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1、122 估計(jì)量的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則估計(jì)量的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則 由例由例2.3和例和例2.10的結(jié)果看出,對(duì)均勻分布的結(jié)果看出,對(duì)均勻分布總體參數(shù)的估計(jì)不一樣,哪個(gè)好?總體參數(shù)的估計(jì)不一樣,哪個(gè)好?例例2.12 若總體若總體X ( ), 則未知參數(shù)則未知參數(shù) 的矩估計(jì)量為的矩估計(jì)量為,X niiXXn12)(1 或或即使用同一方法得出的估計(jì)量也不同。即使用同一方法得出的估計(jì)量也不同。iniiniXbXa11max,min niniXXnXbXXnXa1212)(3,)(322.2.1無(wú)偏性無(wú)偏性 定義定義2.1: 如果如果 ,則稱估計(jì)量為無(wú)偏估計(jì)量;,則稱估計(jì)量為無(wú)偏估計(jì)量; 如果如果 記作記作 ,則稱估計(jì)量為漸進(jìn)
2、無(wú),則稱估計(jì)量為漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)量。其中偏估計(jì)量。其中 稱作偏差。稱作偏差。)(E0|),.,(|lim21nnXXXE0)(limbn)(bX2SniiXXnSnnS1222*)(111 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證 是總體均值的無(wú)偏估計(jì)是總體均值的無(wú)偏估計(jì)例例2.13; 但但 不是總體方差的無(wú)偏估計(jì),是漸進(jìn)無(wú)偏不是總體方差的無(wú)偏估計(jì),是漸進(jìn)無(wú)偏的。的。 而而 是無(wú)偏的是無(wú)偏的例例2.14。 3評(píng)述:無(wú)偏的概率意義,即反復(fù)使用,整體平均下,估無(wú)偏的概率意義,即反復(fù)使用,整體平均下,估計(jì)準(zhǔn)確。計(jì)準(zhǔn)確。其局限性,若僅有一次或?qū)椕芯然蛳到y(tǒng)誤其局限性,若僅有一次或?qū)椕芯然蛳到y(tǒng)誤差等情形,就不能說(shuō)明問(wèn)題了
3、。差等情形,就不能說(shuō)明問(wèn)題了。設(shè)總體設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 與方差與方差 2存在存在, ,X1, X2,.,Xn為總體為總體X 的樣本的樣本, , 證明:證明:niiiXc12niccinii, 2 , 1, 0, 11 也是也是 的無(wú)偏估計(jì)量的無(wú)偏估計(jì)量; ;, ,其中其中42.2.2 最小方差性和有效性最小方差性和有效性 定義定義2.2 如果如果 是是 的無(wú)偏估的無(wú)偏估計(jì)量,且對(duì)于其任意無(wú)偏估計(jì)量計(jì)量,且對(duì)于其任意無(wú)偏估計(jì)量 ,均有,均有, 對(duì)一切對(duì)一切 (參數(shù)空間),則稱(參數(shù)空間),則稱T為最小方差為最小方差的無(wú)偏估計(jì)量(或最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量)。的無(wú)偏估計(jì)量(或最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量)。),
4、.,(21nXXXTT )(gT)()(TDTD用用 估計(jì)估計(jì)時(shí),僅具有無(wú)偏性是不夠的我們時(shí),僅具有無(wú)偏性是不夠的我們希望希望 的取值能集中于的取值能集中于附近附近, ,而且密集的程度而且密集的程度越高越好方差是描述隨機(jī)變量取值的集中程越高越好方差是描述隨機(jī)變量取值的集中程度的,度的,所以所以無(wú)偏估計(jì)無(wú)偏估計(jì)以方差小者為好以方差小者為好, 這就引進(jìn)了有這就引進(jìn)了有效性這一效性這一標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn). . 5設(shè)總體設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 , ,方差方差 2 2存在,存在,X1 1, ,X2 2是是X的樣本,的樣本,證明估計(jì)證明估計(jì) 時(shí)時(shí), , 2112121XX 2124341XX )()(21DD
