高斯濾波器和2RC濾波器

1、第五章高斯濾波器5. 1介紹高斯濾波器被廣泛應用于表面輪廓分析。美國標準（美國機械1：程師協(xié)會 2002）和國際標準（國際標準化組織1996）都對它進行了闡述。高斯濾波器的 權重函數(shù)（濾波器在時域和空間域的定義）如下：S（'）= &EE（汨 25式子中。=河而=0.4697,x是權重函數(shù)距離原點的位置，/lc是粗糙度中 長波波長的截止頻率。通過對連續(xù)函數(shù)S（x）進行傅里葉變換可以得到函數(shù)的傳遞特性，變化如下:5/（/1） = 丁二 S（x）e"x dx =勺 eax dx =以一"（件）勺 5.2從等式5.2,能夠看出該正弦波振幅有衰減，其波長截止波長M=/

2、lc）是0.5,因11匕 在截出處，濾波器傳遞了 50%o下面的例子展示了，在給定權重函數(shù)下，其高斯 濾波器傳遞曲線的樣子。范例5.1在給定空間域Ac < % < AcT»描繪高斯濾波器S。其中讓7=0.8mm, 采樣間隔Ax = lpnio下而是MATLAB生成的代碼，并且其所描述的圖展示在（圖5.1 a）。圖5 1 a繪制高斯波波器：船=0Smmb高斯濾波器傳遞特性 lambdac=0 8, % in mm dx=0 001, % in mm x=(-lambdac dx lambdac) alpha=O 4697;S=(l/(alpha*lambdac).*exp(

3、-pi*(x/(alpha*lainbdac).A2)>% generate the Gaussian filter S=S/sum(S), % noixnalize to unit sum plot(x,S), xlabclf Distance (mm) ylabel('Weighting function1),范例5.2產(chǎn)生高斯濾波器S的振幅傳輸特性，并且評估正弦波的振幅傳輸特 性，其截止波長伽=0.8mm) o高斯濾波器的傳遞特性能夠同樣獲得，通過借助第四章4.4范例所示的矩形 濾波器例程。傳遞特性如圖5.1b所示。該正弦波由0.8nmi波長組成，其振幅衰 減為0.5(Sf

4、的陣列元素有11個)。因此高斯濾波器在截止頻率處,傳輸量為50%。 注意在圖5.1b所示的傳遞特性中，可以清楚的看到，在其截止頻率處有一個坡 度過程，并沒有直上直下的鋒利過渡。這意味著濾波器不能立刻抑制所有波長小 于截11：頻率的波長，而是在截止頻率處使它們逐漸變?nèi)?。這個傳遞特性也能夠被 描述通過直接對等式5.2采樣。m=size(S,l), % leiigth of Gaussian ft Iter1=8, % length of a profile is assumed to be 8 mmn=l/dx, % number of profile pointsS=zeros(n/2-floo

5、r(m/2)> 1); S, zei'os(n/2-floor(m/2)-l J);% center the filter and zero-pad to 8000 longSfMR(S),%DFT ofSj=(2:l floor(n/2)+l)',% generate wavelength array for X axis of% transmission plotwave=n*dx /(j-1),semilogx(wave, 100*abs(Sf(2 floor(n/2)+1,1),xlabel('Wavelength (mm)'),ylabelf A

6、mplitude (%),)>5. 2高通和低通濾波器迄今為止描述的濾波器都是低通濾波器，因為它只能傳遞低頻部分(波長大 r<ii：波長)。第3章和第4章所描述的矩形濾波器和步進濾波器也都是低通濾 波器。低通濾波器是一個平均濾波器因為它能產(chǎn)生一個光滑的輪廓。一個濾波器 也能夠被設計成只傳輸高頻的信號。這種濾波器是眾所知周的高通波波器。高斯 高通濾波器的傳遞特性如下Sf(A) = 1 - e(aT)四5.3這個高通高斯濾波器在截止波長處也傳遞50%。這是很重要的，因為它闡釋 了高斯低通和高通在傳遞上的互補性。這可以表明高頻信號與低頻信號的差異僅 僅表現(xiàn)在原始輪廓。因此用兩種不同濾波器

