節(jié)點導納矩陣及潮流計算

1、武漢理工大學電力系統(tǒng)分析課程設(shè)計說明書目錄摘要 21任務及題目要求 22原理介紹 32.1節(jié)點導納矩陣 32.2牛頓-拉夫遜法 42.2.1牛頓-拉夫遜法基本原理 42.2.2牛頓-拉夫遜法潮流求解過程介紹 63分析計算 104結(jié)果分析 145總結(jié) 15參考資料 1611節(jié)點導納矩陣及潮流計算摘要電力網(wǎng)的運行狀態(tài)可用節(jié)點方程或回路方程來描述。節(jié)點導納矩陣是以系 統(tǒng)元件的等值導納為基礎(chǔ)所建立的、描述電力網(wǎng)絡各節(jié)點電壓和注入電流之間 關(guān)系的線性方程。潮流計算是電力系統(tǒng)分析中的一種最基本的計算，它的任務 是對給定的運行條件確定系統(tǒng)的運行狀態(tài)，如各母線上的電壓（幅值及相角）、 網(wǎng)絡中的功率分布及功率損

2、耗等。本文就節(jié)點導納矩陣和潮流進行分析和計算。1任務及題目要求題目初始條件:i3=0.75-j2.52所示電力系統(tǒng)潮流計算時其元件導納參數(shù)為：yi2=0.5-j3, y23=0.8-j4, y任務及要求：1 ）根據(jù)給定的運行條件，確定圖I各節(jié)點的類型和待求量;2）求節(jié)點導納矩陣Y;3) 給出潮流方程或功率方程的表達式；4) 當用牛頓-拉夫遜法計算潮流時，給出修正方程和迭代收斂條件。2原理介紹2.1節(jié)點導納矩陣節(jié)點導納矩陣既可根據(jù)自導納和互導納的定義直接求取，也可根據(jù)電路知 識中找出改網(wǎng)絡的關(guān)聯(lián)矩陣，在節(jié)點電壓方程的矩陣形式進行求解。本章節(jié)我 們主要討論的是直接求解導納矩陣。根據(jù)節(jié)點電壓方程章節(jié)

3、我們知道，在利用 電子數(shù)字計算機計算電力系統(tǒng)運行情況時，多采用IYV形式的節(jié)點方程式。其中階數(shù)等丁電力網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)。從而可以得到n個節(jié)點時的節(jié)點導納矩陣方程組：Y11V1 Y12V2YinVn = 11Y21V1+Y2N2 士 +Y2nVn = I 2*(2-1)Y11V1 YV2YVn = I n由此可以得到n個節(jié)點導納矩陣：zvv v3>11112Y1n_Y21Y22Y2n|丫 =I(2-2)IIYn1 Yn2 Ynn它反映了網(wǎng)絡的參數(shù)及接線情況，因此導納矩陣可以看成是對電力網(wǎng)絡電 氣特性的一種數(shù)學抽象。由導納短陣所聯(lián)系的節(jié)點方程式是電力網(wǎng)絡廣泛應用 的一種數(shù)學模型。通過上面的討論，

4、可以看出節(jié)點導納矩陣的有以下特點：(1) 導納矩陣的元素很容易根據(jù)網(wǎng)絡接線圖和支路參數(shù)直觀地求得，形成 節(jié)點導納矩陣的程序比較簡單。(2) 導納矩陣為對稱矩陣。由網(wǎng)絡的互易特性易知 Yij=¥i。(3) 導納矩陣是稀疏矩陣。它的對角線元素一般不為零，但在非對角線元 素中則存在不少零元素。在電力系統(tǒng)的接線圖中，一般每個節(jié)點與平均不超過 34個其他節(jié)點有直接的支路連接。因此，在導納矩陣的非對角線元素中每行 僅有34個非零元素，其余的都是零元素，而且網(wǎng)絡的規(guī)模越大，這種現(xiàn)象越 顯著。節(jié)點導納矩陣的形式可歸納如下：(1) 導納矩陣的階數(shù)等丁電力網(wǎng)絡(2) 導納矩陣各行非對角元素中非零元素的個

