9 時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

1、第九章第九章時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn) 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型隨機(jī)時(shí)間序列分析模型 協(xié)整分析與誤差修正模型協(xié)整分析與誤差修正模型9.1 9.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)一、一、問題的引出：?jiǎn)栴}的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型二、二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、三、平穩(wěn)性的圖示判斷平穩(wěn)性的圖示判斷四、四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)五、五、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典一、問題的引出：非平穩(wěn)變量

2、與經(jīng)典回歸模型回歸模型常見的數(shù)據(jù)類型常見的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有： 時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-series data) 截面數(shù)據(jù)截面數(shù)據(jù)(cross-sectional data) 平行平行/面板數(shù)據(jù)面板數(shù)據(jù)（panel data/time-series cross-section data) 時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 經(jīng)典回歸分析經(jīng)典回歸分析暗含暗含著一個(gè)重要著一個(gè)重要假設(shè)假設(shè)：數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。平穩(wěn)的

3、。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)“一致性一致性”要求要求被破懷。被破懷。 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非是非隨機(jī)變量隨機(jī)變量nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收斂：依概率收斂： (2) 放寬該假設(shè)：放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求： (1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 不相關(guān)不相關(guān) Cov(X, )=0 第（第（2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一一致性致性”特性：特性：)(limnP第（第（1）條是）條是OLS估計(jì)的需要估計(jì)

4、的需要nxnuxxuxiiiiii/22QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2如果如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），（如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），則（則（2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。因此因此：注意：注意：在雙變量模型中：在雙變量模型中： 表現(xiàn)在表現(xiàn)在:兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性卻有很高的相關(guān)性（有較高的（有較高的R2)。例如：例如：如果如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)（非有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)

5、出一致的變化趨勢(shì)（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回虛假回歸歸”問題問題 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。一般不會(huì)得

6、到有意義的結(jié)果。 時(shí)間序列分析模型方法時(shí)間序列分析模型方法就是在這樣的情況就是在這樣的情況下，下，以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。 時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測(cè)當(dāng)中。要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測(cè)當(dāng)中。二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性定義：定義： 假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過程隨機(jī)過程（stochastic process）生成的，即假定時(shí)間序列）生成的，即假

7、定時(shí)間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件： 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是與時(shí)間是與時(shí)間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是與時(shí)間是與時(shí)間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差）協(xié)方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只與時(shí)期間隔只與時(shí)期間隔k有有關(guān)，與時(shí)間關(guān)，與時(shí)間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機(jī)

8、過程是一而該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationary stochastic process）。）。 例例9.1.1一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列：有零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt= t ， tN(0, 2)該序列常被稱為是一個(gè)該序列常被稱為是一個(gè)白噪聲白噪聲（white noise）。 由于由于XtXt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零為零, ,由定義由定義, ,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的。 例例9.1.2另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨

9、機(jī)游走（隨機(jī)游走（random walk），該序列由如下隨機(jī)該序列由如下隨機(jī)過程生成：過程生成： X t=Xt-1+ t 這里，這里， t是一個(gè)白噪聲。是一個(gè)白噪聲。 容易知道該序列有相同的容易知道該序列有相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1) 為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為的初值為X0，則易知，則易知: X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+ +1+2+t 由于由于X X0 0為常數(shù)，為常數(shù)， t t是一個(gè)白噪聲，因此是一個(gè)白噪聲，因此: : Var(XtVar(Xt)=t)=t 2 2即即

10、Xt的方差與時(shí)間的方差與時(shí)間t t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。序列。 然而，對(duì)然而，對(duì)X X取取一階差分一階差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于由于 t t是一個(gè)白噪聲，則序列是一個(gè)白噪聲，則序列Xt是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。 后面將會(huì)看到后面將會(huì)看到: :如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩(wěn)序的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列列。 事實(shí)上，事實(shí)上，隨機(jī)游走過程隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為是下面我們稱之為1階階自回歸自回歸AR(1)過程過程的特例的特例: Xt= Xt-1+t

