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文檔簡介
1、 全等三角形的判定題型 類型一、全等三角形的判定 邊邊邊 例題、已知:如圖,AD = BC, AC = BD.試證明:/CAD = / DBC. (答案)證明:連接 DC, 在ACD 與BDC 中 AD 二 BC AC = BD A - 甘 CD = DC (公共邊) - CD 也 zBDC (SSS) QAD = ZDBC (全等三角形對應(yīng)角相等) 類型二、全等三角形的判定 2 “邊角邊” 例題、已知,如圖,在四邊形 ABCD 中,AC 平分/BAD , CE _LAB 于 E,并且 1 AE = (AB + AD),求證:/B +/D = 180 (答案)證明:在線段 AE 上,截取 EF
2、 = EB,連接 FC, CE 1AB,/EB = /CEF = 90 EB 二 EF 在CBE 和CFE 中,f /CEB CEF EC =EC BE 和CFE ( SAS )啟= /CFE AE =丄(AB + AD),/2AE = AB + ADAD= 2AE AB 2 AE = AF + EF, AD = 2 (AF + EF) AB = 2AF + 2EF AB = AF + AF + EF + EB AB = AF + AB AB, 即 AD = AF AF =AD 在AFC 和ADC 中* NFAC =ZDAC(角平分線定義) AC = AC FC 也 zADC ( SAS) A
3、jAFC = ZD AFC + /CFE = 180 , B=/CFE. AFC + ZB = 180 , B +ZD= 180 類型三、全等三角形的判定 3 “角邊角” 例題、已知:如圖,在 MPN 中,H 是高 MQ 和 NR 的交點,且 MQ = NQ . 求證:HN = PM. 證明:TMQ 和 NR 是MPN 的高,/-MIQN = BMRN = 90 , 又+B3 +B4 = 90 ,3=厶 .12 I 在MPQ 和NHQ 中, MQ 二 NQ pMQP =NNQH PQ 也 zNHQ (ASA) PM = HN 類型四、全等三角形的判定 4 “角角邊” 例題、已知 Rt ABC
4、中,AC = BC, = 90 ,D 為 AB 邊的中點,BEDF = 90 ,EDF 繞 D 點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交 AC、CB 于 E、F.當(dāng)BEDF 繞 D 點旋轉(zhuǎn)到 DE 山 C 于 E 時(如圖 1 ), 一 1 一 易證SA DEF SA CEF - 2 SAABC ; 當(dāng)BEDF 繞 D 點旋轉(zhuǎn)到 DE 和 AC 不垂直時,在圖 2 情況下, 上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請寫出你的猜想,不需證明 解:圖 2 成立;證明圖 2 :過點D作DM _AC, DN BC 下列說法中,正確的畫“v;錯誤的畫“斉”并舉出反例畫出圖形. (1) 一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相
5、等的兩個直角三角形全等. ( ) (2) 有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等. ( ) (3) 有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等. ( ) (答案)(1 )V; (2 )X;在 zABC 和 SBC 中,AB = DB , AE 和 DF 是其中一邊上的 高,AE = DF (3)X 在AABC 和AABD 中,AB = AB,AD = AC,AH 為第三邊上的高,如下圖: 1、已知:如圖,DE JAC, BF !AC, AD = BC,DE = BF.求證:AB DC. (答案與解析)證明:IDE JAC,BF JAC, 貝U . DME DNF MDN =90 .A
6、MD二.DNB=90 在 AAMD 和DNB 中,.A = . B J AD = BD MD zDNB (AAS ) /-DM = DN MDE + ZEDN = /NDF + ZEDN = 90 ,/MDE = ZNDF .EMD =/FDN 在DME 與 8NF 中,DM 二 DN .MDE =/NDF =90 .JDME =ZDNF ( ASA )DME - SADNF 四邊形 DMCN _S0邊形 DECF _SADEF SACEF 1 1 可知 S四邊形 DMCN =:S ABC , SA DEF SA CEF SA ABC 2 2 類型五、直角三角形全等的判定 “HL ” 在 Rt
7、DE 與 RtCBF 中!八。八。BC,/RtKDE RtCBF (HL) AE = CF, DE = BF DE= BF. AE + EF = CF + EF,即卩 AF = CE DE =BF 在 RtMDE 與 Rt KBF 中, DEC 二 BFA EC =FA RtMDE 李 tKBF ( SAS )./QCE = ZBAFAB DC. (點評)從已知條件只能先證出 RtADE 李 t:BF,從結(jié)論又需證 CDE 級 t ABF.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進(jìn),證出題 2、如圖,AABC 中,ZACB = 90 ,AC = BC,AE 是 BC 邊上的中線, 過 C 作 CF 1AE
