材料力學第四章_2_+彎曲應力

1、材 料力學第四章(2) 彎曲應力第四章第四章 彎曲應力彎曲應力4- -1 對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖4- -2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖4- -3 平面剛架和曲桿的內力圖平面剛架和曲桿的內力圖4- -4 梁橫截面上的正應力梁橫截面上的正應力 梁的正應力強度條件梁的正應力強度條件4- -5 梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力 梁的切應力強度條件梁的切應力強度條件4- -6 梁的合理設計梁的合理設計44 梁的正應力和正應力強度條件梁的正應力和正應力強度條件 圖示梁圖示梁CD段橫截面上只段橫截面上只有彎矩而無剪力，該段梁的有彎矩而無剪

2、力，該段梁的彎曲稱為彎曲稱為純彎曲純彎曲。 AC與與BD段橫截面上既有段橫截面上既有彎矩又有剪力，該兩段梁的彎彎矩又有剪力，該兩段梁的彎曲稱為曲稱為橫力彎曲橫力彎曲。FFaaCDABF+FFSFaM 實驗現(xiàn)象實驗現(xiàn)象abcdMMbdac 縱向直線代表一層縱向直線代表一層纖維，變形后為平行曲纖維，變形后為平行曲線。每層變成曲面，同線。每層變成曲面，同層纖維變形相同。層纖維變形相同。 下層纖維受拉伸長，下層纖維受拉伸長，上層纖維受壓縮短；層上層纖維受壓縮短；層間變形連續(xù)，中間必有間變形連續(xù)，中間必有一層既不伸長也不縮短，一層既不伸長也不縮短，稱為稱為。 橫線代表一橫截面，變形后仍為直線，但轉過一個

3、角度，橫線代表一橫截面，變形后仍為直線，但轉過一個角度，且仍與縱線正交。橫截面與中性層的交線稱為且仍與縱線正交。橫截面與中性層的交線稱為。 基本假設基本假設 平面假設平面假設：梁的橫截面變形后仍為平面，且與梁變：梁的橫截面變形后仍為平面，且與梁變形后的軸線正交；形后的軸線正交； 層間纖維無擠壓。層間纖維無擠壓。u 縱向線bb變形后的長度為:d)(ybbu bb 變形前的長度等于中性層bb12OO12OO du 縱向線bb的應變?yōu)閐dd)(yy 即：純彎曲時橫截面上各點的縱向線應變沿截面高度呈線性分布。 中性層長度不變, 所以 變形幾何關系 因為縱向纖維只受拉或壓，當應力小于比例極限時，由胡克定

4、律有:yEE 即：純彎曲時橫截面上任一點的正應力與它到中性軸的距離y成正比。也即，正應力沿截面高度呈線性分布。 dNAFAAzMAydAyMAzd對橫截面上的內力系，有: 根據靜力平衡條件，純彎曲梁的左側只有對z軸的力偶矩M， 即： 0dNAAFAyAzM0dMAyMAzdyyxzdAzCM由: z 軸通過形心即：中性軸通過形心。0ddAAAyEA0dNAAF0dzASAyAAAyzEAz0dd由:AyAzM0dd0yzAyz AI0yzI因為y軸是對稱軸，上式自然滿足。EIz 梁的抗彎剛度MMzAyAdAyyEMAdAyEAd2zIEzEIM1將上式代入yEzIMy由: 將彎矩M和坐標y按規(guī)

5、定的正負號代入，所得到的正應力M和y可以直接代入絕對值。在橫截面上離中性軸最遠的各點處，正應力最大。 zIMymaxmaxmaxyIWzz令:zWMmax式中Wz稱為彎曲截面系數(shù)，其單位為m3。CzdCzbh/2h/2zdCD62bhWz323dWz)1 (32443DdDWz二、橫力彎曲時的正應力二、橫力彎曲時的正應力WxMz)( 5 hl 例題例題4- -17 圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150 kN。試求危險截面上的最大正應力max和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(圖b)的正應力a。 解：解：在不考慮梁的自重( )的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示

