進制與位值原理(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第十一講 進位制與位值原理經(jīng)典精講進位制部分重點在于各種進位制與十進制之間轉(zhuǎn)換及計算的規(guī)律，并熟悉進制的應(yīng)用 在有些數(shù)論問題中，用代數(shù)式來表示數(shù)往往能使問題迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到簡化解題過程的作用 掌握進位制的基本方法和常見技巧； 了解整數(shù)的代數(shù)表現(xiàn)形式并能熟練應(yīng)用同學(xué)們在進行整數(shù)四則計算時，用的都是十進制，即“滿十進一”，十進制是最常用的進位制，這與人們屈指計數(shù)的習(xí)慣相符，使用起來也很方便隨著人類對數(shù)的認識不斷深入，產(chǎn)生了各種不同的進位制，我們來一起看一些例子兩只襪子為一雙，兩只水桶為一對，這里使用的是二進制；十二支鉛筆為一打，十二個月算一年，這里使

2、用的是十二進制；六十秒是一分，六十分是一時，這里使用的是六十進制；二十四時為一天，這里使用的是二十四進制；平方分米等于平方米，平方厘米等于平方分米，這里使用的是一百進制；米等于千米，克等于千克，這里使用的是一千進制；進制問題與我們的生活息息相關(guān)，我們有必要掌握一些進制方面的知識，它會給我們的生活帶來很多便利哦！什么叫二進制所謂二進制，就是只用與兩個數(shù)字，在計數(shù)與計算時必須是“滿二進一”大家知道：數(shù)是計算物體的個數(shù)而引進的，代表什么也沒有，有一個，記為“”；再多一個，記為“”(在十進制下記為)；比“”再多一個，記為“”依次類推，我們很容易接受二進制下從小到大的數(shù)列，列表如下：十進制二進制十進制二

3、進制十進制二進制十進制二進制12341101110056781011101111000910111210011010101111001314151611011110111110000二進制的最大優(yōu)點是：每個數(shù)的各個數(shù)位上只有兩種狀態(tài)0或1這樣，我們便可以通過簡單的方法，例如白與黑、虛與實、負與正、點與劃、小與大、暗與亮(在計算機中主要用電壓的高與低)等等手段加以表示當然，二進制也有不足，正如大家看到的那樣，同一個數(shù)在二進制中要比在十進制中位數(shù)多得多十進制與二進制的互相轉(zhuǎn)化今天，當我們寫上一個數(shù)目時，實際上意味著我們使用了“十進制”數(shù)， ，也就是說：中含有一個，九個，九個與九個為了敘述的方便，我

4、們約定：用表示括號內(nèi)寫的數(shù)是二進制數(shù)，如；用表示括號中寫的數(shù)是十進制數(shù)，如；十進制的標志可省略，就代表十進制下的數(shù)二進制數(shù)表示十進制數(shù)；二進制數(shù)，表示十進制數(shù)；二進制數(shù)，表示十進制數(shù)；二進制數(shù)表示十進制數(shù)；可以看出規(guī)律：二進制數(shù)應(yīng)該表示十進制數(shù)，那么我們可以得到，二進制數(shù)中計數(shù)單位與十進制數(shù)有如下關(guān)系：二進制數(shù)十進制數(shù) 關(guān)于進位制的兩個需要注意的地方： 二進制數(shù)有0，1兩個數(shù)符，由低位向高位是“逢二進一”；八進制數(shù)有0，1，2，7八個數(shù)符，由低位向高位是“逢八進一”；十六進制數(shù)有0，1，2，13，14，15十六個數(shù)符，由低位向高位是“逢十六進一”根據(jù)科學(xué)技術(shù)的需要，還可以擴充其他進位制數(shù)的概念

5、和運算 為了區(qū)別各種進位制數(shù)，進制中的數(shù)用表示如果，那么從10到的這些數(shù)符可用專門記號(一般情況下用大寫英文字母)來表示比如，用表示10，表示11，表示12，表示13，表示14，表示15等等 十進制數(shù)與進制數(shù)的互換：進制數(shù)寫成十進制數(shù)是十進制數(shù)化成進制數(shù)，只要把十進制數(shù)用除，記下余數(shù)；再用除它的商，又記下余數(shù)；直到商為0；將余數(shù)自下而上依次排列，就得到一個進制的數(shù)這叫做“除取余法” 如把1234化成三進制數(shù)： 所以， 一般地，一個自然數(shù)可表示為的形式，其中，是0，1，2，3，9中的一個，且，即：這就是十進制數(shù)，記作，簡記為十進制數(shù)有兩個特征：一是有十個不同的數(shù)符：0，1，2，3，4，5，6，7

