第04章聚合物熔體流動(dòng)3-2013

1、4.3 聚合物加工計(jì)算應(yīng)用的張量知識(shí)聚合物加工計(jì)算應(yīng)用的張量知識(shí) 介紹聚合物熔體流動(dòng)分析常用的張量概念及基本運(yùn)算介紹聚合物熔體流動(dòng)分析常用的張量概念及基本運(yùn)算 例如固體中的例如固體中的應(yīng)變張量應(yīng)變張量、流體中的、流體中的應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量。 選定測(cè)量單位之后，僅用數(shù)值大小就能說(shuō)明其性質(zhì)的物理量稱為選定測(cè)量單位之后，僅用數(shù)值大小就能說(shuō)明其性質(zhì)的物理量稱為標(biāo)量標(biāo)量。如溫度、密度、流體中的壓強(qiáng)、導(dǎo)熱率、能量等。如溫度、密度、流體中的壓強(qiáng)、導(dǎo)熱率、能量等。 除大小外還要有方向才能確定的物理量稱為除大小外還要有方向才能確定的物理量稱為向量向量, ,用用三個(gè)標(biāo)量三個(gè)標(biāo)量（分（分量）來(lái)描述量）來(lái)描述,

2、 , 例如速度、加速度、力等。例如速度、加速度、力等。 應(yīng)力是應(yīng)力是隨作用面的方位不同而改變隨作用面的方位不同而改變其其大小和方向大小和方向的，不能用過(guò)的，不能用過(guò)該點(diǎn)的一個(gè)固定應(yīng)力來(lái)描述應(yīng)力狀態(tài)。該點(diǎn)的一個(gè)固定應(yīng)力來(lái)描述應(yīng)力狀態(tài)。 只需知道只需知道三個(gè)相互垂直面上的應(yīng)力三個(gè)相互垂直面上的應(yīng)力描述。應(yīng)力描述。應(yīng)力由三個(gè)向量由三個(gè)向量來(lái)確來(lái)確定的，把在定的，把在一點(diǎn)處一點(diǎn)處不同方向具有不同值的物理量不同方向具有不同值的物理量稱為稱為張量張量。 (1) (1) 標(biāo)量、向量（矢量）和張量標(biāo)量、向量（矢量）和張量一、張量的概念及應(yīng)力張量一、張量的概念及應(yīng)力張量 張量物理張量物理定義：一點(diǎn)處不同方向面上

3、具有定義：一點(diǎn)處不同方向面上具有不同矢量值不同矢量值的的物理量物理量。 張量數(shù)學(xué)張量數(shù)學(xué)定義：在笛卡兒坐標(biāo)系上一組有定義：在笛卡兒坐標(biāo)系上一組有3 3n n個(gè)有序個(gè)有序矢量的集合矢量的集合。 1 1 每個(gè)每個(gè)向量向量可以分解為可以分解為三個(gè)分量三個(gè)分量， 應(yīng)力張量有應(yīng)力張量有九個(gè)分量九個(gè)分量，或者說(shuō)決定應(yīng)力張量要用九個(gè)分量。，或者說(shuō)決定應(yīng)力張量要用九個(gè)分量。 圖圖3-1 3-1 應(yīng)力張量示意圖應(yīng)力張量示意圖 (4.3-1 ) 111213212223313233ij應(yīng)力應(yīng)力稱為稱為二階二階張量：張量：應(yīng)力張量的應(yīng)力張量的分量總數(shù)分量總數(shù)是是3 32 2，指數(shù)是指數(shù)是2 2，故稱為，故稱為二階二

4、階張量。張量。張量觀點(diǎn)看，張量觀點(diǎn)看，標(biāo)量標(biāo)量稱為稱為零階零階張量，張量，向量向量稱為稱為一階一階張量，張量，3 30 03 31 13 32 2分量數(shù)分量數(shù)2 xxxyxzyxyyyzzxzyzzrrrrzrzzrzzz (4.3-2)(4.3-2) 柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系、z z應(yīng)力張量的矩陣形式為：應(yīng)力張量的矩陣形式為： 在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系x x、y y、z z和中，應(yīng)力張量的矩陣形式為：和中，應(yīng)力張量的矩陣形式為： 應(yīng)力張量應(yīng)力張量矩陣矩陣?yán)锔鲬?yīng)力里各應(yīng)力分量描述分量描述：第第一一個(gè)個(gè)下標(biāo)下標(biāo)表示應(yīng)力分量表示應(yīng)力分量作用面作用面的的法線方向；法線方向；第第二二個(gè)個(gè)下標(biāo)下標(biāo)表示表示應(yīng)力分

