理論力學(xué)--空間力系3

1、 F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k1. 空間力的投影和分解空間力的投影和分解OxyFzF = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz kyzOxFFxy2. 空間匯交力系的合成與平衡條件空間匯交力系的合成與平衡條件 空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。通過匯交點(diǎn)。 求：求：繩的拉力和墻體的約束力。繩的拉力和墻體的約束力。解：解：取球體為研究對(duì)象取球體為研究對(duì)象解得：解得：OABCE PyxzFEFBFA1. 力對(duì)點(diǎn)的矩力對(duì)點(diǎn)的矩空間的力對(duì)空間的力對(duì)O點(diǎn)之矩取決于：點(diǎn)之矩取決于：（1）力矩的

2、）力矩的大小大??；（2）力矩的）力矩的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向；（3）力矩）力矩作用面方位作用面方位。 須用一矢量表征須用一矢量表征 MO(F) =Fh=2OAB )(FMOMO(F)= rFOBrhyxzA(x,y,z)FMO(F)MO(F)定位矢量定位矢量力對(duì)點(diǎn)力對(duì)點(diǎn)O的矩在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為的矩在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為:()OzyxyFzFMF()OyxzxFyFMF()OxzyzFxFMF)(FMOOBrhyxzA(x,y,z)FMO(F)2. 力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩Oxyz 力對(duì)軸的矩等于力在垂直力對(duì)軸的矩等于力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)軸于該軸的平面上的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)的矩。與平面交點(diǎn)的矩。力對(duì)

3、軸之矩用來表征力對(duì)軸之矩用來表征力對(duì)剛體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力對(duì)剛體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 當(dāng)力與軸在同一平面時(shí)，力對(duì)該軸的矩等于零。當(dāng)力與軸在同一平面時(shí)，力對(duì)該軸的矩等于零。BAFhFxybFzyzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy3. 力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系 力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。()OzyxyFzFMF()OyxzxFyFMF()OxzyzFxFMF已知：已知：F、 a、b、。求：求： MO(F)解：解：方法一、方法一、 直接計(jì)算直接計(jì)算方法二、方

4、法二、 利用力矩關(guān)系利用力矩關(guān)系已知：已知：F、 a、b、。求：求： MO(F)zPOabcAxyMO(P)已知：已知：P 、 a、b、c。求：求：力力P 對(duì)對(duì)OA軸之矩。軸之矩。解：解：（1）計(jì)算）計(jì)算 MO(P)（2）利用力矩關(guān)系）利用力矩關(guān)系OABCFDxyz已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：求：力力 F 對(duì)對(duì)OA 邊中點(diǎn)邊中點(diǎn)D之矩在之矩在AC方向的投影。方向的投影。解：解：利用力矩關(guān)系利用力矩關(guān)系OABCFDxyz已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：求：力力 F 對(duì)對(duì)OA 邊中點(diǎn)邊中點(diǎn)D之矩在之矩在AC方向的投影。方向的投影。FF ABM

5、 自由矢量自由矢量 1 空間力偶的定義空間力偶的定義兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等，則它們是等效的。兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等，則它們是等效的。(1) 力偶矩的大??；力偶矩的大??；(2) 力偶的轉(zhuǎn)向；力偶的轉(zhuǎn)向；(3) 力偶作用面的方位。力偶作用面的方位。 3 空間力偶系的合成與平衡空間力偶系的合成與平衡 任意個(gè)空間力偶可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于任意個(gè)空間力偶可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。各分力偶矩矢的矢量和。M合力偶矩矢：合力偶矩矢：作業(yè)：作業(yè)：(習(xí)題習(xí)題)p106:3-6，3-9, 3-11ABCF1F2F3Ozxy1. 空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)