6、，8，9；二是“逢十進一”的法則：有個、十、百、千等自右向左的數(shù)位和十分位、百分位、千分位等自左向右的數(shù)位 對于進位制需要注意其本質(zhì)：進制就是逢進一例1分析 掌握十進制轉(zhuǎn)化為進制的基本方法：短除法.以和為例.我們用2去除37，記下每次得到的余數(shù)，一直除到商為0為止.然后將余數(shù)由下至上寫出來，就是37的二進制數(shù). 同樣的方法，我們用8去除888，一直除到商為0為止，把余數(shù)由下至上寫出來，得到：.鞏固 （基礎(chǔ)學(xué)案1）將、改寫成二進制數(shù)分析 可以按照短除法來做，也可以按照如下的方法.鞏固 （提高學(xué)案1）將、改寫成七進制數(shù)分析 短除法.；提高 （尖子學(xué)案1）十六進制從古至今一直影響著我們的日常生活.我

7、國古代1斤等于十六兩，所以會有“半斤八兩”這樣一個成語.現(xiàn)在，我們通常用來表示十六進制中的.那么，聰明的同學(xué)們，你們能把十進制中的234化成十六進制數(shù)嗎？分析 仍然用短除法.例2分析 進制數(shù)化為十進制數(shù)的一般方法是：首先將進制數(shù)按的次冪形式展開，然后按十進制數(shù)相加即可得結(jié)果當然計算時，數(shù)位是0的可以省略.例3分析 （1）可轉(zhuǎn)化成十進制來計算：；如果對進制的知識較熟悉，可直接在二進制下對進行除法計算，只是每次借位都是2，可得；（2）十進制中，兩個數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補數(shù)”，湊出“互補數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在進制中也有“湊整法”，要湊的就是整原式；（3）本題涉及到3個不同的

8、進位制，應(yīng)統(tǒng)一到一個進制下統(tǒng)一到十進制比較適宜：鋪墊 （基礎(chǔ)學(xué)案2）嘗試用豎式來計算二進制的加減法分析 十進制的加減法運算，需要“滿十進一”，“借十當一”.那么在二進制里面也一樣，“滿二進一”，“借二當一”.鋪墊 （提高學(xué)案2）嘗試用豎式來計算二進制的乘除法分析 列豎式： 列豎式： 得： 得： 拓展 （尖子學(xué)案2）完成下列進制的轉(zhuǎn)化 分析 不同進制之間的互化有一個通法，就是先化成十進制，再從十進制再轉(zhuǎn)化.二進制和十六進制的互化有一個更簡單的方法.二進制是計算機工作的基本語言.但是二進制數(shù)位太長了，不利于人類識別和使用，因此我們把二進制的每4位和在一起，就變成了十六進制.那么第一個問題，我們把它

9、每4位數(shù)碼合在一起，因此.第二個問題，我們把它每一位拆成4位二進制數(shù)，因此，.例4分析 利用尾數(shù)分析來解決這個問題：由于，由于式中為100，尾數(shù)為0，也就是說已經(jīng)將12全部進到上一位所以說進位制為12的約數(shù)，也就是12，6，4，3，2中的一個但是式子中出現(xiàn)了4，所以要比4大，不可能是4，3，2進制另外，由于，因為，也就是說不到10就已經(jīng)進位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以， 只能是6鞏固 （基礎(chǔ)學(xué)案3）在幾進制中有？分析 注意，因為，所以一定是不到10就已經(jīng)進位，才能得到16324，所以再注意尾數(shù)分析，而16324的末位為4，于是進到上一位所以說進位制為21的約數(shù)，又小于10，也就

10、是可能為7或3因為出現(xiàn)了6，所以只能是7拓展 （提高學(xué)案3）算式是幾進制數(shù)的乘法？ 分析 注意到尾數(shù)，在足夠大的進位制中有乘積的個位數(shù)字為，但是現(xiàn)在為4，說明進走，所以進位制為16的約數(shù)，可能為16、8、4或2因為原式中有數(shù)字5，所以不可能為4、2進位，而在十進制中有，所以在原式中不到10就有進位，即進位制小于10，于是原式為8進制拓展 （尖子學(xué)案3）記號表示k進制的數(shù)，如果是的兩倍，那么，在十進制表示的數(shù)是多少？分析 可用位值原理來進行計算.，依題意，解得.例5分析 設(shè)此數(shù)為，利用位值原理轉(zhuǎn)化為十進制數(shù).又是三進制中的數(shù)字，所以，那么易得，.十進制表示是22.鞏固 在七進制中有三位數(shù)，化為九

