美國(guó)重新修訂中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

1、美國(guó)重新修訂中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì) （ NCTM）已于 1998 年 10 月公布了新的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)討論稿，向美國(guó)國(guó)內(nèi)各界人士征求意見(jiàn)。這份文件以 學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)為題， 總結(jié)了自 1989年 NCTM公布美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)以來(lái)，美國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和各種反饋意見(jiàn)，對(duì)原標(biāo)準(zhǔn)重新進(jìn)行修訂，提出了面向21 世紀(jì)新的課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。新的標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有改變 1989 年制訂標(biāo)準(zhǔn)的基本方向，而是在如何使教師更好地理解和有效地貫徹標(biāo)準(zhǔn)上做了改進(jìn)。 從新標(biāo)準(zhǔn)的討論稿來(lái)看， 主要變化有以下幾個(gè)方面。1新標(biāo)準(zhǔn)把以前關(guān)于課程、數(shù)學(xué)、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的三個(gè)文件（分別于1989 年、1991

2、年和 1995 年公布）綜合為一個(gè)文件， 使教師更容易掌握應(yīng)當(dāng)教學(xué)哪些內(nèi)容、怎樣教，以及如何評(píng)價(jià)。2新標(biāo)準(zhǔn)是以建立高質(zhì)量數(shù)學(xué)教學(xué)的六條原則為開(kāi)端的。它們成為制定課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)。這六條是公平的原則、數(shù)學(xué)課程的原則、教的原則、學(xué)的原則、評(píng)價(jià)的原則和技術(shù)的原則。3新標(biāo)準(zhǔn)把年級(jí)分段由三段改為四段（ K2，35，68 和 912），使教師能夠更加具體明確地掌握各個(gè)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容、方法和要求。4新標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)發(fā)、闡述了學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)十項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)的總觀點(diǎn)，并將其貫穿在各個(gè)年級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)中，通過(guò)具體的示例詳細(xì)解釋。這些標(biāo)準(zhǔn)的前五項(xiàng)叫做內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，包括：（ 1）數(shù)與運(yùn)算；（ 2）模式、函數(shù)與代數(shù)；（ 3）幾何與空間觀念；（

3、4）測(cè)量；（ 5）數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)和概率。后五項(xiàng)叫做過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)，包括：（ 1）問(wèn)題解決；（ 2）推理和證明；（ 3）交流；（ 4）聯(lián)系；（ 5）表達(dá)。5新標(biāo)準(zhǔn)還有一個(gè)特別的變化，就是應(yīng)用了新技術(shù)的力量，提供了計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)版。這樣，由于網(wǎng)絡(luò)版可以是動(dòng)態(tài)的，使教師能夠及時(shí)地、很容易地從因特網(wǎng)上得到最新的標(biāo)準(zhǔn)和有關(guān)的信息咨詢。這份新標(biāo)準(zhǔn)的討論稿經(jīng)過(guò)廣泛征求、收集意見(jiàn)后，將在 1999 年夏季由全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)的專門寫(xiě)作小組做進(jìn)一步整理和修改。 新的學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)將于 2000 年春季正式公布。標(biāo)準(zhǔn) 1：數(shù)和運(yùn)算數(shù)學(xué)教學(xué)綱要應(yīng)促進(jìn)對(duì)數(shù)和運(yùn)算的感覺(jué)（以下簡(jiǎn)稱 " 數(shù)感 " ）的發(fā)展

4、，為此全體學(xué)生應(yīng)理解數(shù)，數(shù)的表示法，數(shù)之間的關(guān)；理解運(yùn)算的意義及各種運(yùn)算之間如何聯(lián)系；熟練地運(yùn)用計(jì)算工具和策略并恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行估計(jì)。說(shuō)明：幼兒園前12 年級(jí)在學(xué)校數(shù)學(xué)課程中，數(shù)、運(yùn)算及計(jì)算有悠久而顯要的歷史。此外，數(shù)學(xué)的這個(gè)領(lǐng)域或許要比任何其他部分，在超出學(xué)校的范圍里更廣泛地受到承認(rèn)和尊重。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的中心就是發(fā)展" 數(shù)感 " 這樣的目標(biāo)，即理解數(shù)的意義， 它們之間如何聯(lián)系， 它們的相對(duì)大小關(guān)系，如何用多種方法思考和表示它們， 以及數(shù)的運(yùn)算產(chǎn)生的結(jié)果。 在教師的經(jīng)驗(yàn)的引導(dǎo)下， 讓學(xué)生適時(shí)地發(fā)展 " 對(duì)于數(shù)及它們間關(guān)系的良好直覺(jué)" （Howden1989）。具有

5、良好 " 數(shù)感 " 的學(xué)生會(huì)自然地分解數(shù)， 發(fā)展和運(yùn)用最基本的內(nèi)容， 運(yùn)用運(yùn)算間的關(guān)系及十進(jìn)制數(shù)的知識(shí)去解決問(wèn)題，估計(jì)問(wèn)題的合理結(jié)果，并且具有能形成對(duì)于數(shù)、問(wèn)題及結(jié)果的直覺(jué)的素質(zhì)（Sowder1992）。具備蘊(yùn)藏于 " 數(shù)感 " 中的技能的學(xué)生，是數(shù)學(xué)的自信的使用者。關(guān)于數(shù)的基本知識(shí)， 是發(fā)展 " 數(shù)感 " 和教會(huì)學(xué)生解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。學(xué)生必須能容易地回顧這些基本知識(shí)。 這些基本知識(shí)包括一位數(shù)加法的結(jié)構(gòu)及減法、乘法和除法的原形。對(duì)于基本知識(shí)的理解和有關(guān)的技能，可以通過(guò)探索如"7 8 與 7 7 1 是同樣的 " 這類