11、不難驗(yàn)證不難驗(yàn)證:1)| |1時(shí)，該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，時(shí)，該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升表現(xiàn)為持續(xù)上升( 1)或持續(xù)下降或持續(xù)下降( -1)，因此，因此是非平穩(wěn)的；是非平穩(wěn)的； 2) =1時(shí)，是一個(gè)隨機(jī)游走過程，也是非平穩(wěn)的時(shí)，是一個(gè)隨機(jī)游走過程，也是非平穩(wěn)的。9.2中將證明中將證明:只有當(dāng)只有當(dāng)-1-1 10，樣本自相關(guān)系數(shù)近似，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以地服從以0為均值，為均值，1/n 為方差的正態(tài)分布，其為方差的正態(tài)分布，其中中n為樣本數(shù)。為樣本數(shù)。 也可檢驗(yàn)對(duì)所有也可檢驗(yàn)對(duì)所有k0，自相關(guān)系數(shù)都為，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下合假設(shè)，這可

12、通過如下QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：mkkLBknrnnQ12)2( 該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m m的的 2 2分布分布（m m為滯后長(zhǎng)度）。為滯后長(zhǎng)度）。 因此因此:如果計(jì)算的如果計(jì)算的Q Q值大于顯著性水平為值大于顯著性水平為 的臨界值，則有的臨界值，則有1-1- 的把握拒絕所有的把握拒絕所有 k k(k(k0)0)同同時(shí)為時(shí)為0 0的假設(shè)。的假設(shè)。 例例9.1.3:9.1.3: 表表9.1.19.1.1序列序列Random1Random1是通過一是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有1919個(gè)樣本的隨個(gè)樣本的隨機(jī)時(shí)間序列。機(jī)時(shí)間序列

13、。 表表 9 9. .1 1. .1 1 一一個(gè)個(gè)純純隨隨機(jī)機(jī)序序列列與與隨隨機(jī)機(jī)游游走走序序列列的的檢檢驗(yàn)驗(yàn) 序號(hào) Random1 自相關(guān)系數(shù) kr(k=0,1,17) LBQ Random2 自相關(guān)系數(shù) kr(k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=

14、4, 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.13

15、6 -0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.37

16、7 0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易驗(yàn)證：該樣本序列的均值為該樣本序列的均值為0 0，方差為，方差為0.07890.0789。 從圖形看：它在其樣本均值它在其樣本均值0 0附近上下波動(dòng)，附近上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0 0，隨后在，隨后在0 0附近附近波動(dòng)且逐漸收斂于波動(dòng)且逐漸收斂于0 0。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.2

17、24681012141618RANDOM1AC 由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。該序列為一白噪聲。 根據(jù)根據(jù)BartlettBartlett的理論：的理論： k kN(0,1/19)0,1/19)，因因此任一此任一r rk k(k(k0)0)的的95%95%的置信區(qū)間都將是的置信區(qū)間都將是: :4497. 0 ,4497. 019/196. 1 ,19/196. 1,025. 0025. 0ZZ 可以看出可以看出:k0時(shí)，時(shí)，rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受因此

18、可以接受 k(k0)為為0的假設(shè)的假設(shè)。 同樣地同樣地，從從QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后17期期的計(jì)算值為的計(jì)算值為26.38，未超過，未超過5%顯著性水平的臨顯著性水平的臨界值界值27.58，因此，因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)可以接受所有的自相關(guān)系數(shù) k(k0)都為都為0的假設(shè)。的假設(shè)。 因此因此，該隨機(jī)過程是一個(gè)平穩(wěn)過程。該隨機(jī)過程是一個(gè)平穩(wěn)過程。 序列序列Random2Random2是由一隨機(jī)游走過程是由一隨機(jī)游走過程 X Xt t=X=Xt-1t-1+ + t t生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。其中，第生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。其中，第0 0項(xiàng)項(xiàng)取值為取值為0

