八年級數(shù)學(xué)上冊6.5《一次函數(shù)與二元一次方程》用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式例題與講解素材(

1、 用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式 基礎(chǔ)知識鵡車技麓 _ 罷 1 m j - z ir I s J f ii j f Ji I - J i F N f； 1二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系 若k, b表示常數(shù)且k0,則y kx = b為二元一次方程，有無數(shù)個(gè)解；將其變形可得 y =kx + b,將x, y看作自變量、因變量，則 y = kx + b是一次函數(shù).事實(shí)上，以方 程y kx =b的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù) y = kx+ b的圖象相同.2 1 3 由，得y = - 2x_ 2* 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù) y= x 3 的圖象11和一次函數(shù) y= 2x 弓的圖象 3利用二元

2、一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式 每個(gè)二元一次方程組都對應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線，從數(shù)”的角度 看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是何值；從 “形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)因此一次函數(shù)與二元一次方 程組有密切聯(lián)系. 利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式的一般步驟如下: (1) 寫出函數(shù)表達(dá)式：一次函數(shù) y = kx + b; (2) 把已知條件代入，得到關(guān)于 k, b的方程組; 解方程組，求出k, b的值，寫出其表達(dá)式. 【例 3】 已知一次函數(shù) y = ax + 2 與y = kx + b的圖象 如圖所示，且 方程組 分析：根

3、據(jù)方程組與一次函數(shù)圖象的關(guān)系，先確定兩圖象的交點(diǎn) A的坐標(biāo)，再代入表 達(dá)式，求出字母a, k, b的值. ax y = 2, 解：方程組 kx y = b 12,如圖所示觀察圖象，得 故方程組 x-y = 3, + 2y ax y = 2, i kx y = b x = 2, 的解為I iy = i 點(diǎn)B坐標(biāo)為(0， 1) 你能確定兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式 嗎？ 的解是x= 2, 的解為y = 2. 3 交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1) 點(diǎn)A在函數(shù)y= ax + 2 的圖象上，2a + 2= 1. 1 a=- 2. 點(diǎn)A（2,1），點(diǎn)B（0，- 1）在函數(shù)y = kx + b圖象上， 2k+ b= 1,

4、b=- 1. Z|k =1, 解得 b=- 1. 1 兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為 y=於+ 2, y= x 1. 析規(guī)律方程組的解與交點(diǎn)坐標(biāo) 方程組的解就是兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo). 基本方法培祜fig力 用n m :TH、-二 - ： - ： - - - - 4用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式的方法可歸納為“一設(shè)，二列 ，三解，四還原”. 具體的說明如下： 一設(shè)：設(shè)出一次函數(shù)表達(dá)式的一般形式 y = kx+ b（ kz 0）； 二列：根據(jù)已知兩點(diǎn)或已知圖象上的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)列出關(guān)于 k, b的二元一次方程組； 三解：解這個(gè)方程組，求出 k, b的值； 四還原：將已求

5、得的 k, b的值再代入y= kx+ b（kz0）中，從而得到所要求的一次函數(shù) 的表達(dá)式. 確定二元一次方程（組）中字母的取值，是一類常見的題目，解這類問題的基本方法是 利用方程（組）的有關(guān)知識，得到含有字母系數(shù)的方程 （組），然后解這個(gè)方程（組），求出待 定字母. 析規(guī)律求與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 解答這 類問題要切記，函數(shù)圖象與 x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 0，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)是 0. 【例 4】 某出版社出版一種適合中學(xué)生閱讀的科普讀物，若該讀物首次出版印刷的印 數(shù)不少于5 000 冊時(shí)，投入的成本與印數(shù)間的相應(yīng)數(shù)據(jù)如下： 印數(shù)x（冊） 5 000 8 000 10 000 15 00

