華南師范大學(xué)電磁學(xué)習(xí)題課-電磁感應(yīng)

1、 電電 磁磁 感感 應(yīng)應(yīng) 習(xí)題、例題分析習(xí)題、例題分析+10.1 在通有電流在通有電流I =5A的長直導(dǎo)線近旁有一導(dǎo)線段的長直導(dǎo)線近旁有一導(dǎo)線段ab，長長l=20cm，離長直導(dǎo)線距離，離長直導(dǎo)線距離d=10cm. 當(dāng)它沿平行于長當(dāng)它沿平行于長直導(dǎo)線的方向以速度直導(dǎo)線的方向以速度v=10m/s平移時，導(dǎo)線段中的感應(yīng)平移時，導(dǎo)線段中的感應(yīng)電動勢多大？電動勢多大？a，b哪端電勢高？哪端電勢高？abvdl解：解：方法一方法一:利用動生電動勢公式利用動生電動勢公式 據(jù)動生電動勢公式可得這一導(dǎo)線元段產(chǎn)據(jù)動生電動勢公式可得這一導(dǎo)線元段產(chǎn)生的動生電動勢為生的動生電動勢為lddabdxxIv20 x如圖所示，建

2、立如圖所示，建立x軸軸.dxx在導(dǎo)線段上坐標(biāo)為在導(dǎo)線段上坐標(biāo)為x處取一長為處取一長為dx的導(dǎo)線元段的導(dǎo)線元段l dBvd)(積分得積分得dldIvln20負(fù)號表示動生電動勢的方向是由負(fù)號表示動生電動勢的方向是由b指向指向a，故，故a端電勢高端電勢高.vBdxdxxIv20)(101 . 15VdSvdtab方法二方法二:利用法拉第電磁感應(yīng)定律公式利用法拉第電磁感應(yīng)定律公式x如圖所示，建立如圖所示，建立x軸軸. 在導(dǎo)線段上坐標(biāo)為在導(dǎo)線段上坐標(biāo)為x處取一長為處取一長為dx的導(dǎo)的導(dǎo)線元段線元段. 設(shè)在設(shè)在dt時間內(nèi)導(dǎo)線段從時間內(nèi)導(dǎo)線段從a b 位置平移到位置平移到ab位置，則導(dǎo)線元段掃過的面積為位置

3、，則導(dǎo)線元段掃過的面積為dS.dS=vdtdx那么在那么在dt時間內(nèi)導(dǎo)線段時間內(nèi)導(dǎo)線段ab掃過的面積的磁通量為掃過的面積的磁通量為SSdBdldddxdtxIv20dtdldIvln20據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得dtddldIvln20)(101 . 15Va b vdldxx設(shè)面積元的正方向為垂直于屏幕向內(nèi)設(shè)面積元的正方向為垂直于屏幕向內(nèi)負(fù)號表示動生電動勢的方向是由負(fù)號表示動生電動勢的方向是由b指向指向a，故，故a端電勢高端電勢高.410.4 如圖所示，矩形線圈共如圖所示，矩形線圈共1103匝，寬匝，寬a=10cm，長，長L=20cm，長直導(dǎo)線中通有交變電流，長直導(dǎo)線中通有

4、交變電流i=5sin100tA，線，線圈內(nèi)的感生電動勢將為多大？圈內(nèi)的感生電動勢將為多大？解：解：方法一方法一: 利用公式利用公式dtdi通過矩形線圈的磁鏈為通過矩形線圈的磁鏈為SSdBNNx0如圖所示，建立如圖所示，建立ox軸軸.addLdxxiN20dadLiNln20那么線圈內(nèi)的感生電動勢為那么線圈內(nèi)的感生電動勢為dtdidadLNdtdiln20tdadLN100cos1005ln20)(100cos104 . 42Vt d aLi5SiSdtBN如圖所示，建立如圖所示，建立ox軸軸.x0方法二方法二:利用公式利用公式SiSdtBN線圈內(nèi)的感生電動勢為線圈內(nèi)的感生電動勢為addLdxd