19、 0， t t是由是由Random1Random1表示的白噪聲。表示的白噪聲。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC 圖形表示出：圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時(shí)間的推移，則在但隨著時(shí)間的推移，則在0附近波動(dòng)且呈發(fā)散趨附近波動(dòng)且呈發(fā)散趨勢(shì)。勢(shì)。 樣本自相關(guān)系數(shù)顯示樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r r1 1=0.48=0

20、.48，落在了區(qū)間，落在了區(qū)間-0.4497, 0.4497-0.4497, 0.4497之外，因此在之外，因此在5%5%的顯著性水的顯著性水平上拒絕平上拒絕 1 1的真值為的真值為0 0的假設(shè)。的假設(shè)。 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。例例9.1.4 檢驗(yàn)中國(guó)支出法檢驗(yàn)中國(guó)支出法GDP時(shí)間序列的平穩(wěn)性時(shí)間序列的平穩(wěn)性。 表表9.1.2 19782000年中國(guó)支出法年中國(guó)支出法GDP（單位：億元）（單位：億元） 圖圖9 9. .1 1. .5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0年年中中國(guó)國(guó)G GD DP P時(shí)時(shí)間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)圖圖

21、-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810 12 14 16 18 20 22GDPACF02000040000600008000010000078 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00GDP 圖形：表現(xiàn)出了一個(gè)持續(xù)上升的過程圖形：表現(xiàn)出了一個(gè)持續(xù)上升的過程，可初，可初步判斷步判斷是非平穩(wěn)是非平穩(wěn)的。的。 樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它的，再次表明它的非平穩(wěn)非平穩(wěn)性。性。 從滯后從滯后18期的期的QLB統(tǒng)計(jì)量看統(tǒng)計(jì)量看： QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒絕拒絕：該時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后

22、：該時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后期之后的值全部為的值全部為0的假設(shè)。的假設(shè)。 結(jié)論結(jié)論:19782000年間中國(guó)年間中國(guó)GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列。時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列。例例9.1.59.1.5 檢驗(yàn)檢驗(yàn)2.102.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。 圖圖 9.1.6 19811996中中國(guó)國(guó)居居民民人人均均消消費(fèi)費(fèi)與與人人均均 GDP 時(shí)時(shí)間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)圖圖 01000200030004000500060008284868890929496GDPPCCPC-0.4-0.20.

23、00.20.40.60.81.01.212345678910 11 12 13 14 15GDPPCCPC 原圖 樣本自相關(guān)圖 從圖形上看：從圖形上看：人均居民消費(fèi)（人均居民消費(fèi)（CPCCPC）與人均國(guó)）與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPCGDPPC）是非平穩(wěn)的是非平穩(wěn)的。 從滯后從滯后1414期的期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：統(tǒng)計(jì)量看：CPCCPC與與GDPPCGDPPC序列的序列的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為57.1857.18，超過了顯著性水平為，超過了顯著性水平為5%5%時(shí)的臨界值時(shí)的臨界值23.6823.68。再次。再次表明它們的非平穩(wěn)性。表明它們的非平穩(wěn)性。 就此來說，運(yùn)用傳統(tǒng)的回

24、歸方法建立它們的就此來說，運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實(shí)際意義的?；貧w方程是無實(shí)際意義的。 不過，不過，9.3中將看到，如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)中將看到，如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是間序列是協(xié)整協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時(shí)間序列恰是意義的，而這兩時(shí)間序列恰是協(xié)整協(xié)整的。的。 四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn) （unit root test） 1 1、DFDF檢驗(yàn)檢驗(yàn) 隨機(jī)游走序列隨機(jī)游走序列: Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型: Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時(shí)的情形。 （* *）式可變形式成差分形式：

25、）式可變形式成差分形式： Xt=(1-)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)檢驗(yàn)（檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根）式是否存在單位根 =1，也可通過（，也可通過（*）式判斷是否有式判斷是否有 =0。對(duì)式：對(duì)式： Xt=Xt-1+t （*） 進(jìn)行回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)進(jìn)行回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn) =1，就說隨機(jī)變量，就說隨機(jī)變量Xt有一個(gè)有一個(gè)單位根單位根。一般地一般地: : 檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列XtXt的平穩(wěn)性，可通過檢驗(yàn)的平穩(wěn)性，可通過檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型：帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小