5、由定義知由定義知 較較 有效有效12又因?yàn)橛忠驗(yàn)?2121121)(41)(41)2121()()(XDXDXXDXDD22121285)(169)(161)4341()(XDXDXXDD所以所以均為均為 的無(wú)偏估計(jì),的無(wú)偏估計(jì),21,因?yàn)橐驗(yàn)檩^較有效有效. .6 在實(shí)際應(yīng)用中,找出最小方差的估計(jì)量不容易,在實(shí)際應(yīng)用中,找出最小方差的估計(jì)量不容易,若在一類(lèi)分布和估計(jì)中找出所有無(wú)偏估計(jì)中方差若在一類(lèi)分布和估計(jì)中找出所有無(wú)偏估計(jì)中方差的一個(gè)下界,則當(dāng)某一估計(jì)量達(dá)到或接近即認(rèn)為的一個(gè)下界,則當(dāng)某一估計(jì)量達(dá)到或接近即認(rèn)為可行了。可行了。下方差下界存在?下方差下界存在?什么條件什么條件即有無(wú)下界即有無(wú)下
6、界那么能夠小到什么程度那么能夠小到什么程度量的方差越小越好,量的方差越小越好,我們自然希望無(wú)偏估計(jì)我們自然希望無(wú)偏估計(jì)?勞不等式克拉美一個(gè)方差下界的下面我們就來(lái)討論建立 ,:),;(,21為為已已知知常常數(shù)數(shù)其其中中的的母母體體的的一一個(gè)個(gè)子子樣樣為為取取自自具具有有概概率率函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)babaxfXXXn 的的一一是是又又且且可可設(shè)設(shè))(),(.,21 gXXXTTban 且滿足正則條件個(gè)無(wú)偏估計(jì),;0);(:)1(無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)與與集集合合 xfxdxxfdxxfxfg );();(,);()()2(且且對(duì)對(duì)一一切切存存在在與與41-42p信息量FishernniinnnndXdXXfXXXTd
7、XdXXfXfXXXTg11211121 );(),();();(),()( )()()(:2 nIgXTD 則有)(1)(:,)(nIXTDg即為時(shí)特殊地,當(dāng)勞下界克拉美 21),(ln()( XfEI令聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度nnndXdXXfXfXXTXTEg111);();(),()()(: 由數(shù)學(xué)期望的定義不不等等式式:主主要要應(yīng)應(yīng)用用SchwarzCauchy 證證明明 DDEEE 2)(,)(),()(21的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)是記 gXXXTXTn ,);(ln);(ln1 niiXfxf 記iiiidXXfXfXfE );();(ln);(ln iidXXf );(0 iidXXf)
8、;( 1 niiXfEE10);(ln( 則);(ln);(ln)(1 niiXfDxfDD );(ln1 XfnD)(獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布);(ln();(ln(2121 XfEXfEn0);(ln iXfE21);(ln( XfnE)()( nID ,得得由由 DDEEE 2)()()()();(ln)()(22 nIgXTxfEDEEED niiXfEE10);(ln( 21),(ln()( XfEI令 dxxfXTg );()()(由于 dxxfXTXTEg);()()()( 0);();(, 1);( dxxfdxxfdxxf 則由于)g(2)(-1)( dxxfgXTg );()(
9、)()()()( )()()();(ln22 nIgnIgXTxfED :注注. 1稱稱為為正正規(guī)規(guī)估估計(jì)計(jì)滿滿足足正正則則條條件件的的估估計(jì)計(jì)量量類(lèi)的方差下界類(lèi)的方差下界無(wú)偏估計(jì)無(wú)偏估計(jì)不等式的下界僅是正規(guī)不等式的下界僅是正規(guī)CramerRao . 2方便,我們可以證明方便,我們可以證明為了計(jì)算信息量為了計(jì)算信息量)( I信息量信息量Fisher. 321),(ln()( XfEI),(ln()(212 XfEI令令)()( 2 nIgD 13是是漸漸近近有有效效的的。則則稱稱是是有有效效的的;若若稱稱時(shí)時(shí),的的效效率率等等于于又又當(dāng)當(dāng)不不等等式式,顯顯然然由由的的效效率率的的無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)
