自由度和廣義坐標(biāo)

1、2021/2/71散散 射射 具有確定動(dòng)量的粒子從遠(yuǎn)處而來具有確定動(dòng)量的粒子從遠(yuǎn)處而來,通過另一個(gè)粒子（稱通過另一個(gè)粒子（稱為散射中心）附近為散射中心）附近,相互作用后而發(fā)生偏轉(zhuǎn)相互作用后而發(fā)生偏轉(zhuǎn),又向遠(yuǎn)處而去又向遠(yuǎn)處而去,這就是散射這就是散射,經(jīng)散射后粒子處于非束縛的散射定態(tài)經(jīng)散射后粒子處于非束縛的散射定態(tài)。量子。量子力學(xué)中力學(xué)中,散射又稱碰撞。在碰撞過程中散射又稱碰撞。在碰撞過程中,如果兩粒子內(nèi)部狀如果兩粒子內(nèi)部狀態(tài)均未發(fā)生改變態(tài)均未發(fā)生改變,則稱為彈性散射則稱為彈性散射;反之反之,稱為非彈性散射。稱為非彈性散射。 我們僅限于討論彈性散射。我們僅限于討論彈性散射。 為方便起見為方便起見,

2、采用質(zhì)心坐標(biāo)系采用質(zhì)心坐標(biāo)系,并假定散射中心的質(zhì)量遠(yuǎn)并假定散射中心的質(zhì)量遠(yuǎn)大于入射粒子的質(zhì)量大于入射粒子的質(zhì)量,即由碰撞引起的散射中心的運(yùn)動(dòng)可即由碰撞引起的散射中心的運(yùn)動(dòng)可以略去。這樣以略去。這樣,入射粒子發(fā)生彈性散射后入射粒子發(fā)生彈性散射后,只有運(yùn)動(dòng)方向發(fā)只有運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變生改變,動(dòng)量大小并未發(fā)生改變。動(dòng)量大小并未發(fā)生改變。 另外另外,入射粒子與散射中心的相互作用只發(fā)生在很小的空入射粒子與散射中心的相互作用只發(fā)生在很小的空間區(qū)域內(nèi)間區(qū)域內(nèi),在這小區(qū)域外在這小區(qū)域外,入射粒子（初態(tài)）及散射粒子入射粒子（初態(tài)）及散射粒子（末態(tài)）均處于自由粒子狀態(tài)。（末態(tài)）均處于自由粒子狀態(tài)。 2021/2/7

3、2 散射過程實(shí)際上是由于空間小區(qū)域中的相互作用導(dǎo)散射過程實(shí)際上是由于空間小區(qū)域中的相互作用導(dǎo)致的粒子從一個(gè)自由態(tài)到另一自由態(tài)的躍遷。但是致的粒子從一個(gè)自由態(tài)到另一自由態(tài)的躍遷。但是,這種這種躍遷的初末態(tài)能量是相同的躍遷的初末態(tài)能量是相同的,并且組成連續(xù)譜。本講主要并且組成連續(xù)譜。本講主要討論的仍屬于躍遷概率問題討論的仍屬于躍遷概率問題,而中心問題是散射截面。散而中心問題是散射截面。散射截面的計(jì)算射截面的計(jì)算,主要通過兩種近似方法主要通過兩種近似方法:分波法和玻恩近似分波法和玻恩近似法。法。 1 散射截面散射截面 1、1 入射入射 設(shè)自由粒子流沿著設(shè)自由粒子流沿著 軸向散射中心入射。首先軸向散射