7、同時捕捉高頻和低頻信號是沒有必要 的。5. 3用高斯濾波器量化粗糙度、波紋度和形狀濾波器的輸出是粗糙度，波紋度還是形狀(三者為專業(yè)術語)，取決于濾波 器的類型(高通或者低通)和截止波長的閾值。如之前第3章所述，因為粗糙度， 波紋度還是形狀都有自己明確定義的帶寬范I韋I，所以構造帶寬的上限和下限截止 波長要符合各自要求。ASMEB46.1標準中定義截止波長4cw作為波紋度的長波 截止波長，4sw作為波紋度的短波截止波長，友作為粗糙度的長波截止波長，As 作為粗糙度的短波截止波長。Ac的選擇等于Aswo ASME B46.1與ISO 11562兩 者都己經(jīng)給出了截止波長的推薦閾值。除此之外，他們也

8、提供了進一步的指導對 丁截止比率的選擇。例如，選擇m與一個適當?shù)腁c/As比率將限制探針的大小 (美國機械工程師協(xié)會2002)o濾波器與截止波長人s相關聯(lián)構成低通濾波器，與此相對應濾波器與截止波 長永相關聯(lián)，則構成一個高通濾波器。上述這對濾波器應用到輪廓上輸出的是 粗糙度。如果想獲得波紋度需要調(diào)整到於W（低通cw（高通）。形狀通常包含了所 有大尺寸波長，因此下端的截止波長為從 通常來說這樣就足夠了。但值得注意 的是在ASME B46.1標準中并沒有定義從圖5.2舉例說明了上述濾波器的不同。100, 尸 180- Xs/Ac A6wAf-Low pass roughness60-/ SHigh

9、pass roughness/ | $ /Low pass waviness40. /旨A i A §-High pass waviness20-/ £ Low pass formcJJ、U10-210°102104Wavelength (mm)圖5 2劃分粗糙度輪啤、波紋度輪期、形狀輪廓的五種濾波器的傳遞特性（As=25um>Ac=0 8mm,Asw=0 Snrni,ASmin）綜上所述，很顯然根據(jù)粗糙度或者波紋度的定義，我們需要兩個濾波器同時 操作來獲得。然而事實上有些簡單化的公共認可，這樣通過一個信號的濾波操作 也可以簡單的獲得粗糙度或者波紋度。首先，

10、截止波長為4S的低通濾波器有時 可以被忽略，或者用自動濾波器儀器的初始數(shù)據(jù)。其次一種情況是，輪廓長度通 常并沒有足夠的長度去捕捉形狀，因此截止波長Acw的高通濾波器并沒有用到。 最后一種狀況是，在第5.2部分己經(jīng)有所提及，利用高斯低通和高通濾波器的互 補定義，可以用一個濾波器來評估粗糙度和波紋度（截止波長h的高通或者低通）?？偟膩碚f，粗糙度輪廓能夠通過用一個截止波長為/Ic的高通濾波器去過濾 原始輪廓來獲得。波紋度輪廓與原始輪廓和粗糙度輪廓的區(qū)別是很簡單的。在原 始粒廓上應用高斯低通濾波器人sw就以獲得波紋度的表而輪廓。同樣的這也是粗 糙度輪廓與波紋輪廓和原始輪廓之間的區(qū)別。無論怎么做，兩者產(chǎn)

