復(fù)變函數(shù)柯西公式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)柯西公式復(fù)變函數(shù)柯西公式一、柯西積分公式一、柯西積分公式1. 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出000( ):|(0)( )f zCzzrrf zC 設(shè)設(shè)在在以以圓圓為為邊邊界界的的閉閉圓圓盤(pán)盤(pán)上上解解析析，沿沿 的的積積分分為為零零?？伎紤]慮積積分分0( )Cf zIdzzz 0( )2)0;f zIzz 在在上上述述閉閉圓圓盤(pán)盤(pán)上上不不解解析析， 的的值值不不一一定定為為 1) 被積函數(shù)在被積函數(shù)在C上連續(xù)，積分上連續(xù)，積分I必然存在；必然存在；第1頁(yè)/共37頁(yè)因此，因此，I的值只與的值只與f(z)在在z0點(diǎn)附近的值有關(guān)。點(diǎn)附近的值有關(guān)。根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 得得( )

2、12.f zIi 例例如如：時(shí)時(shí)，00( )( )CCf zf zdzdzzzzz 00 , : ,zCzz 作作以以為為中中心心 半半徑徑為為很很小小的的的的正正向向圓圓周周現(xiàn)在考慮現(xiàn)在考慮f(z)為一般解析函數(shù)的情況。為一般解析函數(shù)的情況。第2頁(yè)/共37頁(yè) ( ) ,f z由由的的連連續(xù)續(xù)性性0 ( ) , Cf zz 在在上上函函數(shù)數(shù)的的值值將將隨隨著著 的的縮縮小小而而逐逐漸漸接接近近于于它它在在圓圓心心處處的的值值000()( )d d .()CCf zf zzzzzzz 將將接接近近于于縮縮小小00()dCf zzzz 0001()d2().Cf zzif zzz 第3頁(yè)/共37頁(yè)

3、2. 柯西公式柯西公式( )DCf zDCDDz設(shè)設(shè) 是是以以有有限限條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線 為為邊邊界界的的有有界界區(qū)區(qū)域域, , 設(shè)設(shè)在在 及及 所所組組成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域 上上解解析析，那那么么在在 內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn) ，有有1( )( )2Cff zdiz 定理定理1 (柯西公式柯西公式) C是是D的正向邊界，我們稱它為的正向邊界，我們稱它為柯西公式?？挛鞴?。第4頁(yè)/共37頁(yè)D( ),( ),fzDFzDz 設(shè)設(shè)顯顯然然函函數(shù)數(shù)在在滿滿足足的的點(diǎn)點(diǎn) 處處解解析析。.rrDCD在在 上上，挖挖去去以以為為邊邊界界的的圓圓盤(pán)盤(pán)，余余下下的的點(diǎn)點(diǎn)集集是是一一個(gè)個(gè)閉閉區(qū)區(qū)域域證明：證明：,

4、rzDrC以以 為為心心，作作一一個(gè)個(gè)包包含含在在 內(nèi)內(nèi)的的圓圓盤(pán)盤(pán)，設(shè)設(shè)其其半半徑徑為為 ，邊邊界界為為圓圓方方向向?yàn)闉槟婺鏁r(shí)時(shí)針針。z( ) rfDz 在在上上，解解析析，所所以以有有第5頁(yè)/共37頁(yè)( )( )rCCffddzz ( )2rCff zdif zz rrCCfff zf zddzz ( )rrCCff zf zddzz ( )1rrCCff zdf zdzz 第6頁(yè)/共37頁(yè) ( ) ,fz 因因?yàn)闉樵谠?連連續(xù)續(xù)0,( )0, ,( )( )zff z 所所以以當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有成成立立. . rCff z 故故在在圓圓周周上上，亦亦有有 22rrCCff zff zddzz

5、rr 第7頁(yè)/共37頁(yè) 0lim0rrCff zdz 于于是是有有 2rCfdif zz 從從而而得得到到 1 2Cfdf zzDiz 即即證畢證畢第8頁(yè)/共37頁(yè)2、公式給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式、公式給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.3、公式提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法、公式提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法注解注解(這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)1、對(duì)于有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)所取的值可以用它在邊界上的值表示出來(lái)。、對(duì)于有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)所取的值可以用它在邊界上的值表示出來(lái)。1( )( )2Cff zdiz 0