4、中心入射。首先,我們我們定義定義:單位時(shí)間內(nèi)穿過垂直于入射方向的單位面積的入射單位時(shí)間內(nèi)穿過垂直于入射方向的單位面積的入射粒子數(shù)稱為入射粒子流強(qiáng)度粒子數(shù)稱為入射粒子流強(qiáng)度,記為記為 。從波動(dòng)理論出發(fā)。從波動(dòng)理論出發(fā),入入射波取為射波取為 其中其中 , 是約化質(zhì)量是約化質(zhì)量, 是入射粒子動(dòng)量是入射粒子動(dòng)量, 是入射粒子的速度是入射粒子的速度 zNikze1（1） 22Ekkpkv2021/2/73入射波的概率流密度入射波的概率流密度 其數(shù)量大小即給出入射粒子流強(qiáng)度其數(shù)量大小即給出入射粒子流強(qiáng)度, 。由此可見。由此可見, 描述的是單位體積內(nèi)只有一個(gè)入射粒子的情況。描述的是單位體積內(nèi)只有一個(gè)入射粒子

5、的情況。1.2 散射散射 入射粒子流受散射中心的作用而偏離原來的運(yùn)動(dòng)方入射粒子流受散射中心的作用而偏離原來的運(yùn)動(dòng)方 向向,沿著不同的散射角沿著不同的散射角 射出射出,單位時(shí)間內(nèi)散射到單位時(shí)間內(nèi)散射到 方向上的面積元方向上的面積元 上的粒子數(shù)上的粒子數(shù) 應(yīng)由下面關(guān)系應(yīng)由下面關(guān)系 vkikikizziJz1*1*111*1*1122（2） vN ikze1),(),(dSdnNdrdSNdn2Ndqdn),(（3） 2021/2/742021/2/75式中式中 是比例系數(shù)是比例系數(shù),與入射粒子的能量、散射中心的與入射粒子的能量、散射中心的性質(zhì)及粒子出射的方向性質(zhì)及粒子出射的方向 有關(guān)。有關(guān)。 實(shí)際

6、上由實(shí)際上由 可以看出可以看出 （1） 表明單位時(shí)間內(nèi)沿不同角度表明單位時(shí)間內(nèi)沿不同角度 散射粒子數(shù)散射粒子數(shù) 目的多少目的多少,或散射粒子的概率的大小或散射粒子的概率的大小,所以稱它為所以稱它為 散射粒子的角分布。散射粒子的角分布。 （2）從量綱看）從量綱看, 具有面積的量綱具有面積的量綱,因此又稱它為因此又稱它為 方向上的微分散射截面方向上的微分散射截面,而把而把 稱為總散射面積。稱為總散射面積。),(q),(dqNdn),(/),(q),(),(q),( 020sin),(),(ddqdqQ（4） 2021/2/76“截面截面”一詞一詞,可作如下解釋可作如下解釋: 按著（按著（3）式）式

7、,在入射粒子流中在入射粒子流中,每單位時(shí)間穿過與入射每單位時(shí)間穿過與入射 方向垂直的方向垂直的 面積的粒子數(shù)面積的粒子數(shù),即為單位時(shí)即為單位時(shí)間被散射到立體角間被散射到立體角 中去的粒子數(shù)中去的粒子數(shù) ,而單位時(shí)間被散而單位時(shí)間被散射的總粒子數(shù)射的總粒子數(shù) 則等于單位時(shí)間穿過垂直于入射方向的面則等于單位時(shí)間穿過垂直于入射方向的面積積 的入射粒子數(shù)。因此的入射粒子數(shù)。因此,對(duì)于入射粒子流來說對(duì)于入射粒子流來說,散射體散射體的作用等效于一塊橫截面積的作用等效于一塊橫截面積,凡是打在這塊面積上的粒子凡是打在這塊面積上的粒子,都被散射到各個(gè)方向上去。都被散射到各個(gè)方向上去。 及及 都是可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定的量

