教學(xué)：2019考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)4=無窮級數(shù)ppt課件

1、 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 20192019考研數(shù)學(xué)培訓(xùn)考研數(shù)學(xué)培訓(xùn)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別 級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)三、求收斂域與級數(shù)的和三、求收斂域與級數(shù)的和四、函數(shù)的冪級數(shù)展開四、函數(shù)的冪級數(shù)展開五、傅里葉級數(shù)五、傅里葉級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)互為逆過程，但互為逆過程，但是方法完全類似是方法完全類似考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1 1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（1 1）、基本概念）、基本概念級數(shù)級數(shù) nnnuuuuu3

2、211常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù) niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1 1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（1 1）、基本概念）、基本概念（2 2）、基本性質(zhì)）、基本性質(zhì)絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂若若 1nnu發(fā)散發(fā)散, ,而而 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為條件收斂為條件收斂. .性性質(zhì)質(zhì) 1 1 如如果果級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1nnku亦亦收收斂斂. .結(jié)論結(jié)論: 級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)非零常數(shù)級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)非零常數(shù),斂散性不變斂散性不變.考

3、研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1 1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（2 2）、基本性質(zhì)）、基本性質(zhì)結(jié)論結(jié)論: 收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.注：收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂注：收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.lim0nnu 性質(zhì)性質(zhì)5 5 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1 1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（2 2）、基本性質(zhì)）、基本性質(zhì)10.10.如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零如果級數(shù)的

4、一般項(xiàng)不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散；則級數(shù)發(fā)散；20.20.必要條件不充分。必要條件不充分。考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1 1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（3 3）、重要級數(shù)）、重要級數(shù)11qq 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)時(shí), ,收收斂時(shí), ,發(fā)散散1,1,pp 當(dāng)時(shí)收斂當(dāng)時(shí)發(fā)散調(diào)和級數(shù)，發(fā)散調(diào)和級數(shù)，發(fā)散01111123nnn 111( 1)11( 1)123nnnnn 交錯(cuò)級數(shù)，條件收斂交錯(cuò)級數(shù)，條件收斂考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1 1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（3

5、 3）、重要級數(shù)）、重要級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2 2、級數(shù)斂散性的判別、級數(shù)斂散性的判別（1 1）、正項(xiàng)級數(shù)）、正項(xiàng)級數(shù)定義定義:，中各項(xiàng)均有中各項(xiàng)均有如果級數(shù)如果級數(shù)01 nnnuu這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù)這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù). .定理定理.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級數(shù)收斂正項(xiàng)級數(shù)收斂ns nsss21正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件:部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列. .ns且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂；反反之之，若若 1nnu

6、發(fā)發(fā)散散，則則 1nnv發(fā)發(fā)散散. .均為正項(xiàng)級數(shù)，均為正項(xiàng)級數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu比較審斂法比較審斂法一般形式一般形式考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2 2、級數(shù)斂散性的判別、級數(shù)斂散性的判別（1 1）、正項(xiàng)級數(shù)）、正項(xiàng)級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式:設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù), , 假如假如那么那么(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，假設(shè)時(shí)，假設(shè)收斂收斂,

7、, 那么那么收斂收斂; ; (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 假設(shè)假設(shè) 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 那么那么 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu2 2、級數(shù)斂散性的判別、級數(shù)斂散性的判別（1 1）、正項(xiàng)級數(shù)）、正項(xiàng)級數(shù)設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. .一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2 2、級數(shù)斂散性的判別、級數(shù)斂散性的判別（1 1）、正項(xiàng)級數(shù)）、正項(xiàng)級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別

8、一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2 2、級數(shù)斂散性的判別、級數(shù)斂散性的判別（1 1）、正項(xiàng)級數(shù)）、正項(xiàng)級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)則則1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn): :不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù)定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù)。定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù)。 nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其其中中一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2 2、級數(shù)斂散性的判別、級數(shù)斂散性的判別（2 2）、交錯(cuò)級數(shù)）、交錯(cuò)級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散

9、性的判別級數(shù)級數(shù)1nnu 發(fā)散發(fā)散必要條件必要條件或或或或或或或或是否為幾何級數(shù)是否為幾何級數(shù)是是是否為是否為p p級數(shù)級數(shù)是否為是否為正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)是否為是否為變號級數(shù)變號級數(shù)否否用比較法、比值法、根值法判別用比較法、比值法、根值法判別1nnu 否否是否滿足是否滿足萊布尼茲定理萊布尼茲定理用定義、級數(shù)的性質(zhì)等其他方法判別斂散性用定義、級數(shù)的性質(zhì)等其他方法判別斂散性 為正項(xiàng)級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)1nnu 否否當(dāng)當(dāng) 收斂；當(dāng)收斂；當(dāng) 發(fā)散發(fā)散1q 1q 是是是是方法方法是是是是是否收斂是否收斂1nnu 是是lim0nnu 當(dāng)當(dāng) 收斂；當(dāng)收斂；當(dāng) 發(fā)散發(fā)散1p 1p 絕對收斂絕對收斂1nnu 是否為是否

