節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣及潮流計(jì)算

1、武漢理工大學(xué)電力系統(tǒng)分析課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)目錄摘要 21任務(wù)及題目要求 22原理介紹 32.1節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣 32.2牛頓-拉夫遜法 42.2.1牛頓-拉夫遜法基本原理 42.2.2牛頓-拉夫遜法潮流求解過(guò)程介紹 63分析計(jì)算 104結(jié)果分析 145總結(jié) 15參考資料 1611節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣及潮流計(jì)算摘要電力網(wǎng)的運(yùn)行狀態(tài)可用節(jié)點(diǎn)方程或回路方程來(lái)描述。節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣是以系 統(tǒng)元件的等值導(dǎo)納為基礎(chǔ)所建立的、描述電力網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)電壓和注入電流之間 關(guān)系的線性方程。潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)分析中的一種最基本的計(jì)算，它的任務(wù) 是對(duì)給定的運(yùn)行條件確定系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，如各母線上的電壓（幅值及相角）、 網(wǎng)絡(luò)中的功率分布及功率損

2、耗等。本文就節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣和潮流進(jìn)行分析和計(jì)算。1任務(wù)及題目要求題目初始條件:i3=0.75-j2.52所示電力系統(tǒng)潮流計(jì)算時(shí)其元件導(dǎo)納參數(shù)為：yi2=0.5-j3, y23=0.8-j4, y任務(wù)及要求：1 ）根據(jù)給定的運(yùn)行條件，確定圖I各節(jié)點(diǎn)的類(lèi)型和待求量;2）求節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y;3) 給出潮流方程或功率方程的表達(dá)式；4) 當(dāng)用牛頓-拉夫遜法計(jì)算潮流時(shí)，給出修正方程和迭代收斂條件。2原理介紹2.1節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣既可根據(jù)自導(dǎo)納和互導(dǎo)納的定義直接求取，也可根據(jù)電路知 識(shí)中找出改網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)矩陣，在節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式進(jìn)行求解。本章節(jié)我 們主要討論的是直接求解導(dǎo)納矩陣。根據(jù)節(jié)點(diǎn)電壓方程章節(jié)

3、我們知道，在利用 電子數(shù)字計(jì)算機(jī)計(jì)算電力系統(tǒng)運(yùn)行情況時(shí)，多采用IYV形式的節(jié)點(diǎn)方程式。其中階數(shù)等丁電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。從而可以得到n個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣方程組：Y11V1 Y12V2YinVn = 11Y21V1+Y2N2 士 +Y2nVn = I 2*(2-1)Y11V1 YV2YVn = I n由此可以得到n個(gè)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣：zvv v3>11112Y1n_Y21Y22Y2n|丫 =I(2-2)IIYn1 Yn2 Ynn它反映了網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)及接線情況，因此導(dǎo)納矩陣可以看成是對(duì)電力網(wǎng)絡(luò)電 氣特性的一種數(shù)學(xué)抽象。由導(dǎo)納短陣所聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)方程式是電力網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用 的一種數(shù)學(xué)模型。通過(guò)上面的討論，

4、可以看出節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的有以下特點(diǎn)：(1) 導(dǎo)納矩陣的元素很容易根據(jù)網(wǎng)絡(luò)接線圖和支路參數(shù)直觀地求得，形成 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的程序比較簡(jiǎn)單。(2) 導(dǎo)納矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣。由網(wǎng)絡(luò)的互易特性易知 Yij=¥i。(3) 導(dǎo)納矩陣是稀疏矩陣。它的對(duì)角線元素一般不為零，但在非對(duì)角線元 素中則存在不少零元素。在電力系統(tǒng)的接線圖中，一般每個(gè)節(jié)點(diǎn)與平均不超過(guò) 34個(gè)其他節(jié)點(diǎn)有直接的支路連接。因此，在導(dǎo)納矩陣的非對(duì)角線元素中每行 僅有34個(gè)非零元素，其余的都是零元素，而且網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模越大，這種現(xiàn)象越 顯著。節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的形式可歸納如下：(1) 導(dǎo)納矩陣的階數(shù)等丁電力網(wǎng)絡(luò)(2) 導(dǎo)納矩陣各行非對(duì)角元素中非零元素的個(gè)