6、問(wèn)題的思考策略來(lái)發(fā)展。 它們也可以通過(guò)多樣的、 系統(tǒng)的校內(nèi)外實(shí)踐活動(dòng)來(lái)發(fā)展。大多數(shù)學(xué)生在年級(jí)應(yīng)能迅速地回憶起加法和減法的基本知識(shí)，在年級(jí)后期容易和熟練地回憶起乘法和除法的基本知識(shí)。同樣，熟練的計(jì)算掌握和運(yùn)用有效和精確的計(jì)算方法是發(fā)展" 數(shù)感 " 和在大多數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得成功的基礎(chǔ)。某些情形中，學(xué)生會(huì)用聰明的策略，例如把"6 ×25" 看作 "6個(gè) 2 加 6 個(gè)一半（ 0 5） " 。在其他情形，學(xué)生用聰明的策略結(jié)合寫(xiě)在紙上的算草迅速得出精確的結(jié)果。 在另一些情形， 學(xué)生可以用紙和筆演練教學(xué)中的計(jì)算法則及其變形法則，特別是在

7、數(shù)目很大或很復(fù)雜時(shí)。重要的是，學(xué)生必須具有可以有效使用和產(chǎn)生正確結(jié)果的方法。能應(yīng)用、處理問(wèn)題中的信息材料和反映、比較解題策略， 會(huì)幫助學(xué)生發(fā)展對(duì)于數(shù)、運(yùn)算及它們的性質(zhì)的理解，增加關(guān)于基本規(guī)律的知識(shí)，使運(yùn)算更流暢。全體學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)在計(jì)算時(shí)進(jìn)行估計(jì)的策略，養(yǎng)成對(duì)數(shù)值 ( 包括計(jì)算結(jié)果的合理性) 做判斷的習(xí)慣。估計(jì)的能力和習(xí)慣，依賴于對(duì)于數(shù)的理解它們的大小，在數(shù)系中的地位，等價(jià)形式以及用這些數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的結(jié)果（例如，當(dāng)一個(gè)整數(shù)乘以一個(gè)小于1 的數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生什么樣的結(jié)果？） 。估計(jì)可以用來(lái)直接回答一個(gè)如" 我們?cè)撘嗌俦人_餅？" 這樣的問(wèn)題，或用來(lái)評(píng)價(jià)用紙、筆、計(jì)算器所得出的結(jié)果的合理性

8、。在高中，學(xué)生應(yīng)理解誤差估測(cè)及其在計(jì)算中的作用，并應(yīng)發(fā)展區(qū)分估計(jì)值和近似值的能力。計(jì)算器是可行且可靠的計(jì)算工具。全體學(xué)生應(yīng)在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候把計(jì)算器作為計(jì)算工具。計(jì)算器應(yīng)可以運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂中的計(jì)算，特別當(dāng)解決問(wèn)題中需要很多或很復(fù)雜的計(jì)算時(shí)。然而，當(dāng)教學(xué)重點(diǎn)在于發(fā)展學(xué)生自身或由此轉(zhuǎn)化的計(jì)算技能時(shí)，計(jì)算器的使用應(yīng)服從于教學(xué)重點(diǎn)。今天，計(jì)算器已是課堂之外廣泛使用的工具。課內(nèi)環(huán)境應(yīng)反映這一現(xiàn)狀。理解數(shù)，數(shù)的表示法，數(shù)之間的關(guān)系及數(shù)系學(xué)生的有關(guān)數(shù)的概念和性質(zhì)的知識(shí)應(yīng)在他們的學(xué)校生活中不斷發(fā)展。在 2 年級(jí)前， 學(xué)生通過(guò)多種途徑學(xué)習(xí)記數(shù)、表示數(shù)和比較大小，可以借助于他們能夠操作的實(shí)物，如記數(shù)器和10 以內(nèi)的模塊

9、。 2 年級(jí)前，學(xué)生將會(huì)接觸并應(yīng)探索較大的數(shù)。實(shí)際上， 他們對(duì)于大的數(shù)特別是在他們的生活中遇到的這樣的數(shù)常常很感興趣。例如，小齡的學(xué)生可以通過(guò)計(jì)算用學(xué)校的便士機(jī)換的硬幣數(shù)目或收集的蘇打水罐拉環(huán)的數(shù)目來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)。低年級(jí)學(xué)生會(huì)探索和使用部分與整體的關(guān)系。24 被看作兩個(gè)10 和 4 個(gè) 1，也是兩個(gè)12。用多種方法來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)，會(huì)為學(xué)習(xí)10 進(jìn)制記數(shù)法提供基礎(chǔ)。在 2 年級(jí)，學(xué)生形成這樣的轉(zhuǎn)化，如10 是 10 個(gè) 1 的集合，也是一個(gè)10。這樣的認(rèn)識(shí)是通往 10 進(jìn)制記數(shù)法的第一步 （ Cobb&Wheatly1998 ）。在低年級(jí)， 學(xué)生也會(huì)通過(guò)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和語(yǔ)言遇到并學(xué)習(xí)普通分?jǐn)?shù)（如 1/2

10、，3/4 ）。例如，大多數(shù)學(xué)生已能在他們的校外生活詞匯中使用 "一半 "。3 5 年級(jí)的學(xué)生繼續(xù)發(fā)展和擴(kuò)充關(guān)于整數(shù)的概念并思考運(yùn)用解題技巧。3408 是 3 個(gè)1000、 4 個(gè) 100 和 8 個(gè) 1 之和的知識(shí)，是學(xué)生理解 3408 如何與 4408、 3308 及 3500 相聯(lián)系的基礎(chǔ)。這樣的理解是發(fā)展數(shù)感的一部分，也有益于產(chǎn)生和運(yùn)用計(jì)算技巧。在 3 5 年級(jí)，學(xué)生將學(xué)習(xí)和表示分?jǐn)?shù)和小數(shù)，要強(qiáng)調(diào)它們?nèi)绾闻c整數(shù)相聯(lián)系等。理解分?jǐn)?shù)或小數(shù)是單位量的部分量，是這些年級(jí)的關(guān)鍵概念。在這個(gè)階段， 教學(xué)中對(duì)有理數(shù)概念的強(qiáng)調(diào)應(yīng)重于它們運(yùn)算的策略。對(duì)于3 5 年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，有用的經(jīng)

