《量子力學(xué)教程》課后答案

1、精品文檔 0 量子力學(xué)課后習(xí)題詳解 1 1. 1 1 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng) T=b T=b (常量) 并近似計(jì)算 b b 的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。 解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式 8 hv 3 hv dv , kT i (1 1) v v 3 c e 以及 v c, (2 2) vdv vd , (3 3) dv d d c v ( )d v () c 8 hc 1 5 hc J e kT 1 本題關(guān)注的是入取何值時(shí)， 取得極大值，因此，就得要求 對(duì)入的一階導(dǎo)數(shù)為零， 由此可求得相應(yīng)的入的值，記作 m。但要注意的是，還需要驗(yàn)證 對(duì)入的二階導(dǎo)數(shù)在 m 處的取

2、值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m就是要求的，具體如下： 8 hc 1 5 hc 1 6 hc e kT 1 kT 1 hc e帀 第一章 量子理論基礎(chǔ) m與溫度 T T 成反比, 這里的 的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于入與入 +d+d 入之間的輻射能量密度。 精品文檔 5(1 e x) x 這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波 長(zhǎng)方面移動(dòng)，這樣便會(huì)根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來(lái)判定溫度的高低。 E E=hv=hv, P h E動(dòng) eC1 2 ),那么 1 1 2 2 在 0K0K 附近，鈉的價(jià)電子能量約為 解 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)

3、系, 如果所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（ 如果我們考察的是相對(duì)性的光子，那么 2 E p 2 e E=pcE=pc 3eV3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積, 注意到本題所考慮的鈉的價(jià)電子的動(dòng)能僅為 he kT he TT he 5(1 e kT) he kT he 如果令 XX，則上述方程為 這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解： 個(gè)解可以通過(guò)逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得: 樣則有 x=0 x=0，但經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一 x=4.97x=4.97，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解正是所要求的，這 mT he xk 把 x x 以及三個(gè)物理常量代入到上式便知 mT 3 2.9 10 m

4、K 3eV3eV，求其德布羅意波長(zhǎng)。 可知 精品文檔 6 即0.51 10 eV，因此利用非相對(duì)論性的電子的能量一一動(dòng)量關(guān)系式，這樣，便有精品文檔 2 eE hc 2 ec2E 1.24 10 6 6 m 2 0.51 106 3 9 m 0.71 nm hc 2 eC2E 作一點(diǎn)討論，從上式可以看出， 當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒 子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短， 因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大， 因而波動(dòng) 性極弱，顯現(xiàn)出來(lái)的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來(lái)說(shuō)，只有在微觀

5、世界才 能顯現(xiàn)。 3 1 1. 3 3 氦原子的動(dòng)能是E kT （ k k 為玻耳茲曼常數(shù)），求 T=1KT=1K 時(shí)，氦原子的德布羅意波 2 長(zhǎng)。 解根據(jù) 3 1k K 10 eV , 知本題的氦原子的動(dòng)能為 3 3 E kT k K 1.5 103eV, 2 2 顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 核c2這樣，便有 he 2 .2 核 c E0.71 10 在這里，利用了 以及 最后，對(duì) hc 1.24 10 6 eV m ec2 0.51 106eV 精品文檔 1.24 10 .2 3.7 109 0.37 10 9m 0.37 nm - m 3 1.5 10 這里，利用了 2 核 c 4 931 106 e

6、V 9 3.7 10 eV 最后，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為 T T 的體 系，其中粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為 kTkT,這樣，其相慶的德布羅意波長(zhǎng)就為 he he 2 e2E 2 ke2T 據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低， 相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)， 這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明 顯，特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒子間的平均距離還長(zhǎng)時(shí)， 粒子間的相干性就尤為明顯， 因此這時(shí) 就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布， 而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布一一 玻色分布或費(fèi)米公布。 1 1. 4 4 利用玻爾一一索末菲的量子化條件，求： (1)(1) 一維諧振子的能量； (2)

7、(2) 在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。 已知外磁場(chǎng) H=10TH=10T，玻爾磁子 MB 9 10 24 J T 1，試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔 E E, 并與 T=4KT=4K 及 T=100KT=100K 的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。 解玻爾一一索末菲的量子化條件為 :pdq nh 其中 q q 是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)， p p 是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積 一圈，n n 是正整數(shù)。 (1 1)設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為 k k，諧振子質(zhì)量為，于是有 丄kx 這樣，便有 P ，.2（E 2kx2） 這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng), 回，運(yùn)動(dòng)了一

8、圈。此外，根據(jù) 一正一負(fù)正好表示一個(gè)來(lái) 精品文檔 E -kx2 2 可解出精品文檔 這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。 這樣， 根據(jù)玻爾一一索末菲的量子化條件，有 x 1 2 x ( K 2 (E 2kx3)dx nh 匚廠 d E cos d , k A 2(E 2kx2)dx 精品文檔 ：2 (E 2kx2)dx -h 2 2 為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換; x 2Esin V k 2E . sin k 2 2E cos d (1) 嚴(yán)嚴(yán)2d E cos2 d(2 ) .k 根據(jù)式（1 1）和（2 2）,便有2 (E 1 kx2)dx 2 2 (E 2kx2 2 )dx nh 這

