微積分曹定華修訂版課后習(xí)題答案習(xí)習(xí)題詳解

1、歡迎共閱習(xí)題2-11試?yán)帽竟?jié)定義5后面的注（3）證明：若lim xn=a,則對任何自然數(shù) k，有 lim xn+k=a.n 廠n 廠1=0.證：由 lim xn 二a，知 - ；0， N1，當(dāng) nn_-.：i(此時n k Ni )有取 N=Ni-k，有 -；0, N，設(shè) n N 時由數(shù)列極限的定義得lim人k = a.2試?yán)貌坏仁絴A|-B蘭A B說明：若lim xn=a，則 lim I I =|a|.考察數(shù)列 Xn=(-1)nn j ：n ：說明上述結(jié)論反之不成立.證: 而 |xj |a卜|xn _a是-；0， N,使當(dāng)n N時，有Ml-|a|即 |xj |a快 8由數(shù)列極限的定義得li

2、m |xn = a考察數(shù)列Xn =（1）n，知lim人不存在，而|xn =1， niC1所以前面所證結(jié)論反之不成立。3.利用夾逼定理證明：lim |xj=1，nC(1) lim Q +n_& I. n=0 ；nm2n 一=0. n!證：（1）因為1 1 一<-! +2 一 2n n(n 1)2 "" (2n)n 1 . n n 22 - 2 二n n n而且nim>0，所以由夾逼定理，得2lim 0，n.-' n(n 1)2+川+1(2n)2 丿(2)因為 0 :n!4lim 0， n n歡迎共閱(1)Xn=en 1n=1,2,;(2)xi =

3、2 ,Xn+1= . 2xn ,n=1,2,證：(1)略。(2)因為 - 2 ： 2，不妨設(shè)Xk <2，則故有對于任意正整數(shù)n,有xn : 2，即數(shù)列fxj有上界,又人 1 - 人=xn ( i 2 乂.人)，而 xn 0, x: 2，所以 Xn 1 - Xn 0 即 Xn 1 Xn，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。I Z綜上所述，數(shù)列CxJ是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故其極限存在。習(xí)題2-2探 "'I1 證明：lim f(x)=a的充要條件是f(x)在xo處的左、右極限均存在且都等于a.X5Xo” ( .證：先證充分性：即證若 lim f(x) = lim f(x) =a，貝U l

4、im f(x) =a.XXo X(/X >XoX # h 由 lim f(x)二 a 及 lim f (x)二 a 知：xyX ：x)Vs :>0,日6 aO,當(dāng) 0 cx0 x c© 時，有 | f (x) a £ 名，3 >0 當(dāng) 0 ex x0 c62時，有 |f (x) a| Q。取 6 =mi nE,62，則當(dāng) 0vx0xv6 或 0cxx0£ 6 時，有 f(x)a ，而 0<x0 x£§ 或 0<xx()就是 0 v x - x()£ 6，¥"i 巳 L /I i _ji

5、 于是 N 呂 >0 > 0，當(dāng) 0 v x Xo c 6 時，有 | f (x) a v e，fJ I所以 lim f(x) =a.x驗再證必要性：即若 lim f (x)二 a，則 lim f (x) = lim . f (x)二 a ,x %X %X %由 lim f(x)=a 知，燈e >0 >0，當(dāng) 0cxx0 c 右時，有 f(x)a£，XJXo由 0£XX0就是 0Vx0或 O£XXo，于是 WE >0,日6>0，當(dāng) 0£X0X£§ 或 O£X Xo 吒 §所以 l

6、im f (x)二 lim f (x)二 aX XTXo綜上所述,lim f(x)=aXX。的充要條件是f(x)在 X0處的左、右極限均存在且都等于a.12 -1設(shè)f(x)= e ， x ： 0,，問常數(shù) 2x a, x _ 0,解：(1)因為x無限接近于0時，當(dāng)x從小于0的方向無限接近于 0時,a為何值時，lim f(x)存在.2.(1)利用極限的幾何意義確定?m(x +a),和lim ex ；2 2x2 a的值無限接近于 a，故lim( x a)二a.iiex的值無限接近于0,故lim ex =0.0(2) 若 lim f (x)存在，則 lim f (x) = lim f (x)，_0x

