T，對點u進(jìn)行如下的變換：繞z軸旋轉(zhuǎn)90得到點v，求v的坐標(biāo)。u73 101073( ,90)1003700112TvRot zu 1關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射vwe know the description of a vector w

30、ith respect to some frame B, and we would like to know its description with respect to another frame, A.v問題：我們已知矢量相對某坐標(biāo)系B的描述，想求出它相對于另一個坐標(biāo)系A(chǔ)的描述。vThe origin of frame B is not coincident with that of frame A but has a general vector offset.v一般的情形：v（1）坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)不具有相同的姿態(tài)v（2）坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)原點不重合v(1)在坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)之間有

31、一個矢量偏移v(2) B 相對于A有旋轉(zhuǎn)，用 描述v問題：給出 ，試著計算RABPBPAABORGPv首先將 變換到和A的姿態(tài)相同，原點和B的原點重合的中間坐標(biāo)系，然后再矢量加法將原點平移。PBBORGABABPPRPAv注意：消掉了B的矢量符號，剩下的都是A中的矢量符號，然后才能夠相加。BORGABABPPRPAPTPBABA110001PPRPBBORGAABAvwe would like to think of a mapping from one frame to another as an operator in matrix form.v用一個矩陣算子矩陣算子表示從一個坐標(biāo)系到另一個坐標(biāo)系的映射。vWe define a 4 *4 matrix operator and use 4*1 position vectors.v定義一個4*4的矩陣算子并使用了4*1位置矢量。111000333231232221131211333231232221131