函數(shù)的平均變化率

1、3.1.1函數(shù)的平均變化率一【學習目標】：1.通過實例了解函數(shù)平均變化率的意義2.掌握求函數(shù)在到之間的平均變化率二、【學習重難點】：1. 函數(shù)平均變化率意義的理解；2. 求函數(shù)在到之間的平均變化率三、【自主學習】：1、在教材中，我們利用山坡的陡峭程度來理解函數(shù)的平均變化率，即將登山者的水平位置用 來表示，豎直位置用 來表示，構造出的函數(shù)關系。（1）如果山坡是一條直線，那么的陡峭程度用直線的 來表示,為什么？（2）如果山坡是曲線，那么的陡峭程度如何表示？2、函數(shù)的平均變化率一般地，已知函數(shù)， ，記作 ， ，則當 商 的平均變化率。注意（1）處是否有意義；（2）的含義、求法及范圍；（3）平均變化率

2、的大小、符號是由誰決定四、【課內(nèi)探究】問題1 掌握求函數(shù)的平均變化率的過程與方法，并注意上述三點。1、求函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。（1）； （2）變式：求在到之間的平均變化率，并求當時平均變化率的值。2、求函數(shù)在的平均變化率（），思考：若，是否能求出函數(shù)的平均變化3、求函數(shù)在附近的平均變化率。五、【當堂檢測】1、在平均變化率的定義中，自變量的增量滿足（ ） A >0 B < 0 C 0 D = 02、質(zhì)點運動規(guī)律s= +3，則當x=2，=0.1時，的值為 （ ） A 0.40 B 0.41 C 0.43 D 0.443、在x=1附近，取=0.3，在四個函數(shù)y=x y= y= y

3、=中，平均變化率最大的是 （ ） A B C D 4、已知函數(shù)y= 、當自變量x由2變到，函數(shù)值的增量為 。5、已知曲線y=- 1 兩點A（ 2, 3）、B （2+，3+），當=1時，割線AB的斜率是 ；當=0.1時，割線AB的斜率是 。6.甲乙二人跑步路程與實間關系及百米賽跑路程和時間關系如圖（1）(2)所示試問（1）甲乙二人那個跑得快，O圖二yt甲乙（2）甲乙二人百米賽跑，問快到終點時，誰跑得較快圖一路程tO甲乙7.求在下列區(qū)間之間的平均變化率，并畫出圖像，比較大小。（1）； （2）；（3） 高二數(shù)學寒假生活（八）3.1.2 瞬時速度與導數(shù)【學習目標】（1）通過實例分析，了解函數(shù)平均變化率

4、與瞬時速度的關系；（2）理解瞬時速度的意義，會求物體運動過程某時刻的瞬時速度；（3）了解函數(shù)的平均變化率與瞬時速度、瞬時變化率、導數(shù)間的關系；（4）掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義，以及函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)導函數(shù)的概念【重難點】 1. 函數(shù)平均變化率、瞬時速度、瞬時變化率及導數(shù)的關系。2. 掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)【自主學習】問題1、設在10米跳臺上，運動員跳離跳臺時豎直向上的速度為6.5m/s。當t= 2s（1）運動員在時刻t距離水面的高度為多少？ (2) 求運動員在2s至2.1s這段時間內(nèi)的平均速度？ (3) 求t= 2s時的速度？1、物體運動的瞬時瞬時速度設物體運動的路程與時間關系式，當 時

5、函數(shù)在到之間的平均變化率 趨近于常數(shù)，這個常數(shù)稱稱為時刻的瞬時速度。2.函數(shù)的瞬時變化率設函數(shù)在附近有定義，當自變量在附近改變時，函數(shù)值相應地改變，如果當趨近于0時，平均變化率 趨近于一個常數(shù)，則數(shù)稱為函數(shù)在點的瞬時變化率。記作；當時， 思考：（1）瞬時速度和瞬時變化率一樣嗎？ （2）函數(shù)在定義域內(nèi)的任意一點都存在瞬時變化率嗎？【課內(nèi)探究】結合預習問題總結出：1.函數(shù)在點的瞬時變化率：2.函數(shù)在處的導數(shù)函數(shù)在處的 ，通常稱為函數(shù)在處的導數(shù)，記作 ，即 。3.函數(shù)的導數(shù)（1）函數(shù)可導定義：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點 ，則稱在區(qū)間可導。（2）導函數(shù)定義如果在開區(qū)間可導，則對在開區(qū)間內(nèi)每個值，都對應一個