11、驗(yàn)包括形成對(duì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的實(shí)際背景的認(rèn)識(shí)， 用如 1/2 這樣的已熟悉的最基本的數(shù)來(lái)比較分?jǐn)?shù)， 在數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)和小數(shù)，及分?jǐn)?shù)和小數(shù)間相等的表示等。運(yùn)用這些理解，學(xué)生將能估計(jì)分?jǐn)?shù)的和，如 1/2+3/8 必然小于 1，因?yàn)槊總€(gè)加數(shù)都不大于 1/2 。3 5 年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)也學(xué)習(xí)它們的分類和性質(zhì)，例如奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、合數(shù)、平方數(shù)。認(rèn)識(shí)這些建立在整除規(guī)律基礎(chǔ)上的性質(zhì)，找出素?cái)?shù)因子或理解函數(shù)關(guān)系。6 8 年級(jí)的學(xué)生用分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)擴(kuò)大他們的工作，使得他們能夠靈活運(yùn)用等價(jià)關(guān)系和策略來(lái)給有理數(shù)排序和比較大小。由認(rèn)為分?jǐn)?shù)是單位數(shù)的部分到理解分?jǐn)?shù)也是數(shù)，這個(gè)認(rèn)識(shí)在中年級(jí)完成。學(xué)生關(guān)于10 進(jìn)制小數(shù)的知

12、識(shí)及其運(yùn)用也在這時(shí)完成。加上用有理數(shù)進(jìn)行估測(cè)，學(xué)生在 6 8 年級(jí)也發(fā)展了分?jǐn)?shù)和小數(shù)的計(jì)算策略。在整個(gè)中年級(jí)，對(duì)很大的數(shù)及這些數(shù)代表什么的理解繼續(xù)發(fā)展。學(xué)生使用計(jì)算器或數(shù)學(xué)用表這樣的工具處理和分析數(shù)據(jù)，并且學(xué)習(xí)用科學(xué)記數(shù)法表示很大或很小的數(shù)。隨著由自然數(shù)到整數(shù)的擴(kuò)充，中年級(jí)學(xué)生對(duì)順序和量的知識(shí)也擴(kuò)充了。在學(xué)習(xí)勾股定理和圓周長(zhǎng)時(shí)，他們也遇到像和 這樣的無(wú)理數(shù)。在 912 年級(jí)，課程的其他內(nèi)容比數(shù)的內(nèi)容更突出， 然而隨著學(xué)生用更全面的觀點(diǎn)來(lái)看已熟悉的數(shù)系， 他們對(duì)數(shù)的性質(zhì)的理解繼續(xù)深化。 科學(xué)記數(shù)法和矩陣表示， 成為可能實(shí)現(xiàn)的事。復(fù)數(shù)也加入學(xué)生的視野，他們還認(rèn)識(shí)到當(dāng)實(shí)數(shù)系擴(kuò)大時(shí)實(shí)數(shù)的全部性質(zhì)并不能

13、都保留。理解運(yùn)算的意義和它們彼此間的聯(lián)系為使運(yùn)算流暢， 學(xué)生必須理解算術(shù)運(yùn)算的意義。這包括對(duì)一個(gè)特定的問(wèn)題決定實(shí)施什么運(yùn)算，同樣的運(yùn)算如何運(yùn)用于不同的問(wèn)題，運(yùn)算之間有何聯(lián)系，及預(yù)料會(huì)產(chǎn)生何種結(jié)果。在低年級(jí)， 學(xué)生遇到各種問(wèn)題涉及加減法的意義。減法可以被認(rèn)為是 " 取走 " 或是比較兩部分的大小。重要的是加減間的關(guān)系。2 年級(jí)前，隨著學(xué)生解決他們所接觸的問(wèn)題，可以開(kāi)始學(xué)習(xí)乘除法的意義。這樣的問(wèn)題包括： 做 4 份三明治需要多少片面包？怎樣把一包葡萄干平分給 4 個(gè)人？雖然2 年級(jí)前的教學(xué)強(qiáng)調(diào)加減法，學(xué)生卻自然地會(huì)接觸到像乘除法這樣的其他運(yùn)算問(wèn)題，對(duì)此應(yīng)提倡。乘除法的意義，尤其

14、對(duì)于整數(shù)的運(yùn)算，成為3 5 年級(jí)教學(xué)的中心。借助圖示或?qū)嵨?，學(xué)生進(jìn)入乘除運(yùn)算情景， 認(rèn)識(shí)加減乘除之間的關(guān)系。運(yùn)用常規(guī)的和有創(chuàng)造性的運(yùn)算策略，學(xué)生運(yùn)用并認(rèn)識(shí)交換律、結(jié)合律和分配律及 0 和 1 的特性。計(jì)算策略的發(fā)展和比較提供了揭示算術(shù)本質(zhì)的機(jī)會(huì)。 例如， 對(duì)乘法法則的描述被分散于多處，除法的技巧蘊(yùn)于反復(fù)出現(xiàn)的過(guò)程中。在 68 年級(jí)，重點(diǎn)是對(duì)有理數(shù)運(yùn)算的理解。這個(gè)水平的學(xué)生也鞏固和發(fā)展整數(shù)的運(yùn)算。學(xué)生對(duì)于運(yùn)算的直覺(jué)需要隨數(shù)系的擴(kuò)充而不斷完善（GraeberandCampbell1993 ）。例如，正數(shù)被一個(gè)小于 1 的的分?jǐn)?shù)乘所得結(jié)果小于其本身，這與學(xué)生原有的乘積總大于乘數(shù)的認(rèn)識(shí)相悖。在整數(shù)的減

