時間序列預測法2

1、第四章第四章 時間序列預測法時間序列預測法預測與決策技術預測與決策技術李李 時時 時間序列，是指一組按時間先后順序排列的同一現(xiàn)象的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。經(jīng)濟現(xiàn)象和市場行情總是隨著時間的推移而變動的。經(jīng)濟研究或企業(yè)管理部門要掌握經(jīng)濟活動或行情的變化情況及趨勢，要對未來作出科學的預測和決策，就需要及時了解和分析與時間有關的一系列統(tǒng)計資料。按慣性原則，從一組時間序列過去變化規(guī)律的分析來推斷今后變化狀況或趨勢的方法，就稱為時間序列預測法。這種方法簡便易行，不用分析其影響因素，只利用被預測量本身的歷史數(shù)據(jù)。主要用于那些分析影響因素比較困難或相關變量資料難于獲得的場合。由于這種方法是建立在歷史規(guī)律引伸的基礎上，因此一

2、般只適合做短期預測。w 在預測實踐中，人們有時采用一種樸素的預測方法。比如，在月度銷售預測中，往往可以簡單地采用最近月份的銷售量作為下一個月份銷售量的預測值。但這種方法過于粗糙，如果時間序列資料包含有大量的隨機成分，采用這種樸素預測法將產(chǎn)生較大偏差。為了消除這些隨機變動成分的影響，人們對樸素預測法做了適當?shù)母倪M，從而產(chǎn)生了移動平均法。w 所謂移動平均法，就是從時間序列的第一項開始，按一定項數(shù)求平均值，由遠而近，逐項向前移動，邊移動邊平均。并將接近預測期的最后一個移動平均值作為確定預測值的依據(jù)。由于利用平均值進行預測，便較好地減小或削弱了隨機不規(guī)則變動因素的影響。 1 移動平均法移動平均法一、簡

3、單移動平均法的原理及應用一、簡單移動平均法的原理及應用w采用簡單移動平均方式求得移動平均值，進而進行預測的方法稱為簡單移動平均法簡單移動平均法。w設時間序列為yt，t=1，2，T，移動平均的項數(shù)為n， n T，則第t期的簡單算術移動平均值的一般計算公式為nyyyMntttt11則第t+1期的預測值約定為ttMy1由此，還可以得到一個遞推預測公式，即 nyyynyyMnyyyyntttntttntttt1111 上式表明，由簡單移動平均法得出的每一新預測值都是對前一移動平均預測值的修正。這種修正體現(xiàn)為增加了最新觀測值，而去掉了遠期觀測值。 一般情況下，移動平均的項數(shù)n取得越大，對原序列修勻的程度

4、越大。如果原始序列含有季節(jié)波動，移動平均的項數(shù)n應取得和季節(jié)波動周期一致，這樣對原序列修勻的效果較好。簡單移動平均法只能做一步預測，且僅適用于平穩(wěn)發(fā)展的序列，用于有明顯上升（或下降）趨勢的時間序列預測，會產(chǎn)生滯后誤差。w例例41 某地區(qū)19861998年的糧食產(chǎn)量如表41第(2)欄所列，試用簡單移動平均法（取n3）預測該地區(qū)1999年糧食產(chǎn)量。w 表41 某地糧食產(chǎn)量統(tǒng)計及預測表P55.例1年份產(chǎn)量簡單移動平均預測值加權移動平均預測值1986284521987286311988282731989304772845228416.21990332122912729446.6199132056306

5、5431403.71992325023191532087.01993354503259032510.21994387283333633886.81995407323556036499.41996379113830339074.41997391513912438920.71998404733926539095.219993917839564.08871561372322269S2978.52689.3比較不同預測方法的優(yōu)劣，可以比較它們的預測均方標準差：21ttyyNS二、二、加權移動平均法的原理及應用加權移動平均法的原理及應用w 考慮到近期的水平要比遠期的水平對未來趨勢有更大的影響，可以采用加

6、權移動平均 的方式來計算移動平均值，即按距離預測期的遠近，給近期數(shù)據(jù)以較大的權數(shù)，而遠期數(shù)據(jù)給以較小的權數(shù)，這便是加權移動平均預測法。w 設時間序列觀測值yt, yt-1,，yt-n+1的權數(shù)分別取為1，2，n，則第t期的加權算術移動平均值為11niinntntttyyyM2111211121ntntttyyyMttMy1如果取則上式可簡化為仍然用Mt作為第t+1期的預測值，即w顯然，簡單移動平均法不過是加權移動平均法當權數(shù)w 1=2 =n=1時的特例。加權移動平均預測法的適用范圍及優(yōu)缺點與簡單移動平均預測法基本上是一樣的。例例42 在例41中取權數(shù)1=0.5，2=0.3，3=0.2，試計算該

7、地區(qū)糧食產(chǎn)量的三年加權移動平均預測值。結果見表41第(4)欄。三、三、線性二次移動平均法的原理及應用線性二次移動平均法的原理及應用w 前面介紹的兩種移動平均法也稱為一次移動平均法，用來預測具有線性增長(或下降)趨勢的時間序列所反映的經(jīng)濟現(xiàn)象時，往往比實際值偏低(或偏高)。為了克服這一不足，發(fā)展了線性二次移動平均法。該方法就是對一次移動平均值再計算一次移動平均值，并由此建立一個線性預測方程。w 把前面的一次移動平均值記為M t(1) ，把二次移動平均值記為M t(2) ，從而有 nMMMnMMMMntttntttt1121111112 設時間序列yt可表為時間t的線性模型，即 yt=a+bt+t