5、數(shù)等丁對應節(jié)點所連得不接 地支路數(shù)。(3) 導納矩陣各對角元素，即節(jié)點的自導納等丁相應節(jié)點之間的支路導納 之和。(4) 導納矩陣非對角元素，即節(jié)點之間的互導納等丁相應節(jié)點之間的支路 導納的負值。2.2牛頓-拉夫遜法2.2.1牛頓-拉夫遜法基本原理牛頓-拉夫遜法(簡稱牛頓法)在數(shù)學上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方 法。其要點是把非線性方程式的求解過程變成反復地對相應的線性方程式進行 求解的過程。即通常所稱的逐次線性化過程。對丁非線性代數(shù)方程組：f(x)=0 即 fi(Xi,X2，Xn)=0(i=1,2，n)(2-3)在待求量x的某一個初始估計值x(0)附近，將上式展開成泰勒級數(shù)并略去二 階及以上

6、的高階項，得到如下的經(jīng)線性化的方程組：f(x(0) f'(x(0).：x(0) =0(2-4)上式稱之為牛頓法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量. x(0) =f'(x(0)f(x(0)(2-5)將Ax(0)和x(0)相加，得到變量的第一次改進值x。接著就從x出發(fā)，重復上述計算過程。因此從一定的初值 x(0)出發(fā)，應用牛頓法求解的迭代格式為：f'(x(k).x(k) = - f(x(k)(2-6)(k 1)(k).(k)s fx = x lx(2-7)上兩式中：f'(x)是函數(shù)f(x)對丁變量x的一階偏導數(shù)矩陣，即雅可比矩 陣J; k為迭代次數(shù)。由上式

7、可見，牛頓法的核心便是反復形式并求解修正方程式。牛頓法當初 始估計值x(0)和方程的精確解足夠接近時，收斂速度非?？欤哂衅椒绞諗刻匦?。牛頓潮流算法突出的優(yōu)點是收斂速度快，若選擇到一個較好的初值，算法 將具有平方收斂特性，一般迭代 45次便可以收斂到一個非常精確的解。而且 其迭代次數(shù)與所計算網(wǎng)絡的規(guī)模基本無關(guān)。牛頓法也具有良好的收斂可靠性， 對丁對以節(jié)點導納矩陣為基礎(chǔ)的高斯法呈病態(tài)的系統(tǒng)，牛頓法也能可靠收斂。牛頓法所需的內(nèi)存量及每次迭代所需時間均較高斯法多。牛頓法的可靠收斂取決丁有一個良好的啟動初值。如果初值選擇不當，算 法有可能根本不收斂或收斂到一個無法運行的節(jié)點上。對丁正常運行的系統(tǒng)， 各

8、節(jié)點電壓一般均在額定值附近，偏移不會太大，并且各節(jié)點間的相位角差也 不大，所以對各節(jié)點可以采用統(tǒng)一的電壓初值(也稱為平直電壓)，如假定：Uj(0) =1。(0) =0 或 苛0) =1 fj(0) =0 (i = q1,2，n;i =s) (2-8)這樣一般能得到滿意的結(jié)果。但若系統(tǒng)因無功緊張或其它原因?qū)е码妷嘿|(zhì) 量很差或有重載線路而節(jié)點問角差很大時，仍用上述初始電壓就有可能出現(xiàn)問 題。解決這個問題的辦法可以用高斯法迭代12次，以此迭代結(jié)果作為牛頓法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一個較好的角度初值，然后轉(zhuǎn) 入牛頓法迭代。2.2.2牛頓-拉夫遜法潮流求解過程介紹以下討論的是用直角坐標

