SPSS第5章 總體分布、樣本分布與參數(shù)估計(jì)(修改)

1、第五章 總體分布、 樣本分布與參數(shù)估計(jì) 5.1 總體分布與樣本分布總體分布與樣本分布一、總體與總體分布一、總體與總體分布 總體總體：反映總體特征的隨機(jī)變量的取值的全體。反映總體特征的隨機(jī)變量的取值的全體。 總體分布總體分布：反映總體特征的隨機(jī)變量的概率分布。反映總體特征的隨機(jī)變量的概率分布。二、隨機(jī)樣本與樣本觀測(cè)值二、隨機(jī)樣本與樣本觀測(cè)值 1、隨機(jī)樣本、隨機(jī)樣本 表征表征n次抽取個(gè)體的隨機(jī)抽樣的一組隨機(jī)變量次抽取個(gè)體的隨機(jī)抽樣的一組隨機(jī)變量X1，X2， Xn 。 2、樣本觀測(cè)值、樣本觀測(cè)值(樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)) n次隨機(jī)抽樣的結(jié)果：次隨機(jī)抽樣的結(jié)果：x1，x2，xn (稱為隨機(jī)樣本稱為隨機(jī)樣本X

2、1，X2， Xn 的樣本觀測(cè)值的樣本觀測(cè)值)。 n稱為隨機(jī)樣本向量稱為隨機(jī)樣本向量( X1，X2， Xn )的維度，即自由度。的維度，即自由度。 一個(gè)總體10，5，8，7，10 Q：若有放回地抽取2次，請(qǐng)畫出兩次均值的分布圖。 有放回(with replacement)抽樣 ,ijXXX10587101010,1010 10,5 7.510,8910,78.510,101055,107.55,555,86.5 5,7 65,107.588,109 8,56.5 8,888,7 7.58,10977,108.57,567,87.5 7,777,108.51010,101010,57.510,89

3、10,78.510,1010 一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布被稱為該統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布 樣本均值抽樣分布 直方圖0510678910其他接收頻率0.00%50.00%100.00%150.00%頻率累積 %3、樣本、樣本(累積累積)分布函數(shù)分布函數(shù) 設(shè)樣本觀測(cè)值設(shè)樣本觀測(cè)值x1 x2 , xn，ki為小于為小于xi+1的樣本值出現(xiàn)的累積頻的樣本值出現(xiàn)的累積頻次，次， n為樣本容量，則可得樣本累積頻率分布函數(shù)如下：為樣本容量，則可得樣本累積頻率分布函數(shù)如下：xxxxxnkxxxFniiin當(dāng)當(dāng)當(dāng) 1 / 0)(11樣本樣本(累積累積)分布函數(shù)分布函數(shù)Fn(x)是對(duì)總體的累積分布函數(shù)是對(duì)總體的累積分布函數(shù)

4、F(x)的近似，的近似， n越大越大, Fn(x)對(duì)對(duì)F(x)的近似越好。的近似越好。格利文科格利文科 ( Glivenko )定理定理 當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量 n 趨于無窮大時(shí)，趨于無窮大時(shí)，F(xiàn)n(x)以概率以概率1(關(guān)于關(guān)于 x )均勻地收斂于均勻地收斂于F(x).1)0)()(suplim(xFxFPnxn思考：請(qǐng)舉出總體均值和總體方差的合適估計(jì)量。 5.2 統(tǒng)計(jì)量與統(tǒng)計(jì)量的分布統(tǒng)計(jì)量與統(tǒng)計(jì)量的分布一、統(tǒng)計(jì)量的定義一、統(tǒng)計(jì)量的定義統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量是不含未知參數(shù)的，隨機(jī)樣本：統(tǒng)計(jì)量是不含未知參數(shù)的，隨機(jī)樣本X1，X2，, Xn的函數(shù)。的函數(shù)。統(tǒng)計(jì)量的值統(tǒng)計(jì)量的值: 統(tǒng)計(jì)量的值是不含未知參