9、樣, 便有 2 2 E cos 2 2E cos d k 這時(shí), 令上式左邊的積分為 此外再構(gòu)造一個(gè)積分 B 2 2E 2 .ksi d 這樣, 便有 這里 =2=2 這樣，就有 A B Ek sin 2E 精品文檔 這樣，便有 其中 h h 2 最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的 能量是等間隔分布的。 （2 2）當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 qBR 這時(shí)，玻爾一一索末菲的量子化條件就為 2 qBR4 nh 2 E ，所以，有 2 2 2 2 qBR 4 qBRd(R nh qBR2 2 nh 又因?yàn)閯?dòng)能耐 2 E (qBR) 2 精品文檔 q

10、是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且 2 E BM B 具體到本題，有 E 10 9 10 24 J 9 10 23 J 根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式 3kT 2 以及 E 1k K 10 3 eV 1.6 22 . 10 J 可知，當(dāng)溫度 T=4KT=4K 時(shí)， E 1.5 4 1.6 10 22 J 9.6 10 22 J 當(dāng)溫度 T=100KT=100K 時(shí)， E 1.5 100 1.6 10 22 J 2.4 10 20 J 顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。 1 1. 5 5 兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，

11、問(wèn)要實(shí)現(xiàn)實(shí) 種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？ 解關(guān)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程， 如兩個(gè)光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正 負(fù)電子對(duì)的問(wèn)題，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，需要用到相對(duì)性量子場(chǎng)論的知識(shí)去計(jì)算， 修正當(dāng)涉及到這個(gè)過(guò) 程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，如能量守恒， 動(dòng)量守恒等，我們不需要用那么高深的知識(shí)去計(jì)算，具休到 本題，兩個(gè)光子能量相等，因此當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)化為正風(fēng)電子對(duì)反需的能量最小，因而所 對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)也就最長(zhǎng)，而且，有 E hv ec2 此外，還有 he E pe 于是，有 he 2 eC he 2 ee 1.24 10 6 0.51 10 12 2.4 10 m qBn 2 nBNB, nB2 其中，M 精品文檔

12、 3 2.4 10 nm 盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長(zhǎng)，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的， 我們知道，電子 是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對(duì)之類的更大質(zhì)量的粒子， 那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波長(zhǎng)將會(huì)更小，這從某種意義上告訴我們，當(dāng)涉及到粒子的衰變， 產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問(wèn)題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，精品文檔 這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來(lái)越高能的加速器的原因： 期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn) 象，新粒子，新物理。 第二章波函數(shù)和薛定諤方程 2.12.1 證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無(wú)關(guān)。 證：對(duì)于定態(tài)，可令 (r，t) (r)f(t) J.Et (

13、r)e J ( 2m 可見(jiàn)J與t無(wú)關(guān)。 2.22.2 由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度： 1 ikr 1 e (2 ) 2 r 從所得結(jié)果說(shuō)明 1表示向外傳播的球面波, 2表示向內(nèi)( (即向原點(diǎn)) )傳播的球面波。 解：Jj和J?只有r分量 1 1 r 一 e e - r r r sin (r)e (r) 丄Et (r) (r)e * (r) 丄Et (r)e 丄 Et (r)e ) (r) ikr 在球坐標(biāo)中 (1) -(1 * * 1 1 1) 2m i 1 ikr e ikr、 (e ) 1 ik / 1 ikr 、 (e )r 2m r r r r r r 2 1( 1 1 2 ik )

14、 1( 12 1 ik)r。 2m r r r r r r k k 2 r0 mr 3r mr J1 精品文檔 4與r同向。表示向外傳播的球面波。 k k 2 G 3 r mr mr ikx 補(bǔ)充：設(shè) （x） e ,粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化? dx dx 2 波函數(shù)不能按 （x） dx 1方式歸一化。 其相對(duì)位置幾率分布函數(shù)為 2 1表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。 2.32.3 一粒子在一維勢(shì)場(chǎng) ,x 0 U(x) 0, 0 x a ,x a 中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。 解：U（x）與t無(wú)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。其定態(tài) S方程 2 d2 2 (x) 2m dx U(x

15、) (x) E (x) 在各區(qū)域的具體形式為 I： x 0 2 d2 -1(x) U(x) 1(x) E 1(x) 2m dx2 n： 0 x a 2 d2 2（X） E 2(x) 2m dx2 i (2 * * 2 2 ) 2m i r 1 ikr / 1 ikr 、 1 ikr e - (e ) e 2 r r r r i r1 1 1、 1 “ 1 (- ik-) -( 2 2r r r r r z1 ikr . -(e r r 1 ik-)r。 可見(jiàn), J2與r反向。表示向內(nèi) （即向原點(diǎn)）傳播的球面波。 J2 精品文檔 0 川：x a 2 d2 2 2m dx 3(x) U(x) 3(