15、法中結(jié)果也不再總是" 往小變 " 。學(xué)生也應(yīng)注意乘除之間的相反的關(guān)系及分?jǐn)?shù)與其倒數(shù)的關(guān)系。在68 年級(jí)，適當(dāng)?shù)耐评硎欠謹(jǐn)?shù)、小數(shù)、比和比率這些運(yùn)算的基礎(chǔ)。在低年級(jí)， 學(xué)生所做的多數(shù)比較是關(guān)于加減法的，如 " 高多少？ " 或 " 多多少？ " 在中年級(jí)， 學(xué)生在涉及數(shù)對(duì)的比率和比較時(shí)應(yīng)更熟練，例如這樣的問(wèn)題： "3 袋可可能做15 杯巧克力， 做 60杯巧克力需多少袋可可？ "在 912 年級(jí)，學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)運(yùn)算并建立運(yùn)算與其他課題的聯(lián)系。復(fù)數(shù)的加法等價(jià)于向量的加法，復(fù)數(shù)的乘法的幾何解釋是旋轉(zhuǎn)和伸縮的結(jié)合。建立早期的函

16、數(shù)關(guān)系如求第n個(gè)根， 絕對(duì)值， 方冪與數(shù)的運(yùn)算類似。 學(xué)習(xí)像封閉性這樣的運(yùn)算性質(zhì)是理解代數(shù)系統(tǒng)的一部分。熟練地運(yùn)用計(jì)算工具、策略和適當(dāng)?shù)毓烙?jì)成年人經(jīng)常使用許多種有效的計(jì)算工具，包括智能計(jì)算機(jī)，紙和筆，估值及計(jì)算器。學(xué)生需要能幫助他們選擇適當(dāng)工具的經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)選擇一種方法時(shí)應(yīng)考慮問(wèn)題內(nèi)容及涉及的數(shù)。這些數(shù)是否能巧妙地處理？這些內(nèi)容是否需要進(jìn)行估計(jì)？這個(gè)問(wèn)題是否需要重復(fù)而繁雜的計(jì)算？學(xué)生應(yīng)在問(wèn)題環(huán)境中決定是否需要估計(jì)值或精確回答，并能對(duì)所做決定說(shuō)出道理。當(dāng)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)估計(jì)與精確計(jì)算的技能應(yīng)互相配合使用。8 年級(jí)前，學(xué)生期待著發(fā)展建立在他們的知識(shí)基礎(chǔ)上的關(guān)于數(shù)和運(yùn)算的計(jì)算策略，并使之不斷深化。通過(guò)師生

17、間對(duì)運(yùn)算法則的討論，學(xué)生看到乘法解決問(wèn)題的可行性及其優(yōu)越性。學(xué)生應(yīng)能熟練計(jì)算，以及掌握對(duì)于要解決的問(wèn)題有效而精確的計(jì)算方法。發(fā)展計(jì)算的熟練程度，要求對(duì)于概念的理解， 合理安排運(yùn)算的程序及迅速抓住數(shù)的基本性質(zhì)之間的平衡與聯(lián)系。另一方面，沒(méi)有概念作基礎(chǔ)的運(yùn)算策略的應(yīng)用，往往被遺忘或記錯(cuò)（Kamii1998 ）。此外，缺乏熟練計(jì)算能力的理解會(huì)影響對(duì)問(wèn)題的解決。發(fā)展 2 年級(jí)以前的學(xué)生對(duì)整數(shù)及其加減運(yùn)算的理解， 教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在發(fā)展關(guān)于各種大小的數(shù)的運(yùn)算策略上，如一位數(shù)或多位數(shù)。學(xué)生自發(fā)的運(yùn)算策略應(yīng)被討論和分享。 2 年級(jí)結(jié)束時(shí)，學(xué)生應(yīng)能回顧加減的基本法則，熟練地做 2 位數(shù)的加法，會(huì)做 2 位數(shù)的減法

18、。在 3 5 年級(jí)，學(xué)生中自發(fā)形成的和傳統(tǒng)的關(guān)于整數(shù)的四則運(yùn)算策略已被學(xué)習(xí)，并用于大的數(shù)，而且運(yùn)用得很熟練。 Gravemeijer （ 1998）基于他的深入研究，指出：學(xué)生發(fā)展解決問(wèn)題的能力中， 作為基本工具的數(shù)學(xué)概念、 記數(shù)法及運(yùn)算程序是基礎(chǔ)。 在解決某些類型問(wèn)題的過(guò)程中， 非正規(guī)的算法可能會(huì)走在形成通常的正規(guī)算法之前。 在教師的指導(dǎo)下， 這些非正規(guī)的算法可以發(fā)展和并入傳統(tǒng)正規(guī)算法。 但是，學(xué)生可能仍選擇先前的對(duì)解決問(wèn)題有價(jià)值的非正規(guī)算法。在這些年級(jí)學(xué)生也發(fā)展并開(kāi)始應(yīng)用小數(shù)的乘法，復(fù)習(xí)乘除的基本法則。有理數(shù)的概念是這個(gè)階段的教學(xué)重點(diǎn)，并且它們會(huì)引出分?jǐn)?shù)的非正規(guī)的算法。例如，在5 年級(jí)，

19、1/4+1/2這樣的問(wèn)題應(yīng)靈活輕松地得到解決，因?yàn)閷W(xué)生應(yīng)清楚1/2 和 1/4 的幾何表示， 或能用分解的策略，如 1/4+1/2=1/4+(1/4+1/4)。分?jǐn)?shù)和小數(shù)是 6 8 年級(jí)的教學(xué)重點(diǎn)。分?jǐn)?shù)和小數(shù)的計(jì)算策略，應(yīng)建立在此前年級(jí)發(fā)展的概念知識(shí)上。學(xué)生到 68 年級(jí)應(yīng)能用通常遇到的分?jǐn)?shù)進(jìn)行理性的運(yùn)算和具體表示。在6 8 年級(jí)，學(xué)生應(yīng)發(fā)展更一般的能應(yīng)用于整個(gè)分?jǐn)?shù)范圍的計(jì)算策略。他們也應(yīng)擴(kuò)充從整數(shù)到小數(shù)的計(jì)算策略。 人們期望學(xué)生們能用有理數(shù)進(jìn)行熟練的運(yùn)算。 由于學(xué)生已發(fā)展了對(duì)整數(shù)的意義和表示法的認(rèn)識(shí)，他們也應(yīng)發(fā)展用整數(shù)運(yùn)算的方式。在 912 年級(jí)，學(xué)生應(yīng)把分析和比較算法作為研究數(shù)學(xué)的一部分。