7、_0 x_0 -由(1)知 lim f (x) = lim( x2 a) = lim( x2 a) = a，所以，當(dāng)a =0時，li叫f (x)存在。3利用極限的幾何意義說明lim sinx不存在.x_jbc解：因為當(dāng)Xr小時，sinx的值在-1與1之間來回振擺動，即sinx不無限接近某一定直線y = A，亦即 y = f(x)不以直線y =A為漸近線，所以lim sinx不存在。x和習(xí)題2-31舉例說明：在某極限過程中，兩個無窮小量之商、兩個無窮大量之商、無窮小量與無窮大量之積都不一定 是無窮小量，也不一定是無窮大量sin x解：例1：當(dāng)x 0時，tan x,si nx都是無窮小量，但由co

8、sx (當(dāng)x 0時，cosxr 1)不是無tan x窮大量，也不是無窮小量。2x例2：當(dāng)x；門時，2x與x都是無窮大量，但 2不是無窮大量，也不是無窮小量。x例3：當(dāng)x； 0 時，tanx是無窮小量，而cotx是無窮大量，但tanx_cotx = 1不是無窮大量，也不是無窮.* /'i 、L /I I_j小量。2.判斷下列命題是否正確：(1) 無窮小量與無窮小量的商一定是無窮小量；(2) 有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量；(3) 有界函數(shù)與無窮大量之積為無窮大量；(4) 有限個無窮小量之和為無窮小量；(5) 有限個無窮大量之和為無窮大量；(6) y=xsinx在(-,內(nèi)無界，但 lim

9、 xsinx°®(7) 無窮大量的倒數(shù)都是無窮小量；(8) 無窮小量的倒數(shù)都是無窮大量.解：(1)錯誤，如第1題例1 ；(2) 正確，見教材§2.3定理3；(3) 錯誤，例當(dāng)x 0時，cotx為無窮大量，sinx是有界函數(shù)，cotT®nx = cosx不是無窮大量；(4) 正確，見教材§2.3定理2；1111(5)錯誤，例如當(dāng)x)0時，一與都是無窮大量，但它們之和一(一)=0不是無窮大量；XXXXn(6 ) 正確，因為 -M.0,正整數(shù) k , 使 2k n+ - . M , 從而2nnnn.f (2kn+) =(2kn+ )si n(2 kn

10、+) =2kn+ M，即 y =x Sn x 在(一：，：)內(nèi)無界，又一 M 0，無論 X 2 2 2 2多么大，總存在正整數(shù)k,使kn> X，使f(2kR=ksin(kn=0<：M，即xt + 叱 時，xsinx不無限增大， 即 lim xsinx =：；x_ .(7) 正確，見教材§2.3定理5;(8) 錯誤，只有非零的無窮小量的倒數(shù)才是無窮大量。零是無窮小量，但其倒數(shù)無意義。3指出下列函數(shù)哪些是該極限過程中的無窮小量，哪些是該極限過程中的無窮大量3+ 彳(1)f(x)= 2，xf 2;(2)f(x)=lnx, xF ,1,x +;x 41(3) f(x)= ex ,

11、xt0 +, xt0-; (4)f(x)= _-arctanx,x +；21 11(5)f(x)= sinx,xi8 ；(6)(x)= 21一2 , x.xX V x1解：(1)因為lim(x2-4)=0，即x > 2時，x2-4是無窮小量，所以2'是無窮小量，因而X-#x -4J也是無窮大量。X2 -4(2)從 f X) n x 的圖像可以看出，lim ln x - - ,limln x = 0, lim In x - :，所以，當(dāng) x“ 0 時, 0 十1x-"時，f(x)=lnx是無窮大量；當(dāng)X-； 1時，f (x) =1n x是無窮小量。*#"i ：

12、Y jI. I ' _ j1丄丄(3)從 f (x) = ex 的圖可以看出，lim ex = ：, lim ex = 0，十X所以，當(dāng)x： 0時，f(x)二ex是無窮大量；當(dāng)x ； 0 -時，f (x) =ex是無窮小量。(4)narctanx)二 0，2-當(dāng)時，f(x)二-arctanx 是無窮小量。2一 1(5) 丫當(dāng)x'時，1是無窮小量，sinx是有界函數(shù)，x1- si nx 是無窮小量。x(6)：當(dāng)x:時，是無窮小量,x12是有界變量,1一2x1 -一1是無窮小量。習(xí)題2-41若 lim f(x)存在,x淪lim g(x)不存在，問limxxx /0f(x)±

13、;(x): , lim f(x) (x)是否存在，為什么？X0解：若lim f(x)存在，lim g(x)不存在，則xX0X=x)(1) lim f(x) ±(x):不存在。因為若limXff(x) ±(x):存在,則由 g(x)= f (x)f (x) g(x)或lim g(x)，與題設(shè)矛盾。x >x)g(x)珂f(x) g(x) - f (x)以及極限的運算法則可得(2) lim f(x) g(x)可能存在，也可能不存在,XJX0如:f (x) =sin x，g(x)，則 limsin x 0,lim 不x >0 x1存在，但 lim f(x) g(x) =