16、x) E 由于（1 1）、（3 3）方程中，由于U （x） ，要等式成立，必須 i(x) 0 2(x) 0 即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。 方程（2 2）可變?yōu)?2 d 2(x) 2mE dx2 2（X） 令k2 警，得 d2 2(x) k2 k 2(x) 0 其解為 2(x) Asin kx B coskx 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù) A A , B B,由連續(xù)性條件，得 2(0) 1(0) 2(a) 3(a) sinka ka n (n 由歸一化條件 A2 1,2,3, a sin2 Asin ka 0 2（X） 2 (X) dx xdx 1 a As in x a .m sin -

17、 b a .n x sin - a xdx a 2 mn 精品文檔 2 . n -sin x a a 對(duì)應(yīng)于En的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 2 n I Ent sin xe a a 0, 2424 證明（2.62.6- -1414）式中的歸一化常數(shù)是 A2a 2.52.5 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。(2.6(2.6- -1414) 由歸一化, - a 2dx A2 a 2 sin a(X a)dx A2 A2 2 a 1 1 a2 a cos (x a)dx a A2a a A2 2 A2 2 A sinn a 0, (x a), x a a cos (x a sin a)dx a)

18、 2（Xk2 2mE 2 En 2 2 2 刊 2ma (n 1,2,3,)可見(jiàn) E E 是量子化的。 n(x,t) x a, 歸一化常數(shù)A 1 - 精品文檔 數(shù)具有確定的宇稱。 證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài) S S- -方程為 2 d2 廠肓(x) U(x) (x) E (x) 將式中的X以（X）代換，得 利用U ( x) U (x)，得2x2 1（X1（X2 2x2 x e 2x2 d i(x) dx 2x3e 2x2 d i(x) 令dx 0，得 0, x 時(shí), i(x) 0。顯然不是最大幾率的位置。 2 2x (2x 2x3)e 2x2 可見(jiàn)x - 24 3 1 e 2.62.6

19、在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱: U( x) U（x），證明粒子的定態(tài)波函 2 d2 片(x) U(x) (x) (x) 1 2 xe 2 解：（x） 2 2 dx2 6 2x2) 由i（x）的表達(dá)式可知，x 4x4)e 2x2 x 是所求幾率最大的位置。 精品文檔 比較、式可知， (X)和(X)都是描寫在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。 由于它們描寫的是同一個(gè)狀態(tài)，因此 (X)和 (x)之間只能相差一個(gè)常數(shù) c。方程、 可相互進(jìn)行空間反演 (x x)而得其對(duì)方，由經(jīng) x x反演，可得， (x) c (x) 由再經(jīng) x x反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。 (x) c

20、 (x) 乘， 得 (x) (x) c2 (x) ( x) 可見(jiàn)，c2 1 c 1 當(dāng)c 1時(shí)， (x) (x), (x)具有偶于稱， 當(dāng)c 1時(shí)， (x) (x), (x)具有奇宇稱， 當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足 U( x) U (x)時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。 # # 2.7 2.7 一粒子在一維勢(shì)阱中 Uo 0, U(x) 0, 運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)( (0 E Uo) )的能級(jí)所滿足的方程。 解法一：粒子所滿足的 S S- -方程為 2 . 2 門 (x) U(x) (x) E (x) 2 dx 按勢(shì)能U (x)的形式分區(qū)域的具體形式為 2 d2 I： 飛 i(x) Uo i(x) E i(x)

21、2 dx廠dX2 (x) U(x) ( x) E ( x) 精品文檔 a x a a x n： 2 2 d2 dx2 2（x） E 2（x） 川： 2 d2 3（X） Uo 3（x） E 3（x） 2 dx2 整理后， I： 得 2 （Uo E） 1 0 1 2 n：. . 2 E 0 2 2 2 2 （Uo E） 2 令k; 2 （Uo 2 E） k； 2 E 2 則 I： 1k2 1 o n：. 2 k； 2 o 川： 3 k2 1 o 各方程的解為 1 Ae k1x Bek1x 2 Csin k2x D cosk2x 3 Ee kx kx Fe 由波函數(shù)的有限性, 有 1（ ）有限 A

22、0 3（）有限 E 0 因此 1Be1 qx 3Fe kX 由波函數(shù)的連續(xù)性，有 精品文檔 1( a) 2( a), Be k1a Csin k2a D cosk2a (10) 1( a) 2( a), k1Be kzCcoskza k2Ds in k2a (11) 2(a) 3(a), Csi nk2a Dcosk2a Fe ka (12) 2(a) 3 (a), k2Ccosk2 a k2Dsi nk2a k1Fe k1a (13) 整理（1010）、 （1111）、 （1212） （1313）式，并合并成方程組，得 e kiaB sink2aC cosk2aD 0 0 k a kie 1

23、 B k2 cosk2aC k2 sink2aD 0 0 0 sink2aC cosk2aD e kiaF 0 0 k2 cosk2aC k2 sink2aD k1e kiaF 0 解此方程即可得出 B B、C C、D D、F F,進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解, 必須 k1k2e k1a sin2 k2a k；e k1a sin k2acosk2a k 1a k1a k1 a 2 &e &e sin kzacoskza k?e cos k?a k1e k1a sin k2acosk2a k2e k1a sin2 k2a e 2k1a 2k1k2 cos2k2a k

