正交試驗(yàn)方差分析(通俗易懂)(共12頁)

1、第十一章 正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的方差分析在實(shí)際工作中 ，常常需要同時(shí)考察 3個(gè)或3個(gè)以上的試驗(yàn)因素 ，若進(jìn)行全面試驗(yàn)，則試驗(yàn)的規(guī)模將很大 ，往往因試驗(yàn)條件的限制而難于實(shí)施 。 正交設(shè)計(jì)是安排多因素試驗(yàn) 、尋求最優(yōu)水平組合的一種 高效率試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。 第一節(jié)、正交設(shè)計(jì)原理和方法 (一) 正交設(shè)計(jì)的基本概念 正 交 設(shè) 計(jì) 是利用正交表來安排多因素試驗(yàn)、分析試驗(yàn)結(jié)果的一種設(shè)計(jì)方法。它從多因素試驗(yàn)的全部水平組合中挑選部分有代表性的水平組合進(jìn)行試驗(yàn)，通過對這部分試驗(yàn)結(jié)果的分析了解全面試驗(yàn)的情況，找出最優(yōu)水平組合。例如， 研究氮、磷、鉀肥施用量對某小麥品種產(chǎn)量的影響： A因素是氮肥施用量，設(shè)A1、A2、A3

2、 3個(gè)水平 ； B因素是磷肥施用量，設(shè)B1、B2、B3 3個(gè)水平 ； C因素是鉀肥施用量，設(shè)C1、C2、C3 3個(gè)水平。 這是一個(gè)3因素每個(gè)因素3水平的試驗(yàn) ，各因素的水平之間全部可能的組合有27種。如果進(jìn)行全面試驗(yàn) ，可以分析各因素的效應(yīng) ，交互作用，也可選出最優(yōu)水平組合。 但全面試驗(yàn)包含的水平組合數(shù)較多，工作量大 ，由于受試驗(yàn)場地、經(jīng)費(fèi)等限制而難于實(shí)施 。 如果試驗(yàn)的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交設(shè)計(jì)來安排試驗(yàn)。 正交設(shè)計(jì)的基本特點(diǎn)是：用部分試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)，通過對部分試驗(yàn)結(jié)果的分析，了解全面試驗(yàn)的情況。 正交試驗(yàn)是用部分試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)，它不可能像全面試驗(yàn)?zāi)菢訉Ω饕蛩匦?yīng)、

3、交互作用一一分析；當(dāng)交互作用存在時(shí)，有可能出現(xiàn)交互作用的混雜。如對于上述3因素每個(gè)因素3水平試驗(yàn)，若不考慮交互作用，可利用正交表L9(34)安排，試驗(yàn)方案僅包含9個(gè)水平組合，就能反映試驗(yàn)方案包含27個(gè)水平組合的全面試驗(yàn)的情況，找出最佳的生產(chǎn)條件。一、正交設(shè)計(jì)的基本原理表11-1 33試驗(yàn)的全面試驗(yàn)方案正交設(shè)計(jì)就是從全面試驗(yàn)點(diǎn)（水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗(yàn)點(diǎn)（水平組合）來進(jìn)行試驗(yàn)。圖1中標(biāo)有9 個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，就是利用正交表L9(34)從27個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)中挑選出來的9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。即： (1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3 (4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C

4、1 (7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2上述選擇 ，保證了A因素的每個(gè)水平與B因素 、 C 因 素的各個(gè)水平在試驗(yàn)中各搭配一次。 從圖1中可以看到，9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)分布是均衡的 ，在立方體的每個(gè)平面上 有且僅有3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)；每兩個(gè)平面的交線上有且僅有1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。 9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)均衡地分布于整個(gè)立方體內(nèi) ，有很強(qiáng)的代表性，能夠比較全面地反映全面試驗(yàn)的基本情況。 二、正交表及其特性 (一) 正交表 表 11-2 是L8(27)正交表，其中 “L”代表正交表；L 右下角的數(shù)字“8”表示有8行，用這張正交表安排試驗(yàn)包含8個(gè)處理 (水平組合) ；括號(hào)內(nèi)的底數(shù)“2” 表示因素的水平數(shù)，括號(hào)內(nèi) 2

