研究性學習 鐘表里的數(shù)學

1、 同學們，我們每天的同學們，我們每天的日常生活都離不開表，但日常生活都離不開表，但是你們知道表中還隱藏著是你們知道表中還隱藏著什么樣的有趣的數(shù)學知識什么樣的有趣的數(shù)學知識嗎？讓我們一起研究研究。嗎？讓我們一起研究研究。 不知你是否觀察過鐘表上的時不知你是否觀察過鐘表上的時針和分針，它們總是成一定角度。針和分針，它們總是成一定角度。那么，你是否知道它們什么時候那么，你是否知道它們什么時候重合？什么時候成一條直線？什重合？什么時候成一條直線？什么時候成直角？其中有什么規(guī)律？么時候成直角？其中有什么規(guī)律？ 問題一：問題一： 這類問題實際上是分針追時這類問題實際上是分針追時針的追擊問題，它的公式是：針

2、的追擊問題，它的公式是：21VVST 追追(1).(1).兩針重合時的位置兩針重合時的位置:圖一圖二 我們知道兩表針在我們知道兩表針在12:0012:00時會重合時會重合( (如圖如圖一一),),設下一次重合位置為圖二設下一次重合位置為圖二, ,時針走過的路時針走過的路程用黃線表示程用黃線表示, ,分針走過的路程用紅線分針走過的路程用紅線+ +棕紅棕紅線表示線表示, ,追及路程追及路程S S為綠線所示，恰為一周。為綠線所示，恰為一周。1V2VS S解法一解法一：取鐘表上的一小格（即一分鐘）取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則為單位路程，則)(60 格格 S)/( 11分分格格 V)/(1

3、212分分格格 V（分分）追追1156511720121160 T解法二解法二： 取鐘表上的一大格（即一小時）取鐘表上的一大格（即一小時）為單位路程，則為單位路程，則)(12 格格 S)/(121時時格格 V)/( 12時時格格 V（分分）（時時）追追115656011111111111211212 T結(jié)果相同。結(jié)果相同。根據(jù)以上計算，每隔根據(jù)以上計算，每隔 分時針和分針重分時針和分針重合一次。合一次。11565在一天中它們重合的次數(shù)是：在一天中它們重合的次數(shù)是：（次次）22117206024 N它們的位置分別是：它們的位置分別是：00:24,11654:22,11149:21,11743:2

4、0,11238:19,11832:18,11327:17,11921:16,11416:15,111010:14,1155:13,00:12,11654:10,11149: 9,11743: 8 ,11238:7,11832: 6,11327: 5,11921: 4,11416: 3,111010: 2,1155: 1(2).兩針成一線時的位置兩針成一線時的位置:圖一 我們知道兩表針在我們知道兩表針在6:006:00時會時會成與一線成與一線( (如圖一如圖一),),設下一次設下一次成一成一線的線的位置為圖二位置為圖二, ,時針時針走過的路程用走過的路程用黃線黃線表示表示, ,分針走過的路程用紅

5、分針走過的路程用紅線線+ +棕紅線表示棕紅線表示, ,追及路程追及路程S S為為綠線綠線所示，恰好為所示，恰好為一周一周，因此，此問，因此，此問題的解答與題的解答與(1)完全類似。完全類似。即每隔即每隔 分時針和分針成一線，一天分時針和分針成一線，一天內(nèi)表針將內(nèi)表針將22次成一線。次成一線。11565圖二S S1V2V(3).兩針垂直時的位置兩針垂直時的位置: 兩表針在兩表針在3:003:00時時垂直垂直( (如圖一如圖一),),設下一次設下一次垂直的垂直的位置為圖二位置為圖二, ,時時針走過的路程用黃線表示針走過的路程用黃線表示, ,分針走過的路程用紅線表示分針走過的路程用紅線表示, ,追及

6、路程追及路程S S為綠線所示。由于藍角與綠角互補，紅角也與綠角互補，所以，紅為綠線所示。由于藍角與綠角互補，紅角也與綠角互補，所以，紅角角= =藍角，故圖中兩黃線部分相等。因此，追及路程恰好為半周藍角，故圖中兩黃線部分相等。因此，追及路程恰好為半周。圖一圖一圖二圖二2V1VS S解：解：取鐘表上的一小格（即一分鐘）取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則為單位路程，則)(30 格格 S)/( 11分分格格 V)/(1212分分格格 V（分分）追追1183211360121130 T方法二：方法二：S圖一圖一圖二圖二 將時針看作是不動的，分針以相對時針的速度（二將時針看作是不動的，分針以相對時

