單因素方差分析最新版本

1、第四章第四章 方差分析方差分析4.1 4.1 單因素方差分析單因素方差分析4.2 4.2 雙因素方差分析雙因素方差分析4.1 4.1 單因素方差分析單因素方差分析方差分析的基本概念方差分析的基本概念 單因素方差分析單因素方差分析 方差分析主要用于檢驗(yàn)因素的不同水平對試驗(yàn)結(jié)果方差分析主要用于檢驗(yàn)因素的不同水平對試驗(yàn)結(jié)果的影響。的影響。相同的鋁合金薄板，檢驗(yàn)不同的機(jī)器所生產(chǎn)的薄板的相同的鋁合金薄板，檢驗(yàn)不同的機(jī)器所生產(chǎn)的薄板的一、方差分析的基本概念一、方差分析的基本概念 機(jī)器為機(jī)器為因素，因素，不同的三臺機(jī)器分別為因素的三個不同不同的三臺機(jī)器分別為因素的三個不同例例1 1 設(shè)有三臺機(jī)器設(shè)有三臺機(jī)器

2、(分別記作分別記作A,B,C)，用來生產(chǎn)規(guī)格，用來生產(chǎn)規(guī)格厚度有無顯著差異。這里厚度有無顯著差異。這里試驗(yàn)的指標(biāo)試驗(yàn)的指標(biāo)就是薄板的厚度就是薄板的厚度的的水平水平。 在試驗(yàn)中，我們將考察的對象稱為在試驗(yàn)中，我們將考察的對象稱為試驗(yàn)指標(biāo)，試驗(yàn)指標(biāo)，影響影響 試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為因素因素，因素所處的不同的狀態(tài)，因素所處的不同的狀態(tài)稱為因素的不同的稱為因素的不同的水平水平。 因素一般分為兩類，因素一般分為兩類，可控因素可控因素和和不可控因素。不可控因素。例如反應(yīng)溫度、原料劑量等是可以控制的，而測量誤例如反應(yīng)溫度、原料劑量等是可以控制的，而測量誤差、氣象條件是不可控制的因素。差、氣象條

3、件是不可控制的因素。 若在一個試驗(yàn)中，只有一個因素在改變，稱為若在一個試驗(yàn)中，只有一個因素在改變，稱為單因素單因素試驗(yàn)試驗(yàn)，否則稱為，否則稱為多因素試驗(yàn)多因素試驗(yàn)二、一元方差分析二、一元方差分析ssAAA,21 設(shè)試驗(yàn)因素設(shè)試驗(yàn)因素A 有有 個水個水 平：平： ), 2 , 1;, 2 , 1(injsi 在水在水 平平 iAin下做了下做了 次重復(fù)試次重復(fù)試 驗(yàn)，驗(yàn)， iAj水平下第水平下第 次試驗(yàn)次試驗(yàn) ijy結(jié)果的觀測值記為結(jié)果的觀測值記為 ， nnii ,), 0(2 Nyijijiijij 為相應(yīng)的試驗(yàn)誤差。為相應(yīng)的試驗(yàn)誤差。 i 為第為第 個總體的均值個總體的均值 ， i siii

4、nn11 記記 ，稱為總平均，稱為總平均， ii 稱為水平稱為水平 的效應(yīng)。的效應(yīng)。iA從而模型可以寫為：從而模型可以寫為： iiiijijiijnNy0), 0(2 ), 2 , 1;, 2 , 1(injsi 表表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的形式試驗(yàn)數(shù)據(jù)的形式 總體總體 觀測值觀測值 樣本容量樣本容量 s21ssnssnnyyyyyyyyy,21222211121121snnn211 1、方差分析的任務(wù)是：、方差分析的任務(wù)是： （1） 檢驗(yàn)檢驗(yàn)s 個總體均值是否相等，即個總體均值是否相等，即 不不全全相相等等ssHH ,:211210 （2）給出未知參數(shù)）給出未知參數(shù) 的估計的估計221, s 如果因素

5、如果因素A A的各個水平對試驗(yàn)結(jié)果影響相同，的各個水平對試驗(yàn)結(jié)果影響相同， injijiiyny11則則 應(yīng)差異不大，應(yīng)差異不大， iy 則則 差異應(yīng)比較明顯，此差異應(yīng)有差異應(yīng)比較明顯，此差異應(yīng)有系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差所引起所引起不能再認(rèn)為只有不能再認(rèn)為只有隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差造成的。造成的。其差異主要有其差異主要有隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差造成的。造成的。若因素若因素A A的各個水平對試驗(yàn)結(jié)果影響不同，的各個水平對試驗(yàn)結(jié)果影響不同，2 2、方差分析的基本思想：、方差分析的基本思想：即若兩個變差即若兩個變差差別不大差別不大，通過比較二者的大小關(guān)系，通過比較二者的大小關(guān)系，說明試驗(yàn)因素的不同水平對試驗(yàn)結(jié)果影響的大小