5、的指數(shù)“7”表示有7列，用這張正交表最多可以安排7個(gè)2水平因素。 表11-2 L8(27)正交表2水平正交表還有L4(23)、L16(215)等； 3水平正交表有L9(34)、L27(313) 、 等。 (二) 正交表的特性 1、任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同 例如L8(27)中不同數(shù)字只有1和2，它們各出現(xiàn)4次；L9(34)中不同數(shù)字有1、2和3，它們各出現(xiàn)3次 。2、任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相同 例如 L8(27)的任兩列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出現(xiàn)兩次；L9(34)任兩列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2,

6、 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出現(xiàn)1次。即每個(gè)因素的一個(gè)水平與另一因素的各個(gè)水平互碰次數(shù)相等，表明任意兩列各個(gè)數(shù)字之間的搭配是均勻的。 用正交表安排的試驗(yàn)，具有均衡分散和整齊可比的特點(diǎn)。 均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素 水 平 組合在全部水平組合中的分布是均衡的 。 由 圖11-1可以看出，在立方體中 ，任一平面內(nèi)都包含 3 個(gè) 試驗(yàn)點(diǎn)， 任兩平面的交線上都包含1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。整齊可比是指每一個(gè)因素的各水平間具有可比性。 因?yàn)檎槐碇忻恳灰蛩氐娜我凰较露季獾匕硗庖蛩氐母鱾€(gè)水平，當(dāng)比較某因素不同水平時(shí)，其它因素的效應(yīng)都彼此抵

7、消。如在A、B、C 3個(gè)因素中，A因素的 3 個(gè)水平 A1、A2、A3 條件下各有 B、C 的 3 個(gè)不同水平，即： 在這9個(gè)水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個(gè)水平，雖然搭配方式不同，但B、C皆處于同等地位，當(dāng)比較A因素不同水平時(shí)，B因素不同水平的效應(yīng)相互抵消，C因素不同水平的效應(yīng)也相互抵消。所以A因素3個(gè)水平間具有可比性。同樣，B、C因素3個(gè)水平間亦具有可比性。(三) 正交表的類別 1、相同水平正交表 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字相同的正交表稱為相同水平正交表。 L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大數(shù)字為2，稱為兩水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列中

8、最大數(shù)字為3，稱為3水平正交表。2、 混合水平正交表 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交表稱為 混合水平正交表。 L8(41×24)表中有一列最大數(shù)字為4，有4列最大數(shù)字為2。 也就是說該表可以安排1個(gè)4水平因素和4個(gè)2水平因素。 L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表。三、正交設(shè)計(jì)方法 【例11·1】 某水稻栽培試驗(yàn)選擇了3個(gè)水稻優(yōu)良品種(A)：二九矮、高二矮、窄葉青 ， 3種密度(B)： 15、20、25（萬苗/666.7m2）；3種施氮量(C)： 3、5、8（kg/666.7m2），試采用正交設(shè)計(jì)安排一個(gè)試驗(yàn)方案。 (一)

9、確定試驗(yàn)因素及其水平, 列出因素水平表表11-3 因素水平表(二) 選用合適的正交表 根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇合適的正交表。 選用正交表的原則是：既要能安排下試驗(yàn)的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又要使部分水平組合數(shù)（處理數(shù)）盡可能地少。一般情況下，試驗(yàn)因素的水平數(shù)應(yīng)恰好等于正交表記號(hào)中括號(hào)內(nèi)的底數(shù)；因素的個(gè)數(shù)（包括需要考查交互作用）應(yīng)不大于正交表記號(hào)中括號(hào)內(nèi)的指數(shù)；各因素及交互作用的自由度之和要小于所選 正交表 的 總 自由度，以便估計(jì)試驗(yàn)誤差。 若各因素及交互作用的自由度之和等于所選正交表總自由度，則可采用有重復(fù)正交試驗(yàn)來估計(jì)試驗(yàn)誤差。此例有3個(gè)3水平因素，若不考