5、數(shù)等丁對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)所連得不接 地支路數(shù)。(3) 導(dǎo)納矩陣各對(duì)角元素，即節(jié)點(diǎn)的自導(dǎo)納等丁相應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的支路導(dǎo)納 之和。(4) 導(dǎo)納矩陣非對(duì)角元素，即節(jié)點(diǎn)之間的互導(dǎo)納等丁相應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的支路 導(dǎo)納的負(fù)值。2.2牛頓-拉夫遜法2.2.1牛頓-拉夫遜法基本原理牛頓-拉夫遜法(簡(jiǎn)稱(chēng)牛頓法)在數(shù)學(xué)上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方 法。其要點(diǎn)是把非線性方程式的求解過(guò)程變成反復(fù)地對(duì)相應(yīng)的線性方程式進(jìn)行 求解的過(guò)程。即通常所稱(chēng)的逐次線性化過(guò)程。對(duì)丁非線性代數(shù)方程組：f(x)=0 即 fi(Xi,X2，Xn)=0(i=1,2，n)(2-3)在待求量x的某一個(gè)初始估計(jì)值x(0)附近，將上式展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)并略去二 階及以上

6、的高階項(xiàng)，得到如下的經(jīng)線性化的方程組：f(x(0) f'(x(0).：x(0) =0(2-4)上式稱(chēng)之為牛頓法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量. x(0) =f'(x(0)f(x(0)(2-5)將Ax(0)和x(0)相加，得到變量的第一次改進(jìn)值x。接著就從x出發(fā)，重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程。因此從一定的初值 x(0)出發(fā)，應(yīng)用牛頓法求解的迭代格式為：f'(x(k).x(k) = - f(x(k)(2-6)(k 1)(k).(k)s fx = x lx(2-7)上兩式中：f'(x)是函數(shù)f(x)對(duì)丁變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，即雅可比矩 陣J; k為迭代次數(shù)。由上式

7、可見(jiàn)，牛頓法的核心便是反復(fù)形式并求解修正方程式。牛頓法當(dāng)初 始估計(jì)值x(0)和方程的精確解足夠接近時(shí)，收斂速度非?？?，具有平方收斂特性。牛頓潮流算法突出的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，若選擇到一個(gè)較好的初值，算法 將具有平方收斂特性，一般迭代 45次便可以收斂到一個(gè)非常精確的解。而且 其迭代次數(shù)與所計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的規(guī)?；緹o(wú)關(guān)。牛頓法也具有良好的收斂可靠性， 對(duì)丁對(duì)以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯法呈病態(tài)的系統(tǒng)，牛頓法也能可靠收斂。牛頓法所需的內(nèi)存量及每次迭代所需時(shí)間均較高斯法多。牛頓法的可靠收斂取決丁有一個(gè)良好的啟動(dòng)初值。如果初值選擇不當(dāng)，算 法有可能根本不收斂或收斂到一個(gè)無(wú)法運(yùn)行的節(jié)點(diǎn)上。對(duì)丁正常運(yùn)行的系統(tǒng)， 各

8、節(jié)點(diǎn)電壓一般均在額定值附近，偏移不會(huì)太大，并且各節(jié)點(diǎn)間的相位角差也 不大，所以對(duì)各節(jié)點(diǎn)可以采用統(tǒng)一的電壓初值(也稱(chēng)為平直電壓)，如假定：Uj(0) =1。(0) =0 或 苛0) =1 fj(0) =0 (i = q1,2，n;i =s) (2-8)這樣一般能得到滿意的結(jié)果。但若系統(tǒng)因無(wú)功緊張或其它原因?qū)е码妷嘿|(zhì) 量很差或有重載線路而節(jié)點(diǎn)問(wèn)角差很大時(shí)，仍用上述初始電壓就有可能出現(xiàn)問(wèn) 題。解決這個(gè)問(wèn)題的辦法可以用高斯法迭代12次，以此迭代結(jié)果作為牛頓法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一個(gè)較好的角度初值，然后轉(zhuǎn) 入牛頓法迭代。2.2.2牛頓-拉夫遜法潮流求解過(guò)程介紹以下討論的是用直角坐標(biāo)

