帶電粒子在磁場中的運動(磁聚焦)

1、 當帶電粒子從同一邊界入射當帶電粒子從同一邊界入射出射時速度與邊界夾角相同出射時速度與邊界夾角相同對稱性對稱性 所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過O點。這些軌跡圓的圓心都在以點。這些軌跡圓的圓心都在以O為圓為圓心，半徑為心，半徑為r的且位于第的且位于第象限的四分象限的四分之一圓周上，如圖所示。之一圓周上，如圖所示。 電子由電子由O點射入第點射入第象限做勻速象限做勻速圓周運動圓周運動2000vmvev Bm r=reB2220112()(1)()422mvSrreBmin 即所有出射點均在以坐標即所有出射點均在以坐標(0，r)為圓心的圓弧為圓心的圓弧abO上，顯然，

2、上，顯然，磁場分布的最小面積磁場分布的最小面積應是實線應是實線1和圓弧和圓弧abO所圍的面積，由幾何所圍的面積，由幾何關系得關系得 由圖可知，由圖可知，a、b、c、d 等點就是各電等點就是各電子離開磁場的出射點，均應滿足方程子離開磁場的出射點，均應滿足方程x2 + (ry)2=r2。222202212()(1)422m vrSre B 設設P(x，y)為磁場下邊界上的一為磁場下邊界上的一點，經(jīng)過該點的電子初速度與點，經(jīng)過該點的電子初速度與x軸軸夾角為夾角為 ，則由圖可知：，則由圖可知：x = rsin ， y = rrcos ，得得: x2 + (yr)2 = r2。 所以磁場區(qū)域的下邊界也是

3、半徑為所以磁場區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為，圓心為(0，r)的的圓弧應是磁場區(qū)域的下邊界。圓弧應是磁場區(qū)域的下邊界。磁場上邊界如圖線磁場上邊界如圖線1所示。所示。 兩邊界之間圖形的面積即為所求。兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰影區(qū)域面圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場區(qū)域面積：積，即為磁場區(qū)域面積：解析：解析：(1) 帶電微粒所受重力和電場力平衡。由帶電微粒所受重力和電場力平衡。由Eq=mg，可得，可得E=mg/q，方向沿，方向沿y軸正方向。軸正方向。 帶電微粒進入磁場后，將做圓周運動。如圖（帶電微粒進入磁場后，將做圓周運動。如圖（a),軌跡半徑為軌跡半徑為r=R，由，由Bqv=mv2/r

4、得，得，B=mv/qR,方向垂直于紙面向外。方向垂直于紙面向外。如圖（如圖（b)所示，從任一點所示，從任一點P水平進入磁場的水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為帶電微粒在磁場中做半徑為R 的勻速圓周運動，圓的勻速圓周運動，圓心位于其正下方的心位于其正下方的Q點，設微粒從點，設微粒從M 點離開磁點離開磁場可證明四邊形場可證明四邊形PO MQ是菱形，則是菱形，則M 點就是坐點就是坐標原點，故這束帶電微粒都通過坐標原點標原點，故這束帶電微粒都通過坐標原點0 xyRO/Ov帶點微粒發(fā)射帶點微粒發(fā)射裝置裝置CPQr圖圖 (c)（2009海南海南T16）如圖，如圖，ABCD是邊長為是邊長為a的正方形。的

5、正方形。質(zhì)量為質(zhì)量為m電荷量為電荷量為e的電子以大小為的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂的初速度沿紙面垂直于直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當區(qū)域中有勻邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當區(qū)域中有勻強磁場，電子從強磁場，電子從BC邊上的任意點入射，都只能從邊上的任意點入射，都只能從A點射點射出磁場。不計重力，求：出磁場。不計重力，求：（1）此勻強磁場區(qū)域中磁感應強度的大小和方向；）此勻強磁場區(qū)域中磁感應強度的大小和方向；（2）此勻強磁場區(qū)域的最小面積。）此勻強磁場區(qū)域的最小面積。ABCD（1）設勻強磁場的磁感應強度的大小為）設勻強磁場的磁感應強度的大小為B。令圓弧。令圓弧AEC是自是自C點垂

6、直于點垂直于BC入射的電子在磁場中的運行軌道。入射的電子在磁場中的運行軌道。依題意，圓心在依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，連線的中垂線上，故故B點即為圓心，圓半徑為點即為圓心，圓半徑為a，按照牛頓定律有，按照牛頓定律有 ev0B= mv02/a，得，得B= mv0/ea。（2）自）自BC邊上其他點入射的電子運動軌道只能在邊上其他點入射的電子運動軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧區(qū)域中。因而，圓弧AEC是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界。是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界。設某射中設某射中A點的電子速度方向與點的電子速度方向與BA的延長線夾角為的延長線夾角為的情形。該電子的運動軌跡的情形。該電子的