7、針的速度（二者的速度差）追及時針。者的速度差）追及時針。兩表針在兩表針在3:003:00時時垂直垂直( (如圖一如圖一),),下一次下一次垂直的垂直的位置為圖二位置為圖二, ,分針走過的路程用綠線表示，分針走過的路程用綠線表示，這也就是追及的路程這也就是追及的路程S S，恰好為圓周的半圈。恰好為圓周的半圈。時時分分VV 解：解：取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則)(30 格格 S)/(12111分分格格 V)/( 02分分格格 V（分分）追追1183211360012130 T當兩針再次重合時，又回到圖一的情況，因此，當兩針再次重合時，又回到圖

8、一的情況，因此，每隔每隔 分兩針相互垂直分兩針相互垂直 11832根據(jù)以上計算，每隔根據(jù)以上計算，每隔 分時針和分針垂分時針和分針垂直一次。直一次。11832在一天中它們重合的次數(shù)為在一天中它們重合的次數(shù)為（次次）44113606024 N它們的位置分別是：它們的位置分別是：.11327: 2,00: 9,11327: 8,11654: 7,11921: 7,11149: 6,11416: 6,11743: 5,111010: 5,11238: 4,1155 : 4,11832: 3,00: 3 時針與分針還可以成時針與分針還可以成20度、度、30度或度或其它度數(shù)的角，它們在一天中會出現(xiàn)幾其它

9、度數(shù)的角，它們在一天中會出現(xiàn)幾次？分別在哪些位置？其實，分析方法次？分別在哪些位置？其實，分析方法與相互垂直時完全類似，請你也試一試。與相互垂直時完全類似，請你也試一試。推廣：推廣： 在分析此問題時，我們用到了追在分析此問題時，我們用到了追及問題的知識、數(shù)形結(jié)合法、用字及問題的知識、數(shù)形結(jié)合法、用字母表示數(shù)、求代數(shù)式的值以及圓和母表示數(shù)、求代數(shù)式的值以及圓和角度的一些知識角度的一些知識。小結(jié)：小結(jié)： 問題二：問題二： 如果一個工人師傅錯把一塊表如果一個工人師傅錯把一塊表的時針和分針安反了，那么這塊表的時針和分針安反了，那么這塊表還能正確表示所有時間嗎？還能正確表示所有時間嗎？ 答案是否定的，除

10、了兩針重合答案是否定的，除了兩針重合時能正確表示時間外，表針在其它時能正確表示時間外，表針在其它位置均無法表示時間位置均無法表示時間例如：例如：正常正常裝錯裝錯3：0012：00？ 12：15？ 問題三：問題三： 表是用來反映時間的工具，但如表是用來反映時間的工具，但如果你的表不準，你是否可以根據(jù)它果你的表不準，你是否可以根據(jù)它來判斷其他人的表準不準呢？答案來判斷其他人的表準不準呢？答案是肯定的。下面由我來告訴你們方是肯定的。下面由我來告訴你們方法法。設：表設：表A比標準時間比標準時間一小時一小時快快a，表，表B比比 表表A每小時每小時快快b。那么，表。那么，表B是否準確？是否準確？ 分析：分

11、析： 標準時間一小時中標準時間一小時中B B所走的時間：所走的時間：當當A走走1小時時，小時時，B走走b+1小時；當小時；當標準時標準時為為1小時小時時，時，A走走a+1小時；設：小時；設：B走走x小時。小時。A、B兩表速度成比例，應有：兩表速度成比例，應有：111 bax)1)(1(bax 準準若若Bba1)1)(1 ( 不不準準若若Bba1)1)(1 ( 這就是判斷這就是判斷B表準不準的判據(jù)。表準不準的判據(jù)。下面，讓我們根據(jù)上面的判據(jù)來判斷一下：下面，讓我們根據(jù)上面的判據(jù)來判斷一下：分析：分析：)(601)(601時時時時 ba不準不準）（136003599605960616011)6011()1)(1( ba 例：我的表比標準時間每小時快例：我的表比標準時