5、數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的值是不含未知參數(shù)的, 樣本觀測(cè)值樣本觀測(cè)值x1，x2，xn的函數(shù)的函數(shù).二、幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量分布：二、幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量分布： 2、t 與與 F分布分布1、 2(n)分布分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X N(0，1) ， X1，X2，, Xn為為 X 樣本，則樣本，則 2 = X2i= X21 + X22 + X2n 2 (n) 2 (n)分布的均值分布的均值 E( 2)= n，方差，方差 D( 2 )= 2n。n=1n=4n=10 2(n)分布圖分布圖0, 00,)2(21)(2122xxexnxfxnnn 2(n)密度函數(shù)：密度函數(shù)：其中，其中，n為自由度。為自由度。 (n/2)為珈瑪

6、函數(shù)，是一個(gè)含參數(shù)為珈瑪函數(shù)，是一個(gè)含參數(shù)n/2的的積分，為：積分，為：0212)2/(dtetntn2、t 分布分布)(ntnYXT其中，其中，X N(0，1)，Y 2(n)分布，且分布，且X與與Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。密度函數(shù)為：密度函數(shù)為：xnxnnnxfnn212)1()2/()21()(t 分布圖分布圖3、F 分布分布),(nmFnVmUF其中，其中，U 2(m)，V 2(n) ，且且U與與V相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。m=100，n=20m=15，n=20重要性質(zhì)：重要性質(zhì)：0 00,)1 ()() 2/() 2/()2()(212xxxnmxnmnmnmnmxfnmm密度函數(shù)形式為：密度函

7、數(shù)形式為：),(1),(1mnFnmF三、由一般正態(tài)分布的隨機(jī)樣本所構(gòu)成的若干重要統(tǒng)計(jì)量的分布三、由一般正態(tài)分布的隨機(jī)樣本所構(gòu)成的若干重要統(tǒng)計(jì)量的分布定理：若定理：若X1，X2，, Xn 是正態(tài)總體是正態(tài)總體N( ， 2)的一個(gè)隨機(jī)樣本，的一個(gè)隨機(jī)樣本，則：則：(1) X N( ， 2 / n)(2) X 與與 S2 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。nXZ (3) N(0， 1)22)1(Sn (4) 2(n-1)(5) t(n -1)nSXT(6) 2(n)niiX122)(1(1) N(0，1)22212121)()(nnYX定理：若定理：若X1，X2，, Xn1 和和Y1，Y2，, Yn2 分別是正

8、態(tài)總體分別是正態(tài)總體N( 1， 12)和和N( 2， 22)的一個(gè)隨機(jī)樣本，且它們相互獨(dú)立，的一個(gè)隨機(jī)樣本，且它們相互獨(dú)立，則滿足如下性質(zhì)：則滿足如下性質(zhì)： (3) F(n1-1，n2-1)22222121SSF 21212122221121)2() 1() 1()()(nnnnnnSnSnYXT (2)t(n1+n2 - 2)，( 1 = 2 )21122211121222)()(niiniiYnXn (4) F(n1，n2)四、任意分布的隨機(jī)樣本均值函數(shù)的均值與方差四、任意分布的隨機(jī)樣本均值函數(shù)的均值與方差設(shè)：隨機(jī)變量設(shè)：隨機(jī)變量 X 服從任何均值為服從任何均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為 的

9、分布，的分布，X是是隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本X1，X2，, Xn的均值函數(shù)。則：的均值函數(shù)。則：(1) X = ;(2) X = / n 或或 2X = 2 / n Tips: 某類個(gè)體數(shù)量占總體數(shù)量的比例問題：某類個(gè)體數(shù)量占總體數(shù)量的比例問題：0-1分布分布 若若XB(1, p)，則，則 E(X)= p, D(X)= p(1-p)X的均值也是總體中某類個(gè)體的比例的均值也是總體中某類個(gè)體的比例 pnpppXX)1 (,2五、中心極限定理五、中心極限定理假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量 X 服從任何均值為服從任何均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為 的分布，的分布，X是是隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本X1，X2，, Xn的均值函數(shù)。

10、的均值函數(shù)。當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)，有：充分大時(shí)，有：思考：在實(shí)際問題中思考：在實(shí)際問題中n多大？多大？2( ,)XNn近似地正態(tài)分布均勻分布總體分布樣 本 均 值分布(n=2)樣 本 均 值分布(n=10)樣 本 均 值分布(n=30)指數(shù)分布Tips：當(dāng)n 30, 無論總體分布形態(tài)如何，中心極限定理均適用；當(dāng)n 15, 對(duì)于分布較為對(duì)稱的總體，中心極限定理適用；當(dāng)總體是正態(tài)分布時(shí)，無論樣本大小，中心極限定理均適用。ExEx：某高校在研究生入學(xué)體檢后對(duì)所有結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出其中某一項(xiàng)指標(biāo)的均值是7，標(biāo)準(zhǔn)差2.2。從這個(gè)總體中隨機(jī)選取一個(gè)容量為31的樣本。(1)計(jì)算樣本均值大于7.5的概率；(