8、都是可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定的量,需要討論的問題是需要討論的問題是:如如何從薛定諤方程的解來計(jì)算散射截面何從薛定諤方程的解來計(jì)算散射截面,以便與實(shí)驗(yàn)值相比以便與實(shí)驗(yàn)值相比較較,從而來研究粒子間相互作用的性質(zhì)及其它問題。所以從而來研究粒子間相互作用的性質(zhì)及其它問題。所以說說,散射截面是散射理論的核心問題。下面討論散射截面散射截面是散射理論的核心問題。下面討論散射截面與散射粒子的波函數(shù)之間的關(guān)系。與散射粒子的波函數(shù)之間的關(guān)系。 dqdQ),(),(ddnQ),(qQ2021/2/77 受散射中心作用后受散射中心作用后,入射粒子將改變方向入射粒子將改變方向,動(dòng)量不再守恒動(dòng)量不再守恒,從而出現(xiàn)散射波。而實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)

9、都是在遠(yuǎn)離散射中心的地方從而出現(xiàn)散射波。而實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)都是在遠(yuǎn)離散射中心的地方進(jìn)行的進(jìn)行的,因此散射波應(yīng)該是球面波因此散射波應(yīng)該是球面波 其中其中 是沿是沿 方向向外傳播的散射波的振幅方向向外傳播的散射波的振幅,稱為稱為散射振幅。由上式可得散射波的概率流密度散射振幅。由上式可得散射波的概率流密度它的數(shù)值即為單位時(shí)間內(nèi)穿過它的數(shù)值即為單位時(shí)間內(nèi)穿過 方向上的單位面積的方向上的單位面積的粒子數(shù)粒子數(shù) refikr),(2（5） ),(f),(rriJr2*2*22222222),(),(2frvrikrikfi（6） ),(2021/2/78因此穿過因此穿過 面積的粒子數(shù)是面積的粒子數(shù)是 與（與（3

10、）比較）比較,可得可得 即散射截面可由散射波的散射振幅決定。問題又轉(zhuǎn)化為對(duì)即散射截面可由散射波的散射振幅決定。問題又轉(zhuǎn)化為對(duì) 散射波的研究。散射波的研究。 dfNdfvdSfrvdSJdnr2222),(),(),(2),(),(fq（7） dS2021/2/792.分波法分波法 2.1薛定諤方程及其邊界條件薛定諤方程及其邊界條件 若入射粒子與散射中心之間的相互作用勢(shì)能用中心力若入射粒子與散射中心之間的相互作用勢(shì)能用中心力 場(chǎng)場(chǎng) 表示表示,并假定并假定 ,則體系的薛定諤方程寫為則體系的薛定諤方程寫為令令 , ,且在中心力場(chǎng)情況下且在中心力場(chǎng)情況下,勢(shì)勢(shì)能只與能只與 大小有關(guān)大小有關(guān),所以所以

11、)(rU0)(limrUrErU)(222（8） 22222pEk)(2)(2rUrVr0)(22rVk（9） 2021/2/710如前所述如前所述,實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)散射粒子都是在遠(yuǎn)離散射中心的地方進(jìn)實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)散射粒子都是在遠(yuǎn)離散射中心的地方進(jìn)行行,所以我們總是關(guān)注波函數(shù)在所以我們總是關(guān)注波函數(shù)在 時(shí)的漸進(jìn)行為。時(shí)的漸進(jìn)行為。 而在無窮遠(yuǎn)處而在無窮遠(yuǎn)處,不但有平面波存在不但有平面波存在,而且有散射波存在而且有散射波存在,所以滿足（所以滿足（9）式的波函數(shù)應(yīng)具有如下的漸進(jìn)行為（邊界條）式的波函數(shù)應(yīng)具有如下的漸進(jìn)行為（邊界條件）件） 綜上所述綜上所述,中心力場(chǎng)中的散射問題中心力場(chǎng)中的散射問題,歸結(jié)為按不