6、，截面C為危險截面，相應的最大彎矩值為mkN041. 1 mkN3754m10kN1504maxFlM由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面3cm2342zW4cm65586zIMPa160m102342mN10375363maxmaxzWMMPa148m1065586m021. 02m56. 0mN10375483maxzaaIyM于是有危險截面上點a 處的正應力為MPa148 MPa1602m56. 0m021. 02m56. 0maxmaxyyaa 該點處的正應力a亦可根據直梁橫截面上的正應力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的max=160 MPa來計算：顯然，

7、梁的自重引起的最大正應力僅為而危險截面上的最大正應力變?yōu)镸Pa7 .165Pa107 .165m102342mN103886363maxMPa7 . 5MPa1607 .165遠小于外加荷載F 所引起的最大正應力。mkN388mkN13mkN375842maxqlFlM 如果考慮梁的自重(q=1.041 kN/m)則危險截面未變，但相應的最大彎矩值變?yōu)閙axmax WMmax MW max WMmax WM ct maxmaxct max tt maxcc ACBFa2a203014433cm07. 112)cm2)(cm4 . 1 (12)cm2)(cm3(zI34maxcm07. 11cm

8、cm07. 1yIWzzmax zWM kN3 aWFWFazz 例題例題4- -19 圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對于中性軸z 的慣性矩Iz=5493104 mm4。已知圖a中，b=2 m。鑄鐵的許用拉應力t=30 MPa，許用壓應力c=90 MPa 。試求梁的許可荷載F。(a)(b) 解：最大負彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應力t,max達到t，則下邊緣處最大壓應力c,max為 根據 可知此c,max并未達到許用壓應力c，也就是說，就B截面而言，梁的強度由最大拉應力控制。tt56. 18613431ct 最大正彎矩在C截面處，若截面的下邊緣處最大拉應力t,m

9、ax達到t，則上邊緣處的最大壓應力c,max為 ，它遠小于c故就C截面而言，梁的強度也由最大拉應力控制。tt64. 013486 由以上分析可知，該梁的強度條件系受最大拉應力控制。至于究竟是B截面上還是C 截面上的最大拉應力控制了梁的強度，可進一步分析如下：顯然，B截面上的最大拉應力控制了梁的強度。B截面：zzBIFIMm1086m22m108633maxt,C截面：zzCIFIMm10134m24m1013433maxt,Pa1030m105493m1086m226483F 當然，這個許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會減少很多。 于是由B截面上最大拉應力

10、不得超過鑄鐵的許用拉應力t的條件來求該梁的許可荷載F：由此得F19200 N，亦即該梁的許可荷載為F=19.2 kN。例例4-20 Dd直徑為直徑為 d 的鋼絲繩纏繞在直徑為的鋼絲繩纏繞在直徑為 D 的的圓柱上，已知鋼材料的屈服極限圓柱上，已知鋼材料的屈服極限為為 ，若使鋼絲繩纏繞后不產生塑，若使鋼絲繩纏繞后不產生塑性變形，性變形， D 的最小值應為多少？的最小值應為多少？S解解：設彎曲后鋼絲繩的曲率半徑為設彎曲后鋼絲繩的曲率半徑為 ，則繩橫截面內的彎矩為：，則繩橫截面內的彎矩為：1zMEI zEIM DdzEIM 鋼絲繩橫截面的彎曲正應力鋼絲繩橫截面的彎曲正應力zMyEyI maxmaxSE

11、y 又：又：max,222Dddy 22SdEDd SEdDd 例例4-21 簡支梁由兩塊木板組成簡支梁由兩塊木板組成（未粘接），兩板光滑接觸，（未粘接），兩板光滑接觸，MPa10mmbml200,3求求Pmmh100b2h2hACBP2l2lM2M2MP解解: :各板平面假設成立各板平面假設成立max14MPl 單板單板2211()6224hWbbh32/2maxmaxbhPlWM22 10 200 100 2.2 kN33 3000bhPl 回回 顧顧l 純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩沒有剪力；純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩沒有剪力；l 橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。橫力彎曲：梁的橫