11、2)計(jì)算樣本均值小于7.2的概率；(3)計(jì)算樣本均值在7.2和7.5之間的概率。解答1：)5 . 7(XP求)2 . 27-5 . 72 . 27-(XP)2273. 0Y(2 . 27-YPX，則：令?)2273. 0Y(),1 , 0(Y PN查表得其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 ( - ( - x x ) = 1 ( ) = 1 ( x x ) ) x00.010.020.030.040.050.060.070.080.0900.500 00.504 00.508 00.512 00.516 00.519 90.523 90.527 90.531 90.535 90.10.539 80

12、.543 80.547 80.551 70.555 70.559 60.563 60.567 50.571 40.575 30.20.579 30.583 20.587 10.591 00.594 80.598 70.602 60.606 40.610 30.614 10.30.617 90.621 70.625 50.629 30.633 10.636 80.640 40.644 30.648 00.651 70.40.655 40.659 10.662 80.666 40.670 00.673 60.677 20.680 80.684 40.687 90.50.691 50.695 00.

13、698 50.701 90.705 40.708 80.712 30.715 70.719 00.722 40.60.725 70.729 10.732 40.735 70.738 90.742 20.745 40.748 60.751 70.754 90.70.758 00.761 10.764 20.767 30.770 30.773 40.776 40.779 40.782 30.785 20.80.788 10.791 00.793 90.796 70.799 50.802 30.805 10.807 80.810 60.813 30.90.815 90.818 60.821 20.8

14、23 80.826 40.828 90.835 50.834 00.836 50.838 910.841 30.843 80.846 10.848 50.850 80.853 10.855 40.857 70.859 90.862 1解答2：)2 . 7(XP求)2 . 27-2 . 72 . 27-(XP)0909. 0Y(2 . 27-YPX，則：令?)0909. 0Y(),1 , 0(Y PN查表得其中統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì) 5.3 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)1、概念、概念 設(shè)設(shè) 是總體分布中一個(gè)需要估計(jì)的參數(shù)，現(xiàn)從總體中抽是總體分布中一個(gè)需要估計(jì)的參數(shù)，現(xiàn)從總體中抽取

15、一個(gè)隨機(jī)樣本取一個(gè)隨機(jī)樣本X1，X2，, Xn ，記估計(jì)，記估計(jì) 的統(tǒng)計(jì)量為的統(tǒng)計(jì)量為 ),(21nXXX則稱則稱 為為 的估計(jì)量。的估計(jì)量。若得到一組樣本觀測(cè)值若得到一組樣本觀測(cè)值x1，x2，xn ，就可得出，就可得出 的估計(jì)的估計(jì)值，記：值，記： 。),(21nxxx注：在選取樣本統(tǒng)計(jì)量注：在選取樣本統(tǒng)計(jì)量 作為點(diǎn)估計(jì)時(shí)，必須考慮到作為點(diǎn)估計(jì)時(shí)，必須考慮到“無偏性無偏性”，這，這一點(diǎn)很重要。一點(diǎn)很重要?？傮w分布參數(shù)總體分布參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)，就是求出的點(diǎn)估計(jì)，就是求出 的估計(jì)值。的估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)2、矩估計(jì)、矩估計(jì) 用樣本矩來估計(jì)總體矩。用樣本矩來估計(jì)總體矩。矩的一般形式：矩的一般形式：

16、E(X k)表示表示 k 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩(以原點(diǎn)為中心以原點(diǎn)為中心)； E(X- )k 表示表示k 階中心矩階中心矩(以以 為中心為中心)； Q：偏度、峰度、方差、均值分別是什么矩？2、矩估計(jì)、矩估計(jì) Ex：設(shè)某批產(chǎn)品的壽命在上服從均勻分布，但是參數(shù)未知，隨機(jī)地抽取五個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得壽命分別是1265小時(shí)，1257小時(shí)，1276小時(shí)，1269小時(shí)和1266小時(shí)，試求這批產(chǎn)品壽命均值和方差的矩估計(jì)值，并寫出相應(yīng)的分布函數(shù)。3、極大似然估計(jì)法、極大似然估計(jì)法 若總體若總體 X 的的(累積累積)概率分布函數(shù)為概率分布函數(shù)為F(x, ), 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) f (x, ), 其中其中 為未知參數(shù)