9、形式的牛頓一拉夫遜法潮流的求解過(guò)程。當(dāng)采用 直角坐標(biāo)時(shí)，潮流問(wèn)題的待求量為各節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)分量 e，f 1，e2, f 2.印f n由丁平衡節(jié)點(diǎn)的電壓向量是給定的，因此待求兩共 2(n-1)需 要2(n-1)個(gè)方程式。事實(shí)上，除了平衡節(jié)點(diǎn)的功率方程式在迭代過(guò)程中沒(méi)有約 束作用以外，其余每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以列出兩個(gè)方程式。對(duì)PQ節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，Pis和Q.是給定的，因而可以寫(xiě)出Pi = Pis -。-(G" Bij f j) - f j - (Gij f j Bij ©j) j.ij -iQi =Qis fGejBijf j) ej' (Gijf j B”) j -ij

10、-i因此可以列出(2-10)對(duì)PV節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，給定量是Pis和Vis ,Pi =Pis-e(Gm-Bijf j)-f(Gjf j Bm) =° j -ij -i2222jVi =Vis -(e f i) =0求解過(guò)程大致可以分為以下步驟：(1) 形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；(2) 將各節(jié)點(diǎn)電壓設(shè)初值U(3) 將節(jié)點(diǎn)初值代入相關(guān)求式，求出修正方程式的常數(shù)項(xiàng)向量;(4) 將節(jié)點(diǎn)電壓初值代入求式，求出雅可比矩陣元素；(5) 求解修正方程，求修正向量；(6) 求取節(jié)點(diǎn)電壓的新值;(7)檢查是否收斂，如不收斂，貝U以各節(jié)點(diǎn)電壓的新值作為初值自第3步重新開(kāi)始進(jìn)行狹義次迭代，否則轉(zhuǎn)入下一步；(8)計(jì)算支路功率

11、分布，PV節(jié)點(diǎn)無(wú)功功率和平衡節(jié)點(diǎn)注入功率 以直角坐標(biāo)系形式表示：迭代推算式采用直角坐標(biāo)時(shí)，節(jié)點(diǎn)電壓相量及復(fù)數(shù)導(dǎo)納可表示為M =e + jfiY =Gij jBij(2-11)將以上二關(guān)系式代入上式中，展開(kāi)并分開(kāi)實(shí)部和虛部；假定系統(tǒng)中的第 1,2，,m號(hào)為P-Q節(jié)點(diǎn)，第m+1,m+2廣，n-1為PV節(jié)點(diǎn)，根據(jù)節(jié)點(diǎn)性質(zhì)的 不同，得到如下迭代推算式：(1) 丁 PQ節(jié)點(diǎn)nnP = P -e £ (Gij©j Bij f j) - fi £ (Gj f j + Bj ej)j wj且nnAQ=Qi-fZ (Gjej -Bjfj)+e£ (Gjfj+Bjej)j

12、1j=1i =1,2， ，m (2-12)對(duì)丁 PV節(jié)點(diǎn)nnAP=P 。仲Bjfj) f2 (Gj fj 如偈)j mjT. v2 =v2i-(e2 fi2)i =m 1,m 2, ,n -1(2-13)對(duì)丁平衡節(jié)點(diǎn)平衡節(jié)點(diǎn)只設(shè)一個(gè)，電壓為已知，不參見(jiàn)迭代，其電壓為:Vn =e. jfn(2-14)修正方程兩組迭代式中包括2(n-1) 后代入，并將其按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)即m厘西m況+岔U2m 十活 .fiQm.fl田mi.fl:"U2m1 .em.em-：Pm1耳*U2m1若Pmf多；：fm一Pmlfm.Mi若Pm-em 1多-em 1-em 1:U 2m1fm1："'Q

13、mJm1jPmlfm1MU 2m1若Pm :em. g :enA -：Pm1:U 2m若Pm :fn1 ："'Qm :fn1 主:fn1Wm1個(gè)方程.選定電壓初值及變量修正量符號(hào)之,略去AeAfi二次方程及以后各項(xiàng)，得到修正方程如下:W = J AU(2-15)-APi1Ae 1 Qi其中， Pm；A emAW =AQmA Pm孝AU =AfmAem千 2AU m + f m 41aPn en.2U n _±Af 一面應(yīng)此取 1伽即酒 11f1於m禽+辦+CfnX淬也擋西 1g5i檢mftn +辦+f-f1- q q能mmaem +a&m+a，a*a而吼吼也

