數(shù)列極限說課稿

1、數(shù)列極限說課稿（修改稿）北大附中李寧各位評委、老師們：你們好！我是北大附中的數(shù)學教師李寧。北大附中是北京市重點中學。有機會能參加這次教學研討活動，向全國各省的數(shù)學老師們學習，我深感榮幸。這次我說課的內容是高中代數(shù)課本（下冊）第六章第二部分6.4 節(jié)數(shù)列極限的起始課。這部分內容在課本第60 頁至 65 頁。下面由我根據自己編寫的教案，把我對本節(jié)課的教學目的、過程、方法、工具等方面的簡單認識作一個說明。希望專家們、老師們對我說課的內容多提寶貴意見。一、關于教學目的的確定：眾所周知，對數(shù)列極限這個概念的理解可為今后高等數(shù)學的學習奠定基礎，但由于學生對數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學語言表述的理解比較困難，

2、這種理解上的困難將影響學生對后繼知識的學習，因此，我從知識、能力、情感等方面確定了本次課的教學目標。1在知識上， 使學生理解極限的概念，能初步利用極限定義確定某些簡單的數(shù)列極限；2在能力上，培養(yǎng)學生觀察、 分析、概括的能力和在探索問題中的，由靜態(tài)到動態(tài)、由有限到無限的辨證觀點。體驗“ 從具體到抽象，從特殊到一般再到特殊” 的認識過程；3在情感上， 通過介紹我國古代數(shù)學家劉徽的成就，激發(fā)學生的民族自尊心和愛國主義思想情感，并使他們對數(shù)列極限知識有一個形象化的了解 。二、關于教學過程的設計：為了達到以上教學目的，根據北大附中教學傳統(tǒng)把這次課連排兩節(jié)。在具體教學中，根據“循序漸進原則”，我把這次課分

3、為三個階段： “概念探索階段”；“概念建立階段”；“概念鞏固階段”。下面我將對每一階段教學中計劃解決的主要問題和教學步驟作出說明。（一）“概念探索階段”1. 這一階段要解決的主要問題在這一階段的教學中，由于注意到學生在開始接觸數(shù)列極限這個概念時，總是以靜止的觀點來理解這個描述變化過程的動態(tài)概念，總覺得與以前知識相比，接受起來有困難，似乎這個概念是突然產生的，甚至于不明概念所云，故我在這一階段計劃主要解決這樣幾個問題：使學生了解以研究函數(shù)值的變化趨勢的觀點研究無窮數(shù)列，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限的過程；使學生形成對數(shù)列極限的初步認識；使學生了解學習數(shù)列極限概念的必要性。2本階段教學安排我采取溫故知新、推陳

4、出新的教學過程，分三個步驟進行教學。 溫故知新由于研究數(shù)列極限首先應對數(shù)列知識有一個清晰的了解，因此在具體教學中通過對教案中 5 個具體數(shù)列通項公式的思考讓學生對數(shù)列通項公式這個概念產生回憶，指出以前研究數(shù)列都是研究的有限項的問題，現(xiàn)在開始研究無限項的問題。 然后引導學生回憶數(shù)列是自變量為自然數(shù)的函數(shù)，通項公式就是以 n 為自變量的、定義域為自然數(shù)集的函數(shù)an 的解析式。再引導學生回憶研究函數(shù)，實際上研究的就是自變量變化過程n 1中，函數(shù)值變化的情況和變化的趨勢，并以第1為例說2 的數(shù)列 an2明：當 n=2 、3、4、5 時，對應的 a n1、 1、 1、 1 就說明自變量由 224816增

5、加到 5 時，對應的函數(shù)值就由 1 減小到 1這種變化情況。若問自然數(shù)216n 一直增加下去，函數(shù)a n 應怎樣變化下去，這就是研究變化的趨勢。這樣利用通項公式就可把數(shù)列變化趨勢問題與函數(shù)值變化趨勢問題有機地結合起來，引導學生從函數(shù)值變化趨勢的角度來看待例題中五個數(shù)列的變換趨勢。通過這種討論，在對變化趨勢這個概念的理解上發(fā)揮心理學上所提“ 無意注意” 的作用，使學生對進一步討論的數(shù)列變換趨勢問題不至于太陌生。 推陳出新在對 5 個數(shù)列變化趨勢的分析過程中，通過引導，由學生討論得到數(shù)列（ 2）、（3）、（5）的共同特征，近而向學生說明： “具有類似于數(shù)列（ 2）、（3）、（ 5）共性的數(shù)列稱為有