20、通過(guò)比較算法， 他們考慮哪些容易解釋，哪些容易運(yùn)用， 哪些最有效。 他們應(yīng)能讀圖表并決定它是否描述了確定一個(gè)數(shù)能否被 3 整除的正確方法。 學(xué)生應(yīng)分析為什么要建立和如何建立算法。 在這個(gè)水平上，學(xué)生能研究整數(shù)和有理數(shù)的計(jì)算方法， 也研究他們?cè)诟咧惺状斡龅降牟皇煜さ乃惴ǎ?包括找實(shí)數(shù)根或求序列的有限差標(biāo)準(zhǔn) 2：模式、函數(shù)和代數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)綱要應(yīng)包括關(guān)注模式、函數(shù)、符號(hào)和數(shù)學(xué)模型， 以便所有學(xué)生能夠理解各種類型的模式和函數(shù)關(guān)系；使用符號(hào)形式表示和分析數(shù)學(xué)情形和結(jié)構(gòu)；應(yīng)用數(shù)學(xué)模型以及分析在實(shí)際和抽象的背景下的數(shù)學(xué)模型變化。說(shuō)明：幼兒園前 12 年級(jí)模式、函數(shù)和代數(shù)包括系統(tǒng)地使用符號(hào)，數(shù)學(xué)體系的代數(shù)特征，

21、現(xiàn)象的模型以及對(duì)變化的數(shù)學(xué)。 這些概念不僅彼此互相關(guān)聯(lián)，而且還與數(shù)、 運(yùn)算以及幾何緊密相聯(lián)。它們對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都是至關(guān)重要的， 并且它們組成表達(dá)數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)里的思想觀念形成了學(xué)校課程的主要組成部分。在方程解的研究中， 代數(shù)有根。這個(gè)科目已向幾個(gè)方向發(fā)展， 它包括方程的學(xué)習(xí)，抽象事物的推理，歸納，以及符號(hào)概念的中心意思。所有這些發(fā)展都應(yīng)在學(xué)校課程中得到反映。對(duì)模式、函數(shù)和代數(shù)的學(xué)習(xí)應(yīng)在低年級(jí)非正式地開(kāi)始， 然后在學(xué)校的學(xué)習(xí)中逐步向深度和廣度發(fā)展。 早期接觸模式、 函數(shù)和代數(shù)的概念， 能為在初中后階段和整個(gè)高中階段更深入細(xì)致地關(guān)注這個(gè)領(lǐng)域的學(xué)生提供部分理解基礎(chǔ)（ Smith1998）

22、。理解各種類型的模式和函數(shù)關(guān)系制作、認(rèn)識(shí)和拓展模式對(duì)兒童們來(lái)說(shuō)是非常自然的活動(dòng)。 早期接觸模式的工作是識(shí)別規(guī)律性，認(rèn)識(shí)不同形式的相同模式，以及應(yīng)用模式去推測(cè)數(shù)值。例如，" 紅藍(lán)藍(lán)紅藍(lán)藍(lán)紅藍(lán)藍(lán) " 與"ABBABBABB" 具有相同的模式，所以其第 12 個(gè)元素是藍(lán)。從簡(jiǎn)單的狀況出現(xiàn)的模式是函數(shù)和序列的萌芽。例如，如果 1 個(gè)玩具 2 美元，那么 1 個(gè)玩具， 2 個(gè)玩具， 3 個(gè)玩具， n 個(gè)玩具多少美元？隨后接觸的一個(gè)是增長(zhǎng)的模式，例如， "1 ，3，6，10，15， " 一個(gè)是重復(fù)的模式，例如"1 ，1，3，1，1，3，

23、" 上述這些例子加深了對(duì)模式概念的理解。到了初中和高中，隱藏在模式和序列下的規(guī)律性變得越來(lái)越復(fù)雜， 包括那些以指數(shù)方式增長(zhǎng)的模式。 接觸作為函數(shù)的例子序列， 在中學(xué)得到擴(kuò)展的目的是建立極限和無(wú)窮序列這些概念的基礎(chǔ)。在低年級(jí)，學(xué)生注意到每一項(xiàng)通過(guò)前一項(xiàng)而得到，來(lái)描述象 "2 ，4，6，8，" 這樣的模式，在這種情況下，后一項(xiàng) =前一項(xiàng) +2。這是遞推思維的開(kāi)始。以后，學(xué)生能夠研究被定義的序列以及通過(guò)遞推得到的序列， 如 Fibonacci 序列 "1 ，1，2，3，5，8， " 在這個(gè)序列中，每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)的和。在許多科目中，遞推數(shù)列非常自然

24、地出現(xiàn)，并可通過(guò)技術(shù)手段來(lái)研究。 912 年級(jí)的學(xué)生研究由遞推產(chǎn)生的函數(shù)和模式。最初接觸模式時(shí)，一個(gè)重要的步驟是，學(xué)生經(jīng)常口頭地表述隱含的規(guī)律性，而不是應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示 （EnglishandWarren1998 ）。學(xué)生數(shù)學(xué)課程的一個(gè)目標(biāo)是基于口語(yǔ)表述， 提供給學(xué)生足夠的經(jīng)歷， 使他們舒適地、 流利地使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示歸納的結(jié)果。函數(shù)的早期萌芽和它們的表示，包括這樣一些活動(dòng)， 記錄日常氣溫或在圖表中隨時(shí)表示隨著平面高度的變化產(chǎn)生溫度的變化。在低年級(jí)可以使用函數(shù)圖象來(lái)描述函數(shù)。在6 8 年級(jí)線性函數(shù)和對(duì)函數(shù)圖象的解釋是學(xué)習(xí)過(guò)程中特別重要的東西。對(duì) 9 12 年級(jí)的學(xué)生來(lái)講， 盡管已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)