8、,垂足為 F,過 B 作 BD JBC 交 CF 的延長線于 D. (1) 求證:AE = CD ; (2) 若 AC = 12cm,求 BD 的長. (答案與解析)(1)證明:TDB JBC,CF JAE,/zDCB + ZD = ZDCB + ZAEC = 90 又VDDBC = ZECA = 90 ,且 BC = CA BC 也CA (AAS ). (2)解:由(1 )得 AE = CD,AC = BC,/CDB 也 zAEC (HL) 1 1 丄 BC =丄 AC,且 AC = 12 . 2 2 BD = 6 cm . (點評)三角形全等的判定是中考的熱點,一般以考查三角形全等的方法為
9、主,判定兩個 三角形全等,先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形, 然后再根據(jù)三角形全等的判定方法, 看缺什么條件,再去證什么條件 三角形角平分線的性質(zhì) 三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點,此點叫做三角形的內(nèi)心且這一點到三角形三 目. 邊的距離相等.0 又 TPM JOA,PNJOB OP 平分 ZAOB 三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點 這點叫做三角形的旁心三角形有三個旁心所以到三角形三邊所在直 線距離相等的點共有 4 個.如圖所示:ABC 的內(nèi)心為 R,旁心為 P2,P3, Pl,這四個點到 ABC 三邊所在直線距離相等. 角的平分線的性質(zhì)及判定 1、如圖,AD 是
10、ZBAC 的平分線,DE 山 B,交 AB 的延長線于點 E, DF1AC 于點 F,且 DB =DC.求證:BE = CF. (答案)證明:IDE 1AE , DF 1AC, AD 是 ZBAC 的平分線,DE = DF ,ZBED = ZDFC = 90 在 Rt DE 與 Rt CDF 中,DB=DC .RDE Rt CDF ( HL)BE = CF DE=DF 2、如圖,AC=DB,AC 與PBD 的面積相等.求證:OP 平分ZAOB . 1 SAPAC ACLPM , 2 PBD -BDLPN,且 SAPAC 2 -SA PBD A :.ACLPM = 0 又 TPM JOA,PNJ
11、OB OP 平分 ZAOB (答案與解析) 證明:作 PM JOA 于 M , PN JOB 于 N 又 VAC = BD /PM = PN (點評)觀察已知條件中提到的三角形厶 PAC 與BD,顯然與全等無關(guān),而面積相等、底邊 相等,于是自然想到可得兩三角形的高線相等,聯(lián)系到角平分線判定定理可得 跟三 角形的高結(jié)合的題目,有時候用面積會取得意想不到的效果 3、如圖,DC/AB,/BAD 和ZADC 的平分線相交于 E,過 E 的直線 分別交 DC、AB 于 C、B 兩點.求證:AD =AB + DC. (答案) 證明:在線段 AD 上取 AF = AB,連接 EF, AE 是/BAD 的角平
12、分線,二/1 = AF = AB AE = AE,A/ABE 也ZAFE,二啟=ZAFE 由 CD AB 又可得ZC+ZB= 180 ,/A/E + /C = 180 又 t/FE + ZAFE = 180 ,AC=ZDFE, DE 是 ZADC 的平分線,二/3 =Z4, 又 IDE = DE DE 也ZDE ,DF = DC, AD = DF + AF,/AD = AB + DC . 類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定 如圖,已知:AE 1AB,AD JAC,AB = AC,ZB = /C, 求證:BD = CE. (答案)證明:tAE JAB,AD JAC, /AB = /DAC = 90
13、/EAB + /DAE = ZDAC + /DAE ,即 /DAB = /EAC. DAB =/EAC 在 ZDAB 與 ZEAC 中, AB = AC AB 也ZAC (SAS ) .BD = CE. I y B C 類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形 (1).作公共邊可構(gòu)造全等三角形:A B 1、在4ABC 中,AB = AC.求證:/B = /C AB = AC (答案)證明:過點 A 作 AD JBC 在 Rt KBD 與 RtACD 中 一 AD = AD Rt 岔 BD 織 tACD (HL) / = /C. 倍長中線法: 1、已知:如圖所示,CE、CB 分別是AABC 與ADC 的
14、中線,且/ACB = ZABC . 求證:CD = 2CE . (答案)證明: 延長 CE 至 F 使 EF = CE,連接 BF . EC 為中線, AE = BE . AE = BE, 在AEC 與BEF 中,XAEC=NBEF,. AEC zBEF (SAS ). QE =EF, AC = BF,ZA=/FBE.(全等三角形對應(yīng)邊、角相等) 又 /ACB = ZABC,ZDBC = ZACB + ZA,ZFBC = ZABC + ZA. AC = AB,ZDBC = /FBC . AB = BF . 又 BC 為ADC 的中線, AB = BD .即 BF = BD . BF 二 BD,
15、 在ZCB 與DCB 中, FBC =/DBC, CB 也 zDCB (SAS ) . CF = CD .即 CD = 2CE . BC = BC, 2、若三角形的兩邊長分別為 5 和 7,則第三邊的中線長 x 的取值范圍是( ) A.1 x v 6 B.5 v x v 7 C.2 x v 12 D.無法確定 (答案)A ;提示:倍長中線構(gòu)造全等三角形,7-5 2x AC,求證:AB AC BD 證明:在 AB 上截取 AE = AC,連結(jié) DE AD 是/ABC 的角平分線,:zBAD = /CAD AE =AC 在/AED 與/ACD 中BAD =/CAD AD =AD ED 也/DC (