8、 式中，t為隨機項。 預測時，難以考慮t ，故現(xiàn)在假定yt=a+bt，從而于是預測方程為： bnbtaitbanynMniniitt2) 1()(1110101 可見，一次移動平均值M t(1) ，滯后于實際值yt， 同樣對M t(2) 有 bnMbnbtabnitbanMnMtniniitt2) 1() 1(2) 1()(111101012由此式可得 )(1221ttMMnb bMMbbnMtbaytttt21122) 1()( 記 )(1222121ttttttMMnbMMa則預測方程變?yōu)椋簍ttbay式中，為預測超前期。 例例4 43 3 某建材商店玻璃銷售量如表42所列，試預測該商店第

9、2年2月份的銷售量(取移動平均項數(shù)n=3)。w解解 顯然，該商店玻璃銷售量有明顯上升趨勢，故用線性二次移顯然，該商店玻璃銷售量有明顯上升趨勢，故用線性二次移動平均法作預測。按公式計算的相關值列于表動平均法作預測。按公式計算的相關值列于表4 42 2第第3 36 6列。列。w預測第2年2月份的銷售量：月份(t) 銷售量yt(箱) M t(1) M t(2) 12345678910111250455253485254505556515849.050.051.051.051.352.053.053.754.055.0 50.050.751.151.452.152.953.654.252.051.35

10、1.552.653.954.554.455.81.00.30.20.60.90.80.40.8ta tb 表42 某建材商店玻璃銷售量箱45728085521212212.bay 2 指數(shù)平滑預測法指數(shù)平滑預測法w 指數(shù)平滑法是加權移動平均法的進一步發(fā)展和完善，指數(shù)平滑法是加權移動平均法的進一步發(fā)展和完善，它是由美國經(jīng)濟學家布朗（它是由美國經(jīng)濟學家布朗（BrownBrown）于于19591959年提出的。年提出的。w 一、一次指數(shù)平滑法的原理及應用一、一次指數(shù)平滑法的原理及應用w 一次指數(shù)平滑法實際是對簡單移動平均法加以適當一次指數(shù)平滑法實際是對簡單移動平均法加以適當?shù)男薅ǘ瓿龅囊环N預測方

11、法。它只適用于沒有明顯的修定而引申出的一種預測方法。它只適用于沒有明顯趨勢變化的時間序列。趨勢變化的時間序列。 w前面介紹過簡單移動平均法的遞推預測公式為:nyyyyntttt 1：的估計值，則上式變?yōu)樽鳛檫h期觀測值用nttyytttynyny)11 (11 令1n,則有)1 .2 .4()1 (1tttyyy這便是一次指數(shù)平滑法的基本預測方程基本預測方程。其中，01，稱為平滑常數(shù)。 設時間序列的觀測值為y0, y1,，yn，則由式(4.2.1)可遞推得到：w上式各項系數(shù)之和為：w w由此可見，第t+1期的預測值實際上是以前各期的觀測值y0, y1,，yt及初始期預測值的加權平均值。所以說，它

12、是加權移動平均法的推廣。由于所加的一串權數(shù)均呈指數(shù)函數(shù)形式，并逐項衰減，越大衰減越快，反之越慢；且這種平均法具有修勻或平滑一系列觀測值的作用，故稱之為指數(shù)平滑法。0102211)1 ()1 ()1 ()1 (yyyyyytttttt 其中，t=0，1，2，n。 )1 .2 .4()1 (1tttyyy 一次指數(shù)平滑法的基本預測方程為：基本預測方程為：1)(1)(11)(11)1 ()1 ()1 ()1 (1112ttttw 式(4.2.2)明確地表示了指數(shù)平滑的實際意義。即第t+1期的預測值等于第t期的預測值加上第t期的預測誤差的倍。如果第t期的預測值過低，則誤差為正，第t+1期的預測值便增大

13、；反之則減小?？梢娺@一方法是“自適應”的，它通過現(xiàn)期的預測誤差，自動修正下一期的預測值，且通過平滑常數(shù)體現(xiàn)修正的幅度。w 使用指數(shù)平滑法進行預測，要解決好兩個問題：一是平滑常數(shù)的選擇；二是初始預測值的確定。w平滑常數(shù)取值的大小，對預測效果有直接影響。如何選定?目前尚無好的解決辦法。實用中，的選擇主要憑經(jīng)驗，視具體情況而定。一般的經(jīng)驗有： 一次指數(shù)平滑法的基本預測方程為：基本預測方程為：)1 .2 .4()1 (1tttyyy 式(4.2.1)也可改寫為：)2 .2 .4()(1ttttyyyyw 當對估算的初始值的正確性有疑問時，可取較大的值，以擴大近期數(shù)據(jù)的作用，迅速減少初始值的影響；w如果

14、時間序列雖有不規(guī)則的起伏變化，但長期變動趨勢接近某一穩(wěn)定常數(shù)時，則需取較小的值（一般取0.050.20），使各觀測值具有大小接近的權數(shù)；w如果時間序列具有快速明顯的變化時，則宜選用較大的值（一般取0.30.6），使近期數(shù)據(jù)的影響較強地反映在預測值中；w如果時間序列變化緩慢，則可選更小的值（一般取0.010.04），使權數(shù)由近及遠較緩慢地減弱，從而使較遠期數(shù)據(jù)的影響也能比較充分地體現(xiàn)在預測值中。w在不容易判斷時，可選擇幾個不同的值進行試算，比較其預測誤差，最后以預測誤差最小的值作為合適的平滑常數(shù)。w計算預測誤差可用下述兩個公式中的任何一個：w至于初始預測值的選擇，要依時間序列數(shù)據(jù)的多少來定。至于