26、于是否小于1 1。 或者：或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* * *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于0 0 。 在第二節(jié)中將證明，（在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數(shù)）式中的參數(shù) 1或或 =1時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的;對(duì)應(yīng)于（對(duì)應(yīng)于（*）式，則是）式，則是 0或或 =0。 因此，針對(duì)式：因此，針對(duì)式： Xt= + Xt-1+ t 我們關(guān)心的檢驗(yàn)為我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)零假設(shè) H0： =0。 備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1： 0 上述檢驗(yàn)可通過上述檢驗(yàn)可通過OLS法下的法下的t檢驗(yàn)完成。檢驗(yàn)完成。 然而

27、，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的通常的t 檢驗(yàn)無法使用。檢驗(yàn)無法使用。 Dicky和和Fuller于于1976年提出了這一情形下年提出了這一情形下t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量稱為 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量量），即即DF分布分布（見表（見表9.1.3）。）。 由于由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。零值的偏態(tài)分布。 因此，可通過因此，可通過OLS法估計(jì)：法估計(jì)： X Xt t= = + +

28、X Xt-1t-1+ + t t 并計(jì)算并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：水平下的臨界值比較：表表 9.1.3 DF 分分布布臨臨界界值值表表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t分布臨界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 如果：如果：t臨界值，則拒絕零假設(shè)臨界值，則拒絕零假設(shè)H0： =0，

29、認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。注意：在不同的教科書上有不同的描述，但注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。是結(jié)果是相同的。例如：例如：“如果計(jì)算得到的如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值，則拒絕臨界值的絕對(duì)值，則拒絕=0”的假設(shè)，原序列的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 問題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 在利用在利用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中檢驗(yàn)中，實(shí)際上實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨假定了時(shí)間序

30、列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程AR(1)生成的生成的。 但在實(shí)際檢驗(yàn)中但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲回歸過程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無效。檢驗(yàn)無效。 2 2、ADFADF檢驗(yàn)檢驗(yàn) 另外另外，如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降），則也間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降），則也容

31、易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題題。 為了保證為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，特性，Dicky和和Fuller對(duì)對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗(yàn)）檢驗(yàn)。 ADFADF檢驗(yàn)是通過下面三個(gè)模型完成的：檢驗(yàn)是通過下面三個(gè)模型完成的：模 型1： tmiitittXXX11 （ *） 模 型2： tmiitittXXX11 （ *） 模 型3： tmiitittXXtX11 （ *） 模型模型3 中的中的t是時(shí)間變量是時(shí)間變量，代表了時(shí)間序列隨代表了時(shí)

32、間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如果有的話）。模型時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如果有的話）。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。勢(shì)項(xiàng)。 檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)H1: 臨界值，不能拒絕存臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。在單位根的零假設(shè)。 時(shí)間T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托柽M(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 。 2）經(jīng)試驗(yàn)，模型）經(jīng)試驗(yàn)，模型2中滯后項(xiàng)取中滯后項(xiàng)取2階：階：21115. 165. 1057. 045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0

33、.90） (3.38) (10.40) (-5.63) LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性，檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。因此該模型的設(shè)定是正確的。 從從GDPt-1的參數(shù)值看，其的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 常數(shù)項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于統(tǒng)計(jì)量小于AFD分布表中的臨界值分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ万?yàn)?zāi)Ｐ?。 3)3)經(jīng)試驗(yàn)，模型經(jīng)試驗(yàn)，模型1中滯后項(xiàng)取中滯后項(xiàng)取

34、2階階： 211194. 1701. 1063. 0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15） (11.46) (-6.05) LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 LM檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性，檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。因此模型的設(shè)定是正確的。 從從GDPt-1的參數(shù)值看，其的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 可斷定中國(guó)支出法可斷定中國(guó)支出法GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。例例9.1.7 檢驗(yàn)檢驗(yàn)2.102.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人中關(guān)于

35、人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。 1) 對(duì)對(duì)中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來說，來說，經(jīng)過償試，三個(gè)模型的適當(dāng)形式分別為：經(jīng)過償試，三個(gè)模型的適當(dāng)形式分別為：模型3： 1103. 115. 036.4508.75tttGDPPCGDPPCtGDPPC （-0.75） (1.93) (-1.04) (2.31) LM（1）=2.88 LM（2）=1.86 模型 2： 211425. 1040. 0652. 002.192ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （-1.78） (3.26) (0.08) (-2.