12、截面上既有彎矩又有剪力。 觀察變形觀察變形 中性層、中性軸中性層、中性軸v 基本假設：基本假設： 平面假設：橫截面變形后仍保持為平面，且垂平面假設：橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于變形后的軸線；直于變形后的軸線； 層間無擠壓。層間無擠壓。u 變形幾何關系變形幾何關系u 物理關系物理關系u 靜力學關系靜力學關系yEz1EIMyIMzmaxzzzmax ,yIWWM橫力彎曲適用此公式的條件：長細比不小于橫力彎曲適用此公式的條件：長細比不小于5 5即即. 5hlzmaxmaxWMmaxzMW zmaxWM,tmaxt.cmaxc梁的正應力強度條件：梁的正應力強度條件：對于鑄鐵等脆性材料，需同時校核

13、拉壓強度：對于鑄鐵等脆性材料，需同時校核拉壓強度：第四章第四章 彎曲應力彎曲應力4- -1 對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖4- -2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖4- -3 平面剛架和曲桿的內力圖平面剛架和曲桿的內力圖4- -4 梁橫截面上的正應力梁橫截面上的正應力 梁的正應力強度條件梁的正應力強度條件4- -5 梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力 梁的切應力強度條件梁的切應力強度條件4- -6 梁的合理設計梁的合理設計 橫力彎曲時，梁橫截面既有彎矩，也有剪力，相應也必橫力彎曲時，梁橫截面既有彎矩，也有剪力，相應也必有切應力。有切應力。

14、一、矩形截面切應力一、矩形截面切應力基本假設：基本假設： 截面上各點切應力與剪力同向；截面上各點切應力與剪力同向； 切應力沿截面寬度均勻分布。切應力沿截面寬度均勻分布。q(x)F1F2 在梁上截一微段在梁上截一微段dx ，再在再在微段上用水平截面微段上用水平截面mn 截一微元。截一微元。FsFsMM+dM1122dxm nq(x)F1F2mmnnxdx1dx2mnzyh/21dx2mnzyh/212yy1bdAFN1FN212dxmnyxz平衡條件：平衡條件：; 0X021FFFNN12NNFFbdxF*111*zzAzAzANSIMdAyIMdAyIMdAFyy1bdAN1N212dxmny

15、xz*2zzNSIdMMF同理得同理得dMISSIMSIdMMbdxzzzzzz*dxdMbISzz*因因;sFdxdM于是得于是得bISFzzs*bISFzzs* 式中式中 為截面求應力那點到截為截面求應力那點到截面邊緣所圍面積對中性軸的靜矩。面邊緣所圍面積對中性軸的靜矩。*zSC*byy*h/2 h/2zmax)4(2)2(21)2(22*yhbyhyyhbyASz)4(6223yhbhFs 由此式可知，橫截面各點切應力是各點坐標由此式可知，橫截面各點切應力是各點坐標y 的的2次函數(shù)，次函數(shù)，切應力的大小沿截面高度呈拋物線分布。中性軸上切應力最切應力的大小沿截面高度呈拋物線分布。中性軸上切

16、應力最大，上下邊緣切應力為零。大，上下邊緣切應力為零。bhFhbhFss234623maxAFs23maxHoyBxbzhbISFzzS* 翼緣翼緣腹板腹板二、工字形截面的切應力二、工字形截面的切應力OzydxyA*bISFzzS*Sz*zS)22(hHB)22(212hHh)2(yhb)2(21yhy)4(2)(82222yhbhHB2222()()824szFBb hHhyI bBzb22max()88szFBHhBbI b22min()88szFBHBhI bAFbISFzzS*Smax34 42dA ydzokokAFSmax2 zyr0maxmax S*max bISFzz實心矩形截

17、面梁正應力與切應力的比較實心矩形截面梁正應力與切應力的比較max22/66zPlPlWbhPlbh max32Pbh maxmax4lh 所以，對所以，對實心截面梁實心截面梁通常不需要校核剪切強度通常不需要校核剪切強度。F5mAB2.5mFCmkN5 .37max M3cm237 WzMPa158maxmax WMz+FSmax5mABFCkN30maxS FRFAcm2 .17*max SIzzMPa9 .24 )(*max,maxS*max,maxSmax dSIFdISFzzzzqBACDElFFaaRARB363maxcm281101601045 MWz8kN210kN208kN,cm