5、量應(yīng)力分量的的方向。方向。主對(duì)角線主對(duì)角線上應(yīng)力分量上應(yīng)力分量下標(biāo)相同下標(biāo)相同， (4.3-3)(4.3-3) 應(yīng)力分量應(yīng)力分量 剪應(yīng)力互等定理，在非主對(duì)角線上應(yīng)力分量是剪應(yīng)力互等定理，在非主對(duì)角線上應(yīng)力分量是對(duì)稱于對(duì)對(duì)稱于對(duì)角線角線的，因此應(yīng)力張量是的，因此應(yīng)力張量是對(duì)稱張量對(duì)稱張量。分別表示分別表示垂直作用于垂直作用于三個(gè)主平面上，即是三個(gè)主平面上，即是法向力法向力。3 ijkxyz 算子是具有算子是具有矢量矢量和和微分微分雙重性質(zhì)的符號(hào)，即矢量和微分，雙重性質(zhì)的符號(hào)，即矢量和微分，所以它既服從所以它既服從矢量運(yùn)算矢量運(yùn)算法則也要按法則也要按微分運(yùn)算微分運(yùn)算法則法則以下以常用的幾個(gè)物理量說(shuō)

6、明算子的應(yīng)用。以下以常用的幾個(gè)物理量說(shuō)明算子的應(yīng)用。 （2 2）哈密爾頓算子（）哈密爾頓算子（Hamilton operatorHamilton operator）哈密爾頓算子是一個(gè)具有哈密爾頓算子是一個(gè)具有微分微分和和矢量矢量雙重運(yùn)算的雙重運(yùn)算的算子算子。哈密爾頓。哈密爾頓算子在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：算子在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：4 流動(dòng)與變形的材料在空間中流動(dòng)與變形的材料在空間中每一點(diǎn)每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著，都對(duì)應(yīng)著物理量物理量的一個(gè)的一個(gè)確確定值定值。對(duì)于這些標(biāo)量和矢量確定的空間，即為標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)。對(duì)于這些標(biāo)量和矢量確定的空間，即為標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)。 梯度（梯度（GradientGradie

7、nt）是矢量。這個(gè)矢量的方向?yàn)樵摌?biāo)量）是矢量。這個(gè)矢量的方向?yàn)樵摌?biāo)量變化最大變化最大的方向的方向，大小為這個(gè)，大小為這個(gè)最大變化率最大變化率的數(shù)值。的數(shù)值。gradijkxyz gradijkxyz (4.3-4)場(chǎng)場(chǎng)：直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 a . . 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度記為記為gradj它是溫度、密度、濃度等標(biāo)量場(chǎng)它是溫度、密度、濃度等標(biāo)量場(chǎng)不均勻程度不均勻程度的度量。的度量。j為標(biāo)量為標(biāo)量5 u vv u 123123u vu iu ju kv iv jv k 1niiiu vCCC為常數(shù)1212 121221 FF1 1223 3u vu vu v=+（角標(biāo)相同分量乘積的和）（角標(biāo)

8、相同分量乘積的和）兩個(gè)矢量?jī)蓚€(gè)矢量的的點(diǎn)乘積點(diǎn)乘積定義為一個(gè)定義為一個(gè)標(biāo)量標(biāo)量梯度的運(yùn)算法則有梯度的運(yùn)算法則有矢量的矢量的運(yùn)算運(yùn)算6 b. b. 矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度 123vv iv jv k=+ 散度散度(Divergence)(Divergence)為矢量場(chǎng)中任意一點(diǎn)通過(guò)所為矢量場(chǎng)中任意一點(diǎn)通過(guò)所包圍界面的通量包圍界面的通量，并并除以此微元體積除以此微元體積。記為。記為div vdiv v，它是，它是標(biāo)量標(biāo)量。在直角坐標(biāo)系中，。在直角坐標(biāo)系中，若若312vvvvdivvxyz 散度的基本運(yùn)算法則為散度的基本運(yùn)算法則為 uvuv vvv 對(duì)于對(duì)于速度場(chǎng)散度速度場(chǎng)散度div v=0div