5、tdixN20dadtLNln100cos100520)(100cos104 . 42Vt d aLi6baobaoi10.5 在半徑為在半徑為R的圓柱形體積內(nèi)，充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為的圓柱形體積內(nèi)，充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場的均勻磁場. 有一長為有一長為L的金屬棒放在磁場中，如圖所的金屬棒放在磁場中，如圖所示示. 設(shè)磁場在增強(qiáng)，并且設(shè)磁場在增強(qiáng)，并且 已知，求棒中的感生電動已知，求棒中的感生電動勢，并指出哪端電勢高勢，并指出哪端電勢高.dtdBRoLab解解: 方法一方法一 利用公式利用公式dtdi連接連接oa、ob，設(shè)回路，設(shè)回路aoba的面積為的面積為S.則回路中的感生電動勢為則回路中的感生

6、電動勢為dtdBSdtdihLS21又又由于圓柱形體積內(nèi)的感生電場由于圓柱形體積內(nèi)的感生電場obEaoEii，故故ibaobao，042122LRL22441LRL7dtdBLRL22441RoLabdtdBSiba所以所以 負(fù)號表示金屬棒中的感生電動勢的實負(fù)號表示金屬棒中的感生電動勢的實際方向是由際方向是由a指向指向b，故，故b端電勢高端電勢高.8)(2RredtdBrEiRoLab方法二方法二 利用公式利用公式Liil dE 由課本由課本P328例題例題10.2的結(jié)果可知圓柱的結(jié)果可知圓柱形體積內(nèi)的感生電場為形體積內(nèi)的感生電場為其中其中 的方向與磁場的方向與磁場B的方向滿足右手螺旋關(guān)系的方

7、向滿足右手螺旋關(guān)系e l dEdiil dedtdBr2)cos(2dldtdBrdldtdBrcos2dliEhe r在金屬棒上取一微元段在金屬棒上取一微元段 ，如圖所示，如圖所示.l d那么在這微元段那么在這微元段 上的感生電動勢為上的感生電動勢為l ddldtdBh2積分得積分得LabdldtdBh02dtdBhL2dtdBLRL224419dtdBLRLab22441由于題目假設(shè)由于題目假設(shè)0dtdB所以所以0ab 這表示這表示 的實際方向與積分方向相同，即的實際方向與積分方向相同，即 的方向是由的方向是由a指向指向b. abab 故故b端電勢比端電勢比a端電勢高端電勢高.RoLabd

8、liEhe r1010.14 一圓環(huán)形線圈一圓環(huán)形線圈a由由50匝細(xì)線繞成，截面積為匝細(xì)線繞成，截面積為4.0cm2,放在另一個匝數(shù)等于放在另一個匝數(shù)等于100匝，半徑為匝，半徑為20.0cm的圓環(huán)形線的圓環(huán)形線圈圈b的中心，兩線圈同軸的中心，兩線圈同軸. 求求(1)兩線圈的互感系數(shù)；兩線圈的互感系數(shù)；(2)當(dāng)線圈當(dāng)線圈a中的電流以中的電流以50A/s的變化率減少時，線圈的變化率減少時，線圈b的磁通量的變化率；的磁通量的變化率；(3)線圈線圈b的感生電動勢的感生電動勢.ab解解: (1) 設(shè)線圈設(shè)線圈b通以通以Ib的電流的電流. 由題目由題目所給數(shù)據(jù)可知，線圈所給數(shù)據(jù)可知，線圈a比線圈比線圈b

9、小得多小得多,所以可以認(rèn)為線圈所以可以認(rèn)為線圈a中的磁場是均勻中的磁場是均勻磁場，其大小可認(rèn)為等于中心處的磁磁場，其大小可認(rèn)為等于中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度感應(yīng)強(qiáng)度. 故通過線圈故通過線圈a的磁鏈為的磁鏈為aaoabSNBaabbbSNRIN2011aabbbabSNRIN20ab故兩線圈的互感系數(shù)為故兩線圈的互感系數(shù)為babababRSNNIM20)(103 . 66H(2)當(dāng)線圈當(dāng)線圈a中的電流以中的電流以50A/s的變化率減少時，線圈的變化率減少時，線圈b的的磁通量的變化率為磁通量的變化率為dtdNdtdbbb1dtdNbbbab)(1dtdNbab1)/(101 . 36sWbdtdiNMab

