簡支梁固有頻率及振型函數(shù)(共3頁)_第1頁
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簡支梁固有頻率及振型函數(shù)(共3頁)_第3頁
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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上簡支梁橫向振動的固有頻率及振型函數(shù)的推導一等截面細直梁的橫向振動 取梁未變形是的軸線方向為X軸（向右為正），取對稱面內(nèi)與x軸垂直的方向為y軸（向上為正）。梁在橫向振動時，其撓曲線隨時間而變化，可表示為 y=y(x,t) (1) 除了理想彈性體與微幅振動的假設外，我們還假設梁的長度與截面高度之比是相當大的（大于10）。故可以采用材料力學中的梁彎曲的簡化理論。根據(jù)這一理論，在我們采用的坐標系中，梁撓曲線的微分方程可以表示為： (2) 其中，E是彈性模量，I 是截面慣性矩，EI為梁的彎曲剛度，M代表x截面處的彎矩。掛怒彎矩的正負，規(guī)定為左截面上順時針方向為正，右截面逆時針方

2、向為正。關于剪力Q的正負，規(guī)定為左截面向上為正，右截面向下為正。至于分布載荷集度q的正向則規(guī)定與y軸相同。在這些規(guī)定下，有： (3)于是，對方程（2）求偏導，可得： (4)考慮到等截面細直梁的EI是常量，就有： (5)方程（5）就是在等截面梁在集度為q的分部李作用下的撓曲微分方程。應用達朗貝爾原理，在梁上加以分布得慣性力，其集度為 (6)其中代表梁單位長度的質量。假設阻尼的影響可以忽略不計，那么梁在自由振動中的載荷就僅僅是分布的慣性力。將式（6）代入（5），即得到等截面梁自由彎曲振動微分方程： (7)其中。為求解上述偏微分方程（7），采用分離變量法。假設方程的解為： y(x,t)=X(x)Y(t) (8)將式（8）代入（7），得： (9)上式左端僅依賴于t,而右端僅依賴于x，因此要使對于任何x,t上式均成立，必須二者均等于一個常數(shù)。將這一常數(shù)記為-p2.于是有： (10) (11)方程（10）的通解為： Y（t）=Asinpt+Bcospt (12)其中，A,B為積分常數(shù)。方程（11） 的通解為： (13)二簡支梁的固有振型和固有頻率簡支梁的邊界條件為：X（0）=0，X(0)=0. X（l）=0，X(l)=0所以有：特征

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