10、為交錯(cuò)級數(shù)交錯(cuò)級數(shù)是是是是條件收斂條件收斂1nnu 否否流程圖流程圖考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1 1、冪級數(shù)的收斂特性、冪級數(shù)的收斂特性（1 1）、概念）、概念如果如果Ix 0, ,數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù) 10)(nnxu收斂收斂, ,注意注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x x的收斂問題的收斂問題, ,實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題. .和函數(shù)和函數(shù)在收斂域上在收斂域上 , , 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs稱稱)(xs為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的 和函數(shù)。和函數(shù)。考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)

11、級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1 1、冪級數(shù)的收斂特性、冪級數(shù)的收斂特性（1 1）、概念）、概念冪級數(shù)冪級數(shù):,000nnnxax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1 1、冪級數(shù)的收斂特性、冪級數(shù)的收斂特性（2 2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑x R R幾何幾何說明說明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域0當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪級數(shù)絕對收斂冪級數(shù)絕對收斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪冪級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪冪級級數(shù)數(shù)可可能能收收

12、斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散. .推論推論考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1 1、冪級數(shù)的收斂特性、冪級數(shù)的收斂特性（2 2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑推論中的正數(shù)推論中的正數(shù)R R稱為冪級數(shù)的收斂半徑稱為冪級數(shù)的收斂半徑. .規(guī)定規(guī)定定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R R稱為冪級數(shù)的收斂半徑稱為冪級數(shù)的收斂半徑. .冪級數(shù)的收斂域?yàn)槿缦滦问街唬簝缂墧?shù)的收斂域?yàn)槿缦滦问街唬?,RR ,(RR .,RR ),(RR , 0 R(1) 冪冪級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂, R收斂區(qū)間收斂區(qū)間),( .( (2 2)

13、 ) 冪冪級級數(shù)數(shù)對對一一切切x都都收收斂斂, ,考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1 1、冪級數(shù)的收斂特性、冪級數(shù)的收斂特性（2 2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑.和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1 1、冪級數(shù)的收斂特性、冪級數(shù)的收斂特性（2 2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑 xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna( (收斂半徑不變，但收斂域

14、會可能會改變收斂半徑不變，但收斂域會可能會改變) ).和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1 1、冪級數(shù)的收斂特性、冪級數(shù)的收斂特性（2 2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna( (收斂半徑不變，但收斂域會可能會改變收斂半徑不變，但收斂域會可能會改變) )考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)三、求收斂域與級數(shù)的和三、求收斂域與級數(shù)的和具體步驟如下：具體步驟如下：考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的

15、收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)對于缺項(xiàng)級數(shù)的收斂域通常有兩種方法：對于缺項(xiàng)級數(shù)的收斂域通常有兩種方法：A A、換元法、換元法B B、直接當(dāng)做一般常數(shù)項(xiàng)級數(shù)來處理，通常使用正項(xiàng)級數(shù)的、直接當(dāng)做一般常數(shù)項(xiàng)級數(shù)來處理，通常使用正項(xiàng)級數(shù)的 比值法、根值法，再利用阿貝爾定理判別出收斂半徑。比值法、根值法，再利用阿貝爾定理判別出收斂半徑。00bnbnnnnbnnnayxyxayx 如如，可可換換元元，然然后后討討論論的的收收斂斂域域，再再用用找找到到原原級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域。00bnbnnnnnnna xuua x 。如如（）, , 可可轉(zhuǎn)為討論正正項(xiàng)級數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)項(xiàng)常常數(shù)數(shù)其其項(xiàng)（）, ,中中考研數(shù)學(xué)考研數(shù)

16、學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)00()nnnnnnaxayxayyxaa 如如，可可換換元元，然然后后討討論論的的收收斂斂域域，再再用用找找到到原原級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域。注：對于某些冪級數(shù)，可以采用間接做法。注：對于某些冪級數(shù)，可以采用間接做法。考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)40)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為為f (x) f (x) 的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù) . . 則稱則稱當(dāng)當(dāng)x0 = 0 x0 =

17、 0 時(shí)時(shí), , 泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù) . .若函數(shù)若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), , 0)(xxf在考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開四、函數(shù)的冪級數(shù)展開1 1、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)展開方法展開方法直接展開法直接展開法間接展開法間接展開法定理定理各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù), , )(0 x則則f (x)f (x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要要條件是條件是.0)(limxRnn設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 的某一鄰域的某一鄰域 內(nèi)具有內(nèi)具有考研數(shù)學(xué)考研數(shù)