25、其他一些函數(shù)，如多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，但對(duì)函數(shù)圖象的解釋仍然是重要的。在高中，這種系統(tǒng)的學(xué)習(xí)應(yīng)建立在學(xué)生早期有過(guò)的代數(shù)思想的經(jīng)歷上。熟悉函數(shù)的解析表示、數(shù)值表示以及圖象表示是非常重要的。 在這些表示中，能力是向思維深度和容易的方向發(fā)展。 坐標(biāo)幾何使函數(shù)和關(guān)系的圖象表示以及觀察函數(shù)和關(guān)系的幾何性質(zhì)， 如圖象的對(duì)稱性， 成為可能。 圖形計(jì)算器和計(jì)算機(jī)能夠幫助學(xué)生進(jìn)行圖象和數(shù)值表示方面的實(shí)驗(yàn)， 檢驗(yàn)和對(duì)比函數(shù)的不同性質(zhì)。 包括兩、三個(gè)變量的函數(shù)之間的關(guān)系可以有幾何表示， 在 yz 平面內(nèi)，當(dāng)拋物線 z=y2 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)會(huì)得到什么？所得圖象如何用代數(shù)表示？許多學(xué)生首次理解函數(shù)的概念是通過(guò)

26、如下一系列教學(xué)過(guò)程，" 任給一個(gè)n，如 n=0，1，2，3 時(shí)，求 2n 的值 " （ VinnerandDreyfus1989 ）為了幫助學(xué)生發(fā)展對(duì)函數(shù)概念的更深的理解， 對(duì)函數(shù)的多種表示如數(shù)值表示、 圖象表示、 解析表示有相當(dāng)豐富的經(jīng)歷是必需的。使用符號(hào)形式表示和分析數(shù)學(xué)情形和結(jié)構(gòu)數(shù)量關(guān)系的符號(hào)表示是代數(shù)的靈魂。 概括地說(shuō)，它能使復(fù)雜的數(shù)學(xué)被簡(jiǎn)明地表達(dá)出來(lái)，而且符號(hào)和表達(dá)式能夠提供探索和發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑。 然而，這種作用也遇到會(huì)一系列概念障礙，例如，變量的概念是相當(dāng)復(fù)雜的。在低年級(jí)，典型的一個(gè)例子是在下面式子中空位處的一個(gè)特定的數(shù)字是一個(gè)變量 +2=11。以后，學(xué)生會(huì)

27、學(xué)到方程3x+2=11 中的變量 x，方程中的變量 x，這兩個(gè)變量的意義是不同的， 而且它們與公式中的變量的意義不同。 完全理解變量的概念需要相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，它需要豐富的實(shí)踐經(jīng)歷作為基礎(chǔ)（ WagnerandParker1993）。另一個(gè)在理解數(shù)量關(guān)系的符號(hào)表示的概念困難是關(guān)于相等的概念。 相等的符號(hào)可以以不同的方式被察覺(jué)。 例如，對(duì)在算術(shù)計(jì)算中廣泛經(jīng)歷的相等符號(hào)的結(jié)果。學(xué)生一個(gè)典型的察覺(jué)是，把相等符號(hào)作為計(jì)算的符號(hào)（ Kieran1981 ）。然而，在高中之前，學(xué)生也需要學(xué)習(xí)到把相等符號(hào)作為相等和平衡的符號(hào)。 總之，如果學(xué)生在發(fā)展他們工作中固定的概念基礎(chǔ)之前， 學(xué)生被要求從事較多的符號(hào)演算，

28、但他們不能進(jìn)行更多地機(jī)械性的演算（ WagnerandParker1993）。關(guān)于符號(hào)概念有意義的工作基礎(chǔ)需要持續(xù)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間， 從低年級(jí)開(kāi)始， 直到初中或高中階段正式接觸“代數(shù)”這門課程。當(dāng)兒童接觸數(shù)時(shí)， 他們常常采納在本質(zhì)上是代數(shù)化的策略。 教師們可以以相似的方式建立這種自然的趨勢(shì)。例如，一個(gè)兒童可能注意到“ 4+5=4+4+1”和“5+6=5+5+1”等等。把他或她觀察到的介紹給另一個(gè)兒童時(shí)，學(xué)生可能畫(huà)出如圖 32 所示的圖：圖 322+1使用圖形作為一個(gè)范例以及不是一個(gè)孤立事件的記錄使代數(shù)表示圖象化。 或者，兒童可能會(huì)說(shuō)“ 2+1”，因?yàn)檫@種表達(dá)表示的是一個(gè)歸納，它就是代數(shù)化。在 6

29、8 年級(jí)，代數(shù)表示變得越來(lái)越正規(guī)，因此在符號(hào)、肖像、具體和幾何之間再加上一個(gè)強(qiáng)有力的透視。 當(dāng)它們被幾何化后， 即使復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系也變得清晰起來(lái)。當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行系統(tǒng)的推理、 復(fù)雜的代數(shù)符號(hào)演算時(shí)， 學(xué)生很容易理解幾何表示。例如，圖 33 幫助我們解釋為什么前 n 個(gè)奇數(shù)的和等于 n2。圖 33學(xué)生能夠給出像“ 1+3+(2n 1)=n 2”關(guān)系的符號(hào)表示，而且，以后學(xué)生能給出它的數(shù)學(xué)演繹證明。 因此，這種代數(shù)歸納可以以兩種不同的方式得到發(fā)展和證實(shí)，一種在中學(xué)階段學(xué)生能夠接受， 而另外一種需要較多的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。 兩種方式互相補(bǔ)充，事實(shí)上，每種方式都能揭示不同的數(shù)學(xué)情形。代數(shù)和幾何彼此向?qū)Ψ綕B透， 正