9、 v=0，稱為，稱為無(wú)無(wú)源場(chǎng)源場(chǎng)，具有不可壓縮特性。常用，具有不可壓縮特性。常用 iivvxivijivvx（4.3-54.3-5）是速度梯度，常表述為：是速度梯度，常表述為： 7 c c矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的旋度旋度 旋度（旋度（CurlCurl）為）為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)中中 任意一點(diǎn)，在任一方向上的任意一點(diǎn)，在任一方向上的環(huán)環(huán)量密度量密度。旋度是個(gè)。旋度是個(gè)矢量矢量。它的。它的方向方向是是環(huán)量面環(huán)量面密度最大的方向密度最大的方向，其大小即為這個(gè)其大小即為這個(gè)最大面密度的值最大面密度的值。xyzyyxxzzijkrotvxyzvvvvvvvvvijkyzzxxyv v式中式中“”表示叉乘表示叉乘 （4.

10、3-64.3-6） 兩個(gè)矢量?jī)蓚€(gè)矢量u u和和v v的叉乘為一矢量的叉乘為一矢量w w，其大小數(shù)值為其大小數(shù)值為uvsinuvsin（為為u u和和v v的夾角），的夾角），其方向垂直其方向垂直u u和和v v兩個(gè)矢量形成的平面，兩個(gè)矢量形成的平面，u u 、v v和和w w形成一個(gè)右形成一個(gè)右手系統(tǒng)。手系統(tǒng)。記為記為rotrotv或或CurlCurl在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中v8旋度的基本運(yùn)算法則為旋度的基本運(yùn)算法則為 vuvu vvv 9 d d 拉普拉斯算子拉普拉斯算子2222222xyz 稱為拉普拉斯稱為拉普拉斯（laplacelaplace）算子）算子222222222222xyz

11、xyz（4.3-74.3-7）10 a. a.單位張量單位張量單位張量的表達(dá)式單位張量的表達(dá)式 100010001ijijd稱為稱為克郎內(nèi)克克郎內(nèi)克（KranecherKranecher）符號(hào)，定義為）符號(hào)，定義為 10ijijij當(dāng)當(dāng)b.對(duì)稱張量對(duì)稱張量 二階張量的下標(biāo)二階張量的下標(biāo)i i與與j j互換互換后所代表的分量不變，稱為二后所代表的分量不變，稱為二階階對(duì)稱張量對(duì)稱張量。ijji 對(duì)稱張量矩陣形式中各元對(duì)稱張量矩陣形式中各元素關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱。因而只有素關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱。因而只有6 6個(gè)獨(dú)立元素個(gè)獨(dú)立元素。 111213111213212223222331323333ij（3 3）常用特

12、殊張量單位張量）常用特殊張量單位張量（4.3-84.3-8）（4.3-94.3-9）11 c.反對(duì)稱張量反對(duì)稱張量二階反對(duì)稱張量分量滿足二階反對(duì)稱張量分量滿足 ijjipp 對(duì)角線各元素為零對(duì)角線各元素為零，只有，只有3 3個(gè)獨(dú)立分量個(gè)獨(dú)立分量 121312231323000ijppppppp 任意一個(gè)二階張量都可唯一地分解為任意一個(gè)二階張量都可唯一地分解為一個(gè)二階一個(gè)二階對(duì)稱張量對(duì)稱張量和一個(gè)二階和一個(gè)二階反對(duì)稱張量反對(duì)稱張量之和。之和。 （4.3-104.3-10）12二、并矢與應(yīng)變速率張量二、并矢與應(yīng)變速率張量 向量向量u u（u u1 1，u u2 2，u u3 3），），v v（v