6、極限的數(shù)列，共性中的“ 趨近于一個確定的常數(shù)” 稱它為有極限數(shù)列的極限” 。并進一步和學生討論如何給數(shù)列的極限下定義，此時我根據學生情況給予提示，給出數(shù)列極限概念的描述性說明：當項數(shù)無限增加時，數(shù)列的項無限趨近于某一個確定的常數(shù)的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列，這個確定的常數(shù)稱為數(shù)列極限。 劉徽及其割圓術的介紹學生對數(shù)列極限概念有了一定的認識，為了使學生認識到這個概念并不是突然產生的，是和他們已有的知識結構密切相關的，為此在第一階段我設計了這一部分教學。我一方面介紹了我國古代數(shù)學家對數(shù)列極限思想所做的貢獻， 如“在世界數(shù)學史上，劉徽是最早運用這種數(shù)列極限的思想解決數(shù)學問題的大數(shù)學家。用這種指導思想計算圓

7、面積的方法，就稱為劉徽割圓術.用類似劉徽割圓術的方法求出圓周率的近似值，雖然在公元前 3 世紀的古希臘數(shù)學家阿基米德也算出過，但所用的方法卻比劉徽所用的方法繁雜的多?！痹诹硪环矫嬷攸c結合計算機模擬劉徽割圓術，介紹這種算法的指導思想：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”。通過課件動態(tài)演示，進一步在“無意注意” 作用的發(fā)揮上下文章，加深學生對“變化趨勢”、“趨近于”、“極限” 等概念的認識，為下一階段極限概念的教學提供對這個概念感性認識的基礎。（二）“概念建立階段”1這一階段要解決的任務由于數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學語言表述具有高度的概括性、抽象性，學生初次接觸很

8、困難。具體講，在-N 語言中，學生搞不清的兩重性絕對的任意性、相對的確定性；學生搞不清“ N”，不太理解 N 的實質是表示項數(shù) n 無限增大過程中的某一時刻，從這一時刻起，所有 an(n>N) ，都聚集在以極限值 A 為中心， 為半徑的鄰域中， N 是否存在是證明數(shù)列極限存在的關鍵。因此在這一階段的教學中，我采取“ 啟發(fā)式談話法” 與“ 啟發(fā)式講解法”， 注意不“一次到位”，這樣在本階段我設計解決的幾個主要問題是：建立、理解數(shù)列極限的定義；認識定義中反映出的靜與動的辨證關系；初步學習論證數(shù)列極限的方法。2本階段教學安排本階段教學安排分三個步驟進行。問題的提出在教學安排上，我根據學生形成對

9、數(shù)列極限的初步認識，以數(shù)列“ 1 ,2 ,3 ,4 ,n ,”2345n 1為例，提出一個學生形成極限概念時不好回答的問題：根據數(shù)列極限定義直觀描述，這個數(shù)列的極限是1，即當項數(shù) n 無限增大時，這個數(shù)列的項無限地趨近于1，問題是為什么不說這個數(shù)列的項無限地趨近于1.1 ，從而使學生發(fā)現(xiàn)問題在于自己已獲得的數(shù)列極限概念中“ 無限趨近于” 這一描述，這種描述比較含混，感到有必要對極限定義做進一步精確描述。問題的解決具體講，由于數(shù)軸上兩點的距離及其解析表示對學生來說是很熟悉的，故我在教學中利用數(shù)軸引導學生先得出結論： “趨近于”是距離概念，距離的解析表示是絕對值， “無限趨近于”就可用距離要多小有

10、多小來表示。即數(shù)列項與確定常數(shù)差的絕對值要多小有多小。然后讓學生通過具體計算如： “思考已知數(shù)列中是否有到 1.1 的距離為 0.01 的項？”使學生知道已知數(shù)列的項不能與 1.1 的距離要多小有多小，即 1.1 不是已知數(shù)列的極限，從而使學生對“ 要多小有多小” 這一概念有了進一步認識， 并為量化 |an -1|當項數(shù)無限增加時要多小有多小打下基礎。數(shù)列極限定義的得出在“ 檢驗 1是否滿足：已知數(shù)列的項與1 的差的絕對值是否要多小有多小” 的教學過程中，我采取“給距離找項數(shù)” 的方法。具體講讓學生考慮已知數(shù)列中有哪些項與1 的差的絕對值小于0.1、0.05 、 0.0011 、0.0001