36、96) 43403. 1412. 0ttGDPPCGDPPC (-0.67) (-2.20) LM（1）=1.67 LM（2）=1.71 LM(3)=6.28 LM（4）=10.92 模型1： 211975. 0875. 0196. 0ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （2.63） (2.61) (-2.72) LM（1）=0.20 LM（2）=3.53 三個(gè)模型中參數(shù)的估計(jì)值的三個(gè)模型中參數(shù)的估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)量均大于統(tǒng)計(jì)量均大于各自的臨界值，因此各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的不能拒絕存在單位根的零假設(shè)零假設(shè)。 結(jié)論：結(jié)論：人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）

37、是非）是非平穩(wěn)的。平穩(wěn)的。 2 2）對(duì)于）對(duì)于人均居民消費(fèi)人均居民消費(fèi)CPC時(shí)間序列來說，時(shí)間序列來說，三個(gè)模型的適當(dāng)形式為三個(gè)模型的適當(dāng)形式為 ：模型 3： 114627. 13646. 098.3423.26tttCPCCPCtCPC (-0.477) (2.175) (-1.478) (2.318) LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2： 3211027. 0655. 1508. 0545. 088.79tttttCPCCPCCPCCPCCPC (-1.37) (3.37) (1.16) (-3.44) (-0.05) 4824. 1tCPC (-3.03) LM(1

38、)=3.57 LM(2)= 4.10 LM(3)=4.89 LM(4)=10.99 模型 1： 4321171. 108. 048. 188. 037. 0ttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPC (3.60) (2.37) (-2.97) (0.12) (-2.68) LM(1)=1.83 LM(2)= 1.84 LM(3)=2.00 LM(4)=2.33 三個(gè)模型中參數(shù)三個(gè)模型中參數(shù)CPCt-1的的t統(tǒng)計(jì)量的值均比統(tǒng)計(jì)量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕不能拒絕該時(shí)間序列存在單位根的假設(shè)該時(shí)間序列存在單位根的假設(shè)， 因此因此,可判斷人均居民消費(fèi)

39、序列可判斷人均居民消費(fèi)序列CPC是非平是非平穩(wěn)的。穩(wěn)的。五、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)五、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程過程 隨機(jī)游走序列隨機(jī)游走序列Xt=Xt-1+ t經(jīng)差分后等價(jià)地變經(jīng)差分后等價(jià)地變形為形為 Xt= t， 由于由于 t是一個(gè)白噪聲，因此是一個(gè)白噪聲，因此差差分后的序列分后的序列 Xt是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。 如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是就稱原序列是一階單整一階單整（integrated of 1）序序列列，記為，記為I(1)。單整單整 一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過d次差分后變次差分后

40、變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d 階單整階單整（integrated of d）序列序列，記為，記為I(d)。 顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列。代表一平穩(wěn)時(shí)間序列。 現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如一些如一些價(jià)格指數(shù)常常是價(jià)格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價(jià)格表示階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。階單整。 大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過一次或大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)

41、間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。 但也有一些時(shí)間序列，無論經(jīng)過多少次差分，但也有一些時(shí)間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的非單整的（non-integrated）。例例9.1.8 中國(guó)支出法中國(guó)支出法GDP的單整性。的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國(guó)支出法中國(guó)支出法GDP是是1階單整的階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋哼m當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋?1212966. 0495. 025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99) (4.23) （-5.18） (6.42) 2R=