15、初始預測值的選擇，要依時間序列數(shù)據(jù)的多少來定。因為當因為當t時，時，(1-)t+10，所以當數(shù)據(jù)很多時，初所以當數(shù)據(jù)很多時，初始預測值對始預測值對t+1期期預測值的影響可以忽略，這時可選用預測值的影響可以忽略，這時可選用首期數(shù)據(jù)為初始預測值；如果時間序列的數(shù)據(jù)較少，初首期數(shù)據(jù)為初始預測值；如果時間序列的數(shù)據(jù)較少，初始預測值對以后的預測值影響較大，一般以最初幾期觀始預測值對以后的預測值影響較大，一般以最初幾期觀測值的平均值作為初始預測值。測值的平均值作為初始預測值。ntttntttyynSyyne02011;均方標準差：平均絕對誤差：w 例例4 44 4 甲、乙兩工廠的總產(chǎn)值如表43所列，試用一

16、次指數(shù)平滑法分別預測這兩個工廠第8期的總產(chǎn)值。w 表43 甲、乙兩工廠總產(chǎn)值統(tǒng)計表（單位：萬元 ）時期t 0 1 2 3 4 5 6 7 甲廠 20 30 40 42 48 50 54 60乙廠 20 30 40 20 48 30 52 40解解 分別選用分別選用=0.1，0.3，0.9進行試算。進行試算。 由于數(shù)據(jù)較少，初始預測值選前由于數(shù)據(jù)較少，初始預測值選前3 3期觀測值的平均值。期觀測值的平均值。P59 例例4=0.1=0.3=0.9工廠工廠時間時間實際值實際值 平滑預測值平滑預測值誤差誤差平滑預測值平滑預測值誤差誤差平滑預測值平滑預測值誤差誤差0 020203030-10-10303

17、0-10-103030-10-101 1303029291 127273 321219 9S1=16.2116.212 240402929111128281212292911113 34242303012123232101039393 3S2=12.0712.074 44848313117173535131342426 65 55050333317173939111147473 3S3= 7.707.706 65454353519194242121250504 47 76060373723234646141454546 60 020203030-10-103030-10-103030-10-1

18、01 1303029291 127273 321219 9S1=12.9312.932 240402929111128281212292911113 320203030-10-103232-12-123939-19-19S2=12.9412.944 448482929191928282020222226265 530303131-1-13434-4-44545-15-15S3= 17.2917.296 652523131212133331919323220207 7404033337 739391 15050-10-10甲甲乙乙甲廠誤差甲廠誤差乙廠誤差乙廠誤差甲廠總產(chǎn)值穩(wěn)步發(fā)展，長期趨勢明顯上

19、升，應選用較大的甲廠總產(chǎn)值穩(wěn)步發(fā)展，長期趨勢明顯上升，應選用較大的值，試算結果也證明了這一值，試算結果也證明了這一點。點。故應選故應選=0.9作為平滑常數(shù)，并預測甲廠第作為平滑常數(shù)，并預測甲廠第8期總產(chǎn)值為期總產(chǎn)值為)(45954106090y)(1y778萬元.y乙廠總產(chǎn)值忽高忽低，波動較大，長期趨勢不明顯，宜選用較小的乙廠總產(chǎn)值忽高忽低，波動較大，長期趨勢不明顯，宜選用較小的值，計算結果也證值，計算結果也證明了這一點。故應選明了這一點。故應選=0.1作為平滑常數(shù)，并預測乙廠第作為平滑常數(shù)，并預測乙廠第8期總產(chǎn)值為期總產(chǎn)值為 )(73333904010y)(1y778萬元.y二、二次指數(shù)平滑

20、法的原理及應用二、二次指數(shù)平滑法的原理及應用w 二次指數(shù)平滑法是一次指數(shù)平滑法的引申，應用于有明顯上升或下降趨勢的時間序列，可使預測值更接近實際。w為行文方便，把一次指數(shù)平滑的式(4.2.1)改記為)7 .2 .4()1 ()1(1)1(tttSySSt(1)稱為第t期的一次指數(shù)平滑值。 二次指數(shù)平滑就是對一次指數(shù)平滑值序列再作一次指數(shù)平滑處理，即)8 .2 .4()1 ()2(1)1()2(tttSSSSt(2)稱為二次指數(shù)平滑值。二次指數(shù)平滑值不能直接用作下期預測值，而是需要建立預測方程。如果時間序列具有線性趨勢，則可根據(jù)St(1)和St(2)建立線性預測方程： tttbay式中，為預測提

21、前期。而 )(122121ttttttSSbSSaw 與一次指數(shù)平滑法一樣，二次指數(shù)平滑法也存在初與一次指數(shù)平滑法一樣，二次指數(shù)平滑法也存在初始值的選取問題。當數(shù)據(jù)較多時，一般可選取始值的選取問題。當數(shù)據(jù)較多時，一般可選取S0(1)=S0(2)=y1；當數(shù)據(jù)較少時，也可用最初幾期觀測值當數(shù)據(jù)較少時，也可用最初幾期觀測值的平均值作為初始平滑值。的平均值作為初始平滑值。w 例例4-5 4-5 某廠歷年來原料消耗量如表某廠歷年來原料消耗量如表4-54-5第第(3)欄所列，欄所列，試用二次指數(shù)平滑法預測該廠試用二次指數(shù)平滑法預測該廠1999年、年、2000年的原料消年的原料消耗量。耗量。年份年份時 期