14、lim sinx =0存在。X00 x1f (x)二 sin x , g(x):cosxl i mx =s i , n flim 11x >ncosxlim f(x)g(x) = lim tanx不存在。7x *2.若lim f(x)和lim g(x)均存在，且X溝X %f(x)君(X)，證明lim f(x) Rim g(x).xX)則-；0，分別存在6=0, 62>0，使得當(dāng) O<x X0證：設(shè) lim f(x)=A, lim g(x)=B,XX0X=X3A-< f (x)，當(dāng) 0 ： X xj .：s 時，有 g(x) : B ；令八二mi ng，:，則當(dāng)0 ； |

15、x - xJ】時，有從而AcB+2e，由呂的任意性推出AEB即lim f (x)乞 limx Mxg(x).3利用夾逼定理證明：若a1,a2,，am為m個正常數(shù)，則lnimn af a； JII am =a,其中 A=max a1,a2,am.證：因為3A"蘭惟+a2 + am蘭驢mAn，即1而ljmA , im-mnLA = A，由夾逼定理得”m_n a； a；a；A 4* 利用單調(diào)有界數(shù)列必存在極限這一收斂準(zhǔn)則證明：若X1 = 2 ,X2= 22 ,，Xn+1 = 2" Xn(n=1,2,)歡迎共閱則lim xn存在，并求該極限證：因為 x<| = 2, X2 =

16、 .2、：2,有 X? > Xi今設(shè)Xk Xk!，則Xkx 2 Xkj> Xk，由數(shù)學(xué)歸納法知，對于任意正整數(shù)n有Xn 1 - Xn ,即數(shù)列fxn?單調(diào)遞增。又因為X1<2，今設(shè)Xk c2，則Xk=J2 + Xk c J2+2 =2，由數(shù)學(xué)歸納法知，對于任意的正整數(shù)n有Xn ：2，即數(shù)列IXnf有上界，由極限收斂準(zhǔn)則知 lim Xn存在。n_sc設(shè)lim xn = b，對等式Xn. 2 Xn兩邊取極限得b = .2，b，即b2=2，b，解得b = 2，b - -1 （由n_.極限的保號性，舍去），所以lim =2.n_ac5求下列極限:3n3 2n 4-Fi-I1哩5；3卄

17、廠n+1 ；怨卍喘(3)limK-需;(4)lim4 ；111 十丄 +HI+J-n lim22 n1111川3(_2)n 1，3n 13n4333解：(1)原式=limn彳n彳n平 11155 +L +_53n n n=0,即當(dāng)nT 時，1擊 是無窮小量，而cos n是有界變量，由無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量得:n二 0 ；(3)7 lim (.n n-、n) = lim n 'nn2 n 、n而 lim P E=limn12 n歡迎共閱(4)lim亠篤n “_2)n 1 3n 1n 1+ 3 _ 1 ；(_1)n1L(|)n1 1 3M)n=limn '、二1-（捫(

18、5)J=lim- = limnn 1 n =：匕)4仁 Qn1431 (n1 36求下列極限：:3 ； (2) lim 二,x -9x_1 x -5x 4(1迦2x -32 -limx j :6x3 4sin x -cosx2XF烏-一limh7(x h)3d ；(6)lim 2x 3；x. x 1 - 2limx 1X X2川 xn-n；(8)lim x sinx ；x 廠 x sin xx -1(9)xim.'一 x2 x - x2 -x ； (10) limx13(1-x1-x3)；2 1(11) lim (x sin ).x _3解: (1)lim -2lim(2)X-3 x

19、-9xt3 (x3)(x+3)(3)6x3 4x%x4 +3x26 44= lim xx0 ;x ； ：32 2x(4)sin x-cosx limx / cos2xn nsin coscos n+hX3X-3!.(x h) -xl|(x h)2 (x h)x x2h二 何 |l(x h)2 (x h)xx2 二 3x2;(6)2x 3-3l(2x 3)12)limlim x 3 . x 1-2 x 3 1(x 1)-4 1(、2x 3 3)2(x 3)C 廠 2)= lim1計2(廠 2)4x)3(x-3)( . 2x 3 3) x 3 r 2x 3 3(7)limX x2 川 xnnX 1