11、生的結果是一 樣的。5.4截止波長的影響當4c增加，粗糙度輪廓的帶寬將變大，因此應該增加振幅參數(shù)，例如Ra, 來計算粗糙度輪廓。另一方面，同樣的截止波長將導致波紋度輪廓中的一些波長 被移除，作為這個結果應該在計算波紋度輪廓時，減小振幅參數(shù)w5.5相位特性我們己經(jīng)非常詳細的研究了高斯濾波器的振幅傳遞特性，但是對于相位特性 我們還沒有提及。高斯濾波器并不會使兩個不同波長的正弦波產(chǎn)生相對的相位改 變。換句話說，每一個進入濾波器的正弦波形都會復現(xiàn)它進入時的相位特性，并 不會發(fā)生相位改變。這種相位不變的特性，也正是高斯濾波器的最大優(yōu)點。5.6總結高斯濾波器可能是今天被用的最廣泛的濾波器。我們本章復習了它

12、的定義和 實現(xiàn)方法。我也討論了高通和低通濾波器的定義。而且我們還討論了高斯高通和 低通濾波器是如何互補的，因此用兩個濾波器操作獲得粗糙度和波紋度是多余的。 高斯濾波器的相位不變性，使得它的輸出不會扭曲變形。練習5.1通過對公式5.2的連續(xù)采樣生成一個高斯低通濾波器曲線。假設Ac=0 8mm. 采樣間隔Ax = lpnio和圖5.1b對比兩者相同嗎？5.2生成一個如圖5.2所示的圖，假設輪廓長度是1,000mm,采樣間隔為Ax = 1pm, 截止波長參考圖5.2所示。5.3寫一個高斯函數(shù)文件myGaussian.m,調(diào)用該函數(shù)需要給兩個參數(shù)一一間隔和 截止波長（兩者單位相同），然后函數(shù)產(chǎn)生一個高

13、斯低通濾波器，這個高斯函數(shù) 是經(jīng)過歸一化的，為了使所有的權重統(tǒng)一。5.4用截止波長0.8mm的高斯低通濾波器濾波2mm波長振幅為川m的曲線z】， 利用高斯濾波器的振幅傳遞曲線觀察振幅衰減情況。采樣間隔參數(shù)為Ax = lpnic 用同樣的濾波器濾波0.5mm波長振幅為0. 5pm的曲線z?,觀察其振幅衰減狀況。5.5根據(jù)練習5.4和己知高斯濾波器的相位特性，計算并繪制濾波輸出，高斯濾 波器的濾波輪廓為練習5.4討論的兩個正弦波之和。5.6用空間卷積驗證練習5.4的結果。并用5.3制作的高斯濾波函數(shù)生成這個濾波 5.7用頻域積分驗證練習5.4的結果。為了這個窗口能均勻排放這8000長度的數(shù) 組，需

14、要在高斯濾波器的空間域填補零點。然后對濾波器和輪廓執(zhí)行DFTs,進 行逐項積分。用反向DFT進行評估并提取相關部分補償相位（看4.6的例子）。 這個波紋度輪廓一定是和5.5與5.6中產(chǎn)生的輪廓相同，除了在邊緣上可能有少 許差別。5.8用空間卷積方法過濾練習3.1中的輪廓Z,用三種不同截止波長的低通高斯濾 波器，分別是0.5mm,0.8mm和2mm。從波紋度輪廓叫濯取截止長度的一半。 計算波紋度輪廓w中的叫。其中泌被定義為"Q =全四也1, w（i）是波紋度數(shù) 組的第i個元素，n是數(shù)組w的長度。隨著截止波長的增加是W增加還是減小， 為什么？參考文獻美國機械工程協(xié)會2002,ASME B