16、SAS) /DE = DC 在/BED 中,BE BD DC 即 AB AE BD DCAB AC BD DC (4) 在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段. 1、如圖所示,已知 E 為正方形 ABCD 的邊 CD 的中點,點 F 在 BC 上,且ZDAE = ZFAE . 求證:AF = AD + CF . (答案與解析)2、如圖所示,已知 ABC 中 AB AC, AD 是 ZBAC 的平分線,M 是 AD 上任意一點,求證: MB MC v AB AC (答案與解證明:TAB AC,則在 AB 上截取 AE = AC ,連接 ME .在MBE 中, MB ME v BE (三角形兩邊之
17、差小于第三邊). AC 二 AE(所作), 在AMC 和AME 中,匕CAM =NEAM (角平分線的定義), AM = AM (公共邊), kMC 也 ZAME (SAS ).二 MC = ME (全等三角形的對應(yīng)邊相等) 又 BE = AB AE,二 BE = AB AC ,二 MB MC v AB (點評)因為 AB AC ,所以可在 AB 上截取線段 AE = AC,這時 BE = AB AC ,如果連接 EM , 在BME 中,顯然有 MB ME v BE .這表明只要證明 ME = MC,則結(jié)論成立.充 分利用角平分線的對稱性,截長補短是關(guān)鍵 證明:作 ME 1AF 于 M,連接
18、EF . v 四邊形 ABCD 為正方形,二 zC = /D = ZEMA = 90 . 又 ZDAE = /FAE,二 AE 為/FAD 的平分線,二 ME = DE . 亠 人 一人 亠 AE=AE(公用邊), 在 Rt KME 與 Rt KDE 中, DE = ME(已證), RtKME 李 tADE(HL) . A AD = AM(全等三角形對應(yīng)邊相等). 又 v E 為 CD 中點,A DE = EC . A ME = EC . 亠- 亠 ME=CE(已證), 在 RtEMF 與 RtECF 中, 公田、 I EF = EF (公用邊), A Rt EMF 李 t ECF(HL) .
19、A MF = FC(全等三角形對應(yīng)邊相等). 由圖可知:AF = AM + MF,A AF = AD + FC(等量代換). (點評)與角平分線有關(guān)的輔助線: 在角兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形;在角的平 分線上取一點向角的兩邊作垂線段.四邊形 ABCD 為正方形, 則/D 二 90。 .而 ZDAE = /FAE說明 AE 為 ZFAD 的平分線,按常規(guī)過角平分線上的點作出到角兩邊的距離, 而 E 到 AD的距離已有,只需作 E 到 AF 的距離 EM 即可,由角平分線性質(zhì)可知 ME =DE .AE = AE .RtKME 與 RtADE 全等有 AD = AM .而題中要證 AF =
20、AD + CF.根 據(jù)圖知 AF = AM + MF .故只需證 MF = FC 即可.從而把證 AF = AD + CF 轉(zhuǎn)化為證 兩條線段相等的問題. 2、如圖所示,在 ABC 中,AC=BC,ZACB=90 ,D 是 AC 上一點, 1 且 AE 垂直 BD 的延長線于 E, AE BD,求證:BD 是ZABC 的平分線. 2 (答案與解析) 證明:延長 AE 和 BC,交于點 F, AC JBC,BE JAE,zADE= ZBDC (對頂角相等),A EAD+ ZADE= zCBD+ ZBDC .即 ZEAD= ZCBD . 厶d &CD二9(己知), AC = ZEAC =
21、ZCBD(已證), 所以 RtACF 李 tBCD (ASA). 則 AF=BD (全等三角形對應(yīng)邊相等) -AE BD,/AE AF 即 AE=EF . AE = EF(己證), Rt BEA 和 RtBEF 中,空厶 4 礎(chǔ)二FEB 二 9(己知), BS=BS(公共邊), 則 Rt BEA RtBEF (SAS). 所以 ZABE= ZFBE (全等三角形對應(yīng)角相等),即 BD 是 ZABC 的平分線. (點評)如果由題目已知無法直接得到三角形全等,不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的 條件,使問題得以解決.平時練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法 類型三、全等三角形動態(tài)型問題 解決動態(tài)幾何問題時要善于抓住以下幾點: (1) 變化前的結(jié)論及說理過程對變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用; (2) 圖形在變化過程中,哪些關(guān)系發(fā)生了變化,哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化;原來的線段 之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵; (3) 幾種變化圖形之間,證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系,都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程, 其結(jié)論有時變化,有時不發(fā)生變化 1、已知:在ABC 中,ZBAC = 90 ,AB = AC ,點 D 為射線 BC 上一動點,連結(jié) AD,以 AD 在 Rt KCF 和 RtBCD 在 Rt BEA 和 RtBEF 為一邊且在 AD 的右
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