30、如學(xué)生把幾何思想代數(shù)化。 例如，一個(gè)半徑為 r 的土球被加工成一個(gè)半徑為 r 的土圓錐，問(wèn)圓錐的高是多少？代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念來(lái)自于對(duì)數(shù)的演算的關(guān)注。 理解封閉性（如兩個(gè)正整數(shù)的和仍是正整數(shù)，而兩個(gè)正整數(shù)的差不是正整數(shù)）和代數(shù)性（如加法符合交換律，而減法不符合交換律）對(duì)于學(xué)習(xí)諸多的系統(tǒng)，包括數(shù)系、多項(xiàng)式系統(tǒng)、函數(shù)系統(tǒng)和矩陣系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，是非常重要的。學(xué)生能夠?qū)\(yùn)算進(jìn)行推理，例如，他們發(fā)現(xiàn)減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算。 考慮一個(gè)復(fù)雜的數(shù)系時(shí)， 詢問(wèn)關(guān)于數(shù)系的內(nèi)部互相聯(lián)系的問(wèn)題，以及找出這些問(wèn)題的解法，對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常重要的。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中另一個(gè)重要的部分是同構(gòu)的概念， 即表面看似不同， 而實(shí)質(zhì)相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

31、例如，兩種不同的物理情形，可用相同的圖形把他們模型化。這顯示兩種不同的過(guò)程具有相同重要的數(shù)學(xué)特征。應(yīng)用數(shù)學(xué)模型以及分析在實(shí)際和抽象的背景下的數(shù)學(xué)模型變化數(shù)學(xué)的一個(gè)強(qiáng)有力的應(yīng)用是現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用符號(hào)記法是模型化的中心。例如，分配律和交換律、物理定律、人口模型、以及對(duì)數(shù)據(jù)集的統(tǒng)計(jì)都可以用符號(hào)語(yǔ)言表示出來(lái)。 在任何復(fù)雜的表格的使用中， 代數(shù)是不明晰的。 如果能夠很好地理解數(shù)集之間的關(guān)系， 那么這種理解能用變量、 函數(shù)、關(guān)系的語(yǔ)言表示出來(lái)?；谝陨鲜聦?shí)， 對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)， 從低年級(jí)開(kāi)始， 把眾多現(xiàn)象數(shù)學(xué)模型化是非常重要的。隨著學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)族的熟練程度， 他們能夠應(yīng)用線性函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)等把一些現(xiàn)象

32、模型化， 且可用它們進(jìn)行鑒別。 三角函數(shù)表示周期現(xiàn)象是非常有用的?；谟?jì)算機(jī)的實(shí)驗(yàn)室的應(yīng)用能夠使學(xué)生快速地從物理實(shí)驗(yàn)中獲得可靠的數(shù)據(jù)，這樣就能擴(kuò)大對(duì)狀況所作模型的使用范圍。計(jì)算機(jī)或計(jì)算器的圖形、數(shù)值、或符號(hào)功能可被用于探討這個(gè)模型可能的變量的作用。 在解決涉及這些變化的情形中，最大值和最小值是非常重要的。對(duì)變化的最終研究是在微積分中， 但學(xué)生在正式學(xué)習(xí)微積分課程之前， 已經(jīng)對(duì)變化討論了很長(zhǎng)時(shí)間。在幼兒園前 2 年級(jí)，一個(gè)描繪運(yùn)動(dòng)員跑的距離與時(shí)間圖形的學(xué)生能夠指出， 在一段時(shí)間內(nèi)距離增長(zhǎng)得非?？欤?而在另一段時(shí)間內(nèi)距離增長(zhǎng)得較慢。這個(gè)過(guò)程依賴于時(shí)間函數(shù) y=f(t) ，它在 steep 區(qū)域變化

33、得非?？?，而在 shallow 區(qū)域變化得非常慢。算術(shù)序列和幾何序列的不同之處在于，序列中每項(xiàng)的定義依它前一項(xiàng)的方式。對(duì)變化的學(xué)習(xí)與遞歸思想相連。 低年級(jí)的學(xué)生能夠觀察到像 5，8，11，14，這種模式，也就是每個(gè)數(shù)比它前面的數(shù)大 3。隨著學(xué)習(xí)的深入，他們將學(xué)習(xí)到序列中更加復(fù)雜的變化，像 1，3，6，10，在這個(gè)序列中，每一項(xiàng)對(duì)于后一項(xiàng)來(lái)說(shuō)，是按照比例增長(zhǎng)的。又如 2，4，8，16，在這個(gè)序列中，每一項(xiàng)是前面一項(xiàng)的 2 倍，也就是指數(shù)關(guān)系。 y=2n總之，模式、函數(shù)和代數(shù)這些領(lǐng)域內(nèi)的概念和技能逐步變得深入和復(fù)雜。 同樣地，在這些領(lǐng)域，學(xué)生的思維也是隨著步入高年級(jí)而逐步發(fā)展和成熟的。標(biāo)準(zhǔn) 3：幾

34、何與空間觀念數(shù)學(xué)教學(xué)綱要應(yīng)關(guān)注幾何與空間觀念，從而使所有學(xué)生分析二維和三維幾何物體的特征和性質(zhì)選擇和使用不同的表示方法，包括坐標(biāo)幾何和圖論在分析數(shù)學(xué)情形時(shí)認(rèn)識(shí)變換和對(duì)稱的用處使用想象和空間推理解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題說(shuō)明幼兒園前 12 年級(jí)很多幾何應(yīng)通過(guò)活動(dòng)來(lái)學(xué)習(xí)， 用實(shí)物模型、 繪畫(huà)和軟件作為工具。 精心設(shè)計(jì)的活動(dòng)，合適工具的獲得以及教師的幫助使學(xué)生能夠?qū)缀谓Y(jié)構(gòu)作出推斷， 探究其他結(jié)構(gòu)的推斷， 對(duì)幾何進(jìn)行推理。 最后的目標(biāo)是使學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何形狀和結(jié)構(gòu)并在學(xué)習(xí)中越來(lái)越多地使用推理和證明。 幾何與空間觀念是數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，它們提供了通過(guò)抽象解釋與反映我們的實(shí)際環(huán)境的途徑， 它們可以作為學(xué)習(xí)

