函數(shù)的四個(gè)性質(zhì).

1、函數(shù)的性質(zhì) (奇偶性，單調(diào)性，周期性，對(duì)稱(chēng)性) 定義域優(yōu)先一、奇偶性常用性質(zhì) ：1 f ( x)0 是既奇又偶函數(shù)；2奇函數(shù)若在x0 處有定義，則必有f ( 0)0 ；3偶函數(shù)滿(mǎn)足f ( x)f ( x)f ( x ) ；4奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)；5 f ( x) 0 除外的所有函數(shù)奇偶性滿(mǎn)足：奇函數(shù)±奇函數(shù) =奇函數(shù)奇函數(shù)×奇函數(shù) =偶函數(shù)奇函數(shù)±偶函數(shù) =非奇非偶奇函數(shù)×偶函數(shù) =奇函數(shù)偶函數(shù)±偶函數(shù) =偶函數(shù)偶函數(shù)×偶函數(shù) =偶函數(shù)6 任 何 函 數(shù) f (x)f ( x)f (x)可 以 寫(xiě) 成 一

2、個(gè) 奇 函 數(shù) ( x)2和一個(gè)偶函數(shù)f ( x)f ( x)的和。( x)2二、 函數(shù) yf (x)圖象本身的對(duì)稱(chēng)性（自身對(duì)稱(chēng)）若 f ( xa)f ( x b) ，則 f ( x) 具有周期性；若 f (ax)f (b x) ，則 f (x)具有對(duì)稱(chēng)性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱(chēng)性”。1、 f ( a x)f (bx)y f ( x) 圖象關(guān)于直線(xiàn) x(ax) (b x)a b 對(duì)稱(chēng)22推論 1： f (ax)f (a x)yf (x) 的圖象關(guān)于直線(xiàn)xa 對(duì)稱(chēng)推論 2、 f ( x)f (2ax)yf ( x) 的圖象關(guān)于直線(xiàn)xa 對(duì)稱(chēng)推論 3、 f (x)f (2ax)yf ( x

3、) 的圖象關(guān)于直線(xiàn)xa 對(duì)稱(chēng)2、 f ( a x)f (bx)2cyf ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( ab , c) 對(duì)稱(chēng)2推論 1、 f (ax)f (ax)2byf ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a,b) 對(duì)稱(chēng)推論 2、 f (x)f (2ax)2byf (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a,b) 對(duì)稱(chēng)推論 3、 f (x)f (2ax)2byf ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a,b) 對(duì)稱(chēng)三、函數(shù)周期性的幾個(gè)重要結(jié)論1、 f ( xT )f ( x) (T0 )yf (x) 的周期為 T ， kT ( kZ ) 也是函數(shù)的周期2、 f ( xa)f(x b)yf ( x) 的周期為 Tb a3、 f ( x

4、a)f (x)yf ( x) 的周期為 T2a4、 f ( xa)1yf (x) 的周期為 T2af ( x)5、 f ( xa)1yf ( x) 的周期為 T2af ( x)6、 f ( xa)1f ( x)yf (x) 的周期為 T2a1f (x)7、 f ( xa)f ( x)1yf (x)的周期為 T2af ( x)18、 f ( xa)1f (x)yf (x) 的周期為 T4a1f (x)9、 f ( x2a)f (xa)f ( x)yf ( x) 的周期為 T 6a10、若 p0, f ( px)f ( pxp ) , 則 Tp .2211、 yf ( x) 有兩條對(duì)稱(chēng)軸 xa 和

5、 xb (b a)yf ( x) 周期 T2(b a)推論：偶函數(shù)yf ( x) 滿(mǎn)足 f (ax)f (ax)yf ( x) 周期 T2a12、 yf ( x) 有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(a,0) 和 (b,0)(ba)yf ( x)周期 T2(b a)推論：奇函數(shù)yf ( x) 滿(mǎn)足f (ax)f (ax)yf ( x) 周期T4a13、 yf ( x) 有一條對(duì)稱(chēng)軸xa 和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(b,0) (ba)f (x) 的 T4(b a)跟蹤練習(xí)1、定義在 R 上的奇函數(shù) f (x) ，周期為6，那么方程 f ( x)0在區(qū)間 6, 6 上的根的個(gè)數(shù)可能是A.0B.1C.3D.52、 f(x)是定義在

6、 R 上的以3 為周期的偶函數(shù)，且f(2) 0，則方程 f(x) 0在區(qū)間 (0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)至少是 ()A 1B 4C 3D 23、已知 f ( x) 是 R 上的偶函數(shù) , g(x) 是 R 上的奇函數(shù) ,且 g(x) = f (x 1) ,那么 f (2013)A.0B.2C.2D.24、已知 f ( x)2x1，那么 f (6)f ( 4)f ( 2)f (0)f (2) f (4)f (6) f (8)x116A.14B.15C.D.165、已知 f ( x) 的定義域?yàn)?R，若 f ( x1)、 f (x1) 都為奇函數(shù)，則A. f (x) 為偶函數(shù)B. f (x) 為奇函數(shù)C.

