二階常系數(shù)常微分方程的初等解法求解技巧

1、二階常系數(shù)常微分方程的初等解法求解技巧鄭燕，王俊霞太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西晉中，030619摘要：本文總結(jié)介紹了三類二階常系數(shù)常微分方程的初等解法求解技巧，分別是：特征根法；常數(shù)變易法；比較系數(shù)法.同時(shí)結(jié)合例題進(jìn)行具體講解.雖然當(dāng)今社會(huì)關(guān)于二階常微分方程初等解法求解技巧的研究已經(jīng)獲得了很大的成就，但它的已有理論仍然得不到求知者的滿足，需要大家進(jìn)一步發(fā)展，使之更加完善.關(guān)鍵詞：二階常系數(shù)齊次線性微分方程；特征根法；常數(shù)變易法；比較系數(shù)法；二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. 1.預(yù)備知識(shí)d2xdt2+a1tdxdt+a2tx=f(t) (1.1)其中ai(t)(i=1,2)以及f(t)都是連續(xù)函數(shù)并且

2、區(qū)間是atb.如果f(t)0,則方程（1）就變成了 d2xdt2+a1tdxdt+a2tx=0 （1.2）我們形如方程（1.2）的方程叫做二階齊次線性微分方程，把方程（1.1）叫做二階非齊次線性微分方程.并且把方程(1.1)叫做方程（1.2）對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程.2.求解方法技巧2.1常數(shù)變易法常數(shù)變易法是將常數(shù)C看作是t的待定函數(shù)C(t)，然后求出非齊次線性方程的通解.求解過程如下：設(shè)x1(t), x2(t)是方程（1.2）的基本解組，則x=x1t+ c2x2(t) （2.1.1）是方程（1.2）的通解.將常數(shù)Ci看作是t的待定函數(shù)Ci(t)(i=1,2),那么方程（2.1.1）就變成x=

3、c1tx1t+c2(t)x2(t) （2.1.2）求x關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)得 x'=c1'(t)x1(t)+c1(t)x1'(t)+c2'(t)x2(t)+c2(t)x2'(t)令c1'tx1t+c2'tx2t=0 （2.1.3）得到x'=c1(t)x1'(t)+ c2(t)x2'(t) （2.1.4）再求x關(guān)于t的二階導(dǎo)數(shù)得x''=c1'(t)x1'(t)+ c1(t)x1''(t)+ c2(t)x2''(t)+ c2'(t)x2'(t)

4、 (2.1.5) 把方程（2.1.4）、（2.1.5）帶入到方程(1.1)中可得到2.2特征根法設(shè)方程（1.1）中a1、a2都是常數(shù)，即Lxd2xdt2+a1dxdt+a2x=0, （2.2.1）我們把上式叫做二階常系數(shù)齊次線性微分方程.接著我們要求解方程（2.2.1）.那么方程（2.2.1）的通解是關(guān)鍵所在，我們只需要求出它的基本解組.下面是特征根法的具體介紹.由一階常系數(shù)齊次微分方程dxdt+ax=0，的通解是x=ce-at,由此可以猜測(cè)二階常數(shù)齊次微分方程有指數(shù)形式的解 x=et,Letd2etdt2+a1detdt+a2et =(2+a1+a2) et F() et,所以F()= 2+

5、a1+a2是的二次多項(xiàng)式.所以上式是方程（2.2.1）的解得重要條件是 F()= 2+a1+a2=0 （2.2.2）問題轉(zhuǎn)化為求解方程（2.2.2）的解.下面就的不同形式進(jìn)行討論.2.2.1特征根是兩個(gè)實(shí)根設(shè)特征方程（2.2.2）有兩個(gè)不相等的實(shí)根1，2,所以該方程有如下兩解：e1t , e2t. 我們指出這兩個(gè)解在上線性無關(guān),于是它們就組成了方程的基本解組.事實(shí)上,這時(shí)W（t）=e1te2t1e1t2e2t =e(1+2) 1112 =e1+2(2-1), 0,所以e1t , e2t線性無關(guān),上式得證.所以此方程的通解可表示為 x=c1e1t+c2 e2t（其中c1,c2為任意實(shí)數(shù)）. 假設(shè)

