6幾何變換思想ppt課件

1、1 變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換、幾何中有圖形的變換。在初等幾何中，圖形變換是一種重要的思想方法，它以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來處理孤立靜止的幾何問題，往往在解決問題的過程中能夠收到意想不到的效果。幾何變換思想 21.初等幾何變換的概念 初等幾何變換是關(guān)于平面圖形在同一個(gè)平面內(nèi)的變換，在中小學(xué)教材中出現(xiàn)的相似變換、合同變換等都屬于初等幾何變化。合同變換實(shí)際上就是相似比為1的相似變換，是特殊的相似變換。合同變換也叫保距變換，分為平移、旋轉(zhuǎn)和反射（軸對(duì)稱）變換等。3（1）平移變換 將平面上任一點(diǎn)P變換到P，使得：（1）射線PP的方向一定；（2）線段PP的長度一定，則稱這種變換為

2、平移變換。也就是說一個(gè)圖形與經(jīng)過平移變換后的圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相互平行且相等。4平移變換有以下一些性質(zhì): 圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長不變。 在平移變換之下兩點(diǎn)之間的方向保持不變。如任意兩點(diǎn)A與B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A與 B，則有AB/AB。 在平移變換之下兩點(diǎn)之間的距離保持不變。如任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A和B，則有AB=AB。5 在解初等幾何問題時(shí)，常利用平移交換使分散的條件集中在一起，具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡單的基本圖形。6（2）旋轉(zhuǎn)變換 在同一平面內(nèi)，使原點(diǎn)O變換到它的自身，其他任何點(diǎn)X變換到X，使得：（1）OX=OX；（2）XOX=(定角)；則稱這樣的

3、變換為旋轉(zhuǎn)變換。O為旋轉(zhuǎn)中心，定角為旋轉(zhuǎn)角。當(dāng)0時(shí)，為逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)0時(shí)，為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。當(dāng)?shù)扔谄浇菚r(shí)，旋轉(zhuǎn)變換就是中心對(duì)稱。通俗的說就是一個(gè)圖形圍繞一個(gè)定點(diǎn)在不變的情況下轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的運(yùn)動(dòng)，就是旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)變換下，圖形的方位可能有變化。7旋轉(zhuǎn)變換有以下一些性質(zhì)： 把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長不變。 在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的兩點(diǎn)為A和B,則有直線AB和直線AB所成的角等于。 在旋轉(zhuǎn)變換下,任意兩點(diǎn)A和B變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A和B,則有AB=AB。 在解決幾何問題時(shí)旋轉(zhuǎn)的作用是使原有的圖形的性質(zhì)得以保持,但通過改變其位置,組合成新的圖形,便于計(jì)算和證明。8(3)反射變換

4、在同一平面內(nèi),若存在一條定直線L,使對(duì)于平面上的任意一點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)P,其連線PP的中垂線都是L,則稱這種變換為反射變換,也就是常說的軸對(duì)稱,定直線L稱為對(duì)稱軸,也叫反射軸。9軸對(duì)稱有如下性質(zhì): 把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形,因而面積和周長不變。 在反射變換下,任意兩點(diǎn)A和B,變換后的兩點(diǎn)為A和B,則有直線AB和直線A和B所成的角的平分線為L。 兩點(diǎn)之間的距離保持不變,任意兩點(diǎn)A和B,變換后的兩點(diǎn)為A和B,則有AB=AB。10 如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。 如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊,如果它能與另一圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)

5、稱。 軸對(duì)稱變換和軸對(duì)稱圖形是兩個(gè)不同的概念,前者是指圖形之間的關(guān)系或折疊運(yùn)動(dòng),后者是指一個(gè)圖形。中小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多圖形中都是軸對(duì)稱圖形,利用這些圖形的軸對(duì)稱關(guān)系,可以幫助我們解決一些計(jì)算和證明的幾何問題。11(4)相似變換 在同一平面內(nèi),圖形中的任意兩點(diǎn)A、B,變換后的兩點(diǎn)為A、B,也就是任意線段AB變換成AB,總有AB=KAB(K0,且為常數(shù)),則稱為相似變換。通俗地說就是一個(gè)圖形按照一定比例放大或縮小,圖形的形狀不變。其中的k稱為相似比或相似系數(shù),當(dāng)k=1時(shí),即為合同變換。12相似變換有以下一些性質(zhì): 兩個(gè)圖形的周長的比等于相似比。 兩個(gè)圖形的面積的比等于相似比的平方。 兩條直線的夾角保