9、形式的牛頓一拉夫遜法潮流的求解過程。當采用 直角坐標時，潮流問題的待求量為各節(jié)點電壓的實部和虛部兩個分量 e，f 1，e2, f 2.印f n由丁平衡節(jié)點的電壓向量是給定的，因此待求兩共 2(n-1)需 要2(n-1)個方程式。事實上，除了平衡節(jié)點的功率方程式在迭代過程中沒有約 束作用以外，其余每個節(jié)點都可以列出兩個方程式。對PQ節(jié)點來說，Pis和Q.是給定的，因而可以寫出Pi = Pis -。-(G" Bij f j) - f j - (Gij f j Bij ©j) j.ij -iQi =Qis fGejBijf j) ej' (Gijf j B”) j -ij

10、-i因此可以列出(2-10)對PV節(jié)點來說，給定量是Pis和Vis ,Pi =Pis-e(Gm-Bijf j)-f(Gjf j Bm) =° j -ij -i2222jVi =Vis -(e f i) =0求解過程大致可以分為以下步驟：(1) 形成節(jié)點導納矩陣；(2) 將各節(jié)點電壓設(shè)初值U(3) 將節(jié)點初值代入相關(guān)求式，求出修正方程式的常數(shù)項向量;(4) 將節(jié)點電壓初值代入求式，求出雅可比矩陣元素；(5) 求解修正方程，求修正向量；(6) 求取節(jié)點電壓的新值;(7)檢查是否收斂，如不收斂，貝U以各節(jié)點電壓的新值作為初值自第3步重新開始進行狹義次迭代，否則轉(zhuǎn)入下一步；(8)計算支路功率

11、分布，PV節(jié)點無功功率和平衡節(jié)點注入功率 以直角坐標系形式表示：迭代推算式采用直角坐標時，節(jié)點電壓相量及復數(shù)導納可表示為M =e + jfiY =Gij jBij(2-11)將以上二關(guān)系式代入上式中，展開并分開實部和虛部；假定系統(tǒng)中的第 1,2，,m號為P-Q節(jié)點，第m+1,m+2廣，n-1為PV節(jié)點，根據(jù)節(jié)點性質(zhì)的 不同，得到如下迭代推算式：(1) 丁 PQ節(jié)點nnP = P -e £ (Gij©j Bij f j) - fi £ (Gj f j + Bj ej)j wj且nnAQ=Qi-fZ (Gjej -Bjfj)+e£ (Gjfj+Bjej)j

12、1j=1i =1,2， ，m (2-12)對丁 PV節(jié)點nnAP=P 。仲Bjfj) f2 (Gj fj 如偈)j mjT. v2 =v2i-(e2 fi2)i =m 1,m 2, ,n -1(2-13)對丁平衡節(jié)點平衡節(jié)點只設(shè)一個，電壓為已知，不參見迭代，其電壓為:Vn =e. jfn(2-14)修正方程兩組迭代式中包括2(n-1) 后代入，并將其按泰勒級數(shù)展開即m厘西m況+岔U2m 十活 .fiQm.fl田mi.fl:"U2m1 .em.em-：Pm1耳*U2m1若Pmf多；：fm一Pmlfm.Mi若Pm-em 1多-em 1-em 1:U 2m1fm1："'Q

13、mJm1jPmlfm1MU 2m1若Pm :em. g :enA -：Pm1:U 2m若Pm :fn1 ："'Qm :fn1 主:fn1Wm1個方程.選定電壓初值及變量修正量符號之,略去AeAfi二次方程及以后各項，得到修正方程如下:W = J AU(2-15)-APi1Ae 1 Qi其中， Pm；A emAW =AQmA Pm孝AU =AfmAem千 2AU m + f m 41aPn en.2U n _±Af 一面應此取 1伽即酒 11f1於m禽+辦+CfnX淬也擋西 1g5i檢mftn +辦+f-f1- q q能mmaem +a&m+a，a*a而吼吼也