20、X -1_|im (x-1) (x2 -1)川(xn -1)-x -1X -1(8)x+s inx .lim x ；： xsinx1= 12 3 川 n n(n1);21（無窮小量一與有界函數(shù)sinx之積為無窮小量）x1 sinx = limx =1 ； x_sinx1 (10)(11)(9)2xJ=lim (1+x+x2)-3X 1、1 -x 1 -x3 X 1lim ( 1-x3T當(dāng)XT 0時，X2是無窮小量,1sin -是有界函數(shù)，xx2si n：2 1i.它們之積x2sin是無窮小量，即lim ;xJ習(xí)題2-5求下列極限(其中a> 0,al為常數(shù))：si n5xtan2x1. l

21、im ;2.lim；3. Iimxcotx；x 0 3x x 0 sin5x x )0、1 - cosxcos5xcos2x® Xim0x2；6艦X cotxa 17. lim 1 3sin x;8. li叫x;9.哩xa -a-X;11.lim 4x ； ： 2 -2xln(1 +x) Tn x10. limX艇arcs;14.lim arctaXxTx解:1.lim 沁x卩3x5 sin5x 5 sin 5x = limlimx0 3 5x 3 XQ 5xtan 2x2. limx0 sin 5xsin 2x= limJ0 cos2xsin 5x21, sin 2X|5x 2=l

22、imlimlim =5 x 0 cos2x4x)0 2x：0sin5x 5xx3. lim xcot x = lim cosx = lim limcos x =1 cos0=1 ；=limx_0sinXx0x)0 sin xx 10 sin x x 10彳cosx4. lim x-0x.xsinmoH X2x5.limx0cos5x cos2xx2二 limX 02sin 公 sin32 2x2迎（一2）.7sin x27-x2siQ6. limxY(1 +x=limx L :-21lim2 x )07sin - x27x2.3sin- x23-x2211=lim(1 )xxcosx3cosx

23、7四Psin x嚴(yán)= limQ(13sin x)sinx=limX0(1 3sin x)3sinx8.令 u 二ax -1，則 x =loga(1 u)，當(dāng)x-xa -a9.limxTx=limx J01limlog a(1 u)U 0= lim (宀卩一”一1 +x二 lim 一 lnx心x x)X j01 Ina. logaex .7、a -1 + a -1x_X 3（利用了第8題結(jié)論a - 1 limln a);10.limx-J&Cx)ln xx二 lim - ln(1 丄)=lim - lim ln(1)=0 ；X , xX x , :： x x , ：:x11.lim 匕J

24、 , 2 - 2xX-lim 1-j、2-2x= limL7止 2-2x丿a lim亠空”r 12-2x 丿12.lim(1 丄)* * xx廠 xln=lim eX j :lim 1 ln(1 J_)x ex - 云lim 1 lim ln(1_ ex - x ：”： x13.令 arcsinx 二 u，貝U x 二 sinu ,.arcs inx .0 lne 二 e當(dāng)x >ulimlimx 0x u 0 sin u=1 ；u 0 ,1.sin u ' limu 2 u14.令arctanx =u，貝U x =tanu，當(dāng) x > 0 , u > 0 ,arcta

25、 nx 廣 u 廣 u1limlimlim cosu 二 lim limcos u = 1.x 0 xu0 tanu ur°sinuu_0 sinu u 0u習(xí)題2-6:(x) - - (x):(X)1. 證明：若當(dāng)XTX0時，（x） T0, x） T0,且（x） 則當(dāng)XTX0時，（x）Mx）的充要條件是limX0=0 .證：先證充分性 .：(x)(x)=o,則 Hm (i若limXf°:- (x)、竺=0, XA):- (x)即 1 lim -=0x 旳、；(x)，即 lim 匕（X）=1G（X）:上(x)也即lim 兇=1 ,P(x)所以當(dāng)x > Xo時,再證必要

26、性:若當(dāng) Xr x0 時，：-(x) U 1 (x),則limxxo：(X)."X)-1，所以lim上兇 兇 =lim (1X )X0、；( x)X0：(x):(x)(x),12 .若 Rx) =,lim Rx)=o且lim 兇存在，證明XYxx)|.：(x)lim ： (x)=o.xXo證：lim 二(x)二 limX x:(x)X汽骨(X)嘰：(X)li即 lim :- (x)JX-0.3.證明：若當(dāng)xF 時，f(x)=o(xa), g(x)=o(xb),則 f(x) g(x) = o(xa b)，其中 a,b都大于 0,并由此判斷當(dāng)XT0時，tanx sinx是x的幾階無窮小量