24、；sin2k2a k12 sin2k2a e 2k1a(k2 kf)sin2k2a 2k1k2 cos2k2a kia e 1 k1e ka sin k2a k2 cosk2a sin k2a k2 cosk2a cosk2a k2 sin k2a cosk2a k2 sin k2a k1a k1Be k1a k2 cosk2a sin k2 sin k2a cosk2a k2 sin k2a k1e ka sin k2a kk1 a I 1e sin k2a k2 cosk2a cosk2a 0 cosk 2a e k1a k2sin k2a k1e k1a k1a i i k1a 2 i

25、e 1 k1k2e 1 cos k2a k；e k1a sin k2acosk2a 0 精品文檔 二（k； k；）sin 2k2a 2k1k2 cos2k2a 0 即（k； k：）tg2k2a 2仆？ 0為所求束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。 # # 解法二：接（1313）式 k2 k2 Ccosk2a Dsin k2a k1 k1Csin k2a D cosk2a 精品文檔 2 Csin k2a Dcosk2a k2 Ccosk2a k1 2 D sin k2a k1 # # 解法三: k-2cosk2a sin k2a k1 k2 cosk2a sin k?a k1 (且 coskza k1 (c

26、oskza k1 (kcosk2a k1 k2 . sin k2a k1 /k (sin k?a k1 cosk2a coskza) sin k2a)(ks in k?a k1 sin k2a)(ks in k?a k1 k2 sin k2a)( sin k2a k1 k： . sin k2acosk2a k1 sin2 k2a k1 coskza) coskza) cosk2a) k2 cos2 k2a sin k2acosk2a 0 k1 (k； kL i 2. 2)s in 2k2a k2 2 k1 )sin 2k2a 2 cos2k2a k1 2kik2 cos2k2a (11)(11

27、)- -(13)(13) 2k2Dsin k2a &e k1a(B (10)+(12)(10)+(12) 2Dcosk2a e k1a(B F) )(13) (10) (12) k2tgk2a k1 (a) (11)+(13)(11)+(13) 2k2C cosk2a k1(F B)e ika (12)(12)- -(10)(10) 2Csi nk2a (F B)e ika (11) (13) 令12) (k0a, k2ctgk2a k1 k2a,則 tg ctg (c) (d) 2 2 (k1 2 Ua2 2 (f) 合并（a）、b）: 精品文檔 tg2k2a 2k1 k2 2 2

28、k2 k1 利用tg2k2a 2tgk2a 1 tg 2k2a 解法四：（最簡(jiǎn)方法- -平移坐標(biāo)軸法） (xW 0 0) n： (0 (0 x 2 2a ) 2 1 (U。 2 E) 1 0 2 E 0 2 2 2 2 3 (U 0 2 E) 3 0 k2 1 1 1 0 (1) k12 k2 2 2 2 0 (2) k； k2 3 k1 3 0 1 Ae kx Be kx 2 C sin k2 x D cos k x 3 Ee kx Fe kx 3 U 0 3 E 3 2 (Uo E). 2 2 E 2 束縛態(tài)0 E Uo 因此 1( ）有限 B 0 3 ( ）有限 E 0 1 Aek1x

29、3 Fe k1x 由波函數(shù)的連續(xù)性，有 1(0) 2(0), k1A k2C (5) 2 (2a) 3 (2a), k2Ccos2k2a k2Dsin2k2a k1Fe 2k1a 2 (2a) 3 (2a), Csin2k2a Dcos2k2a Fe 2k1a (7) i(0) 2(0), A D 精品文檔 代入 k 2 k 2 . C sin 2k2a Dcos2k2a -Ccos2k2a - D sin 2k2a k1 k1 利用、(5)(5)，得 k2 )sin 2k2a 2cos2k2a ki 兩邊乘上（kik2）即得 2 2 (k2 ki)sin2k2a 2kik2 cos2k2a

30、0 2.82.8 分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能可以近似表示為 7 x 0 ， U。 0 x a， U(x) Ui, a x b, 0, b x 求束縛態(tài)的能級(jí)所滿足的方程。 解 ： 勢(shì) 能 曲 線 如 圖 示 ， 分 成 四 個(gè) 區(qū) 域 求 解 。 定 態(tài)S S - - 方 程 為 對(duì)各區(qū)域的具體形式為 U(x) i E i (x 0) I： 2 i 2 n： 2 2 2 U 0 2 E 2 (0 x a) 川： 2 2 3 Ui 3 E 3 (a x b) iv： 2 2 4 0 E 4 (b x) 2 dx2 (x) U(x) (x) E (x) ki k2 A sin 2k 2a A

31、 cos2k2a A cos2k2a k 2 ki Dsi n2k2a ki k2 $)sin2k2a 2cos2k2a 0 ki ki k2 精品文檔 對(duì)于區(qū)域I, U (x) ，粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故 1(x) 0 2 (U。E) 2 2 E 2 對(duì)于束縛態(tài)來(lái)說(shuō), 2 (U0 E) 2 2 E/ 2 各方程的解分別為 k1x Ae Be 由波函數(shù)的有限性，得 4()有限， E 0 由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù), 2 (Ui 2 E) k32 2 (Ui E) 2 4 k42 C sin k2x k3X Ee Fe D cosk2x k3X 4 Fe k3X 1(0) 2(0) A(ek3x