22、t時 期t 消耗量yt消耗量yt 一次平滑值一次平滑值 二次平滑值二次平滑值 三次平滑值三次平滑值0 050.0050.0050.0050.0050.0050.00197919791 1505050.0050.0050.0050.0050.0050.00198019802 2525250.6050.6050.1850.1850.0550.05198119813 3474749.5249.5249.9849.9850.0350.03198219824 4515149.9649.9649.9849.9850.0250.02198319835 5494949.6749.6749.8949.8949.

23、9849.98198419846 6484849.1749.1749.6749.6749.8949.89198519857 7515149.7249.7249.6949.6949.8349.83198619868 8404046.8046.8048.8248.8249.5249.52198719879 9484847.1647.1648.3248.3249.1649.16198819881010525248.6148.6148.4148.4148.9448.94198919891111515149.3349.3348.6948.6948.8648.86199019901212595952.23

24、52.2349.7549.7549.1349.13199119911313575753.6653.6650.9250.9249.6749.67199219921414646456.7656.7652.6852.6850.5750.57199319931515686860.1360.1354.9154.9151.8751.87199419941616676762.1962.1957.1057.1053.4453.44199519951717696964.2464.2459.2459.2455.1855.18199619961818767667.7767.7761.8061.8057.1657.1

25、6199719971919757569.9469.9464.2464.2459.2959.29199819982020808072.9572.9566.8566.8561.5661.56 表表4-5 某廠歷年來原料消耗量指數(shù)平滑法計算表（單位：萬噸）某廠歷年來原料消耗量指數(shù)平滑法計算表（單位：萬噸）w 解解 取取=0.3， S0(1)=S0(2)=y1=50w利用式利用式(4.2.7)和和式式(4.2.8)分別計算分別計算一、二次指數(shù)平一、二次指數(shù)平滑值滑值St(1)和和St(2)，結果列于表結果列于表4-54-5的的第第(4)、(5)欄。欄。于是由公式算得：于是由公式算得： 05.7985.

26、6695.722222012020SSa 61. 2)85.6695.72(3 . 013 . 0)(122012020SSb于是有線性預測方程于是有線性預測方程 ： 利用此方程，分別取利用此方程，分別取1 1和和2 2，便可求得便可求得1999年和年和2000年年該廠原料消耗量的預測值分別為該廠原料消耗量的預測值分別為 81.67(萬噸萬噸) 和和84.29(萬噸萬噸) 。20,61. 205.79tbayttt 三、三次指數(shù)平滑法的原理及應用三、三次指數(shù)平滑法的原理及應用w三次指數(shù)平滑法是二次指數(shù)平滑法的進一步推廣，應用三次指數(shù)平滑法是二次指數(shù)平滑法的進一步推廣，應用于具有非線性趨勢的時間

27、序列的預測問題。于具有非線性趨勢的時間序列的預測問題。w三次指數(shù)平滑就是對二次指數(shù)平滑值序列再作一次指數(shù)三次指數(shù)平滑就是對二次指數(shù)平滑值序列再作一次指數(shù)平滑處理，即平滑處理，即 )13.2 .4()1 ()3(1)2()3(tttSSSSt(3) 稱為三次指數(shù)平滑值。三次指數(shù)平滑值亦不能直接用于預測。稱為三次指數(shù)平滑值。三次指數(shù)平滑值亦不能直接用于預測。如果時間序列的長期趨勢呈拋物線型，則可根據(jù)如果時間序列的長期趨勢呈拋物線型，則可根據(jù)St(1)，St(2)和和St(3)建建立如下二次多項式預測方程立如下二次多項式預測方程: : 2ttttcbay仿照二次指數(shù)平滑法的推導方法，可推得估計值公式

28、仿照二次指數(shù)平滑法的推導方法，可推得估計值公式: : )2()1 (2)34()45(2)56()1 (233321223212321ttttttttttttSSScSSSbSSSa初始平滑值初始平滑值S0(1)，S0(2)和和S0(3)確定方法與二次指數(shù)平滑法基本相同。確定方法與二次指數(shù)平滑法基本相同。 例例4-6 按表按表4-5第第(3)欄給出的數(shù)據(jù)，用三次指數(shù)平滑法預測該廠欄給出的數(shù)據(jù)，用三次指數(shù)平滑法預測該廠1999年和年和2000年原料消耗量的預測值分別為年原料消耗量的預測值分別為 83.31(萬噸萬噸) 和和86.92(萬萬噸噸) 。 3 趨勢外推法趨勢外推法 w 隨著時間的推移，