17、為未知參數(shù) 。 若若 X 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, 則由離散型與連續(xù)型的對(duì)應(yīng)關(guān)系則由離散型與連續(xù)型的對(duì)應(yīng)關(guān)系, f (x, )對(duì)應(yīng)于離散情況下的概率對(duì)應(yīng)于離散情況下的概率P(X=x).X 為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí), X的隨機(jī)樣本的隨機(jī)樣本X1，X2，, Xn的聯(lián)合的聯(lián)合概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為niixfL1),()( 稱為稱為 的極大似然估計(jì)函數(shù)的極大似然估計(jì)函數(shù). 當(dāng)當(dāng) X 為離散隨機(jī)變量時(shí)為離散隨機(jī)變量時(shí), L表示概率表示概率:),(2211nnxXxXxXPL關(guān)于關(guān)于 的極大值如果存在的極大值如果存在, 極大值極大值 就是就是 的的極大似然估計(jì)值極大似然估計(jì)值.

18、 其含義是其含義是: 一組觀測(cè)值一組觀測(cè)值x1，x2，xn在一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)了在一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)了, 其其聯(lián)合概率就應(yīng)當(dāng)是最大的聯(lián)合概率就應(yīng)當(dāng)是最大的, 所以選擇所以選擇 使聯(lián)合密度使聯(lián)合密度L最大的那個(gè)最大的那個(gè).),(21nxxxEx: 設(shè)設(shè)x1，x2，, xn是正態(tài)總體是正態(tài)總體N( ， 2)的樣本觀測(cè)值，的樣本觀測(cè)值，求求 與與 2 的極大似然估計(jì)值的極大似然估計(jì)值.解解: 極大似然函數(shù)為極大似然函數(shù)為nixieL12)(2221)(取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù), 分別對(duì)分別對(duì) 與與 2 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo), 并令偏導(dǎo)為并令偏導(dǎo)為0, 可求出可求出 與與 2的極大的極大似然估計(jì)值如下似然估計(jì)值如下:2121)(

19、11niiniixxnxnx如果將上述如果將上述xi 換成換成 Xi , 上式成為極大似然估計(jì)量。上式成為極大似然估計(jì)量。 5.3 判別點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)判別點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)1、無偏估計(jì)量、無偏估計(jì)量E2、最小方差性、最小方差性)()(VarVar3、有效估計(jì)量、有效估計(jì)量 (1)無偏性；無偏性；(2)最小方差性。最小方差性。4、漸近無偏估計(jì)量、漸近無偏估計(jì)量)(lim En5、一致估計(jì)量、一致估計(jì)量1)(limpn一致估計(jì)量的另一等價(jià)定義：一致估計(jì)量的另一等價(jià)定義：(1) 漸進(jìn)無偏的；漸進(jìn)無偏的；(2)0)(limnnVar6、漸進(jìn)有效性：、漸進(jìn)有效性： (1) 一致估計(jì)量；一致估計(jì)量； (2

20、) 比其它的估計(jì)量更小的漸進(jìn)方差。比其它的估計(jì)量更小的漸進(jìn)方差。漸進(jìn)方差定義：漸進(jìn)方差定義：注：在實(shí)踐中廣泛應(yīng)用的準(zhǔn)則：注：在實(shí)踐中廣泛應(yīng)用的準(zhǔn)則：(1)小樣本準(zhǔn)則小樣本準(zhǔn)則 a、無偏性；、無偏性； b、有效性。、有效性。(2)大樣本準(zhǔn)則大樣本準(zhǔn)則 一致估計(jì)量。一致估計(jì)量。)(1lim)(lim2nnnnnEnEnVar思考：為了估計(jì)目前北京市場(chǎng)二手房交易的平均價(jià)格，制定相應(yīng)的營(yíng)銷策略，某房地產(chǎn)中介公司某年第四季度的二手房交易中，隨機(jī)抽取40個(gè)交易作為樣本，得到二手房交易價(jià)格如下表所示(單位：萬元)。 4852.436458019.94460.53339.52158.17236.6514973

