奧數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)例題練習及答案

1、精心整理最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)(一)教學目標：1 通過學生對應用題的條件與問題的全面分析，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的意識。2 通過比較與辨析，使學生進一步理解和掌握最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)”應用題的解題規(guī)律。3 .培養(yǎng)學生的合作交流意識和創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的空間觀念與想像力。教學過程：一、基本概念知識1. 公約數(shù)和最大公約數(shù) 如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。 如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然 數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約 數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1, 2, 3, 4, 6, 1

2、2;18的約數(shù)有：1, 2, 3, 6, 9, 18。自然數(shù)a1,a2, ,an的最大公約數(shù)通常用符號(引?, ,an)表示，例如，12和18的公約數(shù)有：1, 2,3, 6.其中6是12和 18的最大公約數(shù)，記作(12, 18)=6。 (8, 12) =4, (6, 9, 15) =3。2. 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。 在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,18的倍數(shù)有：18, 36, 54, 72, 90,自然數(shù)a1，a

3、2， ，an的最小公倍數(shù)通常用符號a1，a2，弘表示，例如12和 18的公倍數(shù)有：36,72，. 其中36是 12和18的最小公倍數(shù)，記作12 , 18=36。8 , 12=24 , 6 , 9, 15=90。3.互質(zhì)數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。用短除法求若干個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別：求n個數(shù)的最大公約數(shù)：(1) 必須每次都用n個數(shù)的公約數(shù)去除；(2) 一直除到n個數(shù)的商互質(zhì)(但不一定兩兩互質(zhì))；(3) n個數(shù)的最大公約數(shù)即為短除式中所有除數(shù)的乘積。求n個數(shù)的最小公倍數(shù)：(1) 必須先用(如果有)n

4、個數(shù)的公約數(shù)去除，除到 n個數(shù)沒有除去1以外的公約數(shù)后，在用 n 1個數(shù) 的公約數(shù)去除，除到n 1個數(shù)沒有除1以外的公約數(shù)后，再用n 2個數(shù)的公約數(shù)去除，如此繼續(xù)下去，為保證這一條，每次所用的除數(shù)均可選質(zhì)數(shù)；（2） 只要有兩個數(shù)（被除數(shù)）能被同一數(shù)整除，就要繼續(xù)除，一定要除到n個數(shù)的商兩兩互質(zhì)為止；（3）n個數(shù)的最小公倍數(shù)即為短除式中，所有除數(shù)和最后兩兩互質(zhì)的商的乘積。例1用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240 克。現(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格 最低是多少元錢？分析與解：因為144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克

5、三級茶葉都是60元，分 裝后每袋的價格相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分 裝的袋數(shù)應相同，即分裝的袋數(shù)應是 144，180，240的公約數(shù)。題目要求每袋的價 格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應盡量多，應是144，180，240的最大公約數(shù)。是144,180，240的最大公約數(shù)。所以（144，180，240） =2X 2X 3=12即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最低是60+ 12=5（元）。例2用自然數(shù)a去除498, 450，414,得到相同的余數(shù)，a最大是多少？分析與解：因為498, 450，414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的 公約數(shù)應能被a整除。

6、498-450=48, 450-414=36, 498-414=84 所求數(shù)是（48, 36，84） =12。例3現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111,這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的 可以是多少？分析與解：只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求 最大公約數(shù)。只能從唯一的條件 它們的和是111T入手分析。三個數(shù)的和是1111, 它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因為1111=101X11它的約數(shù)只能是1, 11, 101 和1111，由于三個自然數(shù)的和是1111,所以三個自然數(shù)都小于1111, 1111不可能 是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個數(shù)為101,

7、101和909。所以 所求數(shù)是101。例4在一個30X 24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點外，共經(jīng)過多少個格點（橫線與豎線的交叉點）？分析與解：（30, 24） =6，說明如果將方格紙橫、豎都分成 6份，即分成6X6個 相同的矩形，那么每個矩形是由（306 X （246 =5X4（個）小方格組成。在6X66勺簡化圖中，對角線也是它所經(jīng)過的每一個矩形的對角線， 所以經(jīng)過5個格點（見左下圖）。在對角線所經(jīng)過的每一個矩形的5X4個小方格中,對角線不經(jīng)過任何格點（見右下圖）。所以，對角線共經(jīng)過格點（30, 24） -1=5 （個）例5甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別

8、需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因為要在起點相會， 即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時間應是 60，75, 90的公倍數(shù)。所求時間為60， 75, 90=900 （秒）=15 （分）。例6爺爺對小明說：我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爺爺和小明現(xiàn)在的年齡嗎？分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化，但他們的年齡差是保 持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的 7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理， 他們的年齡差也是5,

9、4, 3, 2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是 6, 5, 4, 3, 2的公倍數(shù)。6, 5, 4, 3, 2=60, 爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實際情況，爺爺與小明的年齡差 應是60歲。所以現(xiàn)在 小明的年齡=60-（7-1） =10 （歲），爺爺?shù)哪挲g=10X 7=70（歲）。二、隨堂練習1. 甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是5冬甲數(shù)是多少？ 乙數(shù)是多少？2. 塊長方形地面，長120米，寬甜米，委在它的四周和匹角腫樹，每兩 棵之間的距離村等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少氷？3. 己知兩個自然數(shù)的積是5M&,它們的最大公約數(shù)是亂求