15、46.1-2002,表面紋理（表面粗糙度，波紋度和花 紋）ASME.美國.紐約國際標準化組織1996JSO11562:1996,兒何產(chǎn)品規(guī)格業(yè)表面紋理:輪廓方式 濾波器相位調(diào)整特性,ISO,瑞士,口內(nèi)瓦第6章2RC濾波器6. 1引言最早用于表面測量的濾波器是2RC濾波器。這種濾波器早期由硬件構成， 現(xiàn)在己經(jīng)可以方便使用軟件執(zhí)行。2RC濾波器并不是一個線性相位的濾波器，并 且對粗糙度和波紋度兩個濾波器需要區(qū)分來看待。盡管2RC濾波器很早就被應 用于表面輪廓濾波，但是卻在高斯濾波器之后來討論它，是因為這種濾波器在執(zhí) 行時更具有挑戰(zhàn)性的問題存在。ASME B46.1標準（美國機械工程協(xié)會2002）對

16、 2RC濾波器有所提及，但是國際標準中并沒有涉及該濾波器。6. 2 2RC高通濾波器從歷史上來看，2RC濾波器僅僅被用于從原始輪廓中提取粗錯度輪廓，因此 文獻報道中一般僅提供了 2RC的粗糙度濾波器的權重函數(shù)。為了獲取表面的波 紋的輪廓，需要一個單獨的波紋度權重函數(shù)（看練習6.1）。高通粗糙度濾波器的 權重函數(shù)如下：S（x）TO-理）ex阱理）6.1其中A=3.64, x是權重函數(shù)距離原點的位置，Ac是粗糙度長波的截止波長。 高通濾波器的傳遞特性可以通過對其連續(xù)傳遞函數(shù)S（x）做傅里葉變換可以獲得:=6.2其中k=l/V3并= aALo等式6.1的權重函數(shù)是很重要的。權重函數(shù)提 供了一個輪廓的

17、高頻組成部分，但是空間卷積也是很重要的，它是一個平均處理 的過程。對等式6.1的權重函數(shù)進行卷積，將得出一個“二等分線氣 二等分線和 粗糙度輪廓是有區(qū)別的。然而從公式6.1并不能很清楚的看出兩者的區(qū)別，如果 讀者對此很感興趣，可以看6.3節(jié)，此節(jié)將對這個問題作出解釋。2RC濾波器在截止波長處的振幅衰減是75%。從公式6.2推斷此時人= 北。 并且濾波器不具有相位不變的特性。這意味的不同波長的正弦波其輸出相位會有 不同程度的偏移量。這將導致在輸出輪廓上出現(xiàn)失真，因此這并不是一個有用的 特性。盡管受此限制2RC濾波器仍然被用了許多年，因為那時候的數(shù)字濾波器 不能識別表面輪廓的起點。下面的例子展示了

18、 2RC濾波器的這些方面。例子6.1繪制權重函數(shù)，振幅傳輸圖，高通2RC濾波器的相頻特性圖。假設 截止波長Ac =0.8mmo2RC濾波器的權重函數(shù)被生成在-2Ac<x<0.因為這個濾波器關于原點 并不對稱。事實上，濾波器在原點前沿是單邊的。傳遞特性能夠用很多種方式生成，在這個例子中，我們將直接對公式6.2采 樣。圖6.1 a-c分別展示了 2RC濾波器的權重函數(shù)、振幅傳輸和相頻特性。%截11：波長單位mm %間隔單位mmlambdac = 0.8> dx = 0 001, A = 2D pi/sqrt（3）, x = （-2D lambdac dx 0）1,for j=l

19、1 length(x)S(J»l)=(A/laiYibdac)Q (2(A/lambdac)*abs(x(j)* exp (-(A/lamb dac) abs(x(j), endS = S/sum(S),plot(x,S)xlabelCDistance (mm)'),ylabelCWeighting function1), lamda = (0 002:0.001:8)Sf = (1-1D l/sqit(3) (lamda/lambdac)%),semilogxQamdaJ OO*abs(Sf).%生成權垂函數(shù)%單位歸一化處理%生成波長軸%對公式6 2連續(xù)采樣%取絕對值%繪制