21、.516654810237.542.84836.52746.233.5415658.53940.535.422.54150.83834.243根據(jù)上述數(shù)據(jù)如何估計(jì)總體的平均價(jià)格？如果需要進(jìn)一步推斷房屋款項(xiàng)在43萬元以上的交易占全部交易的比例，應(yīng)當(dāng)如何分析呢？均值是未知的總體隨機(jī)樣本我有 95% 的把握認(rèn)為 在40和50之間.均值 = 45.54X置信區(qū)間樣本統(tǒng)計(jì)量(點(diǎn)估計(jì))置信下界置信上界總體參數(shù)落在某區(qū)間內(nèi)的概率1. 未知總體參數(shù)所在的區(qū)間稱為置信區(qū)間；2. 未知總體參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率為 (1,稱為置信水平/置信度；3. 未知總體參數(shù)不落在區(qū)間內(nèi)的概率 ，稱為顯著性水平；4. 置信水平通常

22、取值 99%, 95%, 90% 即顯著性水平為0.01,0.05,0.1090% 樣本95% 樣本99% 樣本x_nZXXZXX 2.581.6451.6452.58XXXXXX96. 196. 1 置信區(qū)間 影響區(qū)間寬度的因素： 1. 數(shù)據(jù)離散度 2. 樣本容量 n 3. 置信水平 (1)(,）或 (,）XXXZXZXZXZnn 以總體均值的區(qū)間估計(jì)為例： 1. 確定置信水平 2. 根據(jù)置信水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表確定其 值；3. 實(shí)際抽樣，并計(jì)算樣本的均值 和抽樣誤差 ；4. 確定置信區(qū)間： 1/2zxxnZXXZX區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值

23、之差單一總體未知且小樣本 1.假設(shè) 已知總體標(biāo)準(zhǔn)差 總體正態(tài)分布 如果不是正態(tài), 可被正態(tài)分布逼近 (樣本n 30) 2.置信區(qū)間/2/2-XZXZnn 沿用引例，假定房地產(chǎn)中介公司從上季度的二手房交易記錄中得到以下信息：交易價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差為15萬元，于是我們假定總體標(biāo)準(zhǔn)差 =15。試在95%的置信水平下估計(jì)二手房平均價(jià)格的置信區(qū)間。4852.436458019.94460.53339.52158.17236.6514973.516654810237.542.84836.52746.233.5415658.53940.535.422.54150.83834.243 已知n=40， =15； 計(jì)算

24、得到樣本均值 由1- 0.950.95，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表得： 于是在95%的置信水平下的置信區(qū)間為： 即(40.89，50.19)。結(jié)果表明：在95%的置信水平下，二手房交易價(jià)格的置信區(qū)間為40.89萬元50.19萬元。1/45.55niixxn0.0251.96z/21545.54 1.9645.544.6540 xzn 1.假設(shè) 總體標(biāo)準(zhǔn)差未知 總體服從正態(tài)分布 2.用 t 分布 3.置信區(qū)間/2,1/2,1-nnSSX tX tnn Zt0t (df = 5)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 t (自由度df = 11) 1. 當(dāng)樣本統(tǒng)計(jì)量被計(jì)算出以后可以自由改變的觀測(cè)值數(shù)目 2. 舉例： 3 個(gè)數(shù)之和

25、是 6 X1 = 1 (或其他數(shù)) X2 = 2 (或其他數(shù)) X3 = 3 (不能改變) Sum = 6 自由度df=n1=2 沿用引例，假定該房地產(chǎn)公司在某日隨機(jī)抽取16位二手房購(gòu)買者，得到二手房交易價(jià)格如下表所示(萬元)。 根據(jù)以往交易情況得知：二手房交易價(jià)格服從正態(tài)分布，但總體方差未知。試在95%的置信水平下估計(jì)二手房交易平均價(jià)格的置信區(qū)間。 63.422.6554879.437.542.84836.52745.233.54136.230.549 已知n=16；計(jì)算得到樣本均值 ； 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s=14.175； 由1 0.950.95，查表得： 于是在95%的置信水平下的置信區(qū)間為：