32、 k3X) 2(a) 3(a) A(ek3x k3X) C sin k2a D cosk2a 3(a) 3(a) Ak1 (ek3a k3a ) Ck2 cos k2a Dk2 sin k2a 3(b) 4(b) C sin k2b Dcosk2b Fe k3b k3b 精品文檔 3(b) 4(b) Ck2 sin k2b Dk2 cosk2b Fk3e精品文檔 代入即得 附：從方程之后也可以直接用行列式求解。見(jiàn)附頁(yè)。由、，得 ki kia e kia e k2 ekia kia e Ccosk2a Dcosk2a Csin k2a D cosk2a (1 (1 1 )1 ) 由 、得(k2

33、cosk2b)C (k2sin k2b)D ( k3sin k2b)C (k3 cosk2b)D k2 k2 (cosk2b sin k2b)C ( -cosk2b sink2b)D 0 (12)(12) k3 k3 k 1a 2 e 1 e 1 k1 令 牖-，則式變?yōu)?e 1 e 1 k2 (sin k2a cosk2a)C ( cosk2a sink2a)D 0 聯(lián)立(12)(12)、(13)(13)得，要此方程組有非零解，必須 k2 k2 ( cosk2b sin k2b) ( sin k2b k3 k3 ( sink?a coskza) ( coskza cosk2b) sin k2

34、a) 即(cosk2a sin k2a)( 2cosk2b k3 sin k2b) ( sin k2a cosk2a) k2 ( sin k2b cosk2b) 0 k3 k2cosk2bcosk2a k3 sin k2bs in k2a cosk2bs in k2a sin k2(b a)( tgk2(b a) (1 $si nk2bsi nk2a k3 k2 sink2bsin k2a k3 coskzbcoskza k 2 k3 2 k3 cosk2(b a)( sin k2bcosk2a sin kzbcoskza) ka tgk2(b a) k a ka k2 (k3 k a k1

35、e k 2 e k a ka 即為所要求的束縛態(tài)能 級(jí)所滿足的方 精品文檔 (ekia ekia (ekia (ekia e kia) kia)k2 (ekia kia) kia ki(e ki a kia / (e e )( e (ekia sin k2a k2 cosk2a sin k2b k2 cosk2 b k2 cosk2a sin k2b k2 coskzb cosk2a k2 sin k2a cosk2b k2 sin k2b k2 sin k2a coskzb k2 sin k2b sin k2a sin k2b k2 cosk2b k3a k2k3e cosk2b k2k3e

36、 k3a ki (ekib (ki kia(ki kse 0 kqa e 3 ksa 0 k3a kse k3a cosk2a cosk2b k2 sin k2b 2 0 k3a e k3 a k3e 3 k3a sin k2a sink2asink2b kf e k3a cosk2asin k2b) e kib)(k2k3e “bsin k2acosk2b k2e k3b cosk2a sin k?asin kzb) cosk2acosk2b k2 k3a coskzb kse k%osk2asin k?b k?e k3b kia) k2k3 cosk2(b a) k；sink2(b a)e

37、 k a e i )kik3sin k2(b a) kik2cosk2(b 2 k3)k2 cosk2(b a) (k2 kik3)sink2(b 2 k3 )k2 cosk2(b a) (k2 k3b a)e 3 k3b a)e k1k3)sin k2(b a)e k3b (ki k3)k2 (k； kik3)tgk2(b a)e k3b 0 (k； k 2kqa k)e i (k； ki k)tgk(b a) (ki k3)k2e2kia (ki k3)k2 0 此即為所求方程。 # # 2 (ki k3)k2 (k2 kik3)tgk2(b a)e 補(bǔ)充練習(xí)題一 i i、設(shè) 丄2x2 (

38、x) Ae 2 (為常數(shù))，求A = = ? 解：由歸一化條件，有 1 A2 e ”d(x) A2- A2 丄 e y dy A2 x 2x2 e d( x) 利用 e dy yT A 精品文檔 2 2、求基態(tài)微觀線性諧振子在經(jīng)典界限外被發(fā)現(xiàn)的幾率。 解：基態(tài)能量為E0 - 2 設(shè)基態(tài)的經(jīng)典界限的位置為 E0 a。 在界限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為 把（x）代入上式，有t1 2 /2 t dt 當(dāng)x . 2時(shí)的值 C.2）。查表得 (.一 2) 0.92 一 h 、 0.92 2(1 0.92) 0.16 在經(jīng)典極限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為 0.160.16。 3 3、試證明 （x） 1 2x2 e 2 (

39、2 3x3 3 x）是線性諧振子的波函數(shù), 并求此波函數(shù)對(duì) 應(yīng)的能量。 證：線性諧振子的 S S- -方程為 2 d2 2 dx 1 (x) 2 2 (x) E (x) 2 T 2 T 2 T a0 e e a0 e a0 x dx 2x dx x)2d( dy 2 y dy x) 2 y dy 冷dt (令 y e 2 e 2x2 dx （ a（偶函數(shù)性質(zhì) 精品文檔 (x) ? e dx dx 3 1 2 2 -x 2 (2 3 x) 2x(2 3x3 3 x) (6 3x2 3 )e 2x2 9 3x 2 1 2 (4x 1 2x2 e 2 2x2 (2 (x) 1 2 2x2 7 2)