12、同的勢(shì)能歸結(jié)為按不同的勢(shì)能函數(shù)求解薛定諤方程（函數(shù)求解薛定諤方程（9）式）式,并使其解得的波函數(shù)漸進(jìn)行并使其解得的波函數(shù)漸進(jìn)行為滿足（為滿足（10）式）式,這樣就得到散射振幅這樣就得到散射振幅亦得到散射截亦得到散射截面。面。 rrefeikrikzr),(21（10） 2021/2/7112.2薛定諤方程的漸近解薛定諤方程的漸近解 對(duì)于中心力場(chǎng)問題對(duì)于中心力場(chǎng)問題,我們已知對(duì)于確定的能量我們已知對(duì)于確定的能量 ,方程方程 （9）的一般解可寫為）的一般解可寫為 若選取粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸若選取粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸,則則中心力場(chǎng)的散射問題具有軸對(duì)稱性中心力場(chǎng)的散

13、射問題具有軸對(duì)稱性,波函數(shù)及散射振幅都與波函數(shù)及散射振幅都與 無關(guān)無關(guān),即即 ,所以有所以有式中的式中的 ,對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)稱為對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)稱為 分波分波,每一個(gè)分每一個(gè)分波波 都是方程（都是方程（9）的解。）的解。 nEmllmlYrRr,),()(),(0m)(cos)(),(lllPrRr（11） , 2 , 1 , 0l,dps)(cos)(llPrR2021/2/712其中勒讓德多項(xiàng)式其中勒讓德多項(xiàng)式 為已知為已知,所以我們只需討論所以我們只需討論滿足的徑向方程滿足的徑向方程 令令 得得 滿足的方程滿足的方程這里這里, 的函數(shù)形式尚依賴于的函數(shù)形式尚依賴于 的具體形式的具體形式,考查考查處的

14、漸進(jìn)形式處的漸進(jìn)形式,則上式簡(jiǎn)化為則上式簡(jiǎn)化為 )(coslP)(rRl0)() 1()()(12222rRrllrVkdrrdRrdrdrll（12） rrurRll)()(（13） )(rul0)() 1()()(2222rurllrVkdrrudll（14） )(rul)(rUr0)()(222rukdrrudll2021/2/713其一般解為其一般解為 因此因此, 的漸進(jìn)形式是的漸進(jìn)形式是為了與入射波進(jìn)行方便的比較引入為了與入射波進(jìn)行方便的比較引入 及及將（將（15）式代入（）式代入（11）式）式,得出方程的漸近解為得出方程的漸近解為2.3散射波與入射波的比較散射波與入射波的比較 因?yàn)?/p>

15、平面波因?yàn)槠矫娌?可以按著數(shù)理方程中的展開公式展開成可以按著數(shù)理方程中的展開公式展開成一系列球面波的疊加一系列球面波的疊加)sin()(lllkrAru)(rRl)2sin()sin()(llllrllkrkrAkrrArR（15） llAkAlll21llllrPlkrkrAr)(cos)2sin(),(（16） ikzellllikrikzPkrjilee)(cos)() 12(cos2021/2/714式中球貝塞耳函數(shù)式中球貝塞耳函數(shù) 的漸近式為的漸近式為 所以入射波的漸近式為所以入射波的漸近式為（17）式與（）式與（16）式比較可以看出）式比較可以看出,入射波被散射后入射波被散射后,第

16、第 個(gè)分波個(gè)分波 變成了變成了 ,角度部分角度部分 保持不變保持不變,徑向部分多了一個(gè)相角徑向部分多了一個(gè)相角 ,相角相角 稱為第稱為第 分波的相移。分波的相移。 )(krjl)2sin(1)(2)(21lkrkrkrJkrkrjrlllllrikzPlkrkrile)(cos)2sin() 12(（17） )(cos)2sin(lPlkr )(cos)2sin(llPlkr)(coslPllll2021/2/715入射波展開后入射波展開后,散射波函數(shù)的邊界條件變?yōu)樯⑸洳ê瘮?shù)的邊界條件變?yōu)?2.4 散射截面散射截面 薛定諤方程的漸近解（薛定諤方程的漸近解（16）式一定滿足波函數(shù)的邊界條）式一定