14、Pn&®mmMm 十廿m+服四2n工如2J動(dòng)U2n工動(dòng)U2n工<U2j應(yīng)2nL由U2m於U2n工&由mf島+廿m+(2-16)和(2-9)進(jìn)行偏導(dǎo)而雅可比矩陣各元素的算式式(2-12)中,雅可比矩陣中的各元素可通過(guò)對(duì)式(2-8)求得.當(dāng)j%時(shí)，雅可比矩陣中非對(duì)角元素為cApf ej必R¥f jQiT = -(GjeBij fi)"f j"Qi=BjO -Gj fi"§(2-17)22f U f U:'ej=0當(dāng)j = i時(shí)，雅可比矩陣中對(duì)角元素為: p n _ 一 _ 一一、i =f (Gjej Bjfj

15、)Giie -Bii fi j 1n(Gj fjBj-GUi 司j In:eR-:fjcAQ _(Gj fj +Bjej)Giifi +BNej 4=空(GjAej Bjfj)+Giie +B"i 部jj 土2此i 喝=2e冬_ 2f亂fi(2-18)由式(2-13)和(2-18)看出，雅可比矩陣的特點(diǎn): 矩陣中各元素是節(jié)點(diǎn)電壓的函數(shù)，在迭代過(guò)程中，這些元素隨著節(jié)點(diǎn)電壓 的變化而變化； 導(dǎo)納矩陣中的某些非對(duì)角元素為零時(shí)，雅可比矩陣中對(duì)應(yīng)的元素也是為零 若Yj =0,則必有Jij =0 ； 雅可比矩陣不是對(duì)稱(chēng)矩陣；(i =q1,2,，n;i =s)雅可比矩陣各元素的表示如下:Hj(Gj

16、e +Bj fi)(廣i)I £ (Gjej - Bj f j) Gii e - Bii fi (j = i) .ji(2-19)武漢理工大學(xué)電力系統(tǒng)分析課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)iiNj:PiBijG Gij fi)(j =i)-：fj-Z (Gjfj +Bjej)+Biie Giifi(j =i) j-iMjfQiBjO 6)(j =i)' (Gj fj Bjej) Bg -Giifi(j =i)j5LijGjei - Bj fi)(j =i)fj(Gq -Bj") Gg Bun = i)j-iRj-:ej_0 (j =i)一 .-2e(j =i)Sij*U2i：fj0 (

17、j =i)一 .-2fi(j =i)(2-20)(2-21 )(2-22 )(2-23)3分析計(jì)算1. 根據(jù)給定的運(yùn)行條件，確定圖中所示電力系統(tǒng)潮流計(jì)算時(shí)各節(jié)點(diǎn)的類(lèi)型和待求量根據(jù)圖中可以看出各節(jié)點(diǎn)的類(lèi)型和待求量分別為：節(jié)點(diǎn)1: PQ節(jié)點(diǎn)待求量：U ,臼節(jié)點(diǎn)2: PV節(jié)點(diǎn)待求量：Q,8節(jié)點(diǎn)3:平衡節(jié)點(diǎn)待求量：P,Q2. 求節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣YY1i =乂2 乂3 =1.25-j5.5Y22 =y" y23 =1*j7Y33 = y23 y3 =1.55 - j6.5Y21 =Y2 =-0.5 +j3Y32 % = -0.8 j4Y31 =Y3 = 0.75+ j2.5所以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為:i.

18、25 - j5.5 -0.5 + j3 j-0.75 + j2.5-0.5 j3i.3 - j7-0.8 j4-0.75 j2.5 0.8 + j4 i.55 - j6.53.潮流方程或功率方程的表達(dá)式因?yàn)閷?duì)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，電力系統(tǒng)的潮流方程一般形式是:Pi - jQ in.=' Yj V jj =i(i=1,2，n)其中Pi= PGi - P Ldi, Qi = QGi - Q Ldi ,即PQ分別為節(jié)點(diǎn)的有功功率無(wú)功功率。所以代入得潮流方程:2-jiUi i=(1.25-j5.5) Ui 、i+(0.5-j3)億 &2+(0.75-j2.5) 化0°0.5 -jq