6、持不變。 生活中的許多現(xiàn)象都滲透著相似變換的思想,如物體和圖形在光線下的投影、照片和圖片的放大和縮小、零件的圖紙等等,因而利用相似變換可以解決生活中的一些幾何問題。132.幾何變換思想的重要意義 課程改革以來,幾何的教學(xué)已經(jīng)由傳統(tǒng)的注重圖形的性質(zhì)、周長、面積和體積等的計(jì)算、演繹推理能力轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)空間觀念、計(jì)算能力、推理能力及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Σ⒅氐娜娴摹⒑椭C的發(fā)展。其中推理不僅僅重視演繹推理,還特別強(qiáng)調(diào)合情推理。也就是說,新課程的理念在幾何的育人功能方面注重空間觀念、創(chuàng)新精神、探索能力、推理能力、計(jì)算能力、幾何模型等全面、和諧的發(fā)展。 14 而圖形變換作為幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容和思想方法之一,

7、在幾何的育人方面發(fā)揮著非常重要的作用。圖形變換來源于生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的這些運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象,因而了解圖形的變換,有利于我們認(rèn)識(shí)生活中豐富多彩的生活空間和形成初步空間觀念。利用圖形變換把靜止的幾何問題通過運(yùn)動(dòng)變化,找到更加簡捷的解決問題的方法。153.幾何變換思想的具體應(yīng)用 圖形變換作為空間與圖形領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一,在圖形的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)、面積公式的推導(dǎo)、面積的計(jì)算、圖形的設(shè)計(jì)和欣賞、幾何的推理證明等方面都有重要的應(yīng)用。 小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何變換思想的應(yīng)用 164.幾何變換思想的教學(xué) (1)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于圖形變換的數(shù)學(xué)要求課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于圖形變換的內(nèi)容和目標(biāo)分為以下幾個(gè)層次：學(xué)段學(xué)段內(nèi)容和目標(biāo)內(nèi)容和目標(biāo)第

8、一第一學(xué)段學(xué)段結(jié)合生活實(shí)例結(jié)合生活實(shí)例, ,感知平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象感知平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象在方格紙上畫出一個(gè)簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形在方格紙上畫出一個(gè)簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形, ,在方格紙上畫出一個(gè)簡單軸對(duì)稱圖形在方格紙上畫出一個(gè)簡單軸對(duì)稱圖形17 學(xué)段內(nèi)容和目標(biāo)第二學(xué)段認(rèn)識(shí)圖形的平移和旋轉(zhuǎn),體會(huì)圖形的相似確定軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸, 在方格紙上畫出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形在方格紙上畫出一個(gè)簡單圖形平移或旋轉(zhuǎn)90后的圖形；在方格紙上畫出一個(gè)簡單圖形按一定比例放大或縮小后的圖形判斷一些圖案是由一些基本圖形經(jīng)過什么變化得到的,利用平移、旋轉(zhuǎn)

9、和軸對(duì)稱等變換,設(shè)計(jì)圖案18(2)教學(xué)中需要注意的問題 圖形變換在大綱時(shí)代的小學(xué)幾何中只學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱,而且不是幾何中的主要內(nèi)容。課程標(biāo)準(zhǔn)與大綱相比,在第一、二學(xué)段的空間與圖形的圖形變換方面,新增加了平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換。這些內(nèi)容雖然難度不大,但是對(duì)概念的準(zhǔn)確性和教學(xué)要求比較難把握,給一些教師的備課和教學(xué)帶來一定的困惑。下面談一談如何把握相關(guān)的概念和教學(xué)要求。19 第一,對(duì)一些概念的準(zhǔn)確把握 平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱變換與生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象不是一個(gè)概念。數(shù)學(xué)來源于生活,但不等于生活,是生活現(xiàn)象的抽象和概括。生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象往往都是物體的運(yùn)動(dòng),如推拉窗、傳送帶、電梯、鐘擺、旋轉(zhuǎn)門等

