脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器

1、燕山大學(xué)課 程 設(shè) 計(jì) 說 明 書題目： 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器 學(xué)院（系）：電氣工程學(xué)院 年級專業(yè)：10級精密儀器及機(jī)械2班學(xué) 號： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 劉永紅 教師職稱： 講師 電氣工程學(xué)院課程設(shè)計(jì)任務(wù)書課程名稱： 數(shù)字信號處理課程設(shè)計(jì) 基層教學(xué)單位：儀器科學(xué)與工程系 指導(dǎo)教師： 學(xué)號學(xué)生姓名（專業(yè)）班級 設(shè)計(jì)題目7、 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)參數(shù)給定技術(shù)指標(biāo)為：，采樣頻率。設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)Butterworth低通濾波器，用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。參考資料數(shù)字信號處理方面資料MATLAB方面資料周次前半周后半周應(yīng)完成內(nèi)容收集消化資料、學(xué)習(xí)MATLAB軟件

2、，進(jìn)行相關(guān)參數(shù)計(jì)算編寫仿真程序、調(diào)試指導(dǎo)教師簽字基層教學(xué)單位主任簽字 目錄第一章 前言 4第二章 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)知識部分 52.1 巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì) 52.2 數(shù)字濾波器IIR 9第三章 matlab部分基礎(chǔ)知識143.1 MATLAB介紹 143.2巴特沃斯matlab函數(shù)介紹15第四章 仿真部分及仿真圖164.1數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟164.2 MATLAB程序 174.3仿真結(jié)果 18第五章 結(jié)論 19第六章 參考文獻(xiàn) 20第一章 前言數(shù)字信號處理課程設(shè)計(jì)是在學(xué)生完成數(shù)字信號處理和MATLAB的結(jié)合后的基本實(shí)驗(yàn)以后開設(shè)的。本課程設(shè)計(jì)的目的是為了讓學(xué)生綜合數(shù)字信號處理和MATLAB并實(shí)

3、現(xiàn)一個(gè)較為完整的小型濾波系統(tǒng)。濾波器是自動(dòng)控制、信號處理和通信領(lǐng)域的重要組成部分,廣泛地應(yīng)用于各種系統(tǒng)中。MATLAB語言是一種簡單、高效的高級語言,是一種內(nèi)容豐富、功能強(qiáng)大的分析工具，其應(yīng)用范圍幾乎覆蓋了所有的科學(xué)和工程計(jì)算領(lǐng)域。MATLAB中提供了豐富的用于模擬濾波器設(shè)計(jì)的函數(shù),通過編程可以很容易實(shí)現(xiàn)低通、高通、帶通、帶阻濾波器,并能畫出濾波器的幅頻特性曲線，大大簡化了模擬濾波器設(shè)計(jì)。本文將通過利用MATLAB濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)直接實(shí)現(xiàn)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)，找到應(yīng)用MATLAB來設(shè)計(jì)低通濾波器的方法。介紹了用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的基本理論和設(shè)計(jì)思想，給出了基于MATLAB設(shè)

4、計(jì)巴特沃斯低通濾波器的具體步驟，文中還給出了利用MATLAB產(chǎn)生的濾波器的幅頻及相頻特性曲線。詳細(xì)介紹了在基于MATLAB設(shè)計(jì)低通濾波器過程中常用到的工具和命令。 第二章 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)知識部分2.1巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì) 1巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)及其特點(diǎn) 巴特沃斯模擬濾波器幅度平方函數(shù)的形式是 （2-1-1） 式中N為整數(shù)，是濾波器的階次。=0時(shí)，=1時(shí)；當(dāng)=時(shí)，=1/ ，所以稱為半功率點(diǎn)。此時(shí)通帶內(nèi)衰減lg，所以又被稱為3dB截止頻率。巴特沃斯濾波器的振幅特性如圖2.1.1所示。由圖可見，當(dāng)時(shí)，隨加大，幅度迅速下降。下降的速度與階次N有關(guān)，N越 大，幅度下降速度越快，過渡帶

5、越窄。 圖2.1.1 巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系2.幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)分布及的構(gòu)成 將幅度平方函數(shù)寫成s的函數(shù)（2-1-2） 此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)用下式表示 k=0,1,2，2N-1（2-1-3） 這2N個(gè)極點(diǎn)分布在s平面半徑為的圓（稱為巴特沃斯圓）上，角度間隔是/N弧度。N=3時(shí)，極點(diǎn)間隔為/3弧度或60度，如圖2.1.2所示。圖2.1.2 三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布極點(diǎn)對虛軸是對稱的，且不會(huì)落在虛軸上。當(dāng)N是奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有極點(diǎn)；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，則實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。巴特沃斯濾波器的N個(gè)極點(diǎn)為 （2-1-4）則的表達(dá)式即濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 （2-1-5）3.頻率歸一化問題式（2