26、 即(35.923，51.027)。 結(jié)果表明：在95%的置信水平下，二手房?jī)r(jià)格的置信區(qū)間為35.923萬元51.027萬元；即該公司可以有95%的把握認(rèn)為，二手房交易價(jià)格介于35.923萬元到51.027萬元之間。 43.475x 0.05152.131t/214.17543.4752.13143.4757.55216sxtn區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差單一總體獨(dú)立樣本配對(duì)樣本區(qū)間估計(jì)的內(nèi)容區(qū)間估計(jì)的內(nèi)容 獨(dú)立樣本(Independent sample)：兩個(gè)樣本是從兩個(gè)總體中獨(dú)立地抽取的，即一個(gè)樣本中的元素與另一個(gè)樣本中的元素相互獨(dú)立。 1

27、.大樣本條件下 (1)在兩個(gè)總體的方差 1 12 2和 2 22 2均已知的情況下， 兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間為：221212/212()xxznn 1.大樣本條件下 (2)在兩個(gè)總體的方差 1 12 2和 2 22 2均未知的情況下，可用兩個(gè)樣本的方差s s1 12 2和s s2 22 2代替。 這時(shí)，兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間為：221212/212()ssxxznn 沿用引例。從次年初開始，北京二手房交易價(jià)格急劇攀升。為對(duì)比次年第一季度與當(dāng)年第四季度二手房平均價(jià)格的差異，該房地產(chǎn)中介公司從次年第一季度的交易中隨機(jī)抽取36個(gè)，得到二手房交易價(jià)格如下表所示(單位：萬元)。55.448.65

28、24982.47267.542.84836.57745.233.54136.539.23948.64842.83645804541.253.51055245.53158.17276.2514996 將以上數(shù)據(jù)和引例中當(dāng)年第四季度二手房交易價(jià)格進(jìn)行整理，得到 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試以95%置信水平估計(jì)次年第一季度與當(dāng)年第四季度的二手房交易平均價(jià)格差值的置信區(qū)間。 當(dāng)年第四季度次年第一季度樣本容量4036樣本均值(萬元)45.5453.93樣本標(biāo)準(zhǔn)差(萬元)16.8717.84 由于兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，且均為大樣本，因此兩個(gè)樣本的均值之差服從正態(tài)分布。 在95%置信水平下做出區(qū)間估計(jì)如下： 即(16.22

29、，0.56)。 結(jié)果表明：有95%的把握認(rèn)為，總體平均價(jià)格的差異介于16.22萬元0.56萬元之間，即次年第一季度比當(dāng)年第四季度的二手房平均交易價(jià)格顯著上升。22221212/21216.8717.84()(45.5453.93) 1.964036 8.397.83 ssxxznn 2.小樣本條件下 (1)當(dāng)兩個(gè)總體的方差均已知時(shí)，可用上式建立兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間 。(2)當(dāng)兩個(gè)總體的方差 1 12 2和 2 22 2均未知，且 1 12 2 2 22 2時(shí)，可用兩個(gè)樣本的方差s s1 12 2和s s2 22 2計(jì)算總體方差的合并估計(jì)量s sp p2 2 。221122212112pn

30、snssnn這時(shí)，兩個(gè)樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后服從自由度為的t分布。兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間為：212/2121211()(2)()pxxtnnsnn 沿用引例。為對(duì)比北京市不同地區(qū)二手房交易價(jià)格的差異，該房地產(chǎn)中介公司從中關(guān)村和望京地區(qū)兩個(gè)營(yíng)業(yè)部某年第一季度的二手房交易中各抽取8個(gè)，得到二手房交易價(jià)格如下表所示： 假定兩個(gè)地區(qū)的二手房交易價(jià)格服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%置信水平估計(jì)某年第一季度中關(guān)村和望京地區(qū)的二手房平均價(jià)格差值的置信區(qū)間。中關(guān)村75.2626486.87265.558103.5望京地區(qū)45.53158.17250.2514996 已知n=16，總體方差未知；計(jì)算得

31、由1- 0.95,0.95,88214查表得 于是在95%置信水平下的置信區(qū)間為22121273.375,56.6,229.81,385.77xxss0.05/2(14)2.145t212/2121211 ()(2)()11(73.37556.6)2.145307.79 ()8816.775 18.816pxxtnnsnn 即(2.041，35.591)。 結(jié)果表明：有95%的把握認(rèn)為，總體平均交易價(jià)格的差異介于2.041萬元到35.591萬元之間。 本例中，所求置信區(qū)間包含0，說明我們沒有足夠的理由認(rèn)為某年第一季度中關(guān)村地區(qū)和望京地區(qū)的二手房交易平均價(jià)格存在顯著差異。 2.小樣本條件下 (3