7、 f ( x) = f (x2)D. f ( x3) 為奇函數(shù)6、定義在 R 上的函數(shù) f ( x) 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x 都有 f ( x1)f ( x1) ，則下列結(jié)論一定成立的是A. f (x) 的周期為 4B.f ( x) 的周期為 6C.f ( x) 的圖像關(guān)于直線(xiàn) x 1對(duì)稱(chēng)D.f ( x) 的圖像關(guān)于點(diǎn) (1 , 0) 對(duì)稱(chēng)7、定義在 R 上的函數(shù) f ( x) 滿(mǎn)足 : f (x)f ( x) , f (1x)f (1x) ，當(dāng) x 1, 1時(shí)， f ( x) x3，則 f (2013)A.1B.0C.1D.28、定義在 R 上的函數(shù)f ( x) 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x 都有 f (2x)f

8、 ( 2x) ，并且 f (x1)為偶函數(shù) . 若 f (1)3 ，那么 f (101)A.1B.2C.3D.49、已知 f(x)( xR) 為奇函數(shù)， f(2) 1， f(x 2) f(x) f(2) ，則 f(3) 等于 ()13A. 2B 1C.2D 2310、若奇函數(shù) f(x)(x R)滿(mǎn)足 f(3) 1， f(x 3) f(x) f(3) ，則 f 2等于 ()A 0B 11D 1C.2211、已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿(mǎn)足 f(x 4) f(x)，且在區(qū)間 0,2 上是增函數(shù)，則 ()A f( 25)< f(11)<f(8 0)B f(80)<f(11)

9、<f( 25)Cf(11)<f(80)<f( 25)D f( 25)<f(80)<f(11)12、設(shè) fx為定義在 R 上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足 f x2fx ，當(dāng) 0 x1時(shí) fxx ，則f 7. 5（）等于A 0.5B 0.5C 1.5D 1.5a213、設(shè) fx是定義在 R 上的偶函數(shù) ,且在 ( ,0)上是增函數(shù) ,則 f2 與 f2a3（ aR ）的大小關(guān)系是（）A f2 < f a22a 3B f2 f a22a 3C f2> fa22a3D與 a 的取值無(wú)關(guān)14、若函數(shù)fx為奇函數(shù)，且當(dāng)x0 時(shí)，f xx10 時(shí)，有（），則當(dāng) xA f x0B

10、f x0C f x fx 0 D f x fx015、已知函數(shù)fxx22a1 x2 在區(qū)間,4 上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（）A a 3B a 3C a 5D a316、已知函數(shù)fxxaxaa 0, g(x)x1 xx2x (x 0)1 , h(x)x(x 0)，x1x 2則 f x, g x , hx 的奇偶性依次為（）A 奇函數(shù)，偶函數(shù)，奇函數(shù)B奇函數(shù)，奇函數(shù)，偶函數(shù)C奇函數(shù)，奇函數(shù)，奇函數(shù)D奇函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，奇函數(shù)17、已知函數(shù)fxx2axb2b 1 a,bR對(duì)任意實(shí)數(shù) x 都有f 1xf1x 成立，若當(dāng)x1,1 時(shí)， fx0 恒成立 ,則 b 的取值范圍是（）A 1b0B

11、b2C b1或 b 2 D不能確定18、已知函數(shù)fxx22x23，那么（）A C19、函數(shù)的是yfx 在區(qū)間1,1上是增函數(shù)B yfx在區(qū)間,1上是增函數(shù)yfx 在區(qū)間1,1上是減函數(shù)D yfx在區(qū)間,1上是減函數(shù)yfx 在 0,2上是增函數(shù)，函數(shù)y fx2是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確（）A f 1f5f75f 1722B ff2275f 17f 15C ffD ff222220、設(shè)函數(shù) fx是 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x0 時(shí)， f xx3，則 f2 等于（）2A 1B 11C 1D 114421、設(shè)函數(shù) f (x) 是 R 上的偶函數(shù) ,且在 0,上是減函數(shù) ,且 x1x2 0，x2x1 ,則

12、A. f (x1 )f ( x2 )B. f (x1)f ( x2 )C. f (x1 )f ( x2 )D.不能確定22、函數(shù) y fx與 ygx的定義域相同， 且對(duì)定義域中任何x 有 fxfx0 ，gx gx1 ，若 gx1 的解集是0 ，則函數(shù) F x2 fxxg xf是1（）A 奇函數(shù)B 偶函數(shù)C既奇又偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)23、已知函數(shù)xsin x, x0f (2a2 )f (a) ，則實(shí)數(shù)af ( x)ex1, x，若取值范圍是0A. (, 1 )(2, )B. ( 2,1)C.( 1, 2)D. (,2 )(1,)24 、已知 f (x) 是定義在 R 上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任

13、意x 都有 xf ( x 1)(1 x) f ( x)那么 f ( 5 ) =2A 0B 1C 2D 3二、填空題：24、設(shè) yf x是 R 上的減函數(shù)，則 yfx3的單調(diào)遞減區(qū)間為25、已知 fx 為偶函數(shù)， gx是奇函數(shù)， 且 fxg xx2x2 ，則 f x、 g x分別為;26、定義在上的奇函數(shù)fxm，則常數(shù)m， n；1,1xnxx2127、已知 f (x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f ( x2)1f (x) ,若 f (1)23, 則1f (x)f (2005)=.28、函數(shù) f ( x) 定義域?yàn)?R ，且對(duì)于一切實(shí)數(shù)x, y 都有 f ( x y)f ( x)f ( y) ，試判斷f ( x) 的奇偶性 .29、設(shè) f ( x) 是定義在R 上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x 恒滿(mǎn)足f (2x)f ( x) ，當(dāng) x0