6、01( )()2Cf zf zdzizz 第9頁(yè)/共37頁(yè)412)d .123zzzzz 21213) d .(1)z izz z 例例1 求下列積分求下列積分41sin1)d2zzziz 2sin4 d , :1111) 1; 2) 1; 3) 2.22CzzCzzzz 計(jì)計(jì)算算積積分分其其中中例例2第10頁(yè)/共37頁(yè)41sin1)d ;2zzziz ( )sin , f zz 因因?yàn)闉樵谠趶?fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析0 4 ,zz位位于于內(nèi)內(nèi)例例1 求下列積分求下列積分解解041sin1d2sin22zzzzizizi 0; 由柯西積分公式由柯西積分公式第11頁(yè)/共37頁(yè)412)d .123z

7、zzzz 441dd123zzzzzzz1 32122 2ii 7.2i 21213) d .(1)z izz z 21(1)z z 1()()z zizi1()z zizi 0,zi 第12頁(yè)/共37頁(yè)1 ( ) , 2f zzi因因?yàn)闉樵谠趦?nèi)內(nèi)解解析析2112211()dd(1)z iz iz zizzz zzi 12()z iiz zi 2122ii . i 第13頁(yè)/共37頁(yè)解解2112sin41)d1zzzz 112sin41d1zzzzz 1sin421zziz 2;2i 2sin4 d , :1111) 1; 2) 1; 3) 2.22CzzCzzzz 計(jì)計(jì)算算積積分分其其中中例

8、例2第14頁(yè)/共37頁(yè)2111122sin4sin142)dd11zzzzzzzzz 1sin421zziz 2;2i 第15頁(yè)/共37頁(yè)22sin43)d1zzzz 由閉路復(fù)合定理由閉路復(fù)合定理, 得得22sin4d1zzzz 2112sin4d1zzzz 2112sin4d1zzzz 2222ii2. i 第16頁(yè)/共37頁(yè)( )( )( )f zDDCf zCf zD設(shè)設(shè)在在閉閉區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)解解析析， 的的邊邊界界 是是由由光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲線線所所組組成成若若在在上上恒恒為為常常數(shù)數(shù)，證證明明在在 上上恒恒為為常常數(shù)數(shù). .( )( ),( )( )( )( )f zg

9、 zDCDDf zg zCf zg zC 設(shè)設(shè)與與在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)解解析析， 為為 內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線，它它的的內(nèi)內(nèi)部部全全含含于于如如果果在在 上上所所有有點(diǎn)點(diǎn)成成立立，試試證證在在 內(nèi)內(nèi)所所有有點(diǎn)點(diǎn)處處成成立立。例例3 例例4 第17頁(yè)/共37頁(yè)232. d .(1)zzezz z 練習(xí)練習(xí)計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分2-2 1cos1. d .4zzzz 1(2)i ee 2cos2i 第18頁(yè)/共37頁(yè)定理定理2 ( ) , .Cf zDzD其其中中為為在在函函數(shù)數(shù)的的解解析析區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞的的任任何何一一條條正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線 而而且且它它的的

10、內(nèi)內(nèi)部部全全含含于于二、高階導(dǎo)數(shù)公式二、高階導(dǎo)數(shù)公式 ( ) , f z解解析析函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)仍仍為為解解析析函函數(shù)數(shù) :n它它的的階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為( )1( )( )d(1,2,)2(!)nnCffzinnz 第19頁(yè)/共37頁(yè)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,要證明要證明從柯西積分公式得從柯西積分公式得證明：證明： , zD設(shè)設(shè) 為為內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn) 1 ,n 先先證證的的情情況況 201lim2zCf zzf zfdziz 第20頁(yè)/共37頁(yè) 12Cffdizzzzz 22Cfzdizzz 212Cf zzf zfdziz ( ) , 0, ( ),f zCMf zM 故故在在上上有有

11、界界 于于是是使使得得 ( ) ,f zCC因因?yàn)闉樵谠谏仙辖饨馕鑫?所所以以在在上上連連續(xù)續(xù)第21頁(yè)/共37頁(yè) ,dzC設(shè)設(shè)為為從從 到到曲曲線線上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的最最短短距距離離zD1 , ,2zzd并并取取適適當(dāng)當(dāng)?shù)氐匦⌒?滿滿足足11 ,zdzd 則則zzzz ,2d 12,zzd 232CfzMLdzidzzz 0 (0)z .LC這這里里為為的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度第22頁(yè)/共37頁(yè)21( )( )d ,2()Cffzziz 于于是是再利用以上方法求極限再利用以上方法求極限0()( )limzfzzfzz 32!( ) ( )d .2()Cffziz 可可得得( )1!( )( )d .2()n

12、nCnffzziz 證畢證畢至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類(lèi)推依次類(lèi)推, 利用數(shù)學(xué)歸納法可證利用數(shù)學(xué)歸納法可證第23頁(yè)/共37頁(yè)1d .( )znzeznz 求求積積分分為為整整數(shù)數(shù)522, : 1. cos1)d ;2)d .(1)(1)zCCCzrzezzzz 計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分 其其中中為為正正向向圓圓周周例例5例例6高階導(dǎo)數(shù)公式提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法沿閉路積分的一種方法.( )1( )( )d2()!nnCffzzizn 第24頁(yè)/共37頁(yè)解解5cos1) 1