7、運動軌跡qpA如圖所示。圖中圓弧如圖所示。圖中圓弧Ap的圓心為的圓心為O，pq垂直于垂直于BC邊邊 ，圓弧，圓弧Ap的半徑仍為的半徑仍為a，在在D為原點、為原點、DC為為x軸、軸、DA為為y軸的坐標系中，軸的坐標系中，p點的點的坐標為坐標為(x，y)，則，則 x=asin，y=acos。因此，所求的最小勻強磁場區(qū)域，是分別以因此，所求的最小勻強磁場區(qū)域，是分別以B和和D為圓心、為圓心、a為半徑的兩個四為半徑的兩個四分之一圓周分之一圓周AEC和和AFC所圍成的區(qū)域，其面積為所圍成的區(qū)域，其面積為S=2(a2/4-a2/2) =(-2)a2/2由式可得：由式可得：x2+y2=a2，這意味著在范圍，

8、這意味著在范圍0/2內(nèi)，內(nèi)，p點處在以點處在以D為圓心、為圓心、a為半徑的四分之一圓周為半徑的四分之一圓周AFC上，上，它是電子做直線運動和圓周運動的分界線，構(gòu)成所求它是電子做直線運動和圓周運動的分界線，構(gòu)成所求磁場區(qū)域的另一邊界。磁場區(qū)域的另一邊界。xv0yv0v0v0如圖，在如圖，在xOy平面內(nèi)，有以平面內(nèi)，有以O(R，0)為圓心，為圓心，R為半徑的圓為半徑的圓形磁場區(qū)域，磁感應強度大小為形磁場區(qū)域，磁感應強度大小為 B，方向垂直，方向垂直xOy平面向外，平面向外，在在 y=R上方有范圍足夠大的勻強電場，方向水平向右，電場上方有范圍足夠大的勻強電場，方向水平向右，電場強度大小為強度大小為E

9、。在坐標原點。在坐標原點O處有一放射源，可以在處有一放射源，可以在xOy平面平面內(nèi)向內(nèi)向 y 軸右側(cè)（軸右側(cè)（x 0）發(fā)射出速率相同的電子，已知電子在）發(fā)射出速率相同的電子，已知電子在該磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為該磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為 R， 電子電量為電子電量為 e，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m。 不計重力及阻力的作用。不計重力及阻力的作用。 （1）求電子射入磁場時的速度大小；）求電子射入磁場時的速度大小； （2）速度方向沿）速度方向沿x軸正方向射入磁場軸正方向射入磁場 的電子，求它到達的電子，求它到達y軸所需要的時間；軸所需要的時間； （3）求電子能夠射到）求電子能夠射到y(tǒng)軸上的范圍。軸上的范圍。 如圖為一

10、種質(zhì)譜儀工作原理示意圖。在如圖為一種質(zhì)譜儀工作原理示意圖。在以以O為圓心，為圓心，OH為對稱軸，夾角為為對稱軸，夾角為2的扇形區(qū)域內(nèi)分布的扇形區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直于紙面的勻強磁場。對稱于著方向垂直于紙面的勻強磁場。對稱于OH軸的軸的C和和D分分別是離子發(fā)射點和收集點。別是離子發(fā)射點和收集點。CM垂直磁場左邊界于垂直磁場左邊界于M，且，且OM=d。現(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角（紙面內(nèi)）從?，F(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角（紙面內(nèi)）從C射出，射出，這些離子在這些離子在CM方向上的分速度均為方向上的分速度均為v0。若該離子束中比。若該離子束中比荷為荷為q/m的離子都能會聚到的離子都能會聚到D，試求：，試求： （

11、1）磁感應強度的大小和方向）磁感應強度的大小和方向（提示：可考慮沿（提示：可考慮沿CM方向運方向運動的離子為研究對象）動的離子為研究對象）；（2）離子沿與）離子沿與CM成成 角的直線角的直線 CN進入磁場，其軌道半徑和在進入磁場，其軌道半徑和在 磁場中的運動時間；磁場中的運動時間；（3）線段）線段CM的長度。的長度。 （1）如圖所示，設沿）如圖所示，設沿CM方向運動的離子在磁場中做圓周運方向運動的離子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為動的軌道半徑為R，由由R=d ，qv0B = mv02/R可得可得 B=mv0/qd，磁場方向垂直紙面向外。磁場方向垂直紙面向外。R=mv/qB 0)(2v)sin( dMNsinRR=mv/qB 例、例、在磁場在磁場B中，粒子受洛侖茲力作用中，粒子受洛侖茲力作用作半徑為作半徑為r的圓周運動：的圓周運動： 設半徑為設半徑為r的圓軌道上運動的粒子，