命題及其關系充分條件與必要條件知識點與題型歸納

1、讀書之法，在循序而漸進，熟讀而精思高考明方向1. 理解命題的概念2. 了解“若p,則q”形式的命題的逆命題、 否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系.3. 理解充分條件、必要條件與充要條件 的含義 備考知考情常用邏輯用語是新課標高考命題的熱點之一，考查形式以選擇題為主，試題多為中低檔題目，命題的重點主要有兩個：一是命題及其四種形式，主要考查命題的四種形式及命題 的真假判斷；二是以函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何中的線面關系等為 背景考查充要條件的判斷，這也是歷年高考命題的重中之 重命題的熱點是利用關系或條件求解參數(shù)范圍問題，考 查考生的逆向思維一、知識梳理名師一號P4知識點一命題及四種命題1、

2、命題的概念在數(shù)學中用語言、符號或式子表達的，可以 判斷真假 的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫真命題，判斷 為假的語句叫假命題.注意：命題必須是陳述句，疑問句、祈使句、感嘆句 都不是命題。2.四種命題及其關系逆命題 若£則滬否命題逆否命題若初，則利互逆若磅則M互逆原命題若P、則；7互 否互 否四種命題間的相互關系.(2) 四種命題的真假關系 兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性;讀書之法在循序而漸進，熟讀而精思 兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性無關注意：（補充）1、一個命題不可能同時既是真命題又是假命題2、常見詞語的否定原詞語等于（=大于（）小于（）是否定詞語:不等

3、于（M）:不大于（W）:不小于（）不是原詞語都是至多有一個至多有n個或否定詞語不都是至少有兩個至少有n+1個且原詞語:至少有一個:任意兩個所有的任意的否定詞語一個也沒有某兩個某些某個知識點二 充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件的概念（1）充分條件：p= q則p是q的充分條件即只要有條件p就能充分地保證結論q的成立，亦即要使q成立，有p成立就足夠了，即 有它即可（2）必要條件：p= q則q是p的必要條件P= q= _q= _p即沒有q則沒有p，亦即q是p成立的必須要有的 條件，即無它不可。（補充）（3）充要條件p二q且q二p即p= q則p、q互為充要條件（既是充分又是必要條件）“ p是q的

4、充要條件”也說成“ p等價于q ”、“ q當且僅當p ”等（補充）2、充要關系的類型（1）充分但不必要條件定義：若p二 q，但q二 p，則p是q的充分但不必要條件；讀書之法，在循序而漸進，熟讀而精思(2) 必要但不充分條件定義:若q二 p，但p二 q ,則p是q的必要但不充分 條件(3) 充要條件定義：若p = q，且q = p，即p- q，則p、q互為充要條件；(4) 既不充分也不必要條件定義：若p二 q，且q二 p，則p、q互為既不充分也不必要 條件.3、判斷充要條件的方法：名師一號P6特色專題 定義法；集合法；逆否法(等價轉換法). 逆否法-利用互為逆否的兩個命題的等價性集合法-利用集合

5、的觀點概括充分必要條件若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結論q以集合B的 形式出現(xiàn)，則借助集合知識，有助于充要條件的理解和判 斷.(1) 若A = B，則p是q的充分但不必要條件(2) 若B = A，貝u p是q的必要但不充分條件(3) 若A二B，則p是q的充要條件(4) 若 AB，且 A 二 B，則p是q的既不必要也不充分條件(補充)簡記作-若A、B具有包含關系，則(1) 小范圍是大范圍的充分但不必要條件(2) 大范圍是小范圍的必要但不充分條件二、例題分析(一)四種命題及其相互關系例1.(1) 名師一號P4 對點自測1 命題 若x, y都是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題 是()A 若x+y是偶

6、數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B.若x+ y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù) C若x+y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D若x+y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)答案 C例1.（2）名師一號P5高頻考點 例1 下列命題中正確的是（） 若aQ則abM 0的否命題； 正多邊形都相似”的逆命題； 若m>0,則x2 + x m= 0有實根”的逆否命題；1 若X 32是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題. A B. C D 解析： 中否命題為若a = 0,則ab= 0”正確； 中逆命題不正確； 中，= 1 + 4m,當m>0時，A>0,原命題正確, 故其逆否命題正確； 中原命題正確故逆否命題正確. 答案 B注

