線性代數(shù)模擬試題及答案

1、一、填空題（每題2分，共20分）1.行列式= 。2.若齊次線性方程組有非零解，且,則的值為 。3.若4×4階矩陣A的行列式是A的伴隨矩陣則= 。4.A為階矩陣，且，則 。5. 和是的兩組基，且，若由基到基的基變換公式為()=()A，則A= 。6.向量 。7.設(shè) 。8.若 。9.二次型的正慣性指數(shù)為 。10.矩陣為正定矩陣，則的取值范圍是 。二、單項(xiàng)選擇（每小題2分，共12分）1.矩陣。A、1 B、2 C、3 D、42. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有解向量的個(gè)數(shù)是（ ）A、1 B、2 C、3 D、43.已知向量組 （ ）A、-1 B、-2 C、0 D、14. A、B（ ）A、B=E

2、B、A=E C、A=B D、AB=BA5.已知（ ）A、1或2 B、-1或-2 C、1或-2 D、-1或26.下列矩陣中與矩陣（ ）A、 B、 C、 D三、計(jì)算題（每小題9分，共63分）1計(jì)算行列式2當(dāng)有解？在方程組有解時(shí)，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示方程組的通解。3給定向量組。當(dāng)為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)？當(dāng)線性組線性相關(guān)時(shí)，求出極大線性無關(guān)組，并將他們向量用極大線性無關(guān)組線性表示。4設(shè)矩陣，。5已知階正交矩陣，且|A|<0。（1）求行列式|A|的值；（2）求行列式|A+E|的值。6已知實(shí)對稱矩陣1）求正交矩陣Q，使Q-1AQ為對角矩陣2）求A10。7將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的可逆線性

3、變換。四、證明題（5分）A、B均為n階矩陣，且A、B、A+B均可逆，證明：（A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A答案一、填空題（每小題2分，共20分）1. 160 2. -2 3. 27 4. 5. 6. -97. 7 8. 1, , 9. 1 10. 二、單項(xiàng)選擇（每小題2分，共12分）1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B三、計(jì)算題（每小題9分，共63分）1.將第2列的倍，第3列的倍統(tǒng)統(tǒng)加到第1 列上去，得 2.先對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換所以，當(dāng)方程組有解，特解其導(dǎo)出的基礎(chǔ)解系為原方程組的全部解為為任 意常數(shù)。3.由向量組為列向量組作矩陣當(dāng)時(shí)，向量組線性相關(guān)。向量組的極

4、大線性無關(guān)組是且4.由AX=2X+B得，（A-2E）X=B所以有X=B=5.由于則因?yàn)椋运裕?. ，所以A的4特征值為。對應(yīng)與特征于的特征向量，標(biāo)準(zhǔn)正交化；對應(yīng)于特征值的特征向量，標(biāo)準(zhǔn)正交化，。由此可得正交矩陣，使得。四、證明題（4分）證明： 或 一、填充題（每小題2分，共20分）1. 。2. = （n為正整數(shù)）。3.設(shè)A=，則= 。4.非齊次線性方程組有唯一解的充分必要條件是 。5.向量 。6.A、B、C有ABC=E,E為 。7.若階矩陣A有一特征值為2，則 。8.若A、B為同階方陣，則的充分必要充分條件是 。9.正交矩陣A如果有實(shí)特征值，則其特征值 。10.二次型值范圍是 。二、單項(xiàng)

5、選擇（每小題2分，共10分）1.若（ ）A、12 B、-12 C、18 D、02.設(shè)A、B都是（ ）A、A=0或B=0 B、A、B都不可逆C、A、B中至少有一個(gè)不可逆 D、A+B=O3. 向量組（ ）A、 B、中有兩個(gè)向量的對應(yīng)分量成比例C、中每一個(gè)向量都可用其余個(gè)向量線性表示D、中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示4.由（ ）A、 B、 C、 D、5.若（ ）A、它們的特征矩陣相似 B、它們具有相同的特征向量C、它們具有相同的特征矩陣 D、存在可逆矩陣三、計(jì)算題（每小題9分，共63分）1.計(jì)算行列式2. 當(dāng)、為何值時(shí)有解，在有解的情況下，求其全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系線性表示）。3.求向