6、-1-5）即為所求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，可看出與有關(guān)，即使濾波器的幅度衰減特性相同，只要不同，就不一樣。為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，可將所以的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率見歸一化，歸一化后的表示為=（2-1-6），令，稱為歸一化頻率，則，記為p稱歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為（2-1-7）式中為歸一化極點(diǎn)，=，（2-1-8）。這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，便可按式（2-1-8）求出N個(gè)歸一化極點(diǎn)，再按照式（2-1-7）得到歸一化的傳輸函數(shù)。4.階數(shù)N的確定 階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降速度，它應(yīng)該由和確定。令， ,則N由下式表示： （2-1-9） 關(guān)于3dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)未

7、給出，則按下式求出：（2-1-10）。5.設(shè)計(jì)步驟總結(jié)以上討論，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：1）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)和，用式（2-1-9）求出N。 2）按照（2-1-8），求出歸一化極點(diǎn)，代入（2-1-7），得到歸一化傳輸函數(shù)。也可以直接查表. 3)將去歸一化。將p=s/代入，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)。如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出3dB截止頻率，可以按照式（2-1-10）求出。2.2數(shù)字濾波器IIR1.IIR濾波器基礎(chǔ)IIR濾波器的設(shè)計(jì)就是在給定了濾波器的技術(shù)指標(biāo)后，確定濾波器的階數(shù)N和系數(shù)。在設(shè)計(jì)IIR濾波器時(shí)，常用的方法是利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，設(shè)計(jì)方法是首先將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的

8、模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器，最后將設(shè)計(jì)出的模擬濾波器轉(zhuǎn)換為滿足技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器。將系統(tǒng)函數(shù)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面的方法很多，主要有兩種：一種是使數(shù)字濾波器的近似于模擬濾波器的，可導(dǎo)出脈沖響應(yīng)不變法；另一種是使數(shù)字濾波器的差分方程近似于濾波器的微分方程，由此可導(dǎo)出雙線性變換法。為保證轉(zhuǎn)換后的穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出以下兩點(diǎn)要求：（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定則要求的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)。因此，轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)。（2）

9、數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器頻率響應(yīng)，s平面的虛軸映射z平面單位圓。2.脈沖響應(yīng)不變法 脈沖響應(yīng)不變法的核心是通過對連續(xù)函數(shù)等間隔采樣得到離散序列，使（其中T為采樣間隔）,因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法，轉(zhuǎn)換步驟如下 設(shè)模擬濾波器只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將用部分分式表示，則 （2-2-1） 式中，為的單階極點(diǎn)。將進(jìn)行拉氏逆變換得到 （2-2-2） 式中，單階階躍函數(shù)。對進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到 （2-2-3） 對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) （2-2-4）由這一轉(zhuǎn)換過程看出，它對部分分式表達(dá)的模擬系統(tǒng)函數(shù)更為方便，對任一極點(diǎn)，

10、到得轉(zhuǎn)換可直接用下式來完成 (2-2-5)將式（2-2-1）的和式（2-2-4）的加以比較，可以看出：1）S平面的單極點(diǎn)變換到z平面上處的單極點(diǎn)。2）與的部分分式的系數(shù)是相同的，都是。3）如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，所有極點(diǎn)位于s平面的左半平面，及極點(diǎn)的實(shí)部小于零，則變換后的數(shù)字濾波器的全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，即模小于1，因此數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。 3.與的關(guān)系下面分析從模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器，s平面和z平面之間的映射關(guān)系，從而找到這種轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)缺點(diǎn)。這里以采樣信號作為橋梁，推導(dǎo)其映射關(guān)系。將的采樣信號用表示， 對進(jìn)行拉式逆變換，得到 式中，是在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列的幅度相等，即，

11、因此得到(2-2-6)上式說明采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的Z變換之間的映射關(guān)系為 (2-2-7)已知模擬信號的傅立葉變換和其采樣信號的傅立葉變換之間的關(guān)系滿足 （2-2-8）其中，將s=j帶入上式，得 （2-2-9） （2-2-10）上式表明將模擬信號的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期延拓后，再按上式的映射關(guān)系映射到Z平面上，就得到H(z)?？煞Q為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。圖2.2.1 沖擊響應(yīng)不變法的映射關(guān)系設(shè) 則得到： (2-2-11)那么 上面關(guān)系式說明，s平面左半平面映射z平面單位圓內(nèi)，s平面的虛軸映射z平面的單位圓上，s平面右半平面映射z平面單位圓外。這說明：第一，如果因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到仍因果穩(wěn)

12、定；第二，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻率響應(yīng)，滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的兩點(diǎn)要求。與二者關(guān)系可由式（2-2-10）導(dǎo)出，考慮，且，則得到（2-2-12）。這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)以為周期的周期延拓。因而正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是有限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即，才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即。4.頻率混疊現(xiàn)象實(shí)際上，任何一個(gè)模擬濾波器的頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格帶限的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。如果原模擬信號的頻帶不是限于+/-/T之間，則會(huì)在他的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生