10、計(jì)量量為為稱稱定定義義TeTTeRCTgnIXTDgennnn, 1lim1).1()()()()(3 . 22 設(shè)總體設(shè)總體XN( , 2), , , 2均未知,又設(shè)均未知,又設(shè)X1, X2,.,Xn為總體為總體X 的樣本的樣本, , 則則 的無(wú)偏估計(jì)的無(wú)偏估計(jì) 是有效的是有效的, 2 的無(wú)偏的無(wú)偏估計(jì)估計(jì) 是漸近有效的。是漸近有效的。X2*S例例2.162.16 若總體若總體X ( ), 考慮未知參數(shù)考慮未知參數(shù) 的矩估計(jì)量為的矩估計(jì)量為的的有有效效性性。X 142.2.3 其它幾個(gè)準(zhǔn)則其它幾個(gè)準(zhǔn)則 (一)最小均方誤差準(zhǔn)則(一)最小均方誤差準(zhǔn)則 前述的最小方差性(有效性)只對(duì)無(wú)偏估計(jì)前述的
11、最小方差性(有效性)只對(duì)無(wú)偏估計(jì)而言,對(duì)有偏估計(jì)量無(wú)意義。而言,對(duì)有偏估計(jì)量無(wú)意義。 為使為使 與與 盡量接近,考慮盡量接近,考慮 稱稱均方誤差均方誤差由由 得到的估計(jì)量稱作得到的估計(jì)量稱作最小均方誤差估計(jì)量。最小均方誤差估計(jì)量。 對(duì)于無(wú)偏估計(jì),均方誤差最小和方差最小是對(duì)于無(wú)偏估計(jì),均方誤差最小和方差最小是一致的。一致的。2)()( EMse)(minMse15(二)相合性(相合估計(jì)量)相合性(相合估計(jì)量)定義定義2.4 設(shè)設(shè) 是是 的估計(jì)量的估計(jì)量, (即依概率收斂于即依概率收斂于), 則稱則稱T是相合統(tǒng)計(jì)量是相合統(tǒng)計(jì)量。),.,(21nXXXTT )(g0| )(),.,(|lim, 02
12、1gXXXTPnn 實(shí)際應(yīng)用中,要求樣本信息量(即實(shí)際應(yīng)用中,要求樣本信息量(即n)較大,)較大,但給出了一種保證,即只要能夠獲取足夠的信息,但給出了一種保證,即只要能夠獲取足夠的信息,就一定能得到足夠精確的估計(jì)。就一定能得到足夠精確的估計(jì)。必必然然是是相相合合的的。是是有有效效的的,則則、若若是是相相合合的的。時(shí)時(shí),的的方方差差趨趨于于當(dāng)當(dāng)貝貝雪雪夫夫不不等等式式、對(duì)對(duì)于于無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì),由由切切TTTXXXTXXXTDgXXXTPnnn20),(),(| )(),(|12122121 16 設(shè)總體設(shè)總體X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望與方差與方差2 2存在,存在,是是X的樣本,證明用的樣本,證明
13、用 估計(jì)估計(jì)時(shí),時(shí),n 是是一致估計(jì)量一致估計(jì)量nXXX, 21niinnXnX11 由大數(shù)定理可知,對(duì)于任意的由大數(shù)定理可知,對(duì)于任意的 ,有,有 所以所以 1)(liminnXEXP01limnnP 由極大似然法得到的估計(jì)量,在一定條件下也具有一致性由極大似然法得到的估計(jì)量,在一定條件下也具有一致性, ,這里就不再討論了這里就不再討論了 17 設(shè)正態(tài)總體設(shè)正態(tài)總體X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 與方差與方差 存在,存在,( )( )是是X 的樣本,試在形如的樣本,試在形如S2 (0)的統(tǒng)計(jì)量中確定的統(tǒng)計(jì)量中確定2 2的最小均方誤差估計(jì)的最小均方誤差估計(jì). .解解: :2nXXX,21 2222222222222222422421111(12(1)1ESE SnnE SnnnD Snnnnn2224,E SD S2n12(n1)n1)1nnESnn要使上式最小,利用一元二次式知識(shí)可知:要使上式最小,利用一元
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