10、察交互作用，則各因素自由度之和為因素個(gè)數(shù)× (水平數(shù)-1) = 3 × (3-1) =6，小于L9(34)總自由度 9-1=8，故可以選用L9(34)； 若要考察交互作用，則應(yīng)選用L27(313)，此時(shí)所安排的試驗(yàn)方案實(shí)際上是全面試驗(yàn)方案。(三) 表頭設(shè)計(jì) 表頭設(shè)計(jì)就是把挑選出的因素和要考察的交互作用分別排入正交表的表頭適當(dāng)?shù)牧猩稀?在不考察交互作用時(shí)，各因素可隨機(jī)安排在各列上；若考察交互作用，就應(yīng)按該正交表的交互作用列表安排 各 因 素與交互作用。此例不考察交互作用，可將品種(A)、密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第4 列 為空列，見表

11、2-4。表11-4 表頭設(shè)計(jì)L9（34）表頭設(shè)計(jì)L8(27) 表頭設(shè)計(jì)(四) 列出試驗(yàn)方案 把正交表中安排因素的各列(不包含欲考察的交互作用列)中的每個(gè)數(shù)字依次換成該因素的實(shí)際水平，就得到一個(gè)正交試驗(yàn)方案。 表11-5 正交試驗(yàn)方案第二節(jié) 正交試驗(yàn)資料的方差分析 若各號(hào)試驗(yàn)處理都只有一個(gè)觀測值，則稱之為單個(gè)觀測值正交試驗(yàn)；若各號(hào)試驗(yàn)處理都有兩個(gè)或兩個(gè)以上觀測值，則稱之為有重復(fù)觀測值正交試驗(yàn)。一、 單個(gè)觀測值正交試驗(yàn)資料的方差分析 對【例11-1】用L9(34)安排試驗(yàn)方案后，各號(hào)試驗(yàn)只進(jìn)行一次，試驗(yàn)結(jié)果列于表2-6。試對其進(jìn)行方差分析。表11-6 正交試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算表Ti為各因素同一水平試驗(yàn)指標(biāo)

12、之和 ，T為9個(gè)試驗(yàn)號(hào)的試驗(yàn)指標(biāo)之和； 為各因素同一水平試驗(yàn)指標(biāo)的平均數(shù)。 該試驗(yàn)的9個(gè)觀測值總變異由A因素、B因素、C因素及誤差變異4部分組成，因而進(jìn)行方差分析時(shí)平方和與自由度的分解式為： SST = SSA + SSB + SSC+SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfe 用n表示試驗(yàn)(處理)數(shù)；a、b、c表示A、B、C因素的水平數(shù)；ka、kb、kc表示A、B、C因素的各水平重復(fù)數(shù)。本例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3。 1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度 矯正數(shù) C = T2/n = 37112/9 = 1530169.00 總平方和 SST =x2-C =

13、（340.02+422.52+462.52） -1530169.00 =21238.00 A因素平方和 SSA=/ka-C =(1201.52+1291.52+1218.02)/3 -1530169.00 =1530.50 B因素平方和 SSB = /kb-C =(1092.02+1278.52+1340.52)/3 -1530169.00 =11153.17 C因素平方和 SSC=/kc-C =(1142.52+1245.02+1323.52)/3 -1530169.00 =5492.17 誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC =21238.00-1530.5-11153.17

14、 -5492.17 =3062.16 總自由度 dfT =n-1=9-1=8 A因素自由度 dfA =a-1=3-1=2 B因素自由度 dfB =b-1=3-1=2 C因素自由度 dfC =c-1=3-1=2 誤差自由度 dfe = dfT-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2 = 22、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表11-7 方差分析表F 檢驗(yàn)結(jié)果表明，三個(gè)因素對產(chǎn)量的影響都不顯著。究其原因可能是本例試驗(yàn)誤差大且誤差自由度小(僅為2)，使檢驗(yàn)的靈敏度低，從而掩蓋了考察因素的顯著性。 由于各因素對增重影響都不顯著，不必再進(jìn)行各因素水平間的多重比較。此時(shí)，可從表11-6中選擇平均數(shù)大的水平A