7、意：名師一號P5高頻考點 例1規(guī)律方法 在判斷四個命題之間的關系時， 首先要分清命題的條件與結論， 再比較每個命題的條件與結論之間的關系.要注意四種命題關系的相對性，一旦一個命題定為 原命題，也就相應的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時要進行推理， 判定命題為假命題時只需舉出反例即可. 對涉及數(shù)學概念的命題的判定要從概念本身入手.例1.（3）名師一號P4 對點自測2（2014陜西卷）原命題為 若zi,Z2互為共軛復數(shù)，則|zi| 二|Z2| :關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷 依次如下，正確的是（）A .真，假，真B.假，假，真C .真，真，假D .假，假，

8、假解析 易知原命題為真命題，所以逆否命題也為真,設 zi= 3 + 4i, Z2= 4+ 3i,則有 |zi|= |z2|,但是Z1與Z2不是共軛復數(shù)，所以逆命題為假，同時否命題也為假.注意：名師一號P5問題探究 問題2四種命題間關系的兩條規(guī)律（1）逆命題與否命題互為逆否命題； 互為逆否命題的兩個命題同真假當判斷一個命題的真假比較困難時， 可轉化為判斷它的逆否命題的真假. 同時要關注 特例法”的應用.例2.（補充）（2011山東文5）已知a, b, c R，命題 若a b c =3,則a2 +b2 +c2 > 3的否命題是（ ）（A）若 a+b+E3,貝U a2 +b2 +c2 <

9、3ooo（B）若 a+b+c=3，則 a b c <3*”（C）若 a+b+cz 3,貝U a2 b2 c2 > 3（D）若 a2 b2 c2 > 3，則 a+b+c=3【答案】A來【解析】命題 若p，則q ”的否命題是： 若p，則一q ”例2.（補充）命題： 若xy= 0,貝U x=0或y=0 ”的否定是：【答案】若xy =0，貝U x = 0且y = 0【解析】命題的否定只改變命題的結論。命題的否定與否命題的區(qū)別（二）充要條件的判斷與證明例1.（1）（補充）（07湖北）已知p是r的充分條件而不是 必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的 必要條件?，F(xiàn)有下列命

10、題：s是q的充要條件；p是q 的充分條件而不是必要條件；r是q的必要條件而不是 充分條件；p是s的必要條件而不是充分條件；r是 s的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號是（）A. B. C. D. 讀書之法，在循序而漸進與讀而精思答案：B1、利用定義判斷充要條件名師一號P6特色專題方法一定義法 定義法就是將充要條件的判斷轉化為兩個命題 若p,則q”與若q,則p”的判斷，根據(jù)兩個命題是否正確，來確定 p與q之間的充要關系.p= q則p是q的充分條件；q是p的必要條件2、利用逆否法判斷充要條件名師一號P6特色專題方法三等價轉化法當所給命題的充要條件不好判定時，可利用四種命題 的關系，對命題進行等

11、價轉換.常利用原命題與逆命題的 真假來判斷p與q的關系.令p為命題的條件，q為命題 的結論，具體對應關系如下： 如果原命題真而逆命題假，那么p是q的充分不必要條件； 如果原命題假而逆命題真，那么p是q的必要不充分條件； 如果原命題真且逆命題真，那么p是q的充要條件； 如果原命題假且逆命題假，那么p是q的既不充分也不必要條件.簡而言之,逆否法-利用互為逆否的兩個命題的等價性例1.（2）名師一號P6特色專題 例1 （2014北京卷）設an是公比為q的等比數(shù)列.則q>1”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】若q&g

12、t;1，則當ai= 1時，an = q ， an為遞減數(shù)列， 所以q>i” ?“為遞增數(shù)列”；若an為遞增數(shù)列，則當an= gr時，ai = ，q=<1， 即“為遞增數(shù)列”？ / q>1故選D.例1.（3）名師一號P6特色專題 例2（2014湖北卷）設U為全集.A，B是集合，則 存在讀書之法在循序而漸進，熟讀而精思集合C使得:，3匸？uC”是“AH匚©”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C .充要條件D.既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】 如圖可知，存在集合C,使A C, B ?uC，則有 APB = '.若 AAB= '，顯然存在集合 C