6、化OzxyM11F M22F M33FOzxyRF MO主矢主矢主矩主矩空間任意力系向任一點(diǎn)空間任意力系向任一點(diǎn) O 簡(jiǎn)化，可得一力和簡(jiǎn)化，可得一力和一力偶。力的大小和方向等于該力系的主矢，一力偶。力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡(jiǎn)化中心；力偶的矩矢等于該力作用線通過簡(jiǎn)化中心；力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。主矢與簡(jiǎn)化中心位置系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。主矢與簡(jiǎn)化中心位置無關(guān)，主矩一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。無關(guān)，主矩一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。OzxyRF MO1()nOOiiMMF 由于力偶矩矢與矩心位置無關(guān)，因此，在這種情況下，由于力偶矩矢與矩心位置無關(guān)，因此，在這種情況下，主矩與簡(jiǎn)化中心的位置

7、無關(guān)。主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。 合力的作用線通過簡(jiǎn)化中心合力的作用線通過簡(jiǎn)化中心 oRF Moo1FRo1FRFRRF do RF MoOORF 力螺旋力螺旋右螺旋右螺旋RRR()()()()OOOiOOiMF dMMMMFFFFR()()zziMMFFRF MoOORF 左螺旋左螺旋力螺旋：力螺旋：由一力和力偶組成，力垂直于力由一力和力偶組成，力垂直于力偶的作用面。偶的作用面。力螺旋是由靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素力和力力螺旋是由靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素力和力偶組成的最簡(jiǎn)單力系，不能進(jìn)一步合成。偶組成的最簡(jiǎn)單力系，不能進(jìn)一步合成。 ORF MOORF MOMOOFRO1MOdcossinOOOO MM

8、MMRRsinOOdMMFF 一般情形下空間一般情形下空間任意力系可合成任意力系可合成為力螺旋。為力螺旋。 原力系平衡原力系平衡OxyzF1F2ABCDEGH 例例5、棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為 a 的正方體上作用的力系如圖的正方體上作用的力系如圖示。示。F1=F2=F。求：求：（1）力系的主矢量；）力系的主矢量；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；（方向投影的大小；（3）力系對(duì)力系對(duì)AC軸之矩；（軸之矩；（4）力系最終可簡(jiǎn)化為）力系最終可簡(jiǎn)化為力螺旋，其中力偶矩大小。力螺旋，其中力偶矩大小。解解: （1）力系的主矢量）力系的主矢量（2）主矢量在主矢量在 OE 方向投影的大小方向投影的大?。?）

9、力系對(duì)）力系對(duì) AC 軸之矩軸之矩OxyzF1F2ABCDEGH例例5、棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為 a 的正方體上作用的力系如圖示。的正方體上作用的力系如圖示。F1=F2=F。求：求：（1）力系）力系的主矢量；（的主矢量；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；（方向投影的大小；（3）力系對(duì)）力系對(duì)AC軸之矩；軸之矩；（4）力系最終可簡(jiǎn)化為力螺旋，其中力偶矩大小。）力系最終可簡(jiǎn)化為力螺旋，其中力偶矩大小。（4）力系最終可簡(jiǎn)化為力螺旋，其中力偶矩大?。┝ο底罱K可簡(jiǎn)化為力螺旋，其中力偶矩大小例例5、棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為 a 的正方體上作用的力系如圖示。的正方體上作用的力系如圖示。F1=F2=F。求：求：（1）力

10、系）力系的主矢量；（的主矢量；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；（方向投影的大小；（3）力系對(duì)）力系對(duì)AC軸之矩；軸之矩；（4）力系最終可簡(jiǎn)化為力螺旋，其中力偶矩大小。）力系最終可簡(jiǎn)化為力螺旋，其中力偶矩大小。OxyzF1F2ABCDEGH空間平行力系空間平行力系平面任意力系平面任意力系平衡條件：平衡條件：RO 00FM平衡方程平衡方程:（1）空間鉸鏈：）空間鉸鏈：（2）徑向軸承：）徑向軸承：（3）徑向止推軸承：）徑向止推軸承：（4）空間固定端：）空間固定端：CABEHDxy PAB,CDHzQ( )0,cos30cos30cos03( )0,(sin30 )02220,0yAA

