兩角和差正余弦公式的證明

1、兩角和差正余弦公式的證明北京四中數(shù)學組 皇甫力超論文摘要：本文對兩角和差的正余弦公式的推導進行了探討。 在單位圓的框架下 , 我們得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 與差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我們得到了和角正弦公式 ( 方法 3 11 ) 與差角正弦公式 ( 方法 12,13)。關鍵詞：兩角和差的正余弦公式正文：兩角和差的正余弦公式是三角學中很重要的一組公式。 下面我們就它們的推導證明方法進行探討。由角 , 的三角函數(shù)值表示 的正弦或余弦值 , 這正是兩角和差的正余弦公式的功能。 換言之 , 要推導兩角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一個等式或方程 , 將 或

2、與 , 的三角函數(shù)聯(lián)系起來。根據(jù)誘導公式 , 由角 的三角函數(shù)可以得到 的三角函數(shù)。 因此 , 由和角公式容易得到對應的差角公式 , 也可以由差角公式得到對應的和角公式。 又因為 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 據(jù)此 , 可以實現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導。 因此 , 只要解決這組公式中的一個 , 其余的公式將很容易得到。(一) 在單位圓的框架下推導和差角余弦公式注意到單位圓比較容易表示 , 和 , 而且角的終邊與單位圓的交點坐標可以用三角函數(shù)值表示 , 因此 , 我們可以用單位圓來構造聯(lián)系 與 , 的三角函數(shù)值的等式。1. 和角余弦公式(方法 1) 如圖所示, 在直角坐標系 中作單位

3、圓 , 并作角 , 和 , 使角 的始邊為 , 交 于點 A, 終邊交 于點 B；角 始邊為 , 終邊交 于點 C；角 始邊為 , 終邊交 于點。從而點 A, B, C和 D的坐標分別為, ,。由兩點間距離公式得；。注意到 , 因此。注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架 , 利用平面內兩點間距離公式表達兩條相等線段, 從而得到我們所要的等式。注意, 公式中的 和 為任意角。2. 差角余弦公式仍然在單位圓的框架下 , 用平面內兩點間距離公式和余弦定理表達同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是(方法2) 如圖所示, 在坐標系 中作單位圓 , 并作角 和 , 使角 和 的始邊

4、均為 , 交 于點 C, 角 終邊交 于點 A,角 終邊交 于點。從而點 A, B的坐標為,。由兩點間距離公式得。由余弦定理得。從而有。注記：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依賴于 是三角形的內角。 因此, 還需要補充討論角 和 的終邊共線, 以及 大于 的情形。容易驗證 , 公式在以上情形中依然成立。在上邊的證明中 , 用余弦定理計算 的過程也可以用勾股定理來進行。(二) 在三角形的框架下推導和差角正弦公式除了在單位圓的框架下推導和差角的余弦公式 , 還可以在三角形中構造和角或差角來證明和差角的正弦公式。1. 和角正弦公式 (一)(方法3) 如圖所示, 為 的 邊上的高 , 為 邊上的高。

5、設 , , , 則。從而有, ,。因此 ,。注意到 ,從而有,整理可得。注記：在方法 3 中 , 用 和與底角 , 相關的三角函數(shù), 從兩個角度來表示 邊上高 , 從而得到所希望的等式關系。 這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的 , 對基于直角或銳角三角形的情形 , 證明過程類似。利用方法 3 中的圖形 , 我們用類似于恒等變形的方式 , 可以得到下面的(方法 4) 如圖所示, 為 的 邊上的高 , 為 邊上的高。 設 , , 則。注意到 , 則有,即。從而有 。利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個非常簡潔的證法。 注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。(方法 5