19、2i、2=(0.5-j3) Ui 、i+(1.3-j7)-U§2+(0.8-j4) i匕 0°P3 *i 04.用牛頓-拉夫遜法計(jì)算潮流時(shí)，給出修正方程和迭代收斂條件=(0.75-j2.5) Ui 、i+(0.8-j4) iN&2+(i.55-j6.5)億0。(i)修正方程計(jì)算i、2節(jié)點(diǎn)的不平衡量 峭、AQj和AVi33% -Pi。= Ph 苛"Gije- Bijfj0 fi°" Gijfj0Bq- j tj 日=一2 7.G”Gi2 Gi3 = 一2 一 0 = 一233Qf)= Qis-Qf)=Qis- |fi性 ©招&#

20、176;)2"樣)一61十(Gj fj0)+B0)-度ji一=一1 一 BiiB12 B13 = 一1一0 =1AV其)=|V2S|2 |vq2 =0節(jié)點(diǎn)3是平衡節(jié)點(diǎn)，其電壓Vi =e十jfi是給定的，故不參加迭代。根據(jù)給定的容許誤差 & =10里，按收斂判據(jù)max 扣眄曲。)奶(坪< &進(jìn)修正方程式為行校驗(yàn)，以上節(jié)點(diǎn)1、2的不平衡量都未滿足收斂條件，丁是繼續(xù)以下計(jì)算。AW=APQi明2"TV =腿油e f2 T-一洗P硒Pi孫P顯Pi 1cei昂斑2cf2站Qi弟Qi期1於Qicf1ce2cf2EAR犯P2弟P2於P2弟斑2潦2汕22於v22弟V；員

21、V；_務(wù)ce2色一.州=-J V (n=3)J以上雅可比矩陣J中的各元素值是通過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)獲得的，對(duì) PQ節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō), pis和。治是給定的，因而可以寫(xiě)出Pi = Pis 一巳£_。臨 一 Bn f j) 一 f 聲_ (Gu f j * Be) = 0 jiujiuQi =Qis - f(Ge -Bij f j)+e上(Gjf / B4 = 0ji=ji=j對(duì)pv節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，給定量是 Pis和Vis,因此可以列出Pi = PisePGuej Bijf j f i如Gijf j + BQ0jiujiu222.2Pi =Ve( i f 廣°/武漢理工大學(xué)電力系統(tǒng)分析課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)當(dāng)

22、j/i時(shí)，雅可比矩陣中非對(duì)角元素為三匚-蕓=-而B(niǎo)jfi) j."：ej若 fj於PicAQi _o _ fM=； = Bije Gij fi：fj ； : ej22UU c=0-:fj當(dāng)j =i時(shí)，雅可比矩陣中對(duì)角元素為：EAR n =一£一Bij fj)GN -Bn £ 免jmEARnfjQi：'qfQi'=£ (Gij fj +8©)Gifi+Biiej w=L (GJ 圮伯)GU «傳j日n(GijMjBij fj)+Gii0+Biifij日2? Uiu2fi代入數(shù)值后的修正方程為-1.25-5.50.53 1

23、ejf-21-5.51.253-0.510.53-1.3_ 7e20.5-00-20 一fI0 -求解修正方程得一si * e*2 一-0.2547-0.3611 0一0.1015 一(2)收斂條件e11 =苛 g0 =1 0.2547 = 0.7453f11 = f10：f0 =0 0.3611 = -0.3611e21)=ef)+Aef )=1 0 =1f21 =f2°：f20 =00.1015 = -0.1015一輪迭代結(jié)束，根據(jù)收斂條件收斂判據(jù)maxfAR(k) AQi(k)AVi2(k,若等式成立，結(jié)果收斂，迭代結(jié)束，計(jì)算平衡節(jié)點(diǎn)的功率和線路潮流計(jì)算，否則繼 續(xù)計(jì)算雅可比矩陣，解修正方程，直到滿足收斂判據(jù)。4結(jié)果分析給定節(jié)點(diǎn)電壓初值efLe? )= eg )=1.0, f(0 )= f2(0 )= f3(0 )= 0 ,經(jīng)過(guò)四次筆算迭代過(guò)程后，得到節(jié)點(diǎn)電壓和不平衡功率的變化情況分別丁表4.1和表4.2所示(取&am