42、0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 例例9.1.9 中國(guó)人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總中國(guó)人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性。值的單整性。 經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是是2階單整的階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋哼m當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋?12360. 0ttGDPPCGDPPC （-2.17） 2R=0.2778， LM(1)=0.31 LM(2)= 0.54 同樣地同樣地，CPC也是也是2階單整的階單整的，適當(dāng)適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋旱臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋?12367. 0ttCPCCPC （-2.08） 2R=0.2515 LM(1)=1

43、.99 LM(2)= 2.36 趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程 前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì)，而這些序列間本往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì)，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時(shí)對(duì)這些數(shù)據(jù)身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時(shí)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，盡管有較高的進(jìn)行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒有，但其結(jié)果是沒有任何實(shí)際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為任何實(shí)際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回虛假回歸歸或或偽回歸偽回歸（spurious regression）。 如：用中國(guó)的勞動(dòng)力時(shí)間序列數(shù)據(jù)與美如：用中國(guó)的勞動(dòng)力時(shí)間

44、序列數(shù)據(jù)與美國(guó)國(guó)GDP時(shí)間序列作回歸，會(huì)得到較高的時(shí)間序列作回歸，會(huì)得到較高的R2 ，但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過它們有共同的趨勢(shì)罷了，這種回歸結(jié)果我們認(rèn)它們有共同的趨勢(shì)罷了，這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的。為是虛假的。 為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢(shì)變量的時(shí)間，這樣包含有時(shí)間是引入作為趨勢(shì)變量的時(shí)間，這樣包含有時(shí)間趨勢(shì)變量的回歸，可以消除這種趨勢(shì)性的影響。趨勢(shì)變量的回歸，可以消除這種趨勢(shì)性的影響。 然而這種做法，只有當(dāng)趨勢(shì)性變量是然而這種做法，只有當(dāng)趨勢(shì)性變量是確確定性的（定性的（d

45、eterministic）而非而非隨機(jī)性的隨機(jī)性的（stochastic），才會(huì)是有效的。才會(huì)是有效的。 換言之，換言之，如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢(shì)如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列，可以通過引入表示這一確的非平穩(wěn)時(shí)間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢(shì)的趨勢(shì)變量，而將確定性趨勢(shì)分離出定性趨勢(shì)的趨勢(shì)變量，而將確定性趨勢(shì)分離出來。來。 1)如果如果=1，=0，則（則（*）式成為）式成為一帶位移的一帶位移的隨機(jī)游走過程隨機(jī)游走過程： Xt=+Xt-1+t （*） 根據(jù)根據(jù) 的正負(fù)，的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為隨機(jī)性趨勢(shì)（隨

46、機(jī)性趨勢(shì)（stochastic trend）?？紤]如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過程：考慮如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過程： Xt= + t+ Xt-1+ t （*） 其中其中: t是一白噪聲，是一白噪聲，t為一時(shí)間趨勢(shì)。為一時(shí)間趨勢(shì)。2)如果如果 =0，0，則（*）式成為一帶時(shí)間趨式成為一帶時(shí)間趨勢(shì)的隨機(jī)變化過程：勢(shì)的隨機(jī)變化過程： Xt=+t+t （*） 根據(jù)根據(jù) 的正負(fù)，的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨 勢(shì) 。 這 種 趨 勢(shì) 稱 為趨 勢(shì) 。 這 種 趨 勢(shì) 稱 為 確 定 性 趨 勢(shì)確 定 性 趨 勢(shì)（deterministic trend）。 3) 如果如果 =

47、1，0，則，則XtXt包含有包含有確定性與隨機(jī)確定性與隨機(jī)性兩種趨勢(shì)。性兩種趨勢(shì)。 判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，它的趨勢(shì)是判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，它的趨勢(shì)是隨機(jī)性的還是確定性的，可通過隨機(jī)性的還是確定性的，可通過ADF檢驗(yàn)中所檢驗(yàn)中所用的第用的第3個(gè)模型進(jìn)行。個(gè)模型進(jìn)行。 該模型中已引入了表示確定性趨勢(shì)的時(shí)間該模型中已引入了表示確定性趨勢(shì)的時(shí)間變量變量t，即分離出了確定性趨勢(shì)的影響。，即分離出了確定性趨勢(shì)的影響。因此因此： (1)如果檢驗(yàn)結(jié)果表明所給時(shí)間序列有單位如果檢驗(yàn)結(jié)果表明所給時(shí)間序列有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序列顯示出隨機(jī)性趨勢(shì)列顯