15、2、B3、C3組合成最優(yōu)水平組合 A2B3C3。若F檢驗(yàn)結(jié)果3個(gè)因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響顯著或極顯著，進(jìn)行各因素水平間多重比較常采用SSR法。 本例是選用相同水平正交表 L9(34)安排的試驗(yàn)，A、B、C因素各水平重復(fù)數(shù)相同，即ka=kb=kc=3，它們的標(biāo)準(zhǔn)誤相同，即單個(gè)觀測值正交試驗(yàn)資料的方差分析，其誤差是由“空列”來估計(jì)的。然而“空列”并不空，實(shí)際上是被未考察的交互作用所占據(jù)。 這種誤差既包含試驗(yàn)誤差，也包含交互作用，稱為模型誤差。 若交互作用不存在，用模型誤差估計(jì)試驗(yàn)誤差是可行的；若因素間存在交互作用，則模型誤差會(huì)夸大試驗(yàn)誤差，有可能掩蓋考察因素的顯著性。試驗(yàn)誤差應(yīng)通過重復(fù)試驗(yàn)值來估計(jì)。所

16、以，進(jìn)行正交試驗(yàn)最好能有二次以上的重復(fù)。正交試驗(yàn)的重復(fù)，可采用完全隨機(jī)或隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)。二、 有重復(fù)觀測值正交試驗(yàn)資料的方差分析 【例11·4】 為了探討花生銹病藥劑防治效果的好壞，進(jìn)行了藥劑種類（A）、濃度（B）、劑量（C）3因素試驗(yàn)，各有3個(gè)水平，選用正交表L9(34)安排試驗(yàn)。 試驗(yàn)重復(fù)2次，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)。正交試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果(產(chǎn)量 kg/小區(qū)，小區(qū)面積133.3m2)見表1110，對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。用r表示試驗(yàn)處理的重復(fù)數(shù)(區(qū)組數(shù))； n，a、b、c，ka、kb、kc的意義同上。此例 r=2； n=9， a=b=c=3， ka=kb=kc=3。表11-10 防治花生銹病

17、藥劑種類、濃度、劑量正交試驗(yàn)方案及結(jié)果計(jì)算表Ti為各因素同一水平試驗(yàn)指標(biāo)之和 ，T為9個(gè)試驗(yàn)號(hào)的試驗(yàn)指標(biāo)之和； 為各因素同一水平試驗(yàn)指標(biāo)的平均數(shù)。 對于有重復(fù)、且重復(fù)采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的正交試驗(yàn)，總變異可以劃分為處理間、區(qū)組間和誤差變異三部分，而處理間變異可進(jìn)一步劃分為A因素、B因素、C因素與模型誤差變異四部分。此時(shí)，平方和與自由度分解式為： SST=SSt+SSr+SSe2 dfT = dft + dfr + dfe2 而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft = dfA + dfB + dfC + dfe1于是 SST= SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+ SSe2 df

18、T = dfA + dfB + dfC + dfr + dfe1 + dfe2其中：SSr為區(qū)組間平方和；SSe1為模型誤差平方和；SSe2為試驗(yàn)誤差平方和；SSt為處理間平方和； dfr 、 dfe1 、dfe2 、dft 為相應(yīng)自由度。注意 ，對于重復(fù)采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的正交試驗(yàn)，在平方和與自由度劃分式中無 SSr、dfr項(xiàng)。 1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度 矯正數(shù) C =T2/ r n =549.02/（2×9）=16744.50 總平方和 SST=x2-C =28.02+35.02+30.02-16744.50 =246.62 區(qū)組間平方和 SSr=T2r /n-C =(273.5

19、2+275.52)/9- 16744.50 =0.22 處理間平方和 SSt = T2t / r - C =(56.52+69.82+59.42)/2-16744.50 =245.96 A因素平方和 SSA = T2A / kar - C = (191.02+184.42+173.62)/(3×2) - 16744.50 =25.72 B因素平方和 SSB =T2B / kbr - C =(191.42+169.72+187.92)/(3×2) - 16744.50 =45.24 C因素平方和 SSC = T2C / kcr - C =(165.82+195.42+187.