13、 , (1)zCzz 函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)處處不不解解析析cos ,zC 但但在在內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析 根根據(jù)據(jù)高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式522, : 1. cos1)d ;2)d .(1)(1)zCCCzrzezzzz 計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分 其其中中為為正正向向圓圓周周例例55cosd(1)Czzz 1)4()(cos)!15(2 zzi5;12i 第25頁(yè)/共37頁(yè)222) , (1)zeCziz 函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)的的處處不不解解析析ii 1 ,CiC在在內(nèi)內(nèi)以以為為中中心心作作一一個(gè)個(gè)正正向向圓圓周周2 ,iC 以以為為中中心心作作一一個(gè)個(gè)正正向向圓圓周周1222 ,(1), zeC C

14、Cz 則則函函數(shù)數(shù)在在由由圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理12222222ddd(1)(1)(1)zzzCCCeeezzzzzz第26頁(yè)/共37頁(yè)122d(1)zCezz 122()d()zCezizzi 22(21)! ()zz iiezi (1),2ii e ii 212222()dd(1)()zzCCeezizzzzi (1),2ii e 第27頁(yè)/共37頁(yè)22 (1)(1) d(1)22ziiCei ei ezz 于于是是(1)()2iii eie 2(1) (cos1sin1)2i 2sin 1.4i 第28頁(yè)/共37頁(yè)解解(1)0,n 1 , zne

15、zz 在在上上解解析析由柯西定理得由柯西定理得1d0;znzezz (2)1,n 由柯西積分公式得由柯西積分公式得1dznzezz 02()zzie 2; i 1d .( )znzeznz 求求積積分分為為整整數(shù)數(shù)例例6第29頁(yè)/共37頁(yè)(3)1,n ( )010!( ) ()d2()nnCnf zfzzizz 根根據(jù)據(jù)公公式式1dznzezz (1)02()(1)!znzien 2.(1)!in 第30頁(yè)/共37頁(yè) 00|( )max( )z zf zzCzCMf z 若若函函數(shù)數(shù)在在以以 為為圓圓心心， 為為半半徑徑的的圓圓周周上上及及其其內(nèi)內(nèi)部部解解析析，如如果果對(duì)對(duì)，有有，則則 0(

16、) 1,2,3,!nnfzMnn 三、一些結(jié)論三、一些結(jié)論1. 柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式注注：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)與區(qū)域的大小：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)與區(qū)域的大小 有關(guān)；有關(guān)；第31頁(yè)/共37頁(yè)( ),( )0( ).Cf zDDCf z dzf zD 若若在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且對(duì)對(duì)于于 內(nèi)內(nèi)的的任任一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉合合曲曲線線有有那那么么在在 內(nèi)內(nèi)解解析析2. 劉維爾定理劉維爾定理 有界整函數(shù)一定恒為常數(shù)有界整函數(shù)一定恒為常數(shù).3. 莫勒拉定理莫勒拉定理整函數(shù)：整函數(shù)：在整個(gè)復(fù)平面解析的函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面解析的函數(shù)第32頁(yè)/共37頁(yè)2. 劉維爾定理劉維爾定理 有

17、界整函數(shù)一定恒為常數(shù)有界整函數(shù)一定恒為常數(shù).證明：證明：( )(0,),C,|( )|.f zMzf zM 是是有有界界整整函函數(shù)數(shù)，即即使使得得00( ) |-|C,(0,),f zzz zz 在在上上解解析析，這這里里，由柯西不等式由柯西不等式| ( )|Mfz 0 00C,()0( )Czfzf z 可可見(jiàn)見(jiàn)，在在 上上恒恒為為常常數(shù)數(shù)第33頁(yè)/共37頁(yè)小結(jié)小結(jié)它表述了它表述了: 一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過(guò)積分表示。一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過(guò)積分表示。柯西積分公式是復(fù)積分理論中的重要公式柯西積分公式是復(fù)積分理論中的重要公式并且并且解析區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)的所有的導(dǎo)數(shù)也可通過(guò)積分公式計(jì)算解析區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)的所有的導(dǎo)數(shù)也可通過(guò)積分公式計(jì)算。1( )( )d .2Cff ziz 第34頁(yè)/共37頁(yè)若函數(shù)若函數(shù)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，那么內(nèi)解析，那么f(z)在在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，并且各階導(dǎo)數(shù)均