6、。說明試驗(yàn)因素的不同水平對試驗(yàn)結(jié)果影響的大小。各個水平差異不大；各個水平差異不大；若兩個變差若兩個變差差別較大，則不同水平存在顯著差異。差別較大，則不同水平存在顯著差異。從所有觀測值的總變差中分析出從所有觀測值的總變差中分析出系統(tǒng)變差系統(tǒng)變差和和隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差，記記 sinjijiyny111 sinjijTiyyS112)( sinjiiijiyyyy112)( sinjiiiijiijiyyyyyyyy1122)()(2)( sinjiiijiyyyy1122)()(AESS 3 3、平方和的分解、平方和的分解 稱為稱為總的離差平方和總的離差平方和，反映了全部數(shù)據(jù)間的差異。，反映了全部數(shù)

7、據(jù)間的差異。 TS 通常稱為通常稱為誤差平方和誤差平方和或或組內(nèi)平方和組內(nèi)平方和，反映了隨，反映了隨機(jī)誤差的影響。機(jī)誤差的影響。 ES 通常稱為通常稱為組間平方和組間平方和或或因素因素A A的平方和的平方和，反映了，反映了由因素由因素A的各個不同的水平引起的差異。的各個不同的水平引起的差異。 ASAETSSS 2111 injiijiyyn是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體 的樣本的樣本),(2 iNiiniiyyy,21的樣本方差，所以：的樣本方差，所以：)1()(12122 injiijnyyi 4 4、 和和 的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性 ASES 2121222111 iiinjssjnjjnjjE

8、yyyyyyS上述各個和式相互獨(dú)立，由卡方分布可加性可得：上述各個和式相互獨(dú)立，由卡方分布可加性可得： siiEnS122)1( )(22snSE 即即 siiiAnsSE122)1()( 經(jīng)過一系列運(yùn)算，可以證明經(jīng)過一系列運(yùn)算，可以證明 ： EASS 與與相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，)1(22 sSA 當(dāng)當(dāng) 為真時，為真時，0H21 sSEA當(dāng)當(dāng) 不真時，不真時，0H21 sSEA當(dāng)當(dāng) 為真時為真時:0H)()1(snSsSFEA 不能過大不能過大 而不管而不管 是否為真，是否為真，2 snSEE0H當(dāng)當(dāng) 為真時為真時:0H),1()()1(snsFsnSsSFEA ),1(snsFF 因此，給定檢

9、驗(yàn)水平因此，給定檢驗(yàn)水平 時，拒絕域?yàn)椋簳r，拒絕域?yàn)椋?表表2 方差分析表方差分析表 來源來源 平方和平方和 均方均方自由度自由度F 因子因子 誤差誤差 總和總和212ynynSsiiiA 2112ynySsinjijTi ATESSS 1 ssn 1 n1 sSAsnSE )()1(snSsSEA 若記若記 , siyTinjiji, 1,1 siisinjijTyTi1.11. 表表3 方差分析表方差分析表 來源來源 平方和平方和 均方均方自由度自由度F 因子因子 誤差誤差 總和總和nTnTSsiiiA2.12 nTySsinjijTi2.112 ATESSS 1 ssn 1 n1 sSA

10、snSE )()1(snSsSEA 例例2 2：四種類型電路的響應(yīng)時間的總體均為正態(tài)，且四種類型電路的響應(yīng)時間的總體均為正態(tài)，且各總體的方差相同，但參數(shù)未知，又設(shè)各樣本相互獨(dú)各總體的方差相同，但參數(shù)未知，又設(shè)各樣本相互獨(dú)立，試取顯著性水平立，試取顯著性水平 檢驗(yàn)各類電路的響應(yīng)時間是否有顯著性差異。檢驗(yàn)各類電路的響應(yīng)時間是否有顯著性差異。 05. 0 34. 3)14, 3(76. 305. 0 F0H拒絕拒絕 來源來源 平方和平方和 均方均方自由度自由度F 因子因子 誤差誤差 總和總和98.31844.71446.3953141725.2876. 333.106例3 例4 5 5、未知參數(shù)的估計、未知參數(shù)的估計 不管不管 是否為真，是否為真，2 snSEE0H因此因此 為為 的無偏估計。的無偏估計。2 snSE 2 由于由于 )( yEinjijiiiynEyE 1.1)(因此因此 和和 分別為分別為 和和 的無偏估計。的無偏估計。y .iiy i 由于由于kikiyyE )(.因此因此 kikinnyyD11)(2. 而而 和和 相互獨(dú)立相互獨(dú)立