29、社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展變化常常呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。如果通過對其時間序列的分析和計算，能找到一條比較合適的函數(shù)曲線來近似反映社會經(jīng)濟變量y關于時間t的變化規(guī)律和趨勢，即建立所謂趨勢模型： yf（t），那么，當有理由相信這種規(guī)律和趨勢能夠延伸到未來時，便可用此模型對社會經(jīng)濟現(xiàn)象的未來進行預測，這就是趨勢外推預測法。w 趨勢外推預測法 是一種常用預測方法，其應用的前提是：w（1）社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展過程是漸進的，沒有跳躍式突變；w（2）社會經(jīng)濟現(xiàn)象未來與過去的變化規(guī)律基本一致。一、趨勢模型的種類及其選擇一、趨勢模型的種類及其選擇w常用的常用的趨勢外推預測模型有：趨勢外推預測模型有：w（一）多項式模型；（一）

30、多項式模型；w（二）指數(shù)曲線模型；（二）指數(shù)曲線模型；w（三）生長曲線模型（三）生長曲線模型。w趨勢外推預測模型趨勢外推預測模型的選擇方法主要有：的選擇方法主要有：經(jīng)驗法經(jīng)驗法、圖形識圖形識別法別法和和差分差分法法。w（一）（一）經(jīng)驗法經(jīng)驗法w 就是預測者依據(jù)本人或?qū)＜壹w的經(jīng)驗及專業(yè)知就是預測者依據(jù)本人或?qū)＜壹w的經(jīng)驗及專業(yè)知識來選擇確定模型。經(jīng)驗法選定模型的過程中，即要有識來選擇確定模型。經(jīng)驗法選定模型的過程中，即要有對時間序列的定量分析，又離不開對經(jīng)濟現(xiàn)象本身的定對時間序列的定量分析，又離不開對經(jīng)濟現(xiàn)象本身的定性分析，它要求預測者即要熟知模型的數(shù)學特征，又要性分析，它要求預測者即要熟知模

31、型的數(shù)學特征，又要深諳經(jīng)濟現(xiàn)象的變化條件及相關的經(jīng)濟理論，只有將數(shù)深諳經(jīng)濟現(xiàn)象的變化條件及相關的經(jīng)濟理論，只有將數(shù)學智慧和經(jīng)濟分析有機地結合在一起，才能選定適當?shù)膶W智慧和經(jīng)濟分析有機地結合在一起，才能選定適當?shù)钠饎菽Ｐ?。起勢模型。rtkrrkrtktktktkyCyyyy01111(-1)(（二）（二）圖形識別法圖形識別法w就是將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間為橫軸，時間序列觀測值為縱軸的散點就是將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間為橫軸，時間序列觀測值為縱軸的散點圖，并連城圓滑的曲線，然后觀察其大致走向，與已知各類函數(shù)曲線的圖形圖，并連城圓滑的曲線，然后觀察其大致走向，與已知各類函數(shù)曲線的圖形進行比較，

32、從中選擇較為適宜的數(shù)學模型。進行比較，從中選擇較為適宜的數(shù)學模型。w（三）（三）差分法差分法w 這是選擇趨勢模型的一種定量方法，精度較高，但計算量較大。這是選擇趨勢模型的一種定量方法，精度較高，但計算量較大。 1.普通差分法普通差分法：就是先計算時間序列的向后差分，其定義為：就是先計算時間序列的向后差分，其定義為： w 一階差分：一階差分： w 二階差分：二階差分：w k階差分：階差分： w 2.廣義差分法廣義差分法：就是先計算時間序列的廣義差分，這里的廣義：就是先計算時間序列的廣義差分，這里的廣義差分是指時間序列的倒數(shù)或?qū)?shù)的差分，以及相鄰項的比率或差差分是指時間序列的倒數(shù)或?qū)?shù)的差分，以及

33、相鄰項的比率或差分的比率。分的比率。w 然后，根據(jù)算得的時間序列差分的特點，選擇適宜的數(shù)學模然后，根據(jù)算得的時間序列差分的特點，選擇適宜的數(shù)學模型。型。w這種方法，我們將在后面結合具體模型詳加介紹。這種方法，我們將在后面結合具體模型詳加介紹。1tttyyy21122)(tttttttyyyyyyy二、二、多項式趨勢預測模型多項式趨勢預測模型及應用及應用多項式趨勢預測模型也稱時間回歸模型，其一般形式為：多項式趨勢預測模型也稱時間回歸模型，其一般形式為：kkttbtbtbby2210當k=1時，為直線預測模型：tbbyt10當k=2時，為二次多項式（拋物線）預測模型多項式（拋物線）預測模型：221

34、0tbtbbyt（一）多項式預測模型次數(shù)的選擇 實際預測中，究竟應選擇幾次的多項式，可通過計算時間序列的差分來確定。對于直線預測模型，其一階差分常數(shù)）()1(110101btbbtbbyyyttt對拋物線預測模型，拋物線預測模型，其二階差分常數(shù)）(2212byyyttt對三次多項式預測模型，多項式預測模型，其三階差分常數(shù)）(! 36333bbytK次多項式預測模型的多項式預測模型的k k階差分常數(shù)）(!ktkbkyK次多項式預測模型可令多項式預測模型可令tk= =xk, ,化為化為K元線性回歸模型。元線性回歸模型。（二）（二）直線（一元時間回歸）模型參數(shù)估計的簡捷算法直線（一元時間回歸）模型參

35、數(shù)估計的簡捷算法w 如果時間序列的散點圖大致呈一條直線，或者時間序列各相鄰時期的增(減)量，即逐期增長量接近于一個常數(shù)時，便可考慮用一條直線來描繪（擬合）時間序列的長期發(fā)展趨勢,并依此進行預測。w 記直線模型為btayt 也稱為一元線性時間回歸模型。 設時間序列觀測值為y1, y2,，yT，套用一元線性回歸參數(shù)估計的公式有：TtTttTtTtTttTtTtttTbyTatTtytTtyb11211211111)(1)(1 注意： yt一般都是等間隔時間的觀測值，時間t的取值只起到一種標明順序的作用，它與yt一般沒有嚴格的因果關系。因此只要保持t的等間隔性及先后次序，就可以給t賦以任何數(shù)值。通常