14、Pn&®mmMm 十廿m+服四2n工如2J動U2n工動U2n工<U2j應2nL由U2m於U2n工&由mf島+廿m+(2-16)和(2-9)進行偏導而雅可比矩陣各元素的算式式(2-12)中,雅可比矩陣中的各元素可通過對式(2-8)求得.當j%時，雅可比矩陣中非對角元素為cApf ej必R¥f jQiT = -(GjeBij fi)"f j"Qi=BjO -Gj fi"§(2-17)22f U f U:'ej=0當j = i時，雅可比矩陣中對角元素為: p n _ 一 _ 一一、i =f (Gjej Bjfj

15、)Giie -Bii fi j 1n(Gj fjBj-GUi 司j In:eR-:fjcAQ _(Gj fj +Bjej)Giifi +BNej 4=空(GjAej Bjfj)+Giie +B"i 部jj 土2此i 喝=2e冬_ 2f亂fi(2-18)由式(2-13)和(2-18)看出，雅可比矩陣的特點: 矩陣中各元素是節(jié)點電壓的函數(shù)，在迭代過程中，這些元素隨著節(jié)點電壓 的變化而變化； 導納矩陣中的某些非對角元素為零時，雅可比矩陣中對應的元素也是為零 若Yj =0,則必有Jij =0 ； 雅可比矩陣不是對稱矩陣；(i =q1,2,，n;i =s)雅可比矩陣各元素的表示如下:Hj(Gj

16、e +Bj fi)(廣i)I £ (Gjej - Bj f j) Gii e - Bii fi (j = i) .ji(2-19)武漢理工大學電力系統(tǒng)分析課程設(shè)計說明書iiNj:PiBijG Gij fi)(j =i)-：fj-Z (Gjfj +Bjej)+Biie Giifi(j =i) j-iMjfQiBjO 6)(j =i)' (Gj fj Bjej) Bg -Giifi(j =i)j5LijGjei - Bj fi)(j =i)fj(Gq -Bj") Gg Bun = i)j-iRj-:ej_0 (j =i)一 .-2e(j =i)Sij*U2i：fj0 (

17、j =i)一 .-2fi(j =i)(2-20)(2-21 )(2-22 )(2-23)3分析計算1. 根據(jù)給定的運行條件，確定圖中所示電力系統(tǒng)潮流計算時各節(jié)點的類型和待求量根據(jù)圖中可以看出各節(jié)點的類型和待求量分別為：節(jié)點1: PQ節(jié)點待求量：U ,臼節(jié)點2: PV節(jié)點待求量：Q,8節(jié)點3:平衡節(jié)點待求量：P,Q2. 求節(jié)點導納矩陣YY1i =乂2 乂3 =1.25-j5.5Y22 =y" y23 =1*j7Y33 = y23 y3 =1.55 - j6.5Y21 =Y2 =-0.5 +j3Y32 % = -0.8 j4Y31 =Y3 = 0.75+ j2.5所以節(jié)點導納矩陣為:i.

18、25 - j5.5 -0.5 + j3 j-0.75 + j2.5-0.5 j3i.3 - j7-0.8 j4-0.75 j2.5 0.8 + j4 i.55 - j6.53.潮流方程或功率方程的表達式因為對n個節(jié)點的網(wǎng)絡，電力系統(tǒng)的潮流方程一般形式是:Pi - jQ in.=' Yj V jj =i(i=1,2，n)其中Pi= PGi - P Ldi, Qi = QGi - Q Ldi ,即PQ分別為節(jié)點的有功功率無功功率。所以代入得潮流方程:2-jiUi i=(1.25-j5.5) Ui 、i+(0.5-j3)億 &2+(0.75-j2.5) 化0°0.5 -jq