17、滿足波函數(shù)的邊界條件（件（18）式）式,即即 ikrlllrerfPlkrkrilr)()(cos)2sin() 12(),(（18） 0)(cos)2sin(llllPlkrkrAikrlllerfPlkrkril)()(cos)2sin() 12(0（19） 2021/2/716由此可解出散射振幅（詳細(xì)推導(dǎo)見教材）由此可解出散射振幅（詳細(xì)推導(dǎo)見教材）微分散射截面的表達(dá)式為微分散射截面的表達(dá)式為由此可以看出由此可以看出:求散射振幅求散射振幅 的問題歸結(jié)為求相移的問題歸結(jié)為求相移 ,而而 的獲得需要根據(jù)的獲得需要根據(jù) 的具體情況解徑向方程求的具體情況解徑向方程求 ,然然后取其漸近解后取其漸近解

18、,并寫成并寫成 02)(cos) 1)(12(21)(lliPelkifl0sin)(cos) 12(1llillePlk（20） 2022sin)(cos) 12(1)()(llillePlkfq（21） )(fll)(rU)(rRl)2sin(1)(lrllkrkrrR2021/2/717即可得到第即可得到第 個(gè)分波的相移個(gè)分波的相移 。由于每個(gè)分波都將產(chǎn)生相。由于每個(gè)分波都將產(chǎn)生相移移,所以所以,必須尋找各個(gè)分波的相移來計(jì)算散射截面必須尋找各個(gè)分波的相移來計(jì)算散射截面,這種這種方法叫作分波法。方法叫作分波法。 最后最后,利用勒讓德函數(shù)的正交性利用勒讓德函數(shù)的正交性,可得出總散射截面為可得

19、出總散射截面為 可以證明可以證明 （光學(xué)定理）（光學(xué)定理） ll0022sin) 12(4llllQlkQlllkQ22sin) 12(4（22） （23） )0(Im4fkQ（24） 2021/2/7182.5分波法的適用范圍分波法的適用范圍 分波法求散射截面是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的問題分波法求散射截面是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的問題,從原則上講從原則上講,分分波法是求解散射問題的普遍方法。但實(shí)際上波法是求解散射問題的普遍方法。但實(shí)際上,順次計(jì)算級(jí)順次計(jì)算級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)是相當(dāng)復(fù)雜的數(shù)中的各項(xiàng)是相當(dāng)復(fù)雜的,有時(shí)也是不可能的。所以只能有時(shí)也是不可能的。所以只能在一定條件下計(jì)算級(jí)數(shù)中的前幾項(xiàng)在一定條件下計(jì)算級(jí)數(shù)中的前幾

20、項(xiàng),達(dá)到一定的精確度即達(dá)到一定的精確度即可。可。 分波法適用的條件寫成分波法適用的條件寫成 ,而而 的分波不必考的分波不必考 慮慮, 愈小愈小,則需計(jì)算的項(xiàng)數(shù)愈少則需計(jì)算的項(xiàng)數(shù)愈少,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,只需計(jì)只需計(jì)算一個(gè)相移算一個(gè)相移 就足夠了。就足夠了。 足夠小意味著入射粒子的動(dòng)足夠小意味著入射粒子的動(dòng)能較低能較低,所以分波法適用于低能散射。所以分波法適用于低能散射。 kal kal ka1ka0l0ka2021/2/719由徑向方程由徑向方程 相移相移 散射振幅散射振幅 散射截面散射截面 )(fl)(rRl)(q2021/2/720例一例一 求粒子受勢(shì)能求粒子受勢(shì)能 散射的微分散射截面。散射的