36、讓t的T個取值以原點為對稱，從而有t=0，于是上述公式可化簡為：w 例例4-7 某市近幾年工業(yè)總產(chǎn)值資料如表4-6所列，試預測1999年該市工業(yè)總產(chǎn)值。w 表4-6 某市工業(yè)總產(chǎn)值資料 （單位：億元）解：若畫出散點圖(略)，可以看出，本例的時間序列有明顯的線性趨勢。一階差分基本接近一個常數(shù)。因此可以配一元線性時間回歸模型進行預測。為時間序列的項數(shù)。其中，TyTattybtt,12年份 19901991199219931994 199519961997 1998t值 -4-3-2-101234工業(yè)總產(chǎn)值yt 5.05.66.16.87.48.28.89.610.4一階差分 yt 0.60.50.

37、70.60.80.60.80.8三、三、指數(shù)曲線趨勢預測模型指數(shù)曲線趨勢預測模型及應用及應用w常見的指數(shù)曲線趨勢預測模型有：w1.指數(shù)曲線預測模型:w2.修正指數(shù)曲線預測模型:bttAey ttABKy（一）模型的選擇 1.圖形識別法 上述兩種指數(shù)曲線模型可以通過描述時間序列的散點圖來識別。指數(shù)曲線的圖形參見P50圖37；修正指數(shù)曲線的圖形，當0B1時，如圖41所示。 2.廣義差分法 對于指數(shù)曲線，其一階差比率（也稱環(huán)比速度）： yt/yt-1=eb(常數(shù)）。所以，如果時間序列各相鄰時期的比值接近于一個常數(shù)，則可用指數(shù)曲線模型來進行預測。 對于修正指數(shù)曲線，其一階差分比率B (常數(shù)）。當時間序

38、列的一階差分比率大致相等時，可用修正指數(shù)曲線進行預測。（二）指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應用及應用w對指數(shù)曲線模型ytAebt作線性變換:w先取對數(shù) ，有 lnyt=lnA+btw再令 Yt=lnyt ，a=lnAw則有 Yt=a+btw仍然約定t=0，則有例例4-8 某自行車廠近幾年自行車的產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表47所列，試預測該廠1999年的產(chǎn)量。 為時間序列的項數(shù)。其中，TlnyTYTatlnytttYbtttt1122于是,A ae從而求得指數(shù)曲線預測模型為：t bteyA 例例4-8 某自行車廠近幾年自行車的產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表47所列，試預測該廠1999年的產(chǎn)量。 P67 例例8表表4-7年 份年 份1

39、99319931994199419951995199619961997199719981998t 值值-5-5-3-3-1-11 13 35 5產(chǎn) 量(萬輛） 產(chǎn) 量(萬輛） yt8.78.710.610.613.313.316.516.520.620.626.026.0差比率差比率yt/yt-11.221.221.251.251.241.241.251.251.261.26Lnyt2.16332.1633 2.360852.360852.5877642.5877642.80336042.80336043.02529113.0252911 3.25813.2581某自行車廠近幾年自行車產(chǎn)量某自

40、行車廠近幾年自行車產(chǎn)量解解 第一步，選擇模型：由于第一步，選擇模型：由于其一階差比率其一階差比率接近于一個常數(shù)，所以，接近于一個常數(shù)，所以，選擇指數(shù)曲線是適宜的。選擇指數(shù)曲線是適宜的。 第二步，估計模型參數(shù)第二步，估計模型參數(shù)按公式算得按公式算得 從而有從而有69982619871611098070682872.ttlnyTatlnytb87651469982.A.eea于是所求指數(shù)曲線預測模型為：于是所求指數(shù)曲線預測模型為：tttbteey(1.1160)87651487651410980.A.第三步，預測第三步，預測1999年年自行車的產(chǎn)量：)( 132876514710980萬輛.eyt

41、（三）修正指數(shù)曲線模型的（三）修正指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應用參數(shù)估計及應用w 對于修正指數(shù)曲線模型yt=K+ABt，一般要求0B1，所以當t+時，ytK，即修正指數(shù)曲線以y=K為其水平漸近線，K也稱其極限水平。w 用三段總和法來估計模型參數(shù)。w 設時間序列數(shù)據(jù)為yt, t=0,1,2,3n-1，如果數(shù)據(jù)個數(shù)不是3的倍數(shù)，可刪除起始的一項或二項，使其成為3的倍數(shù)。w將所有數(shù)據(jù)按先后次序等分為三組，并分別求和，則有BBBAnKBAnKySBBBAnKBAnKySBBAnKBAnKySnnnnttnnttnnnnttnnttnnttntt1)1 (1)1 (11213213231212210101

42、進一步可推得BBBAnKBAnKySBBBAnKBAnKySBBAnKBAnKySnnnnttnnttnnnnttnnttnnttntt1)1 (1)1 (112132132312122101011) 1(,2121223BBASSBSSSSnn于是得A、B、K的估計式為：)1(1) 1()(1(1212121223nnnBSSSnKBSSBASSSSB(4.3.14)例例49 某商品某商品1991年投放市場以來，社會總需求量統(tǒng)計資料如表年投放市場以來，社會總需求量統(tǒng)計資料如表48所列，試預測所列，試預測2000年的社會總需求量。年的社會總需求量。P68 例例9表表 4-8年 份年 份1991