40、7 2) 5x4 (2 3x2 2x2 (8 5x3 18 3x) x) dx2 (x)代入式左邊，得 左邊 7 2 7 2 右邊 E 2 d2 (x) dx 2 (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) 2 2 4 2 x (x) 2 2 x (x) 2 2 1 2x2 (x) 1 (x) 時(shí)，左邊= =右邊。 (x) 1 2x2 e 2 (2 3x3 3 x),是線性諧振子的波函數(shù)， 其對(duì)應(yīng)的能量 第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 精品文檔 3 、2 2 2 2 2 2 4 4 3.13.1 一維諧振子處在基態(tài) (X) 2 2 x 2 t ，求: 勢(shì)能的平均值U (2)(2

41、)動(dòng)能的平均值 T (3)(3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。 1 解：(1) (1) U 2 2x2 x2e 2 2 x dx 1 22 2 ox*； 1a P2 1 2 2 (x)?2 (x)dx 1 2x2 2 2_di dx2 )e 2x2 dx (1 )e 2 2 x dx 2 x2 dx 2 2 x dx 2 精品文檔 0 (1)r(1)r 的平均值; 2 e (2)(2)勢(shì)能 的平均值; r (3)(3) 最可幾半徑； (4)(4) 動(dòng)能的平均值； (5)(5) 動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。 c(p) p(x) (x)dx 1 2 (x 2x2 2x2 丄Px e dx i Px dx ip )2

42、 ) p2 dx 2 ip 2 2(x 2)2 dx 動(dòng)量幾率分布函數(shù)為 1 (p) c(p) 1 e 2 p 22 P2 3.2.3.2.氫原子處在基態(tài) (r, r/a。 ，求: 精品文檔 0 xne axdx 韋 _an1解：(1) (1) r r a； 0 re 2r/ar2 sin 0 drd d 4 3 a。 r 3a 2r/a0dr 精品文檔 2 2 2 2 a。 d2 (r) dr r a是最可幾半徑。 4 3! 4 a。 2 3 ao 2 ao U 2 2 e 3 ao 2 e 3 ao 1 2r/a 2 . e r sin 0 r drd 2r/a0 . e 0r sin 0

43、 drd d 4e2 3 a。 2r /a 0r dr 4e 3 a。 a。 4(2 8 r ：r2)e 2r/a0 a a a0 (r)dr 0 0 (r- 2 2 ,)r sin drd d (r) 4 3e a 2r/a0 2 0r d (r) 43(2 2 2 r / a r)re 0 dr a a 令 d (r) 0, dr r1 0, r 2 , a a 當(dāng) r1 0, r2 時(shí)， (r) 0為幾率最小位置 (3)(3)電子出現(xiàn)在 r+drr+dr 球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 $e2r/a0r2dr a0 d2 (r) T? r rr r 1 1 sinsin (sin (sin ) )

44、1 1 2 sinsin Je r/a0 3 “ a 2(e r/a0)r2sin drd d dr2 a0 8 2 ?e a 精品文檔 2) 4 - re e-dr (2 )3/2 . a3 ip o n ax n! x e dx n 1 n i 0 a * 4 4 4 _ a。 丄 3 3 / 2 2 2 2 珅2a a (ao P ) (2a。)3/2 (ao2p2 2)2 動(dòng)量幾率分布函數(shù) 1 e ao r /ao 1 dj-r2-(e r/ao)r2sin dr dr r / ao drd d 2 a； ao (2r 2 -)er/ao dr ao c(p) c(p) 2 aO礙 2

45、 刖) 2 a： p(r) (r, , )d 1 2 r/aor2dr i pr cos sin 3/2 3 (2 ) 一 ao r/ao , dr 丄 pr cos d( cos ) (2 、3/2 3 ).ao r/ao dr e ipr i -prcos (p) c(p)2 4ip ao 2 p2)2 ao -p)2 精品文檔 2) 4 8a： 5 2 (ao p2 精品文檔 3.33.3 證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是 J er J e 0 Je 證：電子的電流密度為 在球極坐標(biāo)中為 er r nm中的r和部分是實(shí)數(shù)。 可見(jiàn)，Jer Je 0 e m 2 .