13、v1 1、v v2 2、v v3 3），將它們按如下的），將它們按如下的形式排成一個(gè)數(shù)組，記作形式排成一個(gè)數(shù)組，記作1 11 21 32 12 22 33 13 23 3u vu vu vUVu vu vu vu vu vu v 則稱為則稱為并矢并矢。并矢也可理解為并矢也可理解為向量的梯度向量的梯度，（4.3-114.3-11）在向量的三個(gè)分量方向上，每個(gè)分量可能按一至三個(gè)方向在向量的三個(gè)分量方向上，每個(gè)分量可能按一至三個(gè)方向變化變化，向量的梯度有九個(gè)可能的分量。向量的梯度有九個(gè)可能的分量。每個(gè)分量都具有一個(gè)模和每個(gè)分量都具有一個(gè)模和 兩個(gè)方向：兩個(gè)方向：一個(gè)方向與一個(gè)方向與向量本身重合向量本

14、身重合的方向，另一個(gè)是它的方向，另一個(gè)是它變化變化的方向。的方向。dVdS速度的向量梯度速度的向量梯度13/dV dS可以寫(xiě)為：可以寫(xiě)為：111123222123333123VVVxxxVVVdV dSxxxVVVxxx引入微分算符引入微分算符，如前述它在直角坐標(biāo)系中定義為：，如前述它在直角坐標(biāo)系中定義為： ijkxyz dVVdS速度的向量梯度用微分算符速度的向量梯度用微分算符與與速度速度 兩個(gè)向量的兩個(gè)向量的并矢并矢來(lái)表示來(lái)表示 （4.3-124.3-12）V14 并矢張量可以分解為并矢張量可以分解為對(duì)稱張量對(duì)稱張量與與反對(duì)稱張量之和反對(duì)稱張量之和。第第二二項(xiàng)是項(xiàng)是反對(duì)稱張量反對(duì)稱張量，它

15、表示微元體它表示微元體角轉(zhuǎn)動(dòng)速率角轉(zhuǎn)動(dòng)速率。 第第一一項(xiàng)是項(xiàng)是對(duì)稱張量對(duì)稱張量，稱為稱為應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量，它表示微元體的它表示微元體的應(yīng)變速率應(yīng)變速率；112211221122yxxxzyyyxzyxzzzVVVVVxyxzxVVVVVVyxyzyVVVVVzxzyz110221102211022yxxzyyxzyxzzVVVVyxzxVVVVyxzyVVVVzxzy1122式中式中:（4.3-13）15 它們的分量的幾何它們的分量的幾何解釋解釋舉例說(shuō)明舉例說(shuō)明 0 xVx（a a）拉伸應(yīng)變速率拉伸應(yīng)變速率 yxVVyxyxVVyx （b b）角應(yīng)變速率角應(yīng)變速率（/2/2） （c c

16、）角轉(zhuǎn)動(dòng)速率角轉(zhuǎn)動(dòng)速率 圖中應(yīng)變速率張量分量的圖中應(yīng)變速率張量分量的幾何解釋幾何解釋 xVx表示微元沿表示微元沿x x軸方向的拉軸方向的拉( (或壓或壓) )應(yīng)變速率應(yīng)變速率;yxVVyx表示微元體垂直于表示微元體垂直于z z軸的表面的軸的表面的角應(yīng)變速率角應(yīng)變速率,從從/2/2變到變到角的速率角的速率;yxVVyx 表示微元體的垂直于表示微元體的垂直于z z軸的表面的軸的表面的角轉(zhuǎn)動(dòng)速率角轉(zhuǎn)動(dòng)速率。 0 xVx12-12-11在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系x x、y y、z z中中222yxxxzyyzzVVVVVxyxzxVVVyzyVz對(duì)稱000yxxzyyxzyxzzVVVVyxzxVVVV

17、yxzyVVVVzxzy在在柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系r r、z z中，應(yīng)變速率張量為：中，應(yīng)變速率張量為：222111rrrzrzzVVVVVrrrrrzrVVVVrrzrVz 對(duì)稱角轉(zhuǎn)動(dòng)速率張量為角轉(zhuǎn)動(dòng)速率張量為 應(yīng)變速率張量為應(yīng)變速率張量為 17 三、張量的代數(shù)運(yùn)算三、張量的代數(shù)運(yùn)算1.張量的加減張量的加減兩張量的加減就是兩張量的對(duì)應(yīng)兩張量的加減就是兩張量的對(duì)應(yīng)分量相加減分量相加減。2.2.張量與標(biāo)量相乘張量與標(biāo)量相乘張量張量Aij與標(biāo)量與標(biāo)量相乘是把張量的相乘是把張量的每個(gè)分量每個(gè)分量Aij都都乘乘以這個(gè)標(biāo)量以這個(gè)標(biāo)量 ，其積是一個(gè)新的張量。其積是一個(gè)新的張量。ijijijTAB（張量數(shù)乘，張量

18、放大）（張量數(shù)乘，張量放大）ijijBA根據(jù)張量運(yùn)算法則，根據(jù)張量運(yùn)算法則，聚合物流變學(xué)常用聚合物流變學(xué)常用一種變換一種變換0000000200003300000000033000000033ij0020001033001ij(4.3-14)(4.3-15)183.3.兩張量的張量積（兩張量的張量積（單點(diǎn)積單點(diǎn)積）張量張量A A和張量和張量B B的張量積，乘積的張量積，乘積T T是一個(gè)新的張量記為：是一個(gè)新的張量記為：T=AT=AB B單點(diǎn)積乘法運(yùn)算服從單點(diǎn)積乘法運(yùn)算服從矩陣矩陣的乘法運(yùn)算法則的乘法運(yùn)算法則，即有，即有 張量張量T T的分量：它的第的分量：它的第i i行、第行、第j j 列上的

19、分量是張量列上的分量是張量A A的第的第i i行的行的各分量分別與張量各分量分別與張量B B 的第的第j j 列上各對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。列上各對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。1 1221kijilljijijikkjita ba ba ba bijikkjTAB（4.3-164.3-16）mllnmn=.19 4. 4. 兩張量的標(biāo)量積兩張量的標(biāo)量積( (雙點(diǎn)積雙點(diǎn)積) ) 張量張量P P與張量與張量Q Q的標(biāo)量積（雙點(diǎn)積）記為的標(biāo)量積（雙點(diǎn)積）記為P P：Q Q，是一個(gè)，是一個(gè)標(biāo)標(biāo)量量。該標(biāo)量是兩個(gè)張量的。該標(biāo)量是兩個(gè)張量的單點(diǎn)積相乘單點(diǎn)積相乘所得的所得的新張量新張量T T的的主對(duì)角主對(duì)角線上線上的的各

20、個(gè)分量代數(shù)之和各個(gè)分量代數(shù)之和。 兩張量的標(biāo)量積在聚合物加工原理中應(yīng)用，例如應(yīng)力張量?jī)蓮埩康臉?biāo)量積在聚合物加工原理中應(yīng)用，例如應(yīng)力張量與速度梯度與速度梯度 的雙點(diǎn)積，的雙點(diǎn)積， 兩兩應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量的雙點(diǎn)積的雙點(diǎn)積 的乘積按上述運(yùn)算的結(jié)果是的乘積按上述運(yùn)算的結(jié)果是: : 張量張量 主對(duì)角線上各分量主對(duì)角線上各分量的的平方和平方和再加再加非主對(duì)角線三個(gè)分量非主對(duì)角線三個(gè)分量的平方和的平方和的的兩倍兩倍，即即222222112233122313:2 (4.3-17)(4.3-17)V：: 20 在直角坐標(biāo)系中表示為在直角坐標(biāo)系中表示為:222222:42yxzyyxxzzVVVxyzVVVVVVyxzyxz 5.5.向量與張量相乘向量與張量相乘向量與張量按向量與張量按單點(diǎn)積相乘單點(diǎn)積相乘，左乘記為左乘記為 （向量在左），（向量在左），右乘記為右乘記為（向量在右）（向量在右）得到另一個(gè)新的向量。得到另一個(gè)新的向量。,xxxyxzyxyyyzzxzyzzyxxyyyzyyzxxzxxzzzxyzxyzxyzxyz (4.3-18)例如：例如：21 四、應(yīng)力張量與應(yīng)變速率張量不變量四、應(yīng)力張量與應(yīng)變速率張量不變量 凡在凡在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換下不改變其量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換下不改變其量的的量量稱為稱為不變量不變量。張量不變量是什么呢？張量不變量是什么呢？ 應(yīng)力