19、2i、2=(0.5-j3) Ui 、i+(1.3-j7)-U§2+(0.8-j4) i匕 0°P3 *i 04.用牛頓-拉夫遜法計算潮流時，給出修正方程和迭代收斂條件=(0.75-j2.5) Ui 、i+(0.8-j4) iN&2+(i.55-j6.5)億0。(i)修正方程計算i、2節(jié)點的不平衡量 峭、AQj和AVi33% -Pi。= Ph 苛"Gije- Bijfj0 fi°" Gijfj0Bq- j tj 日=一2 7.G”Gi2 Gi3 = 一2 一 0 = 一233Qf)= Qis-Qf)=Qis- |fi性 ©招&#

20、176;)2"樣)一61十(Gj fj0)+B0)-度ji一=一1 一 BiiB12 B13 = 一1一0 =1AV其)=|V2S|2 |vq2 =0節(jié)點3是平衡節(jié)點，其電壓Vi =e十jfi是給定的，故不參加迭代。根據(jù)給定的容許誤差 & =10里，按收斂判據(jù)max 扣眄曲。)奶(坪< &進修正方程式為行校驗，以上節(jié)點1、2的不平衡量都未滿足收斂條件，丁是繼續(xù)以下計算。AW=APQi明2"TV =腿油e f2 T-一洗P硒Pi孫P顯Pi 1cei昂斑2cf2站Qi弟Qi期1於Qicf1ce2cf2EAR犯P2弟P2於P2弟斑2潦2汕22於v22弟V；員

21、V；_務ce2色一.州=-J V (n=3)J以上雅可比矩陣J中的各元素值是通過求偏導數(shù)獲得的，對 PQ節(jié)點來說, pis和。治是給定的，因而可以寫出Pi = Pis 一巳£_。臨 一 Bn f j) 一 f 聲_ (Gu f j * Be) = 0 jiujiuQi =Qis - f(Ge -Bij f j)+e上(Gjf / B4 = 0ji=ji=j對pv節(jié)點來說，給定量是 Pis和Vis,因此可以列出Pi = PisePGuej Bijf j f i如Gijf j + BQ0jiujiu222.2Pi =Ve( i f 廣°/武漢理工大學電力系統(tǒng)分析課程設(shè)計說明書當

22、j/i時，雅可比矩陣中非對角元素為三匚-蕓=-而Bjfi) j."：ej若 fj於PicAQi _o _ fM=； = Bije Gij fi：fj ； : ej22UU c=0-:fj當j =i時，雅可比矩陣中對角元素為：EAR n =一£一Bij fj)GN -Bn £ 免jmEARnfjQi：'qfQi'=£ (Gij fj +8©)Gifi+Biiej w=L (GJ 圮伯)GU «傳j日n(GijMjBij fj)+Gii0+Biifij日2? Uiu2fi代入數(shù)值后的修正方程為-1.25-5.50.53 1

23、ejf-21-5.51.253-0.510.53-1.3_ 7e20.5-00-20 一fI0 -求解修正方程得一si * e*2 一-0.2547-0.3611 0一0.1015 一(2)收斂條件e11 =苛 g0 =1 0.2547 = 0.7453f11 = f10：f0 =0 0.3611 = -0.3611e21)=ef)+Aef )=1 0 =1f21 =f2°：f20 =00.1015 = -0.1015一輪迭代結(jié)束，根據(jù)收斂條件收斂判據(jù)maxfAR(k) AQi(k)AVi2(k,若等式成立，結(jié)果收斂，迭代結(jié)束，計算平衡節(jié)點的功率和線路潮流計算，否則繼 續(xù)計算雅可比矩陣，解修正方程，直到滿足收斂判據(jù)。4結(jié)果分析給定節(jié)點電壓初值efLe? )= eg )=1.0, f(0 )= f2(0 )= f3(0 )= 0 ,經(jīng)過四次筆算迭代過程后，得到節(jié)點電壓和不平衡功率的變化情況分別丁表4.1和表4.2所示(取&am