46、n m r sin # # 3.43.4 由上題可知，氫原子中的電流可以看 作是由許多圓周電流組成的。 (1)(1) 求一圓周電流的磁矩。 (2)(2) 證明氫原子磁矩為Je ie 2 r sin (im I2 n m im nm 2)e 2e . n m r si n rsin Je eJ 1 e- 2 n m n m n m nm) rsin 式中 er、 e 、 e 為單位矢量 Je eJ e n m(er 2 r * n m (er r 1 -e r 1 * )n m -e r sin 1 1 e e )n m r r sin ie 2 er( e(rsin n m) e ( n 1

47、* n m m r * 1 * n m n m r sin n m n m n m r 精品文檔 2 me 2 M M z me 2 c (SI) (CGS) 原子磁矩與角動(dòng)量之比為 e (SI) Mz 2 Lz e (CGS2 c 這個(gè)比值稱為回轉(zhuǎn)磁比率。 解：（1 1） 一圓周電流的磁矩為 dM iA Je dS A （i為圓周電流，A為圓周所圍面積） e m rsin 2 dS (rsin )2 e m rsin 2 dS 栄 r2sin 2 drd (dS rdrd ) （2 2）氫原子的磁矩為 dM 2 2 n m r sin drd 2r2sin 2r2 sin drd drd d

48、 (SI) 在CGS單位制中 M 原子磁矩與角動(dòng)量之比為 Mz M Lz Lz (SI) M z e Lz 2 c (CGS) 精品文檔 3.53.5 一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I I，它的能量的經(jīng)典表示式是 對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù): (1)(1) 轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)： (2)(2) 轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)： 解：(1)(1)設(shè)該固定軸沿 Z Z 軸方向，則有 2I d d2 d d2 () d 2 i2m e m= m= 0,0, im m Ae A A 為歸一化常數(shù)，由歸一化條件F F，L L為角動(dòng)量，求與此 哈米頓算符 其本征方程為 L2 L2Z 2 2 d2 2 ( (H

49、?與 t無(wú)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題 2 d2 2 2IE 2 取其解為 im )Ae ( (m 可正可負(fù)可為由波函數(shù)的單值性, 應(yīng)有 im ( e 2 ) im e 轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 Em 2I (m= (m= 0 0，土 1 1, 2 2，) ) 可見(jiàn)能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。 定態(tài)波函數(shù)為 精品文檔 A 2 轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為 綜上所述，除 m=0m=0 夕卜，能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。 (2)(2)取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為 H?丄？2 2I H?與t無(wú)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題，其本征方程為 存Y( , ) EY(,) ( (式中Y(,)設(shè)為H的本征函數(shù)，E為其本征值) ) l?Y( ,

50、) 2IEY(,) 令2IE 2，則有 L?Y( , ) 2Y(,) 此即為角動(dòng)量L?2的本征方程，其本征值為 2 2 2 L ( 1) ( 0,1,2,) 其波函數(shù)為球諧函數(shù) Ym( , ) NmPm(cos )eim 轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 1) 2I 可見(jiàn)，能量是分立的，且是 (2 1)重簡(jiǎn)并的。 # # 3.6 3.6 設(shè) t=0t=0 時(shí)，粒子的狀態(tài)為 2 1 2 * 1 0 m md 2 2 A2 d 0 A2 2 m im e 精品文檔 (x) Asin kx 2 coskx 精品文檔 0 2 2 2 8 求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。 解: (x) Asin 2 kx 舟 cosk

51、x A: (1 cos2kx) 4 coskx 可見(jiàn), A 1 cos2kx 2 A 1 i2kx -1 1(e r i0 x e coskx i 2kx e i2kx e 動(dòng)量Pn的可能值為0 2k 上述的 1 ikx 2(e i2kx e 2k ikx ) ikx 4e ikx 2 動(dòng)能巴的可能值為 2 對(duì)應(yīng)的幾率 n應(yīng)為 A2 2k2 A2 16 2 2 2k2 2 k2 2 2 k2 2 2 A2 16 A2 16 A2 花）2 1 1 8 8 A A 為歸一化常數(shù), 1 8 可由歸一化條件，得 A2 A2 A2 材2 A2 2 動(dòng)量 1/ p的平均值為 Pn 2k A2 16 2k

52、A2 16 A2 16 A 2 0 16 2 Pn 2 2 2 2k2 2 2 2 5k2 2 精品文檔 3 3.73.7 一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是 (x) A0e x，丁 0, 當(dāng)x 其中 0，求： (1)(1) 粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù); (2)(2) 粒子的平均動(dòng)量。 解：(1)(1)先求歸一化常數(shù)，由 (x) 2 dx e 2 xdx A 2 3/2 (x) 2 3/2xe (x 0) (x) (x 0) c( p) ikx (x)dx xe ( ik)x (x)dx x e ik ik)x ik (ik)xdx (f 3 -) 1 /2 動(dòng)量幾率分布函數(shù)為 (p) c(p) (x)p (x

53、)dx x(1 x)e 2 xdx (x x2)e 2 xdx xe x _d dx (e x)dx 精品文檔 0 # # 3.8.3.8.在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為 a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫，A A 為歸一化常數(shù), 解：由波函數(shù) 數(shù)和本征值為 2 sin (x) . a 0, (x) Ax (a x) 求粒子的幾率分布和能量的平均值。 (x)的形式可知一維無(wú)限深勢(shì)阱的分布如圖示。 n x, a 粒子能量的本征函 0, En 2 2 2 n 2 a2 (n 1,2,3, 動(dòng)量的幾率分布函數(shù)為 (E) Cn Cn (x) (x)dx a sin 0 (x)dx 先把 (x