10、(3)據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得線圈據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得線圈b的感生電動勢為的感生電動勢為)(101 . 34VdtdNbbb1210.15 半徑為半徑為2.0cm的螺線管，長的螺線管，長30.0cm，上面均勻密繞，上面均勻密繞1200匝線圈，線圈內(nèi)為空氣匝線圈，線圈內(nèi)為空氣.(1) 求這螺線管中自感多大？求這螺線管中自感多大？(2)如果在螺線管中電流以如果在螺線管中電流以3.0102A/s的速率改變，在的速率改變，在線圈中產(chǎn)生的自感電動勢多大？線圈中產(chǎn)生的自感電動勢多大？解：解： (1)由公式得這螺線管中的自感為由公式得這螺線管中的自感為VnL20)(106 . 73220HRlN(2)如

11、果在螺線管中電流以如果在螺線管中電流以3.0102A/s的速率改變，在的速率改變，在線圈中產(chǎn)生的自感電動勢大小為線圈中產(chǎn)生的自感電動勢大小為)(3 . 2VdtdiL1310.22 實驗室中一般可獲得強(qiáng)磁場約為實驗室中一般可獲得強(qiáng)磁場約為2.0T，強(qiáng)電場約，強(qiáng)電場約為為1106V/m. 求相應(yīng)的磁場能量密度和電場能量密度求相應(yīng)的磁場能量密度和電場能量密度多大？哪種場更有利于儲存能量？多大？哪種場更有利于儲存能量？解：相應(yīng)的磁場能量密度和電場能量密度分別為解：相應(yīng)的磁場能量密度和電場能量密度分別為)/(106 . 123602mJBwm)/(4 . 42320mJEwe由以上結(jié)果可知，磁場更有利

12、于儲存能量由以上結(jié)果可知，磁場更有利于儲存能量1410.23 可能利用超導(dǎo)線圈中的持續(xù)大電流的磁場儲存可能利用超導(dǎo)線圈中的持續(xù)大電流的磁場儲存能量能量. 要儲存要儲存1kWh的能量，利用的能量，利用1.0T的磁場，需要的磁場，需要多大體積的磁場？若利用線圈中的多大體積的磁場？若利用線圈中的500A的電流儲存上的電流儲存上述能量，則該線圈的自感系數(shù)應(yīng)多大？述能量，則該線圈的自感系數(shù)應(yīng)多大？解：解： 所需要磁場的體積為所需要磁場的體積為)(0 . 92320mBWwWVmmm 若利用線圈中的若利用線圈中的500A的電流儲存上述能量，則該線的電流儲存上述能量，則該線圈的自感系數(shù)應(yīng)為圈的自感系數(shù)應(yīng)為)

13、(2922HIWLm1510.3 如圖所示，長直導(dǎo)線中通有電流如圖所示，長直導(dǎo)線中通有電流I=5A，另一矩形，另一矩形線圈共線圈共1103匝，寬匝，寬a=10cm，長，長L=20cm，以，以v=2m/s的速度向右平動的速度向右平動. 求當(dāng)求當(dāng)d=10cm時線圈中的感應(yīng)電動勢時線圈中的感應(yīng)電動勢.解：線圈在向右平動時，左、右兩邊產(chǎn)生解：線圈在向右平動時，左、右兩邊產(chǎn)生動生電動勢，而上、下兩邊不產(chǎn)生動生電動生電動勢，而上、下兩邊不產(chǎn)生動生電動勢動勢. 因此線圈中的感應(yīng)電動勢為因此線圈中的感應(yīng)電動勢為 d aLvI右左lvBBN）（右左lvadIdIN)(2200)(1023V左右1610.9 一種