11、xABzABCaMFF aQPlaaaMFFF aQPlFFFFPQ已知：已知： Q=100kN，P=20kN，a=5m，l=3.5m， = 30求：求：各輪的支持力。又當(dāng)各輪的支持力。又當(dāng)= 0時(shí)，時(shí)， 最最大載重大載重Pmax是多少是多少？解解: 取起重機(jī)為研究對(duì)象取起重機(jī)為研究對(duì)象解得解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kNFAFCFB（2）當(dāng)當(dāng) = 0，由上面方程得：，由上面方程得：為確保安全，必須：為確保安全，必須：FA0解題中需要注意的幾點(diǎn)：解題中需要注意的幾點(diǎn)：1. 選投影軸時(shí)應(yīng)盡量與其余未知力垂直；選投影軸時(shí)應(yīng)盡量與其余未知力垂直；2. 選矩的軸時(shí)

12、應(yīng)盡量與其余未知力平行或相交；選矩的軸時(shí)應(yīng)盡量與其余未知力平行或相交；3. 投影軸不必相互垂直，取矩的軸也不必與投影軸重合；投影軸不必相互垂直，取矩的軸也不必與投影軸重合；4. 力矩方程的數(shù)目可取力矩方程的數(shù)目可取36個(gè)。個(gè)。( )0,cos30cos30cos03yAaMFF aQPl已知：已知：a = 0.3m，b =0.4m， c = 0.6m，R = 0.25m，r = 0.1m，P = 10kN，F(xiàn)1= 2F2。求：求： F1、F2 及及A、B處約束力。處約束力。解：解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象取系統(tǒng)為研究對(duì)象解得解得:abcABF1xzyRF2PrFAxFAzFBxFBz已知：已知：力偶矩

13、力偶矩M2和和M3求：求：平衡時(shí)平衡時(shí)M1和支座和支座A、D的約束力。的約束力。解：解：取曲桿為研究對(duì)象取曲桿為研究對(duì)象yABCDM1bcaxzM2M3FAyFAzFDyFDzFDx已知：已知：等邊三角形板的邊長(zhǎng)為等邊三角形板的邊長(zhǎng)為a，在板面內(nèi)作用一矩為在板面內(nèi)作用一矩為 M 的力偶，的力偶，板、桿自重不計(jì)。板、桿自重不計(jì)。求：求：桿的內(nèi)力。桿的內(nèi)力。解解: 取板為研究對(duì)象取板為研究對(duì)象解得：解得：ACBDEF303030123456MF3F6F5F2F4F1456142536()0,cos30cos300()0,cos30cos300()0,cos30cos300()0,cos30sin3

14、0cos300()0,cos30sin30cos300()0,cos30sin30FCDAEBCBCAABMFaMMFaMMFaMMF aFaMFaFaMF aFFFFFFFcos300a1. 平行力系中心平行力系中心FR = F1+F2由合力矩定理可確定合力作用點(diǎn)由合力矩定理可確定合力作用點(diǎn)C： 力平行力系的合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作力平行力系的合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點(diǎn)為此平行用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點(diǎn)為此平行力系的中心。力系的中心。平行力系中心為合力通過的一個(gè)點(diǎn)。平行力系中心為合力通過的一個(gè)點(diǎn)。由合

15、力矩定理，得：由合力矩定理，得：zOxyBAF1F2r1r2rCCFR設(shè)力的作用線方向單位矢量為設(shè)力的作用線方向單位矢量為 F0zOxyBAF1F2r1r2rCCFRF02. 重心的概念及其坐標(biāo)公式重心的概念及其坐標(biāo)公式zOxyPPiCVixCyCzCxiyizi由合力矩定理，得：由合力矩定理，得：若物體是均質(zhì)的，得：若物體是均質(zhì)的，得：地球表面物體的地球表面物體的重力重力可以看做是平行力可以看做是平行力系，其中心即為物體的系，其中心即為物體的重心重心。均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，通常稱均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，通常稱形心。形心。 3. 確定物體重心的方法確定物體重心的方法（1）簡(jiǎn)單幾何形狀