20、振幅用“”%用角度繪制相位%繪制相位單位弧度uopunj 5UW6QM% amplitude transmission xlabel('Wav elength (nim)>), ylabelf Amplitude 林)')， semilogx(lamda, angle(Sf), xlabelf Wavelengtli (mm)'), ylabelfPhase (radians)1);圖6 1 a兩電阻兩電容(2RC)濾波器的權重函數(shù)b振幅傳輸特性c相位特性例子6.2用截11：波長為0.8mm高通2RC濾波器，按3.1范例中所述的空間 卷積方法生成一個濾波輪廓z2R

21、C高通濾波器關于原點并不對稱。因此這個濾波器不得不在卷積的時候做 一個關于原點的鏡像來完成卷積過程(回想一下卷積鏡像操作的定義；用這個建 立的鏡像來做卷積和多項式相乘)。并且卷積后的輪廓長度為irtn-1,其中n是 原始輪廓的長度，m是濾波器數(shù)組的長度。就對稱的濾波器來說，來門卷子陣列中心的n個元素代表了波紋度輪廓，但是就2RC濾波器來說，n個元素代表二等 分線。這是因為濾波器數(shù)組的原點占有的權重比例最大，并且它是濾波輪廓的起 始點。在輪廓結束端，當濾波器從表面記錄時，濾波器的前部是在輪廓表面外邊 的，這時己經(jīng)不能評價一個真實的平均移動了。就高斯濾波器來說，權重最大的 點是對稱排列在中間的，并

22、且卷積陣列的中心點在波紋度輪廓時，是被剔除的。 圖6.2 a展示了原始輪廓，并且和一個二等分線輪廓。圖6.2 b展示了粗糙度輪廓。圖62a用2RC高通波波溶生成的輪廓z和二等分線. b用2RC高通濾波器生成的輪師z和粗糙度輪dx = O 001,1 = 8,n = Vdx,x = (0:dx l-dx)zl = ID sin(2D pi x/2); % amplitude 1 um, wavelength 2minz2 = 0 5D sin(2D pi x/0 5), % amplitude 0 5 um, wavelength 0 5 mmz = zl +z2,S = flipud(S),

23、% mirror tlie non-symmeti'ic v/eighting% functionC = conv(S, z), % conv perfoiTns a second flip before% moving averageMeanLine =% extract the first n pointsr = z-MeaiiLuie,plot(x,z,T,x,MeanLine,'b'),xlabelCDistance (mm)1),ylabelf Amplitudeplot(x,z；r,x,r；b,),xlabelCDistance (mm)1),ylabelC

24、 Amplitude (muin),)>6. 3 2RC濾波器的深入介紹早期使用的2RC濾波器是實時性的。當儀器經(jīng)過輪廓表面，輪廓上的點以電 壓信號(Vh】)被輸入到2RC電路網(wǎng)結。濾波后的信號通過電壓(Vout)被輸出，并且 經(jīng)過處理轉(zhuǎn)變?yōu)楦叨葐挝?。個一介的RC濾波器的傳遞函數(shù)(HA = Vout/Vin) 能夠從任何標準的電氣工程教科書上獲得，其表達式如下：6.3=）RCw1+jRCw其中©是頻率表達是a）= 2n/A, j = 口, R和C分別是電阻和電容。這個傳 遞函數(shù)表達了濾波器的傳遞特性，并且是在頻域被定義的（因此，我們根據(jù)習慣 把這里的瑪成助。圖6.3展示了一個二

25、介電路網(wǎng)絡，其傳遞函數(shù)是一介電路網(wǎng)絡 函數(shù)的平方，因此其公式如下：旺=導=昭=（芒=）26.4vin 71 vl+;7?CwJ將co = 2兀/入芾入等式6.4中，推到得I以I展開化簡并計算得：(2jtRC/Xc)2V(l-(27rZ?C/Ac)2)2+(2;rZ?C/Ac)2 = 3/42RC濾波器定義了其截II：頻率左處的傳輸為75%o RC的取值在滿足這種情況 下能夠獲得通過如下公式。RC06.6c C圖6 3RC電路網(wǎng)絡C姑電容，R是電阻.輸入電壓信號，Vg輸出電壓信號2n為了在空間域?qū)崿F(xiàn)這個濾波器，我們需要一個權重函數(shù)的表達式。我們能夠 通過對傳遞函數(shù)進行逆變換來得到這個權重函數(shù)。讓