54、)歸一化，由歸一化條件, A2 2 (x) dx 2 0 x2(a x)dx A2 ：x2(a2 2 2ax x )dx 0出2 2ax x4)dx 5 2 a A(ar a5 a5 T) 5 A2a- 30 A 30 Cn 30 . 5 sin a x(a x)dx 215r 廠a a a . n x sin 0 xdx a sinn xd x a 2 15 3 a 2 a n x cos x n a 3 a 2 2 n sinn 2a2 2 2 n .n xsin x a 2a3 n pcosx n a 2 n x x cos x an a a 精品文檔 3.9.3.9.設(shè)氫原子處于狀態(tài)

55、扣21（）丫10（,） 十21（）丫11（,） 2 2 求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量 Z Z 分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué) 量的平均值。 解：在此能量中， 角動(dòng)量平方有確定值為 2 L ( 1) 角動(dòng)量 Z Z 分量的可能值為 Lz1 0 LZ2 其相應(yīng)的幾率分別為 其平均值為4 . 15 3【1 (E) Cn 2406【1 960 6 6 n 0, (x)H? a 30 “ 5 x(x 0a5 30 2 5 a a x(x 0 (1)n2 1, 3, 5, 2, 4, 6, (x)dx a) a)dx p2 (x& (x)dx 2 4x(x 2 dx a)dx 2

56、 3 30 (a (可 a 2 E2 2 es 2 2 n 2 es 8 2 (n 2) 氫原子能量有確定值 (1) 精品文檔 LZ 3.10 3.10 一粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能為 子的波函數(shù)只與r有關(guān)，而與 、 無(wú)關(guān)。設(shè)為 (r)，則粒子的能量的本征方程為 1(r2) 2 r dr dr 2 2 E 令 U(r) rE , k2 2 ，得 d 2u 2 2 k u 0 dr 其通解為 u(r) A cos kr B sin kr (r) A cos kr 旦 sinkr r r 波函數(shù)的有限性條件知， (0)有限，則 B (r) sin kr r 由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有 B U(r

57、) ,r a; 0, r a 求粒子的能級(jí)和定態(tài)函數(shù)。 解：據(jù)題意，在r a的區(qū)域，U(r) 這區(qū)域粒子的波函數(shù) ，所以粒子不可能運(yùn)動(dòng)到這一區(qū)域，即在 0 ( (r a) ) 由于在r a的區(qū)域內(nèi)，U (r) 0。只求角動(dòng)量為零的情況，即 0，這時(shí)在各個(gè)方向 發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度 無(wú)關(guān)，是各向同性的，因此，粒 精品文檔 (a) 0 sin ka 0 a精品文檔 2 (X) 其中 3.11.3.11. 3.123.12 式中 / B 0 ka (n 1,2,) En 22 (r) B B 為歸一化, 2 n 2 a2 B . n sin r r a 由歸一化條件得 0d

58、 0d 4 aB2si n2 0 /a 歸一化的波函數(shù) (r)2 r2 S in dr rdr a aB2 (r) 求第 3.63.6 題中粒子位置和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 (X)2 ( p)2 解: (X)2 粒子處于狀態(tài) A2XSin2 kx 2 2 2 A X sin kx 2 2 2 (p)2 (X2 X ) ()1/2exp丄 2 1 2 coskx dx 0 -coskx2 dx 2 (p PoX 2 p ) 為常量。當(dāng)粒子的動(dòng)量平均值，并計(jì)算測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 （X）2 （ p）2 解：先把 （x）歸一化，由歸一化條件，得 精品文檔 x2 1 尹 2 e 2 dx 占d( x ) d(2 2)

59、 是歸一化的 1 (2 1 )1/2 ) （X） exp丄 PoX 動(dòng)量平均值為 x2 dx dx i Pox -x2 i 2 ( Po i ft)x x)e -x2 2 dx i Po x)e x2 dx Po Po 2 x dx 2 xe % dx x)2 x2e 2( (P)2 dx xe 2 x dx （奇被積函數(shù)） x2 dx xe x2 x2 dx * dx 2 匹) 匹） dx i2 Po xe i Pox dx x2 d2 e dx i Pox 2 dx 2)2 2、 Po) 精品文檔 (X)2 2 X 2 X i 2 (P)2 P2 2 P (2 2 2、 2 2 Po) P

60、o 2 2 2 (x) ( p) 3.133.13 利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)氫原子的基態(tài)能量。 解：設(shè)氫原子基態(tài)的最概然半徑為 R R,則原子半徑的不確定范圍可近似取為 r R 由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 _ _ 2 2 2 (r) ( p) 4 (P)2 4R2 對(duì)于氫原子，基態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，而動(dòng)量算符 P為奇宇稱，所以 又有 所以 可近似取 能量平均值為 P 0 2 _2 2 (P)2 P P2 (P)2 4R2 R2 P2 2 es 作為數(shù)量級(jí)估算可近似取 則有 2 es 2 es r R 2 2 E 2 R2 R 精品文檔 基態(tài)能量應(yīng)取E的極小值，由精品文檔 100 100 代入E ,得到基態(tài)能量為 1 1 試以基態(tài)氫原子為例證明: