高三數(shù)學(xué)試題

1、一.填空題：1. 假設(shè)某10張獎(jiǎng)券中有1張，獎(jiǎng)品價(jià)值100元，有二等獎(jiǎng)3張，每份獎(jiǎng)品價(jià)值50元；其余 6張沒有獎(jiǎng).現(xiàn)從這10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，獲得獎(jiǎng)品的總價(jià)值 不少于其數(shù)學(xué)期望E的概率為.2.對(duì)任意的x ,0 U 0,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為.,y1,1 ，不等式x2 $ 2xy £ 7 a 0恒成立,xx3. 在xOy平面上，將兩個(gè)半圓弧(x 1)2 y21(x1)和(x 3)2 y2 1(x 3)、兩條直線y 1和y 1圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影局部.記 D繞y軸 旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為 ，過(0,y)(|y| 1)作 的水平截面，所得截面面積為4 .1 y2 8，試?yán)?/p>

2、祖暅原理、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出的體積值為。4. y f(x)是定義在？上的增函數(shù)，且y f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(6,0)對(duì)稱.假設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足不等式f (x2 6x) f (y2 8y 36) 0 ,那么x2 y2的取值范圍.5. 一玻璃杯杯口直徑6cm杯深8cm.如下圖，其軸截面截杯壁所得曲線是拋物線的一 局部,一個(gè)玻璃小球放入玻璃杯中，假設(shè)小球能夠碰到杯底，求小球半徑的范圍(不記玻璃杯的 玻璃厚度).二.選擇題：6.O是ABC外接圓的圓心,A, B, C為ABC的內(nèi)角,假設(shè)0SB AB 0SC AC 2m AO ,那么msin Csin B的值為答B(yǎng). sin A C. co

3、sA D. tanA7.點(diǎn)列A an,bn n N均為函數(shù)y ax a 0,a 1的圖像上，點(diǎn)列Bn n,0滿足AnBnAnBn !，假設(shè)數(shù)列bn中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊，那么a的取值范圍為()(A)0,3 U AJ22(O 0亠U亠22(B)5 1,1 U 1, 5 1223 1 ,厲1(D)2U1, 28.過圓 C：x 1)2(y 1)2 1的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，AOB被圓分成四局部(如圖)()(A)0 條(B) 三解答題：9.直線y，假設(shè)這四局部圖形面積滿足S S¥ S S,那么直線1條(C) 2條(D) 3條22x是雙曲線C :ab21的一條漸近

4、線，點(diǎn)AB有A 1,0 ,M m,n n 0都在雙曲線C上，直線AM與 y軸相交于點(diǎn)P,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O.(1) 設(shè)點(diǎn)M關(guān)于y軸相交的對(duì)稱點(diǎn)為N,直線AN與 y軸相交于點(diǎn)Q,問：在x軸上是否存在定點(diǎn)T,使得TP(2)假設(shè)過點(diǎn)D 0,2TQ?假設(shè)存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由muRS，試求直線I的方uuu uuu的直線l與雙曲線C交于R,S兩點(diǎn)，且OR OS程.2 r10.雙曲線C： y21,設(shè)過點(diǎn)A( 3. 2,0)的直線I的方向向量為e (1,k).2(1) 當(dāng)直線I與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí),求直線I的方程及I與m的距離; 證明：當(dāng)k 時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q使之到

5、直線I的距離為V6 .211. 集合M是滿足以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)k，對(duì)定義域中的任意x，等式f (kx) = k + f (x)恒成立.2(1) 判斷一次函數(shù)f(x) = ax+ b(a0)是否屬于集合 M(2) 證明函數(shù)f (x) = Iog2 x屬于集合M,并找出一個(gè)常數(shù)k;(3) 函數(shù)f (x) = logax(a> 1)與y = x的圖象有公共點(diǎn)，證明f (x) = Ioga x M.12. 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是定義在集合M上的函數(shù),對(duì)于任意的x M，都有f(g(x) g(f (x)成立，稱函數(shù)f (x)與g(x)在M上互為“ H函數(shù).(1) 函數(shù)f

6、 (x) 2x與g(x) sin x在M上互為“ H函數(shù)，求集合M ；(2) 假設(shè)函數(shù)f(x) ax( a 0且a 1)與g(x) x 1在集合M上互為“ H函數(shù), 求證：a 1 ；(3) 函數(shù)f(x) x 2與g(x)在集合M x|x 1且x 2k 3，k N*上互為“ H函數(shù)，當(dāng)0 x 1時(shí)，g(x) Iog2(x 1)，且g(x)在(1,1)上是偶函數(shù),求函數(shù)g(x) 在集合M上的解析式.213. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且 & 1anSn n N .(1) 求出S1,S2,S3的值，并求出Sn及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n 1(2) 設(shè)bn1an4 1 n N ，求數(shù)列bn的前n

7、項(xiàng)和Tn ；(3) 設(shè)Cnn 1 an nN ，在數(shù)列Cn中取出m m N且m 3項(xiàng)，按照原來的順序排列成一列，構(gòu)成等比數(shù)列dn，假設(shè)對(duì)任意的數(shù)列dn，均有d1 d2 L dn M，試求M的最小值.14. 數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn，滿足(p 1)Sn p2 an ( n N* )， 其中p為正常數(shù)，且p 1 .(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n M時(shí)，印a。a? a3n 2 a?8恒成立？假設(shè)存在， 求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；1(3) 假設(shè)p 2，設(shè)數(shù)列bn對(duì)任意n N*，都有bn b?an 1 bs

8、a. 2bn念bna1 2n n 1,問數(shù)列bn是不是等差數(shù)列？假設(shè)是，請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式；假設(shè)不是，請(qǐng)2說明理由.15. 拋物線C : y2 2px(p 0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5。(1) 求拋物線的方程。(2) 設(shè)直線y kx b(k 0)與拋物線交于兩點(diǎn)A(xyj, B(x?, y?)，且|如y2 | a(a 0)，M是弦AB的中點(diǎn)，過M做平行于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)D，得到 ABD ;在分別過弦AD,BD的中點(diǎn)作平行于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)E,F，得到三角形 ADE, BDF ;按此方 法繼續(xù)下去。解決如下問題:求證：a216(1 2kb);計(jì)算 ABD的面積S abd ;根

9、據(jù) ABD的面積的計(jì)算結(jié)果，寫k2出ADE, BDF的面積；請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種求拋物線 C與線段AB所圍成封閉圖形面積的方法，并求出封閉圖形的面積獎(jiǎng)3張，每份獎(jiǎng)品價(jià)值50元；其余 的總價(jià)值6xxy - 1 y2 a 0 恒成 x不少于其數(shù)學(xué)期望E的1. 假設(shè)某10張獎(jiǎng)券中有1張，獎(jiǎng)品價(jià)值100元，有二等 6張沒有獎(jiǎng).現(xiàn)從這10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，獲得獎(jiǎng)品2概率為-.32. 對(duì)任意的x,0 U 0, ,y 1,1，不等式立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,8 4血.3. 在xOy平面上，將兩個(gè)半圓弧(x 1)2 y21(x1)和(x 3)2 y2 1(x 3)、兩條直線y 1和y 1圍 成的封閉圖形記為D,

10、如圖中陰影局部記 D繞y軸 旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過(0,y)(|y| 1)作 的 水平截面，所得截面面積為4 ,1 y2 8，試?yán)米鏁溤?、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出的體積值為。4. y f(x)是定義在？上的增函數(shù)，且y f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(6,0)對(duì)稱.假設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足不等式f (x2 6x) f(y2 8y 36) 0,那么x2 y2的取值范圍.解：由對(duì)稱性可知f (6) 0,由單調(diào)性可知 x 6時(shí)，f(x) 0; x 6時(shí)，f(x) 0;由 y28y36(y 4)220 6,那么 x26x6 ,結(jié)合草圖可知 y2 8y 36到6的距離不超過比 x2 6x到6的距離,即

11、 y28y3666 (x26x),整理得x2y26x 8y 240 (x 3)2 (y 4)21 ,其幾何意義是以(3,4)為圓心,1為半徑的圓(及其內(nèi)部),而x2 y2即為該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，結(jié)合圖形可知，故其取值范圍為16,36.5. 一玻璃杯杯口直徑6cm杯深8cm.如下圖，其軸截面截杯壁所得曲線是拋物線的一 局部,一個(gè)玻璃小球放入玻璃杯中，假設(shè)小球能夠碰到杯底，求小球半徑的范圍(不記玻璃杯的 玻璃厚度).解：如圖建系，拋物線方程為拋物線y8xx 3,3,9小圓與拋物線的接觸點(diǎn)即為拋物線上到圓心C距離最短的點(diǎn)由小球能碰到杯底，那么有I CO I |CP|,設(shè)P(X, y)(x 3

12、,3)在拋物線上,設(shè)小球的半徑為r,那么圓心的坐標(biāo)為 C(0, r),|CP| Jx2 (y r)2 Jy2(9 2r)y r2, y 0,3,1 Q由 ICPImin ICO I,即當(dāng) y 0 時(shí),|CP|最小，故(2r)0,2 8所以 r (0,-.16選擇題：6.O是ABC外接圓的圓心,A, B, C為ABC的內(nèi)角,假設(shè)0SB AB 0SC AC 2m AO ,那么msin Csin B的值為答B(yǎng)B. sin A C. cosA D. tanA解：不妨設(shè)外接圓的半徑為 1,如圖建立直角坐標(biāo)系，那么有 AOB 2C, AOC 2B ,故可設(shè) B(cos2C,sin2C),C(cos(2 n

13、 2B),sin(2 n 2B),結(jié)合誘導(dǎo)公式得 C(cos2 B, sin 2 B),uumiur貝y AB (cos2C 1,sin2C), AC (cos2B.cosB LurcosC畔u氏由ABAC2mAO,sin Csin Bcos BcosC得(cos2C1)(cos2B1)sin Csin B221, sin 2B),2m ,又 cos2 C 1 2sin C , cos2 B 1 2sin B ,上式化為 sin C 整理得 m si nCcosB cosC si nB sin(B C) si nA,應(yīng)選 B.C0SB ( 2sin2C)連 sin B2(2sin B) 2m,

14、7.點(diǎn)列An an,bn n均為函數(shù)y ax a 0,a 1的圖像上,點(diǎn)列Bn n,0滿足A. BnAn Bn 1假設(shè)數(shù)列bn中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊，那么a的取值范圍為(B)(A &.5(B)-,1 U25 1T(C) 04(D) ¥U 1,328.過圓 C:(x 1)2(y 1)21的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A B, AOB被圓分成四局部(如圖)假設(shè)這四局部圖形面積滿足S SySS|,那么直線()(A) 0 條(B) 三解答題：條(C) 2 條(D)9.直線y22x是雙曲線C : 2a2b 1的一條漸近線，點(diǎn)AB有A 1,0 ,M m,n n 0都在雙曲

15、線C上，直線AM與 y軸相交于點(diǎn)P,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O.(1) 設(shè)點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N,直線AN與y軸相交于點(diǎn)Q,問：在x軸上是否存在定 點(diǎn)T,使得TP TQ?假設(shè)存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.(2) 假設(shè)過點(diǎn)D 0,2的直線I與雙曲線C交于R,S兩點(diǎn)，且OR OS RS，試求直線I的方 程.2r10.雙曲線C： y21,設(shè)過點(diǎn)A( 3 2,0)的直線I的方向向量為e (1,k).2(3) 當(dāng)直線I與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí),求直線I的方程及I與m的距離；證明:當(dāng)k乎時(shí),在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q使之到直線1的距離為屁(1) 解:雙曲線C的漸近線m： x直線I的方程為x

16、,2y 3 2y 0 ,即 x . 2y 0,0,(2) 證法一：設(shè)過原點(diǎn)且平行于I的直線b: kx y 0 ,與b的距離d空里,當(dāng)k 時(shí),d騎,7TV 2C的漸近線方程為x ,2y 0,C的右支在直線b的右下方，C的右支上的任意點(diǎn)到直線 I的距離大于6,那么直線I又雙曲線雙曲線雙曲線故在雙曲線 C的右支上不存在點(diǎn)Q使之到直線I的距離為76.證法二：假設(shè)雙曲線右支上存在點(diǎn)Q(Xo, yo)到直線I的距離為、6 ,|kxoyo 3、. 2k |那么12 2x 2yo 由(1)得yo 設(shè) t 3. 2 k 當(dāng)k空2k22,6,(2)3 2k .6 . k2 ,TV,kxo6時(shí),t 3 2k .6

17、.1 k2 o,2 k2J3kt 3 2 k .6 1 _k61 o,.1 k24ktxo2(t2 1) o(),將yo kxo t代入得(1 2k2)xQk -2, t o, 1 2k2 o, 4kt2方程()不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn) Q使之到直線I的距離為 晶.0,2(t21)0,直線I與m的距離為d 3 2k，對(duì)定義域中的任意x，11. 集合M是滿足以下性質(zhì)的函數(shù)f (x)的全體：存在非零常數(shù)等式f (kx) = + f (x)恒成立.2(1) 判斷一次函數(shù)f(x) = ax+ b(a0)是否屬于集合M；(2) 證明函數(shù)f(x) = Iog2x屬于集合M,并

18、找出一個(gè)常數(shù)k;(3) 函數(shù)f (x) = Iogax(a> 1)與y = x的圖象有公共點(diǎn)，證明f (x) = Ioga x M.k解：(1)假設(shè)f(x) = ax + b M那么存在非零常數(shù)k，對(duì)任意x D均有f (kx) = akx + b= - + f(x),2即a(k-1)x = 2恒成立，得k ；0'無解，所以f(x) Mkk(2) log2(kx) = 一 + log2x，那么 log2k = - , k = 4, k = 2時(shí)等式恒成立，所以 f (x) =log2x22 M.x(3) 因?yàn)閥= logaX(a> 1)與y= x有交點(diǎn)，由圖象知，y = lo

19、ga x與y =-必有交點(diǎn).kk設(shè) loga k = ，貝U f (kx) = loga(kx) = loga k + loga x = + f (x)，所以 f (x) M.2212. 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是定義在集合M上的函數(shù),對(duì)于任意的x M，都有f (g(x) g(f (x)成立，稱函數(shù)f (x)與g(x)在M上互為“ H函數(shù).(1) 函數(shù)f (x) 2x與g(x) sin x在M上互為“ H函數(shù)，求集合M ；(2) 假設(shè)函數(shù)f(x) ax( a 0且a 1)與g(x) x 1在集合M上互為“ H函數(shù),求證：a 1 ；(3) 函數(shù)f (x) x 2與g(x)在集合M x | x

20、1且x 2k 3， k N*上互為“ H函數(shù)，當(dāng)0 x 1時(shí)，g(x) log2(x 1)，且g(x)在(1,1)上是偶函數(shù),求函數(shù)g(x)在集合M上的解析式.(1) 由 f (g(x) g( f (x)得 2sinx sin2x化簡(jiǎn)得，2sin x(1 cosx) 0， sinx 0或 cosx 12解得x k或x 2k ，k Z，即集合M x |x k k Z2分(假設(shè)學(xué)生寫出的答案是集合M x|x k ,k Z的非空子集，扣1分，以示區(qū)別。)(2) 證明：由題意得，ax 1 ax 1 ( a 0且a 1 )，變形得，ax(a 1) 1，由于a 0且a 1，ax 丄，因?yàn)閍x 0，所以丄

21、0，即a 1a 1a 1(3) 當(dāng)1 x 0，那么0 x 1，由于函數(shù)g(x)在(1,1)上是偶函數(shù)那么 g(x) g( x) log?。x)，所以當(dāng)1 x 1 時(shí)，g(x) log2(1 |x|)由于f (x) x 2與函數(shù)g(x)在集合M上“互為H函數(shù)所以當(dāng)x M，f(g(x) g(f(x)恒成立,g(x) 2 g(x 2)對(duì)于任意的 x (2n 1,2n 1)( n N)恒成立，即 g(x 2) g(x) 2，所以當(dāng) x (2n 1,2n 1) ( n N )時(shí)，x 2n ( 1,1) g(x 2n) log2(1 |x 2n |)，所以當(dāng) x M 時(shí)，213. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S

22、n，且Sn 1anSn n N .(1) 求出3,S2,S3的值，并求出Sn及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn ( 1)n 1(n 1)2anan1(n N )，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 T ；(3) 設(shè)cn n 1 an nN ，在數(shù)列cn中取出m m N且m 3項(xiàng)，按照原來的順序排列成一列，構(gòu)成等比數(shù)列 dn ,假設(shè)對(duì)任意的數(shù)列dn，均有d1d2 LdnM ，試求M的最小值.14.數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn， 其中p為正常數(shù)，且p 1 .(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n 求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的1(3) 假設(shè)p，設(shè)數(shù)列bn

23、對(duì)任意n1滿足(P 1)SnP2 an ( n N * )，M時(shí)，M的最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由;a7a3n 2 a78恒成立？假設(shè)存在,N *，都有 beb2an 1bsa. 2bna1 2n丄門1,問數(shù)列bn是不是等差數(shù)列？假設(shè)是，請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式；假設(shè)不是，請(qǐng)2說明理由.解：(1)由題設(shè)知，(p 1)a1 p2 a1，解得a1 p .(1 分)2由(P 1)SnP an ,(P 1)Sn 1P2 an 1 ,兩式作差得，(p 1)an 1 an an 1，即an1an， p(2 分)所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為p，公比為1的等比數(shù)列,p(3 分)所以anN*(4 分)(3n 4)n(3n

24、5)(2) a1a4 a7a3n 2(5 分)而a 78由題意,n(3n 5)1PP76(6分)所以,P當(dāng)P11 時(shí)，o P那么 n(3n 5)276，即 3n2 5n1520，解得19 n 83當(dāng)0 p 1時(shí),(舍去)；7 分解得n 8或n丄 1，那么 n(3n 5)76，即 3n2 5n 1520 ,p219一(舍去).此時(shí)存在滿足題意的 M min3綜上，當(dāng)0 p 1時(shí)，存在M的最小值為8,使ai a4 a?a3n 23令n 1,那么印 2因?yàn)?bnb2an 1b3an 2所以 da* 1 b2an 2bsa* 31 1 1212，因?yàn)?，所以b11 .(8分)a?8恒成立.(10分)(1