10、物體的運(yùn)動(dòng),都可以稱為平移現(xiàn)象或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。而中小學(xué)中的幾何變換都是指平面圖形在同一平面的變換,也就是說原圖形和變換后的圖形都是平面圖形,而且都在同一平面內(nèi)。幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象來自于生活中物體的平移現(xiàn)象、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象和軸對(duì)稱現(xiàn)象,如果把生活中這些物體畫成平面圖形,并且在同一平面上運(yùn)動(dòng),就可以說成是幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱變換了。20 一個(gè)變換是不是合同變換或相似變換,要依據(jù)概念進(jìn)行判斷。如課程標(biāo)準(zhǔn)要求小學(xué)階段的平移限于水平方向和豎直方向,實(shí)際上也可以沿斜線方向平移,只要滿足平移的兩個(gè)條件。如高山索道、滑雪等都可以看成平移現(xiàn)象,畫成平面圖形就是平移變換。再如旋轉(zhuǎn)，象旋轉(zhuǎn)門、螺旋槳、水龍頭

11、等都可以看成旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象,但是要注意它的嚴(yán)密性:一是旋轉(zhuǎn)中心必須固定,二是物體不能變形,三是旋轉(zhuǎn)的角度可大可小，可以是1度,也可以是300度。這樣的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)畫成平面圖形在同一平面的運(yùn)動(dòng)才是旋轉(zhuǎn)變換。另外，幾何意義上的變換都是從圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)及其連線的幾何性質(zhì)進(jìn)行描述的,與圖形的顏色等無關(guān)。 案例1、案例2、案例321 第二，注意圖形變換與其它幾何知識(shí)的聯(lián)系 小學(xué)幾何中的很多平面圖形都是軸對(duì)稱圖形,如長方形、正方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形、菱形、圓等。一方面要在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱時(shí)加強(qiáng)對(duì)這些圖形的對(duì)稱軸和軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識(shí),另一方面要在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱時(shí)加強(qiáng)對(duì)這些圖形的概念和性質(zhì)時(shí)進(jìn)一步體會(huì)它們的軸對(duì)

12、稱特點(diǎn)。22 在推導(dǎo)平行四邊形、三角形和梯形的面積公式時(shí),包括在計(jì)算組合圖形的面積時(shí),都用到了變換思想。如三角形面積公式的推導(dǎo),是把任意兩個(gè)完全相同三角形拼成一個(gè)平行四邊形,再利用三角形和平行四邊形的關(guān)系,求出三角形的面積公式。這實(shí)際上是把任意一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180度,再沿著一條邊平移,就組合成了一個(gè)平行四邊形。也就是說,把任意一個(gè)三角形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移變換,就變換成了平行四邊形。梯形面積公式的推導(dǎo)也是利用了這個(gè)原理。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用出入相補(bǔ)原理求三角形和梯形的面積,實(shí)際上也利用到了旋轉(zhuǎn)變換. 案例4 、案例523 第三,對(duì)教學(xué)要求和解題方法的準(zhǔn)確把握 如前所述,課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)圖形變換的內(nèi)容和教

13、學(xué)要求有比較清晰的描述,尤其是要把握好兩個(gè)學(xué)段的內(nèi)容,教學(xué)要求和解題方法。24 首先像直觀判斷題,例如,一個(gè)平面內(nèi)有若干圖形,要判斷哪些圖形經(jīng)過平移可以互相重合,對(duì)于小學(xué)生來說很難用任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等來判斷,只能通過直觀感受判斷,也就是說直觀感受原圖形在沒有任何轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下,通過水平、豎直或者沿斜線滑動(dòng)能夠與另一個(gè)圖形重合,借住方格紙可以幫助我們理解其中的道理。如在方格紙上原圖形中點(diǎn)A(2,3),經(jīng)過平移后它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A(8,10)。那么原圖形可以通過先向右平移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移6格,得到平移后的圖形。25 其次像作圖題,例如,畫出一個(gè)圖形沿著一個(gè)方向平移幾格后的圖形,應(yīng)讓學(xué)生明確,一個(gè)圖形沿著一個(gè)方向平移幾格,那么這個(gè)圖形上的任何一點(diǎn)和線段都沿著相同的方向平移幾格?？芍攸c(diǎn)掌握以下幾個(gè)步驟：找出圖形的關(guān)鍵幾個(gè)點(diǎn);明確平移的方向和距離；畫出平移后關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn);按照原圖形的順序連接各個(gè)點(diǎn)。 26 再如,畫出一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)90度后的圖形,應(yīng)讓學(xué)生明確,一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)沿一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)多少度,那么這個(gè)圖形上的任何一個(gè)點(diǎn)和線段都圍繞該點(diǎn)沿著相同的方向旋轉(zhuǎn)相同的度數(shù)?？芍攸c(diǎn)掌握