14、用小線圈測磁場的方法如下：做一個小線一種用小線圈測磁場的方法如下：做一個小線圈，匝數(shù)為圈，匝數(shù)為N，面積為，面積為S，將它的兩端與一測電量的，將它的兩端與一測電量的沖擊電流計相連沖擊電流計相連. 它和電流計線路的總電阻為它和電流計線路的總電阻為R. 先把先把它放到被測磁場處，并使線圈平面與磁場方向垂直它放到被測磁場處，并使線圈平面與磁場方向垂直,然后急速地把它移到磁場外面，這時電流計給出通然后急速地把它移到磁場外面，這時電流計給出通過的電量是過的電量是q. 試用試用N、S、q、R表示待測磁場的大小表示待測磁場的大小.解：線圈移動時通過沖擊電流計的總電量為解：線圈移動時通過沖擊電流計的總電量為t

15、idtq0tdtR0tdtdtdR0)(101dRRRNBS故待測磁場的大小為故待測磁場的大小為NSqRB 17解：圓盤轉(zhuǎn)動時，小方塊內(nèi)產(chǎn)生的徑向電動勢為解：圓盤轉(zhuǎn)動時，小方塊內(nèi)產(chǎn)生的徑向電動勢為rBaBlv 以小方塊為以小方塊為“電源電源”所在，外電路是圓盤的其余部所在，外電路是圓盤的其余部分分,而外電路的電阻可以認(rèn)為為零而外電路的電阻可以認(rèn)為為零.“內(nèi)電路內(nèi)電路”的電阻為的電阻為babaR內(nèi)所以通過小方塊的徑向電流為所以通過小方塊的徑向電流為rBabRI內(nèi)10.11 電磁阻尼電磁阻尼. 一金屬圓盤，一金屬圓盤，電阻率為電阻率為，厚度為，厚度為b b. . 在轉(zhuǎn)在轉(zhuǎn)動過程中，在離轉(zhuǎn)軸動過程中

16、，在離轉(zhuǎn)軸r處面積為處面積為a2 2的的小方塊內(nèi)加以垂直于圓盤小方塊內(nèi)加以垂直于圓盤的磁場的磁場B，如圖所示，如圖所示. 試導(dǎo)出當(dāng)試導(dǎo)出當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速為圓盤轉(zhuǎn)速為時阻礙圓盤的電磁力矩的近似表達(dá)式時阻礙圓盤的電磁力矩的近似表達(dá)式.obaarNI18obaarNIrBabI故小方塊所受的電磁阻尼力矩大小為故小方塊所受的電磁阻尼力矩大小為bBarBIarfrM2)(方向與沿圓盤角速度方向相反方向與沿圓盤角速度方向相反f小方塊所受的力安培力大小為小方塊所受的力安培力大小為rbBaBIaf2)(方向與沿小方塊的速度方向相反方向與沿小方塊的速度方向相反1910.18兩條平行的輸電線半徑為兩條平行的輸電線半徑為

17、a，二者中心相距為，二者中心相距為D，電流一去一回電流一去一回. 若忽略導(dǎo)線內(nèi)的磁場，證明這兩條輸若忽略導(dǎo)線內(nèi)的磁場，證明這兩條輸電線單位長度的自感為電線單位長度的自感為證明：兩條平行的輸電線一去一回構(gòu)成一長窄條證明：兩條平行的輸電線一去一回構(gòu)成一長窄條回路，可以引入單位長度的自感的概念回路，可以引入單位長度的自感的概念. 當(dāng)電線中當(dāng)電線中通有電流通有電流I時，通過導(dǎo)線間單位長度的面積時，通過導(dǎo)線間單位長度的面積S的磁的磁通量為通量為aaDLln01 a DSaDadrB 121aDadrrI220aaDIln0那么這兩條輸電線單位長度的自感為那么這兩條輸電線單位長度的自感為aaDILln01

18、2010.19 兩個平面線圈，圓心重合地放在一起，但軸線兩個平面線圈，圓心重合地放在一起，但軸線正交正交. 二者的自感系數(shù)分別為二者的自感系數(shù)分別為L1和和L2，以，以L表示二者表示二者相連結(jié)時的等效自感，試證明：相連結(jié)時的等效自感，試證明：(1) 兩線圈串聯(lián)時，兩線圈串聯(lián)時，LL1+L2；(2) 兩線圈并聯(lián)時，兩線圈并聯(lián)時，21111LLLL2L1證明：證明： 因為兩線圈正交，故各自的因為兩線圈正交，故各自的B線不會在線不會在另一線圈產(chǎn)生磁通量，故不存在互感電動勢另一線圈產(chǎn)生磁通量，故不存在互感電動勢.(1)兩線圈串聯(lián)時，兩線圈串聯(lián)時，2121iii，而而dtdiLdtdiLdtdiL222