20、82)/(3×2) -16744.50 =78.77 模型誤差平方和 SSe1 = SSt SSA SSB - SSC =245.96- 25.72- 45.24.- 78.77 = 96.23 試驗(yàn)誤差平方和 SSe2 =SST SSr - SSt =246.62- 0.22- 245.96 = 0.44 總自由度 dfT=rn-1=2×9-1=17 區(qū)組自由度 dfr=r-1=2-1=1 處理自由度 dft=n-1=9-1=8 A因素自由度 dfA=a-1=3-1=2 B因素自由度 dfB=b-1=3-1=2 C因素自由度 dfC=c-1=3-1=2模型誤差自由度 df

21、e1 = dft-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2= 2 試驗(yàn)誤差自由度 dfe2=dfT-dfr-dft =17-1-8 = 82、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表11-10 有重復(fù)觀測值正交試驗(yàn)資料的方差分析表首先檢驗(yàn)MSe1與MSe2差異的顯著性，若經(jīng)F檢驗(yàn)不顯著，則可將其平方和與自由度分別合并，計(jì)算出合并的誤差均方，進(jìn)行F檢驗(yàn)與多重比較，以提高分析的精度；若F檢驗(yàn)顯著，說明存在交互作用 ，二者不能合并 ， 此時(shí)只能以MSe2進(jìn)行F檢驗(yàn)與多重比較。本例MSe1 / MSe2=802.00* ，模型誤差均方 MSe1 與試驗(yàn)誤差均方 MSe2 差異極顯著，說明試驗(yàn)因素間交互作用極顯著

22、，只能以試驗(yàn)誤差均方 MSe2 進(jìn)行F檢驗(yàn)與多重比較。F檢驗(yàn)結(jié)果表明，藥劑種類（A）、濃度（B）、劑量（C）3 因素對花生產(chǎn)量都有極顯著影響；區(qū)組間差異不顯著 。3、 多重比較 (1) 若模型誤差顯著，說明試驗(yàn)因素間存在交互作用，各因素所在列有可能出現(xiàn)交互作用的混雜，此時(shí)各試驗(yàn)因素水平間的差異已不能真正反映因素的主效，因而進(jìn)行各因素水平間的多重比較無多大實(shí)際意義，但應(yīng)進(jìn)行試驗(yàn)處理間的多重比較，以尋求最處理，即最優(yōu)水平組合。進(jìn)行各試驗(yàn)處理間多重比較時(shí)選用試驗(yàn)誤差均方MSe2。模型誤差顯著，還應(yīng)進(jìn)一步試驗(yàn)，以分析因素間的交互作用。 (2) 若模型誤差不顯著 ，說明試驗(yàn)因素間交互作用不顯著，各因素所在列有可能未出現(xiàn)交互作用的混雜，此時(shí)各因素水平間的差異能真正反映因素的主效，因而進(jìn)行各因素水平間的多重比較有實(shí)際意義，并從各因素水平間的多重比較中選出各因素的最優(yōu)水平相組合，得到最優(yōu)水平組合。 進(jìn)行各因素水平間的多重比較時(shí)，用合并的誤差均方 MSe=（SSe1+ SSe2）/（dfe1+ dfe2） 此時(shí)可不進(jìn)行試驗(yàn)處理間的多重比較。本例模型誤差極顯著，說明因素間存在交互作用，不必進(jìn)行各因素水平間的多重比較，應(yīng)進(jìn)行試驗(yàn)處理間的多重比較 ，