48、示出隨機(jī)性趨勢(shì); (2)如果沒有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)如果沒有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢(shì)。顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢(shì)。 隨機(jī)性趨勢(shì)可通過差分的方法消除隨機(jī)性趨勢(shì)可通過差分的方法消除例如：對(duì)式：例如：對(duì)式：Xt=+Xt-1+t 可通過差分變換為：可通過差分變換為： Xt= +t 該時(shí)間序列稱為該時(shí)間序列稱為差分平穩(wěn)過程（差分平穩(wěn)過程（difference stationary process）；確定性趨勢(shì)無法通過差分的方法消除，而只能確定性趨勢(shì)無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢(shì)項(xiàng)消除通過除去趨勢(shì)項(xiàng)消除例如：對(duì)式：例如：對(duì)式：Xt=+t

49、+t可通過除去可通過除去 t變換為：變換為：Xt t =+t該時(shí)間序列是平穩(wěn)的，因此稱為該時(shí)間序列是平穩(wěn)的，因此稱為趨勢(shì)平穩(wěn)過程趨勢(shì)平穩(wěn)過程（trend stationary process）。）。 最后需要說明的是，最后需要說明的是，趨勢(shì)平穩(wěn)過程代表了趨勢(shì)平穩(wěn)過程代表了一個(gè)時(shí)間序列長(zhǎng)期穩(wěn)定的變化過程，因而用于一個(gè)時(shí)間序列長(zhǎng)期穩(wěn)定的變化過程，因而用于進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則是更為可靠的。進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則是更為可靠的。 9.2 9.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型隨機(jī)時(shí)間序列分析模型一、一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性二、二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條

50、件三、三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別四、四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)五、五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)說明說明 經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型 確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列模型確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列模型一、時(shí)間序列模型的基本概念及其一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性適用性1 1、時(shí)間序列模型的基本概念、時(shí)間序列模型的基本概念 隨機(jī)時(shí)間序列模型（隨機(jī)時(shí)間序列模型（time series modeling）是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來的模型

51、，其一般形式為來的模型，其一般形式為: Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三個(gè)問題：個(gè)問題： (1)模型的具體形式模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（ t = t），模型將是一個(gè)），模型將是一個(gè)1階自回階自回歸過程歸過程AR(1)： Xt=Xt-1+ t，這里，這里， t特特指指一白噪聲一白噪聲。 一般的p階自回歸過程階自回歸過程AR(p)是 Xt=1Xt-1+

52、 2Xt-2 + + pXt-p + t (*) (1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲( t= t)，則稱則稱(*)式為一式為一純純AR(p)過程（過程（pure AR(p) process），記為記為: Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)如果如果 t不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一個(gè)個(gè)q階的階的移動(dòng)平均（移動(dòng)平均（moving average）過程）過程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式給出了一個(gè)純?cè)撌浇o出了一個(gè)純MA(q)過程（過程（pure MA(p) process）。

53、 將純將純AR(pAR(p) )與純與純MA(qMA(q) )結(jié)合，得到一個(gè)一般的結(jié)合，得到一個(gè)一般的自自回歸移動(dòng)平均（回歸移動(dòng)平均（autoregressive moving average）過程過程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式表明：該式表明：（1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過一個(gè)自回歸移）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過程生成，動(dòng)平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來解釋?；驕笾狄约半S機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的）

54、如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會(huì)即它的行為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化，隨著時(shí)間的推移而變化，那么我們就可以通那么我們就可以通過該序列過去的行為來預(yù)測(cè)未來。過該序列過去的行為來預(yù)測(cè)未來。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在。所在。 經(jīng)典回歸模型的問題：經(jīng)典回歸模型的問題： 迄今為止，迄今為止，對(duì)一個(gè)時(shí)間序列對(duì)一個(gè)時(shí)間序列Xt的變動(dòng)進(jìn)的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè)，是通過某個(gè)單方程回歸模型行解釋或預(yù)測(cè)，是通過某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模