19、111，由以上各式得由以上各式得 LL1+L221L2L1(2) 兩線圈并聯(lián)時，兩線圈并聯(lián)時，2121iii，而而222111LdtdiLdtdiLdtdi，由以上各式得由以上各式得 21111LLL2212 34L1L2M10.20 兩線圈的自感分別為兩線圈的自感分別為L1和和L2，它們之間的互感為，它們之間的互感為M，如圖所示如圖所示.(1) 當(dāng)二者順串聯(lián)，即當(dāng)二者順串聯(lián)，即2，3端端相連，相連，1，4端接入電路時端接入電路時,證明二者的等效自感為證明二者的等效自感為L=L1+L2+2M；(2) 當(dāng)二者反串聯(lián)，即當(dāng)二者反串聯(lián)，即2，4端相連，端相連，1，3端接入電路時端接入電路時,證明二者

20、的等效自感為證明二者的等效自感為L=L1+L22M.證明：證明： (1)當(dāng)二者順串聯(lián)，即當(dāng)二者順串聯(lián)，即2，3端相連，端相連，1，4端接入電路時端接入電路時,如圖如圖1所示所示. 當(dāng)有電流通過時，任一線當(dāng)有電流通過時，任一線圈產(chǎn)生的通過另一線圈的磁圈產(chǎn)生的通過另一線圈的磁通量的方向和另一線圈自身通量的方向和另一線圈自身產(chǎn)生的磁通量方向相同產(chǎn)生的磁通量方向相同.111122221212212112 34L1L2M圖圖1IIII23于是有于是有2221212111，21 對于兩個線圈組成的系統(tǒng)對于兩個線圈組成的系統(tǒng),其磁通量為其磁通量為又又21III12122222121111MIILMIILLI

21、，由以上各式可得由以上各式可得MLLL22112 34L1L2M圖圖1IIII1111222212122121241111222212122121(2)當(dāng)二者反串聯(lián)，即當(dāng)二者反串聯(lián)，即2，4端端相連，相連，1，3端接入電路時端接入電路時,如如圖圖2所示所示. 當(dāng)有電流通過時，任一線當(dāng)有電流通過時，任一線圈產(chǎn)生的通過另一線圈的磁圈產(chǎn)生的通過另一線圈的磁通量的方向和另一線圈自身通量的方向和另一線圈自身產(chǎn)生的磁通量方向相反產(chǎn)生的磁通量方向相反.于是有于是有2221212111， 對于兩個線圈組成的系統(tǒng)對于兩個線圈組成的系統(tǒng),其磁通量為其磁通量為21又又21III12122222121111MIILM

22、IILLI，由以上各式可得由以上各式可得MLLL221圖圖2IIII12 34L1L2M25方法二方法二證明：證明： (1)當(dāng)二者順串聯(lián)，即當(dāng)二者順串聯(lián)，即2，3端相連，端相連，1，4端接入電路時端接入電路時,如圖如圖1所示所示.1111222212122121 當(dāng)有電流通過時，任一線圈當(dāng)有電流通過時，任一線圈產(chǎn)生的通過另一線圈的磁通量的方向和產(chǎn)生的通過另一線圈的磁通量的方向和另一線圈自身產(chǎn)生的磁通量方向相同另一線圈自身產(chǎn)生的磁通量方向相同.當(dāng)電流當(dāng)電流I變化時變化時(例如例如I增加增加)，兩個線圈產(chǎn)生的感生電動，兩個線圈產(chǎn)生的感生電動勢方向相同勢方向相同,都與電流方向相反都與電流方向相反.12于是有于是有21III又又2122212111，dtdIMdtdILdtdIM