10、這兩個自然久兄弟三人在外工作，大哥&天回菇一次，二哥呂天回家一次，小弟12天回 家一次.兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？5將長鬲分）It寬羽分氷，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能 大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體枳是多少？ 一共可鋸多少塊？6箱地雷，每個地雷的重量相同，且都是超過1的整千克數(shù)，去掉箱子 后地雷壽重23千克，拿出若干個地雷后浄重1茅千克求一個地雷的重量7最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二） 摘要：這一講主要講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對最大公約數(shù)與最小公倍 數(shù)的概念加以推廣。在求18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時，由短除法可知，(18

11、, 12) =2X3=6, 18, 12=2X 3X 3X2=36。如果把 18與 12 的最大 公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么(18, 12)X 18, 12=(2X3)x( 2X3X 3X 2)=(2x3x 3)x( 2x 3x 2) =18x 12。也就是說，18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當把18, 12換成其它自然數(shù)時，依然有類似的結(jié)論。從而得出一個重要結(jié)論： 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個自然數(shù)的乘積。即，(a, b)x a, b=ax b。例1兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6,最小公倍數(shù)是72。已知其中一個自然數(shù)是18, 求另一個自然

12、數(shù)。解：由上面的結(jié)論，另一個自然數(shù)是(6X 72)- 18=24。例2兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是 乙最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77, 求這兩個自然數(shù)。分析與解：如果將兩個自然數(shù)都除以 乙則原題變?yōu)椋骸皟蓚€自然數(shù)的最大公約數(shù)是1,最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11,求這兩個自然數(shù)?！备淖円院蟮膬蓚€數(shù)的乘積是1X 30=30,和是11。30=1 x 30=2x 15=3x 10=5x 6,由上式知，兩個因數(shù)的和是11的只有5X 6,且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個數(shù)是5和6,故原來的兩個自然數(shù)是7x5=35和 7X6=42。例3已知a與b, a與c的最大公約數(shù)分別是12和15, a,

13、 b, c的最小公倍數(shù)是120,求 a, b, c。分析與解：因為12,15都是a的約數(shù)，所以a應當是12與15的公倍數(shù)，即是12,15=60的倍數(shù)。再由a，b，c=120知，a只能是60或120。a，c=15，說明c 沒有質(zhì)因數(shù)2,又因為a, b, c=120=23 x 3,所以c=15。因為a是c的倍數(shù)，所以求a, b的問題可以簡化為：“ a是60或120,( a, b)=12, a, b=120,求 a, b?！?當 a=60時， b= (a, b)x a, b-a=12x 120-60=24;當 a=120 時，b= (a, b)x a, b -a1=12 x 120 例4有甲'

14、; 乙 丙三刊溶液，分別重4土千總 哥千克和頤千克。現(xiàn)120=12。所以 a,b,c為60, 24, 15或120, 12, 15。要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個小瓶裝入 液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量 的最大公約數(shù)?，F(xiàn)在的問題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個問題，可以 將重量分別乘以某個數(shù)，將分數(shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個數(shù)。為此， 先求幾個分母的最小公倍數(shù)，6, 4, 9=36,三種溶液的重量都乘以36后，變?yōu)?150, 135 和 80,( 150, 135, 80) =5。上式說明，若三種溶液分

15、別重150, 135, 80千克，則每瓶最多裝5千克。可實際重量是150, 135, 80的1/36，所以每瓶最多裝在例4中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分數(shù)問題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分數(shù)中。如果若干個分數(shù)(含整數(shù))都是某個分數(shù)的整數(shù)倍，那 么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱 為這若干個分數(shù)的最大公約數(shù)。由例4的解答，得到求一組分數(shù)的最大公約數(shù)的方法：(1) 先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；（2）求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù) a;（3）求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù) b;（4）b即為所求。a例5求55，25，6-的最大公約數(shù)。689類似地，我們也可

16、以將最小公倍數(shù)的概念推廣到分數(shù)中。如果某個分數(shù)（或整數(shù)）同時是若干個分數(shù)（含整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最小公倍數(shù)。求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：（1）先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；（2）求出各個分數(shù)的分子的最小公倍數(shù) a；（3）求出各個分數(shù)的分母的最大公約數(shù) b；一個陷井。它們之中誰先掉進陷井？它掉進陷井時另一個跳了多遠？同理，黃鼠狼掉進陷井時與起點的距離為所以黃鼠狼掉進陷井時跳了 311/2 + 63/10=5 （次）。黃鼠狼先掉進陷井，它掉進陷井時，狐貍跳了專題練習1將72和120的乘積寫成它們的最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。2兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是12,最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組？3求下列各組分數(shù)的最大公約數(shù)：4求下列各組分數(shù)的最小公倍數(shù)：部分別裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：最少要裝多少瓶？于同一處只有一次，求圓形綠地的周長。L甲數(shù)是1乩乙數(shù)是飆