32、)當(dāng)兩個(gè)總體的方差12和22均未知，且1222時(shí)，如果兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布且兩個(gè)樣本的容量相等n1=n2，則可用下列公式建立兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間：221212/21212()(2)ssxxtnnnn 2.小樣本條件下 (3)當(dāng)兩個(gè)總體的方差12和22均未知，且1222時(shí)，如果兩個(gè)樣本的容量不相等n1n2，則兩個(gè)樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后近似服從自由度為d的t分布，兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間為：221212/212()( )dssxxtnn22212122222121212()()()11ssnnssnnnnd其中， 配對(duì)樣本(Matched sample)，即一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)與另一個(gè)樣本中

33、的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)。 1. 大樣本條件下，兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間為： 2. 小樣本條件下，兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間為：_/ 2ddzn_/21dsdtnn其中，d-為各差值的均值；當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，可以用樣本差值的標(biāo)準(zhǔn)差替代 。 沿用引例。為比較分析北京市同一地區(qū)不同年份二手房?jī)r(jià)格的差異，該房地產(chǎn)中介公司從中關(guān)村地區(qū)當(dāng)年第四季度的二手房交易中，抽取了8個(gè)交易；并根據(jù)次年當(dāng)月市場(chǎng)行情，分別對(duì)這8個(gè)房源進(jìn)行重新估價(jià)，得到二手房?jī)r(jià)格如下表所示(單位：萬元)。 假定二手房?jī)r(jià)格服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%置信水平估計(jì)中關(guān)村地區(qū)次年第一季度和當(dāng)年第四季度的二手房平均價(jià)格差值的置信區(qū)間。當(dāng)年交易價(jià)

34、格55.2625466.84462.558103.5次年市場(chǎng)估價(jià)64.569.564.87850.272.165109差額-9.3-7.5-10.8-11.2-6.2-9.6-7-5.5 已知n=8，總體方差未知；計(jì)算得。 由1-0.95,查表得 于是按照上式，在95%置信水平下的置信區(qū)間為： 即(10.172，6.604)。 結(jié)果表明：有95%的把握認(rèn)為，總體平均價(jià)格的差異介于10.17萬元6.60萬元之間。即認(rèn)為中關(guān)村地區(qū)次年第一季度比當(dāng)年第四季度的二手房平均價(jià)格有顯著提高。1263.25,71.64,8.388,2.134dxxds 0.05/2(7)2.365t_/22.13418.3

35、882.3658.388 1.7848dsdtnn 區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體比例之差單一總體 1.假設(shè) 總體服從二項(xiàng)分布 可以用正態(tài)分布近似估計(jì) n p 5 且 n (1 - p) 5 2.置信區(qū)間估計(jì)/21pppzn 1.假設(shè) 總體服從二項(xiàng)分布 可以用正態(tài)分布近似估計(jì) n p1 5 且 n (1 - p1 ) 5； n p2 5 且 n (1 p2 ) 5 2.置信區(qū)間估計(jì)112212/21211ppppppznn 根據(jù)引例以及例3的數(shù)據(jù)，整理得出次年第一季度與當(dāng)年第四季度交易價(jià)格在43萬元以上的二手房交易數(shù)量及所占比例，試在95%置信水平下估計(jì)這兩個(gè)時(shí)期，交易價(jià)格在43萬元以上的二手房交易所占比例的差值的置信區(qū)間。整理數(shù)據(jù)如下 ：當(dāng)年第四季度次年第一季度樣本容量n403643萬元以上的交易數(shù)量2025所占比例p50%69.44% 已知 在95%置信水平下的置信區(qū)間為： 即(41.04%，2.16%)。 結(jié)果表明：有95%的把握認(rèn)為，兩個(gè)年份價(jià)格在43萬元以上的二手房交易所占比例的差異介于- 41.04 %到2.16%之間。本例中，所求置信區(qū)間包含0，說明我們沒有足夠的理由認(rèn)為次年第一季度與當(dāng)年第四季度價(jià)格在43萬元以