6、，于是在區(qū)間內(nèi)構成一個新的函數(shù)，把這個函數(shù)稱為函數(shù)的導函數(shù)，記為 ，導函數(shù)通常簡稱為導數(shù)例1、火箭豎直向上發(fā)射，熄火時的速度達到100m/S，試問熄火后多長時間火箭向上速度為0？思考與討論：1。火箭向上速度變?yōu)?，意味著什么？ 2你能計算出此火箭熄火后上升的最大高度嗎？例2、一正方形鐵板在時，邊長為10cm。加熱后鐵板會膨脹。當溫度為時，邊長變?yōu)?0（1+at）cm，a為常數(shù)。試求鐵板面積S對溫度的膨脹率例3、求函數(shù)在x=2處的導數(shù)。 變式：求函數(shù)y=2x+1的導數(shù)?！井斕脵z測】1、一名同學以40m/s斜向上拋出一塊石頭，拋擲方向與水平成角，求石頭所能達到的最高高度。2、求函數(shù)y=a+bx+c

7、在x=1和x=2處的導數(shù)。思考：如果一個函數(shù)的導數(shù)處處為0，這個函數(shù)是什么函數(shù)？3一物體的運動方程是s=3+t2，則在一小段時間2, 2.1內(nèi)相應的平均速度為（ ） A0.41 B3 C4 D4.1 4設y=f(x)函數(shù)可導，則 等于（ ） Af (1) B不存在 C f (1) D3f (1)5設 ，則 等于（ ） A B C D6若f(x)=，f ()=3，則的值是（ ） A1 B1 C±1 D7設函數(shù)f(x)=ax3+2，若f (1)=3，則a=_。8函數(shù)y=2mx+n的瞬時變化率是 . 9函數(shù) 在x=1處的導數(shù)是 . 高二數(shù)學寒假生活（九）3.1.3導數(shù)的幾何意義【學習目標】

8、（1）通過實例分析，了解函數(shù)平均變化率的意義（2）會求函數(shù)在到之間的平均變化率；【重難點】1. 重點：求函數(shù)平均變化率。難點：求函數(shù)平均變化率。圖3.1-2【自主學習】1.曲線的切線及切線的斜率（1）如圖3.1-2,當沿著曲線趨近于點時,即時,割線趨近于確定的位置,這個確定位置的直線為 .（2）割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點時,無限趨近于切線的斜率,即= = 2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)等于在該點處的切線的斜率,即= .練習：求拋物線在點的切線的斜率。【課內(nèi)探究】：我們知道,導數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時變化率,反映了函數(shù)在附近的變化情況,導數(shù)的幾何意義是什么呢？探究：（1）函數(shù)在處的導數(shù)的

9、幾何意義是什么？（2）將上述意義用數(shù)學式表達出來。（3）根據(jù)導數(shù)的幾何意義如何求曲線在某點處的切線方程？例1、（1）求拋物線在點的切線的斜率。（2）求雙曲線在點的切線方程。變式訓練1：求經(jīng)過點且與曲線相切的直線方程。例2、已知拋物線的一條切線平行于直線，求該切線的切點坐標和切線方程。變式訓練2：已知直線和曲線相切，求切點坐標及的值。例3、求曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角型面積。【當堂檢測】：1.函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義是（ ）A. 處的斜率 B.在點處的切線與軸所夾銳角的正切值C.曲線在點處的切線斜率；D.點與點連線的斜率2.若函數(shù)的導數(shù)為，則函數(shù)圖象在點處的切線的傾斜角是（ ）A.

10、B. C.銳角 D鈍角3.已知曲線和其上一點，這一點的橫坐標為，求曲線在這點的切線方程。 高二數(shù)學寒假生活（十）3.1.2 導數(shù)的運算一、【學習目標】：1、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。能應用基本初等函數(shù)的導數(shù)解決有關問題。2、了解函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)公式的推導。掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導法則。3、培養(yǎng)學生歸納、探求規(guī)律的能力。二、【學習重、難點】：重點：利用前面已學的求導數(shù)的三個步驟對常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)進行探究。掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導法則。難點：用從特殊到一般的規(guī)律來探究公式。學生對積和商的求導法則的理解和運用。三、【自主學習】復習引入：1、按定義求導數(shù)有哪幾個步驟？2、用導數(shù)

11、定義求函數(shù)的導數(shù)。知識梳理：（1）用定義求函數(shù)y=、y=的導數(shù)。練習：用定義求函數(shù)（1）y=C (2)y=x （3）y= （4）y=的導數(shù)。（2）導數(shù)公式表：（3）運算法則：函數(shù)和（或差）的求導法則：函數(shù)積的求導法則： 函數(shù)商的求導法則：【合作探究】：1 怎樣求y=的導數(shù)？2 復合函數(shù)求導時應注意什么問題？ 例1：求下列函數(shù)的導數(shù)：(1) y= (2)y=(x>o) （3）y=練習：1、求下列冪函數(shù)的導數(shù)（1）y= （2）y=(x>0) （3）y=例2：質(zhì)點運動方程是S=，求質(zhì)點在t=2時的速度例3：求下列函數(shù)的導數(shù) (1)y=+（2）y=xsinx （3）y=tanx（4）y=s