6、量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示。4.設(shè)5.已知矩陣（1）求 6.給定，將其化為 正準(zhǔn)交基，并求向量。7.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，寫出相對應(yīng)的非奇異線性變換。并指出二次型的秩、正慣性指數(shù)及符號(hào)差。四、證明題（7分）如果A是答案一、填空題1. 2. 3. 4. 5. 6. AB 7. 0 8. AB=BA 9. 1或-1 10. 二、單項(xiàng)選擇題1. A 2. C 3. D 4. B 5. A三、計(jì)算題1.原式=2. 當(dāng)時(shí)線性方程組有解全部解為 為任意常數(shù)。3. 且4.由AX+B=X，得（E-A）X=B，即X=B5.由于A與B相似，則所以，A的特征值為對于A對應(yīng)的特征向量

7、為對于A對應(yīng)的特征向量為對于A對應(yīng)的特征向量為6.先正交化得，再單位化得，7. 令，即作線性變換可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形二次型的秩是3，正慣性指數(shù)是2，符號(hào)差是1。四、證明題證明：由于另一方面，元素的代數(shù)余子式不等于0，故 由此可得，一、 單項(xiàng)選擇題1. 如果n階矩陣A滿足條件 其中是元素的代數(shù)余子式，,那么矩陣A的伴隨矩陣等于（ ） . . . .2. 設(shè)A是mn矩陣,是非齊次線性方程組對應(yīng)的齊次方程組，那么下列敘述正確的是（ ）（A） 如果只有零解，那么有唯一解. （B） 如果有非零解，那么有無窮多個(gè)解.（C） 如果有無窮多個(gè)解, 那么只有零解.（D） 如果有無窮多個(gè)解, 那么有非零解.3.實(shí)

8、二次型的秩與符號(hào)差的和必為（ ）(A)零. (B)負(fù)數(shù). (C)偶數(shù). (D)奇數(shù).4. 若3階矩陣A的秩r (A) =1, 則A的伴隨矩陣A*必為（ ）(A)零矩陣. (B) 秩為1的矩陣. (C) 秩為2的矩陣. (D) 秩為3的矩陣. 5.若n階矩陣A互換第一, 二行后得矩陣B, 則必有（ ）(A) A+B = O. (B) AB = O. (C) . (D) .6. 若向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性無關(guān)的是（ ）(A) .(B) .(C) . (D) .7. A為階矩陣，且，則 。8.若 。9. 設(shè)a, b, g, h 都是3×1矩陣, 分塊矩陣, , 若2, 3, 則=

9、。10.若4×4階矩陣A的行列式是A的伴隨矩陣則= 。二、 填空題1.設(shè)a, b, g, h 都是3×1矩陣, 分塊矩陣, , 若2, 3, 則= .2.若, 則x的一次項(xiàng)的系數(shù)是 .3. 當(dāng)a滿足條件 時(shí), 線性方程組無解,當(dāng)a滿足條件 時(shí), 上述線性方程組有解, 且有 解(有無窮多個(gè)解還是有唯一解).4.設(shè)矩陣 則= .5.二次型的矩陣是 .6.如果A是3階可逆矩陣矩陣，互換A的第一，第二行得矩陣B ,且，則= .7.已知（ ）。A、1或2 B、-1或-2 C、1或-2 D、-1或28.若3階矩陣A的秩r (A) =1, 則A的伴隨矩陣A*必為（ ）。A、零矩陣 B、 秩為1的矩陣 C、秩為2的矩陣 D、秩為3的矩陣三、 計(jì)算n ( >2 ) 階行列式.四、 x滿足什么條件時(shí), n階矩陣是不可逆的.五、 求下列非齊次線性方程組的通解六、 求向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組。七、已知階正交矩陣，且|A|<0。（1）求行列式|A|的值；（2）求行列式|A+E|的值。八、設(shè)，且矩陣A, X滿足AX = A + 2X, 求矩陣X 。九、設(shè)A為m ´ n矩陣，B為n ´ s矩陣，證明：如果AB = O, 那么秩(A) +