43、19911992199219931993199419941995199519961996199719971998199819991999總需求量（億噸）總需求量（億噸） 50.050.060.060.068.068.069.669.671.171.171.771.772.372.372.872.873.273.2一階差分一階差分10.08.01.61.50.60.60.50.4一階差分比率一階差分比率0.800.800.200.200.940.940.400.401.001.000.830.830.800.80S1= 178.0178.0S2= 212.4212.4S3= 218.3218.3

44、B= 0.55560.5556A=K=yt=y2000= 73.173.173.06173.06173.1738-22.27190.555673.1738-22.27190.5556t t-22.2719-22.271973.173873.1738某商品社會總需求量某商品社會總需求量解解 第一步，選擇模型：第一步，選擇模型： 1.描散點圖，初步確定選用描散點圖，初步確定選用修正指數(shù)曲線模型；修正指數(shù)曲線模型； 2.2.計算一階差分比率，進一步驗證計算一階差分比率，進一步驗證選用選用修正指數(shù)曲線模型。修正指數(shù)曲線模型。 第二步，估計模型參數(shù)：第二步，估計模型參數(shù)： 第三步，預測第三步，預測200

45、0年年的社會總需求量的社會總需求量：(t=9) y2000= 73.1738-22.2719 73.1738-22.27190.55560.5556t t73.173.1（萬噸）萬噸）四、四、生長曲線趨勢預測模型生長曲線趨勢預測模型及應用及應用w 在市場上，一般產(chǎn)品（或技術）的發(fā)展，基本上都要經(jīng)歷一個問世、發(fā)展、成熟、衰落的過程。其圖形如P23圖2-1所示的S型生長曲線。w這里介紹兩種能夠較好描述產(chǎn)品或技術生命周期規(guī)律的典型S型生長曲線模型：皮爾曲線和龔珀茲曲線模型。w（一）皮爾曲線預測模型一）皮爾曲線預測模型及應用及應用w皮爾（RPearl)是美國生物學家和人口統(tǒng)計學家,他以其生物學家的特有

46、視角,提出了一個著名的S型生長曲線:)15. 3 . 4(1bttaeLy式中,L、a、b為正數(shù)。 顯然，當t+時，ytL，即L是yt的上限。 皮爾曲線適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計與預測，也適于對產(chǎn)品或技術作生命周期分析，尤其適合處于成熟期的商品或技術的發(fā)展趨勢分析與預測。 1. .模型的識別模型的識別 皮爾曲線可用廣義差分法加以識別，因其倒數(shù)的一階差分比率為e-b(常數(shù)），所以當時間序列各項倒數(shù)的一階差分比率大致相等時，就可用皮爾曲線模型來進行預測。 2. .模型的模型的參數(shù)估計及應用參數(shù)估計及應用 皮爾曲線的三個參數(shù)可以用三段總和法加以估計：對式（4.3.15）取倒數(shù)，得btteLaLy1

47、1令btteBLaALKyY,1,1則有 Yt=K+ABt此即修正指數(shù)曲線，從而可套用其參數(shù)估計公式（4.3.14）)1(1) 1()(1(1212121223nnnBSSSnKBSSBASSSSB于是，皮爾曲線的參數(shù)估計公式為：21211211223) 1()(1()1(1)(1nnBSSBLALaBSSSnKLSSSSlnnBlnb1323122101111nnttnnttnttySySyS式中 例例410 吉林省吉林省196619661983年年底人口數(shù)如表年年底人口數(shù)如表49所列，所列，試試預測該省預測該省198420012001年年底人口數(shù)。年年底人口數(shù)。w 表表49 吉林省人口數(shù)統(tǒng)

48、計表 （單位：萬人 ）年份 t值 人口(yt) 年份 t值 人口(yt) 年份 t值 人口(yt) 1966196719681969197019710123451679.31722.11766.31808.21860.41915.2197219731974197519761977678910111962.72007.92034.52063.92092.62117.91978197919801981198219831213141516172194.32184.62210.72230.92257.62269.5 解解 人口的數(shù)量變動一般符合皮爾曲線所反映的規(guī)律。對所給時間序列數(shù)據(jù)，計算其一階差分比

49、率，結果見表410所示。表中計算結果除個別年份外，基本差不多，因此采用皮爾曲線預測模型進行預測是合適的。 把數(shù)據(jù)等分為三組，n=6，由表49中數(shù)據(jù)算得： w于是所求皮爾曲線趨勢預測模型為：171233311623501107071864.21109336161.21103550215.31ttttttySySyS，1035268.09016519.0,9016519.05373204.0661223lnBlnbSSSSB4752420. 0109360001. 17625.2454) 1()(1(7625.2454)1(614261216121BSSBLALaBSSSKLtt bteeaLy1

50、035268. 04752420. 017625.24541 為了檢驗該模型的預測精度，可以計算回溯擬合值，即19661983年底的人口擬合值，列于下表中： 年份 人口(yt) 擬合值 誤差誤差 年份 人口(yt) 擬合值 誤差誤差 1966196719681969197019711972197319741679.31722.11766.31808.21860.41915.21962.72007.92034.51664.01718.41770.71820.51868.01913.01955.41995.32032.815.33.7-4.4-12.4-7.62.27.312.61.7197519