13、頻率混疊，從而映射到z平面上，在=+/-附近產(chǎn)生頻率混疊。脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象如下圖所示圖2.2.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象5.脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是頻率坐標(biāo)變換是線性的，即。另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)，時(shí)域特性逼近好。 第三章 matlab部分基礎(chǔ)知識3.1 MATLAB介紹 設(shè)計(jì)平臺(tái)MATLAB7.1 MATLAB 是美國 MathWorks 公司生產(chǎn)的一個(gè)為科學(xué)和工程計(jì)算專門設(shè)計(jì)的 交互式大型軟件，是一個(gè)可以完成各種精確計(jì)算和數(shù)據(jù)處理的、可視化的、強(qiáng)大 的計(jì)算工具。 它集圖示和精確計(jì)算于一身， 在應(yīng)用數(shù)學(xué)、 物理、

14、 化工、 機(jī)電工程、 醫(yī)學(xué)、金融和其他需要進(jìn)行復(fù)雜數(shù)值計(jì)算的領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。它不僅是一個(gè) 在各類工程設(shè)計(jì)中便于使用的計(jì)算工具，而且也是一個(gè)在數(shù)學(xué)、數(shù)值分析和工程 計(jì)算等課程教學(xué)中的優(yōu)秀的數(shù)學(xué)工具，在世界各地的高和大型計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，適 用于 Windows、UNIX 等多種系統(tǒng)平臺(tái)。 MATLAB 作為一種科學(xué)計(jì)算的高級語言之所以受歡迎， 就是因?yàn)樗胸S富的 函數(shù)資源和工具箱資源，編程人員可以根據(jù)自己的需要選擇函數(shù)，而無需再去編 寫大量繁瑣的程序代碼，從而減輕了編程人員的工作負(fù)擔(dān)，被稱為第四代編程語 言的 MATLAB 最大的特點(diǎn)就是簡潔開放的程序代碼和直觀實(shí)用的開發(fā)環(huán)境3.2巴特沃斯mat

15、lab函數(shù)介紹1. buttordN,wc=buttord(wp，ws，p，s) 用于計(jì)算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc。調(diào)用參數(shù)wp，ws分別為數(shù)字濾波器的通帶、阻帶截止頻率的歸一化值，要求：0wp1，0ws1且對于低通濾波器wp<ws。1表示數(shù)字頻率pi。2.butterb，a=butter（N，wc，ftype）計(jì)算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量b、a。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值（關(guān)于pi歸一化），一般是調(diào)用N,wc=buttord(wp，ws，p，s)格式計(jì)算N和wc。系數(shù)b、a是按照z-1的

16、升冪排列。3freqz計(jì)算離散系統(tǒng)在0范圍內(nèi)的N個(gè)頻率等分點(diǎn)的頻率響應(yīng)的值。4. absAbs（H）為取H得幅度。5. angleAngle（H）為取H的相位角，單位為弧度，用pha顯示計(jì)算的相位。6. axisaxis(xmin xmax ymin ymax) 中分別給出x軸和y軸的最大值、最小值7. subplotsubplot(m,n,p) 將多個(gè)圖畫到一個(gè)平面上的工具。其中，m表示是圖排成m行，n表示圖排成n列，p是指你現(xiàn)在要把曲線畫到figure中哪個(gè)圖上。8. plot plot(x,y)是繪制二維圖形的最基本函數(shù)， 以x 元素為橫坐標(biāo)值，y 

17、;元素為縱坐標(biāo)值繪制曲線。9. Xlabelx軸注解Ylabely軸注解Title標(biāo)題注解Grid on開啟網(wǎng)格格式 第四章 仿真部分及仿真圖4.1數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟 設(shè)計(jì)流程圖4.2 MATLAB程序Fs=1000; fp=100; fs=300; Ap=3; As=20;Wp=fp/(Fs/2); Ws=fs/(Fs/2);N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As); b,a=butter(N,Wc);H,F=freqz(b,a,500,Fs);subplot(2,2,2)plot(F,20*log10(abs(H) xlabel('頻率(Hz)'); ylabe

18、l('幅度(dB)') axis(0 500 -40 3); title('數(shù)字濾波器分頻曲線')grid onsubplot(2,2,1)plot(F,abs(H); xlabel('頻率(Hz)');ylabel('幅度');title('數(shù)字濾波器幅頻曲線')grid on;subplot(2,2,3)pha=angle(H);plot(F,pha);xlabel('頻率(Hz)'); ylabel('相位(rad)')grid ontitle('數(shù)字低通濾波器相頻曲線')4.3仿真結(jié)果 第五章 結(jié)論 本次課程設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器首先要設(shè)計(jì)出相應(yīng)的巴特沃斯低通濾波器，由我們課上學(xué)過的知識，根據(jù)所給的設(shè)計(jì)參數(shù)確定濾波器的階數(shù)，