6、) 如圖所示 , 為 的 邊上的高。 設 , , 則有 ,。 由正弦定理可得,其中 d為 的外接圓直徑。由 得,從而有。2. 和角正弦公式 ( 二 )方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角 , 放在三角形的兩個底角上。 如果將這兩個角的和作為三角形的一個內角 , 將會有下面的幾種證法 ( 方法 611)。(方法 6) 如圖所示 , 作 于D, 交 外接圓于 E, 連 和。 設, , 則, , 。設 的外接圓直徑為 d, 則有, ,。所以有。注意到 , 從而。(方法 7) 如圖所示 , 為 的 邊上的高 , 為 邊上的高。設 , , 則。 設 , 則, , , 。又從而。整理可得 。(方法

7、8) 如圖所示 , 作 于D, 過 D作 于 F, 于G。 設 , 則 ,設 , 從而 ,。所以。注意到 , 則有 。注記：我們用兩種不同的方法計算 , 得到了和角的正弦公式。 如果我們用兩種方法來計算 , 則可以得到和角的余弦公式。 由上圖可得,從而有。注意到 , 從而可得。方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函數(shù)從兩個角度表示圖形中的同一線段 , 從而構造出我們所希望的等式關系。(方法 9 ) 如圖所示 , 設 為 的 邊上的高。 設 , , , 從而有方法 9 利用面積關系構造三角恒等式。下面這兩個證法的思路則有所不同。(方法 10) 如圖所示 , 設 為 的外接圓直徑d, 長度為

8、d。 設 , , 則 , 從而注記：這一證明用到了托勒密定理：若 和 是圓內接四邊形的對角線 , 則有。(方法 11) 如圖所示 , 為 的 邊上的高。 設 , , 則。 設 , 則方法 10 和 11 將某一線段作為基本量 , 利用與角 , 相關的三角函數(shù)表示其它線段 , 再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 構造出我們希望的等式關系。3. 差角正弦公式仍然還是在三角形中 , 我們可以在三角形的內角里構造出差角來。 方法 12 和 13 便是用這種想法來證明的。(方法 12) 如圖所示 ,。 設 , , 記 , 作 于 E, 則 , , 從而有(方法 13) 如圖所示

9、 , 為 的外接圓直徑 , 長度為 d。設 , , 則 , 。 從而方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計算同一線段 , 借此來構造等式關系。很顯然 , 在這十二種證法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。 換言之 , 這兩種方法中出現(xiàn)的角 , 是任意角。 而其余方法中 , 角 和 則有一定的限制 , 它們都是三角形的內角 ( 甚至都是銳角 )。因此 , 對于方法 313, 我們需要將我們的結果推廣到角 和 是任意角的情形。 具體而言 , 我們要證明：如果公式對任意 成立 , 則對任意角也成立。容易驗證 , 角 和 中至少有一個是軸上角 ( 即終邊在坐標軸上的角 ), 我們的公

10、式是成立的。 下面證明 , 角 和 都是象限角 ( 即終邊在坐標系的某一象限中的角 ) 時 , 我們的公式也成立。 不妨設 為第二象限角 , 為第三象限角 , 從而有從而同理可證, 公式對于象限角 和 的其它組合方式都成立。因此 , 我們可以將方法 313 推導的公式推廣到角 , 是任意角的情形。兩角和差的正余弦公式是三角學中很基本的一組公式。 其推導證明對指導學生進行探究性學習很有幫助。 從上文中可以看到 , 這一探究過程可分為四個步驟：(1) 明確推導證明的目標：構造聯(lián)系 和 三角函數(shù)與 或 的等式或方程 ；(2) 簡化課題：四個公式只要解決一個 , 其余的都可由它推出 ；(3) 解決問題：利用單位圓或三角形作為聯(lián)系 和 三角函數(shù)與 或 的工具 , 尋找我們希望的等式關系 ；(4) 完善解決問題的方法：考察方法是否有普遍性。 如果普遍性有欠缺 , 可考慮將其化歸為已解決的情形 , 必要時還要進行分類討論。參考文獻：1.谷丹：全面數(shù)學教