51、7619771978197919801981198219832063.92092.62117.92194.32184.62210.72230.92257.62269.52067.72100.32130.52158.62184.52208.42230.42250.72269.2-3.8-7.7-12.6-9.30.12.30.57.10.3 可見所建模型對歷史數(shù)據(jù)擬合得相當好，擬合誤差介于0.115.3之間。擬合均方標準差:7 . 7)1811702tttyyS（擬 如果一種預測法能使擬合值非常接近實際觀測值，那么用作外推預測也就較為可靠。如本例中，對吉林省19841987年人口的預測值就與實際

52、值比較接近。特別是1986年的預測值，誤差只有-0.7萬人。19841987年的預測均方標準差S S預=4.3。詳見下表： 年份 人口(yt) 預測值 誤差誤差 年份 人口(yt) 預測值 誤差誤差 1984198519861987198819891990199119922284.52298.02315.32336.42373.12395.42440.22459.72474.02286.22301.82316.02328.92340.72351.52361.22370.12378.2-1.7-3.8-0.77.532.443.979.089.695.8199319941995199619971

53、9981999200020012496.12515.62550.92579.12600.12603.22616.12627.32690.82385.52392.12398.12403.62408.52413.02417.02420.72424.0110.6123.5152.8175.5191.6190.2199.1206.6266.8但是，從1988年起，預測結果越來越劣。究其原因有二：一是時間序列預測法不適于長期預測，所以隨著預測超前期的增長，外推預測的精度必然下降。二是我國人口第二個生育高峰時期（19631976年）出生的人口逐步進入婚育年齡，因而使吉林省人口的增長率又一次大幅度上升，以至

54、于使得由歷史數(shù)據(jù)推得的人口上限值2454.8萬人顯得過低。實際上，該省1991年底的人口就已突破了2459萬人。 這時，我們?nèi)绻鸭质∪丝诘纳舷拗堤嵘?650萬，并依此算得相應的參數(shù)5130401. 0109360001. 126504ALa則皮爾曲線預測模型修正為：ttbteeaLy1035268.05130401.0126501用修正模型預測，其結果見下表。從。從1992年起，年起，修正模型的預測效果優(yōu)于原模型，但從2001年，又開始變劣。年份 人口(yt) 預測值 預測誤差誤差 調(diào)整預測值 預測誤差誤差 1984198519861987198819891990199119921993

55、199419951996199719981999200020012284.52298.02315.32336.42373.12395.42440.22459.72474.02496.12515.62550.92579.12600.12603.22616.12627.32690.82286.22301.82316.02328.92340.72351.52361.22370.12378.2 2385.52392.12398.12403.62408.52413.02417.02420.72424.0-1.7-3.8-0.77.532.443.979.089.695.8110.6123.5152.81

56、75.5191.6190.2199.1206.6266.82454.62472.62489.02503.92517.62530.02541.32551.62561.02569.52577.22584.12590.52596.22601.42606.12610.42614.2-170.1-174.6-173.7-167.5-144.5-134.6-101.1-91.9-87.0-73.4-61.6-33.2-11.43.91.810.016.976.6 鑒于前兩個模型對近年的預測效果都不理想，故下面利用吉林省19832000年年底人口數(shù)據(jù)，重新建立預測模型來預測該省20012006年年底人口數(shù)。

57、w仍把數(shù)據(jù)等分為三組，n=6，由上表數(shù)據(jù)算得： 年份 t值 人口(yt) 年份 t值 人口(yt) 年份 t值 人口(yt) 1983198419851986198719880123452269.52284.52298.02315.32336.42373.1198919901991199219931994678910112395.42440.22459.72474.02496.12515.61995199619971998199920001213141516172550.92579.12600.12603.22616.12627.3171233311623501103113611.211043

58、61711.21105948274.21ttttttySySyS，0399912.09607979.0,9607979.07866692.0661223lnBlnbSSSSB4429729. 0103666581. 12855.3241) 1()(1(2855.3241)1(614261216121BSSBLALaBSSSKL于是所求皮爾曲線趨勢預測模型為：tt bteeaLy0399912. 04429729. 012855.32411利用該模型計算的回溯擬合值列于下表中： 年份 人口(yt) 擬合值 誤差誤差 年份 人口(yt) 擬合值 誤差誤差 198319841985198619871

59、9881989199019912269.52284.52298.02315.32336.42373.12395.42440.22459.72246.32273.62300.52327.02353.02378.62403.72428.32452.423.210.9-2.5-11.7-16.6-5.5-8.311.97.31992199319941995199619971998199920002474.02496.12515.62550.92579.12600.12603.22616.12627.32476.02499.12521.82543.92565.62586.72607.32627.526

60、47.1-2.0-3.0-6.27.013.513.4-4.1-11.4-19.8將回溯擬合值與實際觀測值加以比較，發(fā)現(xiàn)擬合程度比較好。擬合均方標準差49.11)1811702tttyyS（擬利用該模型對吉林省20012006年年底人口進行預測，具體結果詳見下表： 年份 人口(yt) 預測值 誤差誤差 年份 人口(yt) 預測值 誤差誤差 2001200220032690.82699.42703.72666.32685.02703.224.514.40.52004200520062708.52716.02723.02720.92738.12754.9-12.4-22.1-31.9可見對吉林省2