6、0 成本y（元） 28 500 36 000 41 000 53 500 （1） 經(jīng)過對上表中數(shù)據(jù)的探究，發(fā)現(xiàn)這種讀4 物的投入成本 y（元）是印數(shù)x（冊）的一次函 數(shù)，求這個(gè)一 次函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）； （2） 如果出版社投入成本 48 000 元，那么能印該讀物多 少冊？解：(1)設(shè)所求一次函數(shù)的解析式為 y= kx + b(kz0), 5 f5 000 k+ b= 28 500 , 由題意，得 I 000 k+ b= 36 000. 解得 2， b= 16 000. 所以所求的函數(shù)關(guān)系式為 y = 5x + 16 000. 5 將y= 48 000 代入y= qx +

7、16 000 中，得 48 000 = 5x+ 16 000. 解得 x= 12 800. 所以能印該讀物 12 800 冊. 思維拓展創(chuàng)新應(yīng)川 5利用數(shù)形結(jié)合法理解二元一次方程組解的三種情況 (1) - 方程組有唯 組 解：即方程組中的兩個(gè)二元一次方程有唯一公共解，如方程組 線，只有一個(gè)交點(diǎn). (2) 方程組無解：即方程組中的兩個(gè)二元一次方程沒有公共解，如方程組 x+ y= 5, 1 無解，這類方程組也叫做矛盾方程組.函數(shù) y= 5 x和y=二(5 3x)的圖象 3x + 3y= 5 3 是兩條平行直線，無交點(diǎn). (3) 方程組有無數(shù)組解：即方程組中的兩個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，如方程組 x

8、+ y= 2, 1 有無數(shù)組解.函數(shù) y= 2 x和y=：(4 2x)的圖象是同一條直線. 2x + 2y=4 2 【例 5】 如圖表示兩輛汽車行駛路程與時(shí)間的關(guān)系 (汽車B在汽車A后出發(fā))，試回答 下列問題： (1) 圖中丨1,丨2分別表示哪一輛汽車的路程與時(shí)間的關(guān)系？ (2) 寫出汽車A和汽車B的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，汽車 A和汽車B的速度各是多少？ (3) 圖中交點(diǎn)是什么意思？x y= 3, : x+ y= 5 x = 4, 有唯 - 組解彳 y = 1. 函數(shù)y = x 3 和y = 5 x的圖象是兩條相交的直 6 (3) 汽車A出發(fā) 3 h(或汽車B出發(fā) 1 h)兩車相遇，此時(shí)兩車

9、行駛路程都是 100 km.【例 1】(1)方程x+ y= 5 的解有多少個(gè)？寫出其中的幾個(gè). (2) 在直角坐標(biāo)系中分別描出以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)，它們在一次函數(shù) y= 5 x的圖象上 嗎？ (3) 在一次函數(shù)y = 5 x的圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)適合 x + y= 5 嗎？ 以方程x + y=5 的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)所組成的圖象與一次函數(shù) y= 5 x的圖象相同 嗎？ 分析：方程x+ y=5 的解有無數(shù)個(gè)，以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù) y = 5 x的圖象相同，二者是相同的. 解：有無數(shù)個(gè). x = 1, x= 2, x = 3, x= 0, y = 4； |y= 3； y = *

10、1 2 3 ； y= 5. (2) 以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)，都在一次函數(shù) y = 5 x的圖象上. (3) 適合. 相同. 2.用圖象法求二元一次方程組的近似解 分析：圖中丨1,丨2表示的是一次函數(shù)的圖象由圖象可知，直線 11經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和 (3,100)，直線1 2經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和(3,100)，由待定系數(shù)法求表達(dá)式. 解：(1) 11表示A車的路程與時(shí)間的關(guān)系，12表示B車的路程與時(shí)間的關(guān)系. 汽車A的函數(shù)關(guān)系式是s =罟上, 汽車B的函數(shù)關(guān)系式是 s= 100t 200; 汽車A的速度是 100 km/h，汽車B的速度是 100 km/h. 7 用圖象法求二元一次方程組的近似解的一般步驟： (1) 先把方程組中兩個(gè)二元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式： y1= k1X + b1和y2= k?x + b2； (2) 建立平面直角坐標(biāo)系，畫出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象；