27、.證：當(dāng) XT0 時,f(x)=o(xa), g(x)=o(xb) f(x) = A(A = 0),lim g(x)f (X) g(x)- lim aX 0 X于曰'f (x) g(x) 于疋：lim a b = lim axdX0 xxb f0)r f(X)r g(x)"二 c xb iXm0xa X叫 一XbAB"當(dāng) XT0 時,f(x) g(x) =O(xa b),/ tan x -sin x = tan x(1 -cosx), 2而當(dāng) xt0 時,tan x =O(x),1 -cos x = O(x ),由前面所證的結(jié)論知,tan x(1 cosx) =O(

28、x3),所以，當(dāng)xt0時,tanx-sinx是x的3階無窮小量.4.利用等價無窮小量求下列極限：sin ax1 -coskx(b m 0； (2) hmi ,; tanbxx四1Xm0ln(1 x)；;J x -12X(4)li 丘-“l(fā)imx0cosx ；、1 x2 -1arcta n x ；;arcs in xax bx e e lim(a Mb)；XT sin ax -sin bxf (x) -32= 100,求 |叫 f(x).Xln cos2x;ln cos3xsin ax ax a解(1)limlim.xt tan bxt bx b(8)由 lim f 叮3 =100 ,及 lim

29、 x2 =0知必有 lim f (x) -3 = 0,X lxm0(8)設(shè) limX50即 limj f(x) -3 lim f(x) -3=0,所以 lim f(x) =3.習(xí)題2-71 研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形:f(x)= % ho ” "，=x, 1 一或 J,3x,1 蘭x 蘭2;U，x < 1 或x 31.解：(i)；lim f(x)=lim(x 1)=1 =f(0) x_ +x_ 牛 f(x)在x=0處右連續(xù), f(x)在x=1處連續(xù).而 lim f (x)0 1二 limx 10 x- ,即在x = 0處右極限不存在又 lim f(x) =lim(3

30、 -x) =1 = f (2)x £x)2 f(x)在x=2處連續(xù).又f(x)在(0,1),(1,2)顯然連續(xù)，綜上所述,f(x)在0,2上連續(xù)圖形如下：圖2-1 7 lim f(x) =lim x =1 f(x)在x=1處連續(xù).又 lim f(x)二 lim 1=1X；.1x_.1 亠I «/故 lim f(x) = lim f (x)XX.1 f(x)在 x=-1處間斷,x=-1是跳躍間斷點又 f(x)在(_：,_1),(_1,1),(1,：)顯然連續(xù).綜上所述函數(shù)f(x )在x=-1處間斷，在(_：, _1),(一1, ：)上連續(xù).圖形如下：圖2-22. 說明函數(shù)f(

31、x)在點xo處有定義、有極限、連續(xù)這三個概念有什么不同？又有什么聯(lián)系？略3. 函數(shù)在其第二類間斷點處的左、右極限是否一定均不存在？試舉例說明 解:函數(shù)在其第二類間斷點處的左、右極限不一定均不存在x xO例如f(x)二1,x=0是其的一個第二類間斷點，但lim f(x) =lim x = 0即在x=0處左極限存在x 0X 刃_x_0_4. 求下列函數(shù)的間斷點，并說明間斷點的類型:(1)f(x)=x2 3x 2(2) f(x) =sin x xsin x1 f(x)= 1 x x ；x +2w.1(5)f(x)=xs inx2解：(1 )由 x 3x 2 =0 得 x=-1,x=-2 x=-1是可

32、去間斷點,x=-2是無窮間斷點.由sinx=0得x = kn ,k為整數(shù).- x=0是跳躍間斷點.(4) 由 x -4=0 得 x=2,x=-2. x=2是無窮間斷點，x=-2是可去間斷點.1(5) 7 lim f (x) = ljm xs in0, f (x)在 x=0 無定義故x=0是f(x)的可去間斷點.5.適當(dāng)選擇a值，使函數(shù)f(x)=ex,x ：0,a x,x _ 0在點x=0處連續(xù).解： f(0)=a,要f(x)在x=0處連續(xù)，必須lim f (x)二 f (0).x_0 -即 a=1.x. xF .設(shè)吋墜以，討論f(x)的連續(xù)性.解：f (x)-x -a_xa1a2x -1x ：0x 0 =sg n(x)x = 0所以,f(x)在(-：,0)U(0,=)上連續(xù),x=0為跳躍間斷點.7.求下列極限：_x2 x -2；叫Z-x2 lim In(x-1);(4) lim arcsin、12-x ；x 2 lim (inx)x.2x解：(1)lxm2 廠=22 2 *22 2 -2 ；習(xí)題2-81和2之間的根.5421.證明方程x -x -x -3x=1至少有一個介于542證:令 f(x)=x -x -x -3x -1 ,