55、型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型（結(jié)構(gòu)式模型（structural model）。 2 2、時(shí)間序列分析模型的適用性、時(shí)間序列分析模型的適用性 然而，然而，如果如果Xt波動(dòng)的主要原因可能是我波動(dòng)的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變們無法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來解釋化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來解釋Xt的變動(dòng)就比的變動(dòng)就比較困難或不可能，因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量化數(shù)據(jù)，較困難或不可能，因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。 有時(shí)，有時(shí)，即使能估計(jì)出一個(gè)較為滿意的因果即使能估計(jì)出一個(gè)較為

56、滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于對(duì)某些解釋變量未來值關(guān)系回歸方程，但由于對(duì)某些解釋變量未來值的預(yù)測(cè)本身就非常困難，甚至比預(yù)測(cè)被解釋變的預(yù)測(cè)本身就非常困難，甚至比預(yù)測(cè)被解釋變量的未來值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型量的未來值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。 例如例如，時(shí)間序列過去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)時(shí)間序列過去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過去的行為中占主導(dǎo)地位，能否如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過去的行為中占主導(dǎo)地位，能否認(rèn)為它也會(huì)在未來的行為里占主導(dǎo)地位呢？認(rèn)為它也會(huì)在未來的行為里占主導(dǎo)地位呢？ 或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行

57、為，我們我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？ 另一條預(yù)測(cè)途徑另一條預(yù)測(cè)途徑：通過時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對(duì)時(shí)間序列未來行為進(jìn)行推斷。 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過序列過去隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預(yù)測(cè)未來的變化趨勢(shì)的變化特征來預(yù)測(cè)未來的變化趨勢(shì)。 使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于：如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的形式。 例如，例如，對(duì)于如下最簡(jiǎn)單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型：對(duì)于如下最簡(jiǎn)單

58、的宏觀經(jīng)濟(jì)模型： 這里，這里，Ct、It、Yt分別表示消費(fèi)、投資與國(guó)民收分別表示消費(fèi)、投資與國(guó)民收入。入。 Ct與與Yt作為內(nèi)生變量，它們的運(yùn)動(dòng)是由作作為內(nèi)生變量，它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資為外生變量的投資It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) t的變的變化決定的?；瘺Q定的。tttCYC12110tttICY上述模型可作變形如下上述模型可作變形如下： 兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，其特征部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，其特征依賴于投資項(xiàng)依賴于投資項(xiàng)It的行為。的行為。ttttICC1111011211111ttt

59、ttIIYY11121101121111111 如果如果It是一個(gè)白噪聲是一個(gè)白噪聲，則消費(fèi)序列Ct就成為一個(gè)1階自回歸過程階自回歸過程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(gè)(1,1)階的自回歸移動(dòng)平均階的自回歸移動(dòng)平均過程過程ARMA(1,1)。二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件 自回歸移動(dòng)平均模型（自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）是隨機(jī)時(shí)）是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動(dòng)平均模型（和移動(dòng)平均模型（MA）是它的特殊情況。）是它的特殊情況。 關(guān)于這幾類模型的研究，是關(guān)于這幾類模型的研究，是時(shí)間序列分析時(shí)間

60、序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容的重點(diǎn)內(nèi)容：主要包括主要包括模型的平穩(wěn)性分析模型的平穩(wěn)性分析、模模型的識(shí)別型的識(shí)別和和模型的估計(jì)模型的估計(jì)。 1 1、AR(pAR(p) )模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所可通過它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來判斷生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來判斷。如果如果一個(gè)p階自回歸模型階自回歸模型AR(p)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，就說該的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的。模型是平穩(wěn)的。 否則，就說該否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。模型是非平穩(wěn)的。 考慮考慮p階自回歸模型階自回歸模型AR(p) Xt=1X