13、. 滿足A C, B ?uC.故選C.例1 名師一號P4 對點自測5已知 p： 4<k<0, q：函數(shù) y= kx2 kx 1 的值 恒為負，貝U p是q成立的（）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件2 2解析:4<k<0? k<0, = k + 4k<0，函數(shù) y = kx kx 1的值恒為負，但反之不一定有一4vk<0,如k= 0時， 函數(shù)y= kx2 kx 1的值恒為負，即p? q,而cP p. 可用定義或集合法3、利用集合法判斷充要條件名師一號P6特色專題方法二集合法涉及方程的解集、不等式的解集、點集等

14、與集合相關 的命題時，一般采用集合間的包含關系來判定兩命題之間 的充要性.具體對應關系如下：若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結論q以集合B的 形式出現(xiàn)，則借助集合知識，有助于充要條件的理解和判 斷.（1）若A = B，則p是q的充分但不必要條件（2）若B = A，貝u p是q的必要但不充分條件（3）若A二B，則p是q的充要條件（4）若 A B，且 A 二 B,則p是q的既不必要也不充分條件讀書之法，在循序而漸進與讀而精思(補充)簡記作二若A、_ B具有包含關系,則(1) 小范圍是大范圍的充分但不必要條件(2) 大范圍是小范圍的必要但不充分條件例2名師一號P5高頻考點 例3lOg2X，X>0,

15、函數(shù)f(X)i v有且只有一個零點的2 a, x<0充分不必要條件是()1 1A. a<0或 a>1 B. 0<a<2 CvavlD. a<0Iog2x, x>0,解析：因為f(X)i x有且只有一個零點2 a, x<0的充要條件為a<0或 a>1.由選項可知，使a<0或 a>1”成 立的充分條件為選項D.注意：名師一號P5高頻考點 例3規(guī)律方法 有關探求充要條件的選擇題，解題關鍵是：首先，判斷是選項“推”題干，還是題干“推”選項 ； 其次，利用以小推大的技巧，即可得結論.務必審清題，明確“誰是條件”！ 此題選項是條件！練

16、習：(補充)已知 p : x = 3 且 y二 2 , q : x y = 5，則 p 是 q 的 條件。答案：既不充分條件也不必要條件例3.名師一號P6特色專題例3已知命題p：關于x的方程4x2 2ax+ 2a+ 5 = 0的解集 至多有兩個子集，命題q： 1 mfCx< 1 m, m>0,若p是 -q的必要不充分條件，求實數(shù) m的取值范圍.【規(guī)范解答】v -p是-q的必要不充分條件, p是q的充分不必要條件.對于命題p,依題意知= ( 2a)2 4 4(2a+ 5)= 4(a2 8a 20) < , 2< a< 1,讀書之法，在循序而漸進與讀而精思令 P= a

17、| 2<a峯0, Q = x|1 mrcx< 1 m, m>0, 由題意知P = Q,jm>0,jm>0,1 mv 2, 或 1 m< 2,1 + m> 101 + m>10,解得9因此實數(shù)m的取值范圍是m|m>9. 注意：（補充）凡結合已知條件 求參數(shù)的取值范圍 是求滿足條件的等價條件即充要條件 練習：（補充）已知 p : -2 <x < 10;q:1 - m 乞 x 乞 1 m（m 0）若p是q的必要但不充分條件， 求實數(shù)m的取值范圍.解：一 p是一 q的必要但不充分條件 即P=- q且q=- p等價于q= p p二q即 p

18、是q的充分但不必要條件令A='x 2蘭 xlOB='x1 m蘭 x蘭 1十 m(m> 0)1 -m -2則Au B即解得m色911十m -10所以實數(shù)m的取值范圍是mm z 9(1 一 m 蘭 一 2注：A是B的真子集，須確保11 + m0中的等號不同時取得例4.（補充）求證：關于x的方程ax2 + 2x+1 = 0至少有一個負根的 充要條件是a< 1.證明：充分性：當a= 0時，方程為2x+ 1 = 0的根為 1x=- 2方程有一個負根，符合題意.讀書之法在循序而漸進，熟讀而精思當 a<0 時，= 4 4a>0,方程 ax2+ 2x+ 1= 0 有兩個1不相等的實根，且a<o,方程有一正一負根，符合題意.a當 Ovawi時，= 4 4a>0-2<02a方程ax + 2x+ 1 = 0有實根，且，1>