6、特征方程有復(fù)根,那么復(fù)根將成對(duì)共軛出現(xiàn).設(shè)其中的一個(gè)特征根是1=+i,那么另一個(gè)特征根是2=-i,所以方程有兩個(gè)復(fù)值解 e+it=et(cost+isint), e-it=et(cost-isint).所以,我們可求的方程（2.2.1）的兩個(gè)實(shí)值解是 etcost ,etsint . 2.2.2特征根有重根若特征方程(2.2.2)有兩個(gè)相等的實(shí)根1=2，此時(shí)a12-4a220，即有=-a12，于是方程(2.2.2)有一個(gè)特解x=e1t，所以方程的另一個(gè)特解是x2=ux1=ue1t其中uu(t)為待定函數(shù)，對(duì)x2求一階，二階導(dǎo)數(shù)得dx2dt=dudte1t+2ue1t=(dudt+2u) e1t

7、，d2x2dt2=(d2udt2+21dudt+12u) e1t，將它們代入方程(2.2.2)得 (d2udt2+21dudt+12u) e1t a1(dudt+2u) e1ta2ue1t0，整理得d2udt2+(21+a1)dudt+(12+a11+a2)u e1t=0，因?yàn)閑1t0并且1是特征方程的根，所以12+a11+a2=0，有因?yàn)?=-a12所以有21+a1=0，那么上式變成d2udt2=0，顯然滿足d2udt2=0的函數(shù)很多，我們?nèi)∑渲凶詈?jiǎn)單的一個(gè)u(t)=t,則x2=tet是方程（2.2.1）的另一個(gè)解，并且x1、x2是兩個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)，所以方程(2.2.1)的通解是x=(c1

8、+c2x)e1t.2.2.3 解得表1、2的情形方程（2.2.1）的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根（12）x=c1e1t+ c2e2t兩個(gè)相等實(shí)根（1=2）x=(c1+c2x)e1t一對(duì)共軛復(fù)根1=+i、2=-ix=et(c1cost+c2sint) 表12.3比較系數(shù)法比較系數(shù)法中函數(shù)f(t)可以分為兩個(gè)類型，這個(gè)方法是通過代數(shù)的方法來求得非齊次線性微分方程的特解，然后特解加上齊次線性微分方程的通解就是最后的通解.2.3.1 f(t)=(b0t+b1)et函數(shù)f(t)=(b0t+b1)et，其中，b0, b1是確定的常數(shù).當(dāng)方程d2xdt2+a1dxdt+a2x=f(t)有形如x=tk(At+B) e

9、t的特解.其中A，B是未知的常數(shù)，k是由特征方程F（）=0來決定.若是特征根，則k=1；若不是特征根，則k=0.=0，f(t)=b0t+b1當(dāng)=0不是特征根時(shí)，即F（0）不等于0，所以a2也不等于0，所以方程的特解為x=At+B.把特解帶入非齊次線性方程中就可以得到 a1A+a2(At+B)= b0t+b1,由此可以得到 a1A+a2B=b1a2A=b0,可以求出A,B的值，求出特解.當(dāng)=0是特征根時(shí)，即F（0）等于0，所以a2等于0，所以方程的特解為x=t(At+B).把特解帶入非齊次線性方程中就可以得到 2A+a1(2At+B)= b0t+b1 ,由此可以得到2A+a1B=b12a1A=b

10、0,可以求出A,B的值，求出特解.0，引入x=yet那么方程d2xdt2+a1dxdt+a2x=（b0t+b1）et就可以變形為 d2ydt2+A1dydt+A2y=b0t+b1,其中A1，A2都是常數(shù). 上式微分方程的形式則與（1）中f(t)的形式一樣.當(dāng)是特征方程的單根時(shí)，由（1）的求解方式可以得到該方程有特解 y=t(B0t+B1),所以方程的特解為 x=t(B0t+B1) et ,當(dāng)不是特征方程的單根時(shí)，F(xiàn)（0）不等于0.則方程有特解 y=B0t+B1,從而得到 x=(B0t+B1) et. 2.3.2 f(t)=Atcost+B(t)sintet設(shè)f(t)=Atcost+B(t)si

11、ntet，其中，是常實(shí)數(shù)，A(t),B(t)是t的常實(shí)數(shù)多項(xiàng)式.且maxAt,Bt=m.f(t)=Atcost+B(t)sintet= Atcost et+ B(t)sint et= Ate+it2+ Ate-it2+ Bte+it2i - Bte-it2i=(At2 + Bt2i) e+it + (At2 - Bt2i) e-it=At-iB(t)2e+it + At+iB(t)2e-it=f1(t)+ f2(t),由上式可以看出f1(t) = f2(t)，如果x1是f1(t)的解，那么x1必然就是f2(t)的解.所以該類方程的解為x=tkD(t) e-it + tkD(t)e+it =tk