18、9 .18*max zzSIMPa100MPa1481075. 0109 .1810210223maxmaxSmax bISFzz,cm3 .21*maxzzSI3max22210 1098.6MPa 100MPa21.3 101 10 例例4-24 4-24 圖示梁由三塊板膠合而成，橫截面尺寸如圖所示，圖示梁由三塊板膠合而成，橫截面尺寸如圖所示，求梁的最大切應力和膠縫的切應力。求梁的最大切應力和膠縫的切應力。AB2m2m3 kN/mq 6040 40 40解：解：FA=6 kNFB=6 kN16 kNsF31max33 6 101.25 MPa22 60 120sFA *3136 1060

19、40 40 121.11 MPa60 12060szzF SI b 例例4-25 圖示圓截面梁，直徑圖示圓截面梁，直徑d=200 mm，材料的許用正應力材料的許用正應力 =10MPa，許用切應力許用切應力 =2MPa 。試校核該梁的強度。試校核該梁的強度。AB3m1m4 kN/mq FA=5kN3 kNP dFB=10kN解：解：求支座反力；求支座反力；畫剪力圖和彎矩圖；畫剪力圖和彎矩圖； 最大正應力發(fā)生在距最大正應力發(fā)生在距A端端1.25 m 截面的上下邊緣；截面的上下邊緣； 最大切應力發(fā)生在最大切應力發(fā)生在B 的左的左截面的中性軸上。截面的中性軸上。Fs圖圖M圖圖5kN3kN7kN1.25

20、m3kN.m3.125kN.mAB3m1m4 kN/mq FA=5kN3 kNP dFB=10kNMPadMWMz98. 3203125323233maxmaxmaxMPadFAFss3 . 020037000443443422maxmaxmax maxmax ; ;此梁安全。此梁安全。Fs圖圖M圖圖5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m 例例4-26 某空心矩形截面梁，分別按圖a及圖b兩種方式由四塊木板膠合而成。試求在橫力彎曲時每一膠合方式下膠合縫上的切應力。梁的橫截面上剪力FS已知。第四章第四章 彎曲應力彎曲應力解：解：圖a所示膠合方式下，由圖可知：zzIhbFIhbF4

21、222SS第四章第四章 彎曲應力彎曲應力bdx*1NF*2NF(c) 圖b所示膠合方式下，由圖可知：zzIhbFIhbF422222SS第四章第四章 彎曲應力彎曲應力b- -2dx*1NF*2NF(d)55 提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施 梁的設計主要依據正應力強度條件，即梁的設計主要依據正應力強度條件，即 zWMmaxmax 由正應力強度條件可知，要提高梁的強度可從降低最大由正應力強度條件可知，要提高梁的強度可從降低最大彎矩彎矩Mmax和增大彎曲截面系數(shù)和增大彎曲截面系數(shù)Wz來考慮。來考慮。1、合理地設置支座位置、合理地設置支座位置 aalqlq一、減小最大彎矩一、減小最大彎矩2

22、2、合理地布置梁的荷載、合理地布置梁的荷載FlF二、增大二、增大W Wz z1 1、合理選擇截面形狀、合理選擇截面形狀在面積相等的情況下，選擇彎曲截面系數(shù)大的截面在面積相等的情況下，選擇彎曲截面系數(shù)大的截面3231DWz )2/(,41221DaaD 13221.18 6)(6zzWRbhW zDzaaa12a1z1121212,24 DaaD 1312367. 1 646zzWabhW 工字形截面與框形截面類似工字形截面與框形截面類似. .1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD 1457. 4zzWW 0.8a2a21.6a22a2z2 2、合理的放置、合理的放置FbhWW 21bh126bhWbh226hbW例例4-27 由直徑為由直徑為d 的圓木截取一矩形截面梁，試按強度要求的圓木截取一矩形截面梁，試按強度要求選擇最合理的高寬尺寸選擇最合理的高寬尺寸h 、 b 。bzyhdC解：解：使所截矩形的使所截矩形的Wz 越大越好。越大越好。6)(6222bdbbhWz222bdh; 0dbdWz032