16、物體的重心）簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心求：求：半徑為半徑為R，圓心角為，圓心角為2 的均質(zhì)的均質(zhì)圓弧線的重心。圓弧線的重心。解解: 取圓心取圓心 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)yx可查工程手冊(cè)?？刹楣こ淌謨?cè)。oABRRdld求：求：半徑為半徑為R，圓心角為，圓心角為2 的的均質(zhì)扇形的重心。均質(zhì)扇形的重心。解解: 取圓心取圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)半圓形的重心：半圓形的重心：OABxyd3. 確定物體重心的方法確定物體重心的方法(a) 分割法分割法oxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mm（2）用組合法求重心）用組合法求重心求：求：Z 形截面重心。形截面重心。解解: 建立圖示坐標(biāo)系建立圖示

17、坐標(biāo)系x1=15, y1=45, A1=300 x2=5, y2=30, A2=400 x3=15, y3=5, A3=300(b)負(fù)面積法（負(fù)體積法）負(fù)面積法（負(fù)體積法）40mm50mmxyo20mm求：求：圖示截面重心。圖示截面重心。解：解：建立圖示坐標(biāo)系，由對(duì)建立圖示坐標(biāo)系，由對(duì)稱性可知：稱性可知：yC=0F2 (a) 懸掛法懸掛法AFAPABFBPDE（3）用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定重心的位置）用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定重心的位置 (b) 稱重法稱重法F1PlFxC1第一步：第一步：PlFxC2第二步：第二步：22121HlHPFFrzC22sin,cosHlHllcossinCCxxh cosll CChz

18、r思考題：思考題：1. 空間平行力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果一定不可能為力螺旋?？臻g平行力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果一定不可能為力螺旋。2. 根據(jù)力的平移定理，一個(gè)力平移后得到一個(gè)力和一個(gè)根據(jù)力的平移定理，一個(gè)力平移后得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，反之一個(gè)力和一個(gè)力偶肯定能合成為一個(gè)力。力偶，反之一個(gè)力和一個(gè)力偶肯定能合成為一個(gè)力。3. 作用于剛體上的任何三個(gè)相互平衡的力，必定共面。作用于剛體上的任何三個(gè)相互平衡的力，必定共面。4. 空間任意力系總可以用兩個(gè)力來平衡?？臻g任意力系總可以用兩個(gè)力來平衡。5. 若空間力系各力作用線都平行于某一平面，則其最多若空間力系各力作用線都平行于某一平面，則其最多的獨(dú)立平衡方程有的獨(dú)立平

19、衡方程有 個(gè)；個(gè)； 若各力的作用線都垂直于若各力的作用線都垂直于某平面，則其最多的獨(dú)立平衡方程有某平面，則其最多的獨(dú)立平衡方程有 個(gè)；個(gè)； 若各力若各力的作用線都與某一直線相交，則其最多的獨(dú)立平衡方程的作用線都與某一直線相交，則其最多的獨(dú)立平衡方程有有 個(gè)。個(gè)。oxyzF1F2F3oxyzF1F2F3F46. 沿長(zhǎng)方體的不相交且不平行的三條棱邊作用三個(gè)相等沿長(zhǎng)方體的不相交且不平行的三條棱邊作用三個(gè)相等的力的力P，如圖示，欲使此力系能簡(jiǎn)化為一個(gè)力，則，如圖示，欲使此力系能簡(jiǎn)化為一個(gè)力，則a、b、c應(yīng)滿足關(guān)系：應(yīng)滿足關(guān)系： 。7. 棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為 a 的正方體上作用的力系如圖示。的正方體上作用的力系如圖示。則其簡(jiǎn)化的最后結(jié)果是：則其簡(jiǎn)化的最后結(jié)果是： 。PPPabc(習(xí)題習(xí)題)p108-p111: 3-14, 3-16，3-25作業(yè)作業(yè)1. 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影yzOxFFxyOxyFz2. 力矩的計(jì)算力矩的計(jì)算（1）力對(duì)點(diǎn)的矩）力對(duì)點(diǎn)的矩 MO(F) =Fh=2OAB OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)OABabFFxyhz（2）力對(duì)軸的矩）力對(duì)軸的矩 yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy 力對(duì)軸的矩等于力在垂直于力對(duì)軸的矩等于力在垂直于該軸的平面上的投