18、學(xué)級數(shù)級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開四、函數(shù)的冪級數(shù)展開2 2、冪級數(shù)展開的條件、冪級數(shù)展開的條件3 3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法 利用泰勒公式利用泰勒公式 利用已知其級數(shù)展開式利用已知其級數(shù)展開式的函數(shù)展開的函數(shù)展開考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開四、函數(shù)的冪級數(shù)展開3 3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法間接展開法間接展開法常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下：常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下：考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開四、函數(shù)的冪級數(shù)展開間接展開法間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開式的函數(shù)式的函數(shù)

19、.3 3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法),(x1, 1(x當(dāng)當(dāng)m = 1m = 1時(shí)時(shí)2311( 1),1nnxxxxx ) 1, 1(x常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下：常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下：考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開四、函數(shù)的冪級數(shù)展開3 3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法),(x),(x) 1, 1(x考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)五、傅里葉級數(shù)五、傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfa

20、nn 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)五、傅里葉級數(shù)五、傅里葉級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)一、級數(shù)斂散性的判別一、級數(shù)斂散性的判別數(shù)一：數(shù)一：20192019、一、一(2)(2)例例1 1一、級數(shù)斂散性的判別一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)選選C C數(shù)一：數(shù)一：20192019、八、八例例2 2一、級數(shù)斂散性的判別一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)收斂收斂數(shù)三：數(shù)三：20192019、二、二(3)(3)例例3 3一、級

21、數(shù)斂散性的判別一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)選選B B數(shù)一：數(shù)一：20192019、二、二(9)(9)例例4 4一、級數(shù)斂散性的判別一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)選選B B一、級數(shù)斂散性的判別一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)三：數(shù)三：20192019、二、二(9)(9)例例5 5即：數(shù)一：即：數(shù)一：20192019、二、二(9)(9)選選D D數(shù)三：數(shù)三：20192019二二(10)(10)例例6 6一、級數(shù)斂散性的判別一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)選選D D數(shù)一：數(shù)一：20192019、二、二(4)(4)例例7 7一、級數(shù)斂散性的判別一

22、、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)選選C C數(shù)一：數(shù)一：20192019、二、二(3)(3)例例8 8一、級數(shù)斂散性的判別一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)選選C C數(shù)三：數(shù)三：20192019、二、二(2)(2)例例9 9一、級數(shù)斂散性的判別一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)選選A A考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)三：數(shù)三：20212021、二、二(11)(11)例例1 11e1e【解析】設(shè)【解析】設(shè)。所以，該冪級數(shù)的收斂半徑為所以，

23、該冪級數(shù)的收斂半徑為 210nnnean 11212111nnnnnneanane 112211(111nnnneenennee ）二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)一：數(shù)一：20192019、一、一(4)(4)例例2 2使用使用阿貝爾定理阿貝爾定理二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)一：數(shù)一：20192019、三、三(18)(18)例例3 3二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)一：數(shù)一：20192019、二、二(11)(11)例例4 4二、冪級數(shù)的收斂性

24、與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)一：數(shù)一：20192019、五題、五題例例5 5法二：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的冪級數(shù)，先找到冪級數(shù)的和函數(shù)法二：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的冪級數(shù)，先找到冪級數(shù)的和函數(shù)二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)一：數(shù)一：20192019、三、三(16)(16)例例6 6二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)一：數(shù)一：20192019、七題、七題例例7 7就是就是 特解特解;xyyye 二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)三：數(shù)三：

25、20192019、一、一(2)(2)例例8 8利用結(jié)論利用結(jié)論 ，再逐項(xiàng)求導(dǎo)。，再逐項(xiàng)求導(dǎo)。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)三：數(shù)三：20002000、七題、七題例例9 9然后，利用結(jié)論然后，利用結(jié)論 ，先逐項(xiàng)求導(dǎo)，先逐項(xiàng)求導(dǎo)，再積分。再積分。首先計(jì)算定積分，得到首先計(jì)算定積分，得到二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)級數(shù)級數(shù)數(shù)三：數(shù)三：20192019、六題、六題例例1010211( )( 1)nnnfxx 01( 1)1nnnxx 需需要要利利用用展展式式開開【分析】【分析】 先通過逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，先通過逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)， 注意當(dāng)注意當(dāng)x=0 x=0時(shí)和為時(shí)和為1 1；求出和函數(shù)后，再按通常；求出和函數(shù)后，再按通常 方法求極值。方法求極值?？佳袛?shù)學(xué)考研