21、微分散射截面。解解: 把把 代入徑向方程代入徑向方程,得得 令令 ,得得 的方程為的方程為式中式中 ,這是一個(gè)貝塞耳方程這是一個(gè)貝塞耳方程,其解為其解為考慮到考慮到 時(shí)波函數(shù)應(yīng)為有限值時(shí)波函數(shù)應(yīng)為有限值,則則 ,故故2/)(rarU2/)(rarU0)() 1(2)(1222222rRrllrakdrrdRrdrdrllrruRll)()(rul0)(122222lllurpkdrdurdrud2222)21(alp)()()(krBNkrAJruPPl0r0B)()(krJrArruRPll2021/2/721考慮到考慮到 的漸近行為的漸近行為 故有故有與與 相比較相比較,得得當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)很

22、小時(shí),上式展開并略去高次項(xiàng)得上式展開并略去高次項(xiàng)得)(krJP)42sin(2)(pkrkrkrJrP)42sin(1)(pkrrrRrl)2sin(1llkrrllp242)21(2)21(224222lallpla2/1/22lal2021/2/722將結(jié)果代入將結(jié)果代入 ,并考慮到并考慮到 ,所以所以 （1）對(duì)）對(duì) 分波分波, , 所以所以 )(fliiel21202)(cos) 1)(12(21)(lliPelkifl02)(cos2/1/2) 12(1llPlalkllPka)(cos2s0l1)(cos0P2)(kaf22)(kaq2021/2/723（2）一般情況）一般情況,利用

23、勒讓德函數(shù)的母函數(shù)利用勒讓德函數(shù)的母函數(shù),可得可得 所以所以 llP)2/sin(21)(cos)2/sin(21)(2kaf22)2/sin(2)(kaq2021/2/7243 玻恩近似玻恩近似 如果入射粒子的動(dòng)能比粒子與散射中心的相互作用勢(shì)能如果入射粒子的動(dòng)能比粒子與散射中心的相互作用勢(shì)能大得多大得多,以致勢(shì)能以致勢(shì)能 可以看作是微擾時(shí)可以看作是微擾時(shí),體系的哈密頓體系的哈密頓算符可以寫成算符可以寫成 式中式中 是自由粒子的哈密頓算符。從微擾角度出發(fā)是自由粒子的哈密頓算符。從微擾角度出發(fā),粒子粒子的散射相當(dāng)于在常微擾的散射相當(dāng)于在常微擾 的作用下的作用下,從動(dòng)量從動(dòng)量 的初態(tài)躍的初態(tài)躍遷到

24、動(dòng)量為遷到動(dòng)量為 的末態(tài)的末態(tài),在彈性散射情況下在彈性散射情況下,即彈性散射只改變粒子的運(yùn)動(dòng)方向即彈性散射只改變粒子的運(yùn)動(dòng)方向,不改變其動(dòng)量的大小。不改變其動(dòng)量的大小。 )(rUHHrUPH)(202（25） 0H)(rUkk 222kkk（26） 2021/2/725由常微擾躍遷概率公式由常微擾躍遷概率公式 式中式中 是微擾矩陣元是微擾矩陣元, 是動(dòng)量大小為是動(dòng)量大小為 ,在在 方向方向上立體角上立體角 內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度。上式在數(shù)量上即表示單位內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度。上式在數(shù)量上即表示單位時(shí)間內(nèi)躍遷到立體角時(shí)間內(nèi)躍遷到立體角 內(nèi)的粒子數(shù)內(nèi)的粒子數(shù) ,由（由（3）式）式 比較后可得微分散射截面比較后

25、可得微分散射截面式中的微擾矩陣元式中的微擾矩陣元 ,入射粒子流強(qiáng)度入射粒子流強(qiáng)度 及態(tài)密度及態(tài)密度的具體表達(dá)形式取決于體系的初態(tài)與末態(tài)的具體情況。我們的具體表達(dá)形式取決于體系的初態(tài)與末態(tài)的具體情況。我們這里的初末態(tài)是具有確定動(dòng)量這里的初末態(tài)是具有確定動(dòng)量 和和 的自由粒子的自由粒子,設(shè)其設(shè)其波函數(shù)分別為波函數(shù)分別為)(22mHwkkkkH)(mkdddnNdqdn)(NdmHqkk)(2)(2（27） kkHN)(mkk rpipeV1rpipeV 12021/2/726式中式中 為歸一化體積為歸一化體積, 表示單位體積內(nèi)具有確定動(dòng)量表示單位體積內(nèi)具有確定動(dòng)量的粒子數(shù)（即狀態(tài)數(shù)）的粒子數(shù)（即狀