11、，讓學生把用計算器計算的結果在黑板上列表寫出并解釋所得的結果，如提示學生得出結論： “已知數(shù)列中第 908 項以后各項與 1 的差的絕對值小于 0.0011 ?！边@種討論的目的是使學生感受到“ N”是項數(shù) n 無限增大的過程中的一個標志，進而說明對于給定的每一個正數(shù)，可找到 N，當 n>N 時， |an -1|小于這個正數(shù)。進而讓學生注意無論表示距離的正數(shù)取的多么小，也不能說成“ 要多小有多小”，而把具體值改為后即可解決這個問題。這樣通過討論，在我的引導下，使學生得到結論：“數(shù)列：1 ,2 ,3 ,4 ,n ,2345n1當項數(shù)無限增大時，它的項越來越趨近于1”，也就是數(shù)列：1 ,2 ,

12、3 ,4 ,n ,2345n1的極限為 1，并進一步讓學生總結出一般數(shù)列的極限的準確定義。（三）“概念鞏固階段”1本階段的教學計劃在這一階段的教學中我計劃做兩件事情：說明 N、|an-A |<在討論數(shù)列極限時所起的作用;是習題訓練。2本階段的教學過程根據上述說明，這一階段分為兩個步驟。 定義說明除了對極限概念予以說明外為了加深學生對數(shù)列極限概念中N、 、|an-A |< 的認識，我讓學生討論問題“ 任意有極限的無窮數(shù)列能否使極限值為數(shù)列中的項” 及“常數(shù)列是否有極限” ，當學生有困難時，可通過舉數(shù)列“1, 0,111n”4, 0,16,2 n 1 sin2,并提示其根據定義考慮問題

13、。這樣使學生進一步體會由特殊到一般再到特殊的認識規(guī)律。 習題訓練在學生對數(shù)列極限定義的初步掌握的基礎上，為鞏固學生所學，我讓學生作課本例1，練習這道題目的在于總結上一階段得到數(shù)列極限的過程，同時讓學生熟悉數(shù)列極限定義的應用步驟；在此基礎上結合北大附中學生的特點我安排了例 2，讓學生作這道題目的在于通過對這道題的證明與討論可讓學生對等比數(shù)列 1，q，q2， qn， 收斂、發(fā)散性有一個清楚的了解。在例2 的處理手法上我讓學生先各抒己見，然后采用幾何畫板演示，驗證同學猜想，從而激發(fā)學生的求知欲望。由于1，q，q2 ， qn， 和1, 1 , 1 ,1 , 是今后學習過程中的常用數(shù)列，因此我覺得2 3

14、n學生對例 1、例 2 的掌握的好壞將對后面的學習產生直接影響。補充說明對于較好的班級，還可考慮用直角坐標系來代替數(shù)軸。由于數(shù)列是以自然數(shù)集子集為定義域的特殊函數(shù)，其圖象是離散的點 .這使得數(shù)列的項與點 (n,f(n) ，即點 (n,an )對應起來 .當數(shù)列 an有極限 A 時，在直角坐標平面內的幾何意義為：任給正數(shù) ，存在一個以直線 y=A+ 和 y=A- 為邊界的條形區(qū)域，存在一個 N，當 n>N 時，所有的點（ n, a n）都落在這個條形區(qū)域內。換句話說數(shù)列的項在坐標平面內對應的點，只有有限個點落在條形區(qū)域外。利用這種方式教授這節(jié)課，形象直觀，并為今后函數(shù)極限的教學打下基礎。三、關于教學用具的說明：這節(jié)課的教學目的之一是使學生通過對極限概念形成過程的了解，較為自然地接受極限的定義，以利于加深對概念的理解和掌握。因此在本節(jié)課中主要使用的是計算器和計算機課件演示。計算器的作用在于使學生理解 “ ”和“ N”內在關系；計算機課件演示目的有三：其一是通過史料的簡單介紹對學生進行愛國主義教育；其二是在概念形成階段，為學生提供感性認識的基礎；其三可對學生所得的結論驗證、 完善，加深對問題的理解， 鞏固所學的