小專題十等積式與比例式的證明

1、小專題（十）等積式與比例式的證明方法1三點(diǎn)定型法要證明的比例式的四條線段恰好是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊時(shí)，可直接用三點(diǎn)定型法找相似三角形.»針對(duì)訓(xùn)練11. 已知：如圖，/ ABC =Z ADE.求證：ABAE = AC-AD.2. （濱州中考）如圖， ABC 中，/ ABC = 2/C, BD 平分/ ABC 交 AC 于 D.求證：AB-BC = AC-BD.方法2等線段代換法從要證的結(jié)論難以找到相似三角形時(shí),往往可用相等的線段去替換結(jié)論中的某些線段,再用三點(diǎn)定型法找相似三角形.針對(duì)訓(xùn)練3. 已知：如圖，-一ABCD中，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， DE交AB于F求證：AD-AB = AF C

2、E.DCE4. 如圖，在 ABC中，點(diǎn)D, E在邊BC上，且 ADE是等邊三角形，/ BAC = 120°,求證: DE2= BD-CE.5. 如圖，已知在厶 ABC中，AB = AC , AD是BC邊上的中線，CF/ BA , BF交AD于P點(diǎn)，交 AC 于 E 點(diǎn).求證：BP2= PE-PF.方法3等比代換法（找中間比）要證明的比例式無(wú)法直接通過(guò)平行或相似證出時(shí)，往往要找中間比進(jìn)行過(guò)渡.6.如圖，在 ABC中，點(diǎn)D、E、Q分別在AB、AC、BC 上，且 DE / BC, AQ 交 DE 于點(diǎn) P求、工 DP PE證匕:=證：BQ QC.7. 如圖， ABC中，/ ACB = 90

3、°, CD丄AB于D, E為AC的中點(diǎn)，ED、CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F,求證:DF _ BC CF = AC.8. 已知如圖，D是厶ABC的邊AB上一點(diǎn)，DE / BC ,交邊AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F,使EF =DE,連接BF，交邊AC于點(diǎn)G,連接CF.(1)求證:AE = EGAC = CGABC如果 CF2= FG-FB，求證：CGCE = BCDE.方法4等積代換法（找中間積）常用到基本圖形的結(jié)論找中間積.9. 如圖，在 ABC中，AD丄BC于D, DE丄AB于E, DF丄AC于F,求證：AE-AB = AFAC.10. （崇明中考）如圖， ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC和AC邊

4、上，點(diǎn)G是BE邊上一點(diǎn)，且/ BAD=Z BGD = Z C,連接 AG，求證:BG = AB AB = BE.!：11. 如圖，在 ABC中，AD , BF分別是 BC, AC邊上的高，過(guò) D作AB的垂線交 AB于E,交BF于G,交AC的延長(zhǎng)線于H，求證：DE2= EG-EH.針對(duì)訓(xùn)練參考答案小專題（十）等積式與比例式的證明1 .證明：I/ ABC = Z ADE，/ A = Z A ,AB AD ABC s' ADE. AC = AE，即 AB-AE = AC-AD.2.證明：ABC = 2/ C, BD 平分/ ABC , s' ADB. -AC = BC，即 AB心AO

5、BD./ ABD =/ DBC = /3.證明：在ABCD/ BC， / ADF = / E. ADF CED. AD AF AD AFCE CD'CE AB'C.又/ A為公共角， ABC中，/ A = / C, AB = CD , AD即 AD- AB = AF-CE. 4.證明:/ ADE 是等邊三角形， DE = AD = AE , / B + / BAD = 60 °.又/ BAC =/ABD CAE. ae CE-DEAB = AC , D為BC中點(diǎn)， AD垂直平分 =/ ACB. ABC / PBC = / ACB / ADE =/ AED = 60&#

6、176; ./ ADB =/ AEC = 120° ,120 °, / B + / C = 60 °. / BAD =BD AD BD DE，即 DE2= BD-CE. 5.證明：連接 PC.在' ABC 中, CEBC. PB= PC. PBC =/ PCB. T AB = AC , / ABC / PCB ,即 / ABP = / ACP. / CF / AB , / ABP =PC pfpb pf/ F./ ACP = / F.又/ EPC=/ CPF,A PCEs PFC.a pC= pC. / PC= PB, =血，即PB2= PE-PF. 6.

7、證明：在厶 ABQ 中，由于 DP / BQ，/ ADP = / B.又/ DAP = / BAQ , ADPABQ. DP : BQ = AP : AQ.同理 AEPACQ , . PE : QC = AP : AQ. DP : BQ = PE : QC. 7.證明：t/ ACB = 90°, CD 丄 AB，/ A + / ACD =/ ACD +/ BCD，/ ACB = / BDC = 90° ./ A =/ BCD. ABC CBD. 器=CD，即 AC = CD.又t E 為 AC 中點(diǎn)， AE = CE =ED. / A =/ EDA. t/ EDA =/ B

8、DF，/ FCD = / BDF.又/ F 為公共角， FDB FCD. DF BD DF BC CF CD CF AC.、口AE DE EF8.證明：（1） t DE / BC, ADEABC , EFGCBG. AC BC , BCEG=亦.又DE = EF，DE EF AE EG2CF FB- BCBC，ACCG.（2）T CF F&FB， FGCF.又二 CFG/CFB， CFW BFC. 琵=器 / FCE = / CBF" DF / BC，" EFG = /CBFCE =/EFG9.證明:又t/ feg=/ CEF，EFGECFj EC =鬆=憲.許 t

9、 AD 丄 BC , DE 丄 AB，/ ADB =/ AED = 90° ./ ADE +/ BDE =/ ADE +/ DAE. / BDE=/ DAE. ADE ABD. AD = AB,即 AE-AB = AD2.同理： ADF ACD. AF AC = AD 2 AB AD AE - AB = AF-AC. 10.證明：t/ BGD = / C, / GBD = / CBE , BGD BCE. TT = BD ,BC BE 即 BG- BE = BC-BD.又t/ BAD =/ C, / ABD =/ CBA , ABD CBA. = BD，即 BC-BDBC AB22 BG ab=AB . BG - BE = AB，即矗=琵.11.證明：t AD , BF分別是BC , AC邊上的高，DE丄AB , / ADB = / BED = 90 ° . / ADE + / BDE = 90 ° , / ADE + / EAD = 90