26、態(tài)數(shù)）,所以入射粒子流強(qiáng)度所以入射粒子流強(qiáng)度微擾矩陣元為微擾矩陣元為而在動(dòng)量表象的波函數(shù)而在動(dòng)量表象的波函數(shù)VV/1VvN （28a） derUVdrUHrppikkkk)(*)(1)(（28b） deVdrrprppipp)(*1)()()(pVpVppV333)2()2()()2(2021/2/727 可見在動(dòng)量空間中具有確定動(dòng)量可見在動(dòng)量空間中具有確定動(dòng)量 的狀態(tài)數(shù)變?yōu)榈臓顟B(tài)數(shù)變?yōu)?個(gè)個(gè),于是在于是在 范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)應(yīng)為范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)應(yīng)為 ,用球坐標(biāo)表用球坐標(biāo)表示示即沿即沿 方向的立體角方向的立體角 內(nèi)的末狀態(tài)密度內(nèi)的末狀態(tài)密度而而 , 代入上式得代入上式得 p3)2(VpdpdV3)2

27、(dpdpVdddppV2323)2(sin)2(ddpdpVdm23)2()(22pvdppdpdvdVpm32)2()(（28c） 2021/2/728將（將（28a）,（28b）,（28c）代入（）代入（27)式式,得得式中絕對(duì)值號(hào)內(nèi)留有負(fù)號(hào)是因?yàn)橛酶窳趾瘮?shù)法算出的散射振式中絕對(duì)值號(hào)內(nèi)留有負(fù)號(hào)是因?yàn)橛酶窳趾瘮?shù)法算出的散射振幅幅 有一負(fù)號(hào)有一負(fù)號(hào),引進(jìn)矢量引進(jìn)矢量若入射波矢與散射波矢間的夾角（即散射角）為若入射波矢與散射波矢間的夾角（即散射角）為 ,則則 的數(shù)值為的數(shù)值為20)(422)(4)(derUvpqrppi20)(422)(4derUrppi（29） )(fkkK（30） K2s

28、in2)cos1 (22222kkkkkkK （31） 2021/2/729 我們?nèi)∥覀內(nèi)?的方向?yàn)榍蜃鴺?biāo)的極軸方向的方向?yàn)榍蜃鴺?biāo)的極軸方向, 為方位角為方位角,則則可簡(jiǎn)化積分為可簡(jiǎn)化積分為 因而散射截面為因而散射截面為上式即為玻恩近似表達(dá)式。若勢(shì)能已知上式即為玻恩近似表達(dá)式。若勢(shì)能已知,計(jì)算積分后即可求計(jì)算積分后即可求出微分散射截面。出微分散射截面。 K,0020cos2sin)()(ddedrrrUderUikrrKi0)sin()(4drKrrrUK20422)sin()(4)(drKrrrUKq（32） 2021/2/730所以應(yīng)用玻恩近似法計(jì)算微分散射截面時(shí)所以應(yīng)用玻恩近似法計(jì)算微分散射截面時(shí),主要難點(diǎn)在于給主要難點(diǎn)在于給出出 的具體形式后的具體形式后,如何計(jì)算積分如何計(jì)算積分 ,下面下面給出幾種常見的較復(fù)雜的作用勢(shì)能及對(duì)應(yīng)的積分公式給出幾種常見的較復(fù)雜的作用勢(shì)能及對(duì)應(yīng)的積分公式)(rU0)sin()(drKrrrU02002220040022202)sin(1)sin(2)cos()(2)sin()(222222drrKrrU