11、進制為，求這個三位數(shù)在十進制中為多少？分析 首先還原為十進制：；于是；得到，即因為是8的倍數(shù)，也是8的倍數(shù)，所以也應(yīng)該是8的倍數(shù)，于是或8但是在7進制下，不可能有8這個數(shù)字于是，則所以為的倍數(shù)，為3的倍數(shù)所以，或5，但是，首位不可以是0，于是，；所以于是，這個三位數(shù)在十進制中為248拓展 用分別代表五進制中五個互不相同的數(shù)字，如果，是由小到大排列的連續(xù)正整數(shù)，那么所表示的整數(shù)寫成十進制的表示是多少？分析 注意，第二位改變了，也就是說求和過程個位有進位，則，而，則而，所以，則又，所以，那么，為即所表示的整數(shù)寫成十進制的表示是108提高 自然數(shù)化為二進制后是一個7位數(shù)，那么x是多少？分析 根據(jù)位值

12、原理，于是.又是二進制中的數(shù)字，因此，那么易得.補充是自然數(shù)，進制數(shù)和進制數(shù)相等，的最小值是多少？分析 ，根據(jù)位值原理，左右兩邊取4的模，有，那么，的最小值是9，此時.那么，例6分析 若給每個盒子分別放入：，發(fā)子彈，即相當于二進制數(shù)中的：，即在十個盒子對應(yīng)的數(shù)位上是1，而其余位上均為0這樣我們可以任意抽出：以內(nèi)的任何發(fā)子彈，但由于現(xiàn)在總共只有1000發(fā)子彈，所以先在前9個盒子中分別裝：，發(fā)子彈，相當于二進制數(shù)中的，發(fā)子彈，最后一個盒子中只能放發(fā)子彈，即發(fā)子彈即可湊出1000以內(nèi)的任何數(shù)發(fā)子彈所以十個盒子中應(yīng)分別裝子彈數(shù)為：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489鋪墊 （基礎(chǔ)學(xué)案

13、4）茶葉店以“兩”為單位整兩出售茶葉，顧客來買茶葉時，店員們先用天平稱出重量，再打成小包交給顧客由于顧客時多時少，所以店員們有時忙不過來，有時又閑的無事于是，老板想出一個辦法，閑的時候讓店員們將茶葉稱好后打成小包，忙的時候讓店員們直接拿出小包交給顧客，省去了用天平稱重量，效率大大提高現(xiàn)在我們的問題是：如果顧客要買中的任何整兩數(shù)茶葉，那么茶葉店至少要有幾包茶葉才能一次付給顧客？這些茶葉的重量分別是多少兩？分析 我們知道任何一個正整數(shù)都可以唯一的用二進制數(shù)來表示因為，所以用，就可以表示中的所有整數(shù)因為，所以茶葉店只要有包茶葉，分別重，兩，就可以滿足一位顧客兩茶葉的需要拓展 （提高學(xué)案4）現(xiàn)有六個籌

14、碼，上面分別標有數(shù)值：.任意搭配這些籌碼（也可以只選擇一個籌碼）可以得到很多不同的和，將這些和從小到大排列起來，第個是多少？分析 由例題我們可以知道一共有個不同的和.在2進制中的第39個非零自然數(shù)，即將10進制中的39轉(zhuǎn)化為2進制，應(yīng)記為：所以，在3進制中，只用1和0表示的數(shù)，第39個也是，將其轉(zhuǎn)化為10進制，有即其中第39個數(shù)是256拓展 （尖子學(xué)案4）我們可以通過天平和砝碼來稱量物體的重量.一般來說我們把砝碼放在天平的左邊，物體放在右邊.現(xiàn)在我希望這臺天平能稱量從1克到1000克的所有整數(shù)克的物體，那么最少需要幾個砝碼？分析 稱量1克，需要1克的砝碼；稱量2克，需要2克的砝碼；稱量3克，需要1克和2克的砝碼；稱量4克，需要4克的砝碼；有了這3個砝碼，我們可以稱量1克到7克的所有重量了，接下來還需要一個8克的砝碼.以此類推，共需要克10個不同的砝碼.接下來，我們可以驗證，有了這10個砝碼可以稱量1克到1000克的全部重量.10個砝碼分別對應(yīng)于二進制中的.1到1023之間的任何一個十進制的自然數(shù)都可以用一個不超過10位的二進制數(shù).如.那么對于其二進制表示的每一位，如果是1就代表需要這個砝碼，如果是0就代表不需要這個砝碼.如，代表我們可以用一個克和一個克砝碼來稱量513克.因此最少需要克10個不同的砝碼.越玩越聰明：超常挑戰(zhàn)