26、我們改寫這個傳遞函數(shù)：Q-忐）2 = 1-號點+點那6.7對其進行傅里葉變換得：H（t） = m）£（2 *）e 訴6.8其中殮）是單位脈沖。H（t）是2RC濾波器的脈沖響應，其由兩部分組成，一個部分是單位脈沖，另 一部分是隨時間變化的指數(shù)。時變部分產(chǎn)生直流部分，脈沖產(chǎn)生瞬時交流部分。 DC部分的權重函數(shù)能夠通過對上式的RC值取代來獲得，其公式如下：S（x）= £（2-尚。蕓，。小86.9其中aT脈沖響應回答了一個疑問，那就是早期為什么高通2RC濾波器只提供二等分線的權重函 數(shù)。這是顯而易見的，權重函數(shù)僅僅捕捉了脈沖響應的DC組成部分。但是瞬時AC響應的組 成（粗糙度輪廓）

27、與原始輪廓和DC二等分線相比是有區(qū)別的。最后提及一下，在75%條件下取代RC值的傳遞函數(shù)如E：6.10«r _ r JRCa> 2 1Hf2 =成箱）=M6.4 2RC濾波器和高斯濾波器的比較一個表面輪廓的例子（d med-Type D rou血less specimen）能夠被下載，從美國 國家標準技術研究所（NISI）京于表而測量測試系統(tǒng)算法的網(wǎng)站上（美國國家標準 技術研究所；Biii和Vorburger 2007）在載入MATLAB之前，要刪除開頭和結 尾的信息（升始的15行和結尾的后2行）。這個輪廓被濾波用一個高斯低通濾波器, 其截止波長在0.8mmo這個同樣的輪廓被濾

28、波用一個2RC高通濾波器在相同的截 II：波原始輪廓和高斯波紋度輪廓被展小在圖6.4a?？梢杂^察到，這個波紋度 在波峰和波谷處是沒有相位失真的。相應對俄粗糙度輪廓被展示在圖6.4b°原始輪廓和用2RC產(chǎn)生的二等分輪廓（不是波紋度輪廓），在截止波長為 0.8mm時的圖像被展示在圖6.4c?？梢杂^察到，二等分輪廓移動了一個相位。粗 糙度輪廓被展示在圖6.4d,因為相位偏移出現(xiàn)了失真（人為規(guī)定特性）。并且應該注意到在圖6.4d展示的粗糙度輪廊中，其振幅通常是大于圖6.4b所 展示的振幅的，盡管兩者都是用同樣的截止波長生成的。這是因為2RC濾波器截 止波長的傳輸量是75%,對比2RC濾波器，高斯濾波器僅在截止波長處有50的傳 輸量。因此在截止波長處或其附近的波長將被傳遞通過2RC濾波器，因此其振幅 相對較大。6.5總結2RC濾波器是最早用于表面測量的濾波器。最早它被用硬件電路來實現(xiàn)，但 是現(xiàn)在它己經(jīng)能夠方便用數(shù)字化來實現(xiàn)。這個濾波器有一些缺陷：（a）在粗糙度 輪廓中它有一個相位的失真（b）粗糙度濾波器和波紋度濾波器需要分開處理（c）最 后它有邊緣失真現(xiàn)象。在之后介紹的高斯濾波器相對的可以緩和2RC濾波器的這 些缺陷。從第五章可以知道，高斯濾波器是被數(shù)字化實現(xiàn)的。它沒用相位失真的 影響，并且高通和低通具有互補性，因此可以僅用一個濾波器來獲得粗糙度和波