12、in2x練習：求下列函數(shù)的導數(shù)（1）y=+-3（2）y=-cosx （3）y=（5-7）（3x+8）（4）y=例4：已知可導函數(shù)y=（u）,且u=ax+b（a,b為常數(shù)，a0），求小結：練習：（1）y= （2）y=sin（3x+5）（3）y=（ （4）y=（5）y=四、當堂檢測：1、求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=x+ （2）y= （3）（4）y= （5）y=2 （6）y=2、已知拋物線y=，求此拋物線在點（3，13）處的切線方程。五課后拓展1、 已知直線與曲線相切，則的值為（ ）A、1 B、2 C、-1 D、-22、若=，則>0的解集為（ ）A .（0,+） B.（-1,0）（2, +）

13、C. （2, +） D. （-1,0）3、已知函數(shù)=，則的值為 4、求下列函數(shù)在指定點的導數(shù)：（1）， （2），5、求下列函數(shù)的導數(shù)：（1） （2）（3） （4）6、已知曲線，求這條曲線平行于直線的切線方程。高二數(shù)學寒假生活（十一）3.3.1利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【學習目標】1. 借助函數(shù)的圖象了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性； 2. 通過本節(jié)的學習，掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法【重難點】重點：利用導數(shù)判斷一個函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；難點：利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性；判斷復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應用.【自學指導】1情境：(1) 必修一中，如何定義函數(shù)單調(diào)性的？

14、 （2）如何用定義判斷一些函數(shù)的單調(diào)性？一般地，設函數(shù) f(x) 的定義域為I：如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說 f(x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù)2. 問題：能否用定義法討論函數(shù)的單調(diào)性？學生活動1.討論函數(shù)的單調(diào)性.2. 研究函數(shù)的導函數(shù)值的符號與單調(diào)性之間的關系.【探究新知】1.導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關系 我們已經(jīng)知道，曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)的導數(shù).從函數(shù)的圖像可以看到：在區(qū)間（2，）內(nèi)，切線的斜率為正，函數(shù)y

15、=f(x)的值隨著x的增大而增大，即>0時，函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間（2，）內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間（，2）內(nèi)，切線的斜率為負，函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而減小，即0時，函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間（，2）內(nèi)為減函數(shù).定義：一般地，設函數(shù)y=f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù). 如果在這個區(qū)間內(nèi)>0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)； 如果在這個區(qū)間內(nèi)<0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).說明：（1）如果某個區(qū)間內(nèi)恒有=0，則f(x)等于常數(shù)； （2）>0（或<0）是函數(shù)在(a，b）上單調(diào)增（或減）的充分不必要條件.2.利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的步

16、驟：(1) 確定函數(shù)f(x)的定義域；(2) 求出函數(shù)的導數(shù)；(3) 解不等式f ¢(x)0，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f ¢(x)0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【合作探究】例1 、試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。練習：試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例2、找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。練習：（1） 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2） 討論函數(shù)的單調(diào)性拓展：(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)當<2時，<7.(3) 若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 .(4) 若函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增， 則實數(shù)的值是 . 【課堂檢測】1、關于函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）A、在區(qū)間內(nèi)，為增函

17、數(shù)，B、在區(qū)間內(nèi)，為減函數(shù)，C、在區(qū)間內(nèi)，為增函數(shù)，D、在區(qū)間內(nèi)，為增函數(shù)2、（ ） A、 B、 C、 =0 D、以上都不對3、（ ）A、充分不必要條件， B、必要不充分條件， C、充要條件 D、既不充分也不必要條件4、函數(shù)5、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_.6、 討論函數(shù)的單調(diào)性7、證明函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)是減函數(shù)。高二數(shù)學寒假生活（十二）利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【學習目標】：1、 結合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要的條件和充分條件2、 會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值和極小值3.會求給定區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值【學習重、難點】：重點：利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值 難點：

18、與單調(diào)性、最值相結合的綜合問題【自主學習】：1、閱讀課本27-28頁回答：（1） 什么是極大值？什么是極小值？（2） 極大值點左邊和右邊函數(shù)單調(diào)性是怎樣的？極小值點呢？（3）極大值點左邊和右邊函數(shù)的導數(shù)正負情況？極小值點呢？2、小試牛刀：函數(shù)y=x3極值點。函數(shù)y= x33x極值點。函數(shù)y= x33x 極值點。(填“有”或“沒有” ) (2)函數(shù) y = x24x 當x=_時有極 值為。3、最值和極值的關系 哪些是極值點，哪些是最值點。探究一、如何求函數(shù)的極值：例1、求函數(shù)總結求函數(shù)極值的步驟 探究二、函數(shù)極值和最值有何關系：例2、已知函數(shù)（1） 求函數(shù)的極值，并畫出函數(shù)的大致圖像（2） 求函數(shù)在區(qū)間【-3,4】上的最大值和最小值 變式：上面函數(shù)在區(qū)間【-3,5】，求函數(shù)的最大值【當堂檢測】：1、求函數(shù)的極值：