12、Ptcost+Q(t)sintet,其中D(t)是t的m次多項(xiàng)式，而P(t)=2ReD(t),Q(t)=2ImD(t).3.常微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用3.1常數(shù)變易法例1.求方程x''+x=1cost的通解.解：該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程是2+1=0，特征根為1=i, 2=-i.是兩個(gè)復(fù)根.所以齊次微分方程的通解為x=c1cost+c2sint,應(yīng)用常數(shù)變易法，則設(shè)x=c1(t)cost+c2(t)sint, (1.a)x=c1(t)cost+c2(t)sint-c1(t)sint+c2(t)cost令c1(t)cost+c2(t)sint=0 (1.b)則x=c2(t)cost-c1(

13、t)sint x=c2(t)cost-c2(t)sint-c1(t)cost-c1(t)sint (1.c)把（1.a）（1.c）帶入原方程得-c1(t)sint+c2(t)cost=1cost . (1.d)聯(lián)立（1.b）（1.d）就可以求得 c1(t)=-sintcost c2(t)=1所以，c1(t)=lncost+1, c2(t)=t+2.因此原方程得通解可以表示為 X=1cost+2sint+ tsint+costlncost, 其中1，2為任意常數(shù).例2. 求方程tx'' -x=t2在t0上所有的解.解：該方程所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為tx-x=0將方程變形為xx

14、9;=1t令 dxdt=y 則y'y=1t那么很容易得到y(tǒng)=ct繼而dxdt=ct解得x=c1t2+c2，由此可知該方程所對(duì)應(yīng)的齊次常微分方程的基本解組為t2，1.我們把原方程進(jìn)行變形得到x-1t x=t (2.a)利用常數(shù)變易法設(shè)x=c1(t)t2+c2(t) (2.b) x=2tc1(t)+ c1'(t)t2+c2(t)令c1'(t)t2+c2(t)=0 (2.c)則x=2tc1(t) (2.d) x=2c1(t)+ 2tc1'(t) (2.e)將（2.d）(2.e)帶入（2.a）得到2tc1'(t)=t 所以c1(t)=12t+1 c2(t)=-1

15、6t3+2.所以原方程的通解為X=1t2+2+13t3，其中1，2為任意常數(shù).3.2特征根法例5.求解方程d2xdt2 x=0的通解.解：該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程是2-1=0，特征根為1=2=1.是兩個(gè)相等的實(shí)根.所以方程的通解為x=(c1+c2t)et,這里c1，c2是任意常數(shù).例6.求解方程d2xdt2 - 2dxdt3x=0的通解.解：該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程是2-2-3=0，特征根是1=-1，2=3.是兩個(gè)不相等的實(shí)根.所以該方程的通解為x=c1e-t + c2e3t,這里c1，c2是任意常數(shù).例7.求解方程d2xdt2 + x=0的通解.解：該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程是2+1=0，特征根為1

16、=i, 2=-i.是兩個(gè)復(fù)根.所以方程的通解為x=c1cost+c2sint,這里c1，c2是任意常數(shù).3.3比較系數(shù)法例8.求方程d2xdt2 + 4dxdt + 4x=cos2t的通解.解：該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程是2+4+4=0，特征根為1=2=-2.是兩個(gè)相等的 實(shí)根.所以齊次方程的通解為x=(c1+c2t)e-2t，設(shè)方程的一個(gè)特解為x=Acos2t+Bsin2t,dxdt=-2Asin2t+2Bcos2td2xdt2=-4Acos2t-4Bsin2t,將上式帶入原方程，整理得8Bcos2t-8Asin2t=cos2t,所以A=0，B=18所以原方程的通解為x=(c1+c2t)e-2t

17、 + 18sin2t.4.結(jié)束語(yǔ)對(duì)于二階常微分方程的初等解法及求解技巧，除了文中提及的三個(gè)方法之外還存在其他的求解技巧，針對(duì)不同的問題需要不同的解決方法.對(duì)多數(shù)問題而言,解決方法不止一種，同一問題的求解方法也有很多種，同時(shí)還需要根據(jù)自身對(duì)不同解法的熟悉程度選擇合適的解題技巧.如果大家對(duì)解題方法還有獨(dú)特的想法歡迎保持求知欲繼續(xù)探索新未知.參考文獻(xiàn)1王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程（第三版） 北京：高等教育出版社，2006.72黃贊，羅佩芳.一類二階微分方程的幾種解法J.廣東：中國(guó)科技信息，2009.3陳新一.一類二階常微分方程的特解J.蘭州：高等教學(xué)研究，2010.4熊燦，謝建新.二階

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