35、其他數(shù)學(xué)與科學(xué)知識(shí)的工具，它們有助于所有數(shù)學(xué)里的創(chuàng)造思維。幾何思想在表示與解決其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域與非數(shù)學(xué)背景里的問(wèn)題的實(shí)效應(yīng)是學(xué)生幾何體驗(yàn)的主線。 幾何表示有助于學(xué)生理解面積與分?jǐn)?shù)， 坐標(biāo)圖象可以用來(lái)分析與理解函數(shù)?？臻g推理有助于使用地圖、 計(jì)劃路線、設(shè)計(jì)地面方案和創(chuàng)造藝術(shù)。幾何與空間觀念也有助于學(xué)生看到他們周圍的結(jié)構(gòu)與對(duì)稱。分析二維和三維幾何物體的特征和性質(zhì)從早期與周圍世界的接觸， 兒童就開(kāi)始獲得形狀與空間結(jié)構(gòu)的體驗(yàn)。兒童應(yīng)開(kāi)始探索、識(shí)別與描述各種形狀并通過(guò)探究進(jìn)行觀察。例如，幼兒園前 2 年級(jí)可以用各種形狀認(rèn)識(shí)到矩形很有用， 因?yàn)樗鼈冇兴膫€(gè) " 完美的角 " 。在以后的年級(jí)，

36、學(xué)生描述圖形的組成部分諸如邊與角， 以及圖形的性質(zhì)。 例如，用實(shí)物或幾何軟件對(duì)各種矩形做實(shí)驗(yàn)， 35 年級(jí)的學(xué)生可以推斷矩形具有以下性質(zhì)：有兩對(duì)相等的邊，對(duì)角線相等且平分。到 6 8 年級(jí)，學(xué)生應(yīng)能演繹證明這些性質(zhì)中的某些性質(zhì)可以描述矩形的特征。 在 912 年級(jí)，學(xué)生應(yīng)能用演繹推理與幾何公理及定理研究它們關(guān)于圖形的推斷的對(duì)錯(cuò)并用正式推理解決幾何圖形的問(wèn)題。 在所有水平，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生提供關(guān)于他們的推斷與解法的合適解釋。諸如想象、描述、表示、分類、變換與探究的技能通過(guò)可視物體發(fā)展和形成，技術(shù)使學(xué)生能夠體驗(yàn)大量各種二維和三維圖形的相互聯(lián)系， 這些技能隨著圖形以及性質(zhì)間相互關(guān)系的學(xué)習(xí)進(jìn)一步抽象化， 最

37、后學(xué)生能夠描述、 表述、分類并探究用幾何體系里邏輯鏈表達(dá)的關(guān)系間的聯(lián)系。 學(xué)生也應(yīng)越來(lái)越能夠在公理體系里得出定理，識(shí)別未定義的概念、定義、公理和定理間的區(qū)別，進(jìn)行證明。選擇和使用不同的表示方法，包括坐標(biāo)幾何和圖論直角坐標(biāo)系是有力的數(shù)學(xué)工具， 它使在一種情形下難以解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到問(wèn)題易于解決的另一種情形。 了解直角坐標(biāo)有助于解決大量問(wèn)題。 特別地，坐標(biāo)能表示位置、方向和距離，它是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁。兒童首先學(xué)習(xí)諸如上面、背后、靠近、之間等相對(duì)位置的概念，以后，他們可以用矩形網(wǎng)格確定一間房子里的物體或一張桌子上的物品位置。在中間和中學(xué)年級(jí)，坐標(biāo)平面成為確定點(diǎn)的工具。 通過(guò)使用地圖上的比例尺或畢達(dá)

38、哥拉斯定理確定平面上點(diǎn)的距離是中年級(jí)的一個(gè)重要發(fā)展。通過(guò)確定頂點(diǎn)的坐標(biāo)或選擇合適的點(diǎn)形成要設(shè)計(jì)的圖形， 幾何圖形可以被分析表達(dá)。 幾何軟件、 圖形計(jì)算器和坐標(biāo)紙可以幫助學(xué)生形成平面變換的理解。學(xué)生應(yīng)通過(guò)使用直觀和坐標(biāo)表示， 分析問(wèn)題和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)獲得經(jīng)驗(yàn)。 例如，在小學(xué)低年級(jí)，數(shù)軸提供了證實(shí)正整數(shù)加法意義的方法， 而這種方法又可以擴(kuò)展到其他類型的數(shù)的運(yùn)算。在 35 年級(jí)，格子板有助于學(xué)生理解乘法，可以在中間年級(jí)或中學(xué)考慮更為嚴(yán)重復(fù)雜的問(wèn)題。 例如，要使救護(hù)車從社區(qū)各處到新醫(yī)院的距離最短，中間年級(jí)的學(xué)生或許要用出租汽車幾何。 要使遠(yuǎn)距離城市的航線最短，912 年級(jí)的學(xué)生要用球面幾何。 而如果學(xué)生要使

39、乘飛機(jī)到幾個(gè)城市旅游的費(fèi)用最少，他們或許要用有限圖論。在分析數(shù)學(xué)情形時(shí)認(rèn)識(shí)變換和對(duì)稱的用處變換是幾何思維的重要方面。 兒童入學(xué)時(shí)不僅有圖形的直覺(jué)也有圖形會(huì)動(dòng)的直覺(jué)。通過(guò)鏡子、折紙和找軌跡獲得諸如滑動(dòng)、" 旋轉(zhuǎn) " 等非正式運(yùn)動(dòng)的體驗(yàn)，小學(xué)低年級(jí)學(xué)生可以在本質(zhì)上把這些思想看成數(shù)學(xué)的。在更高些年級(jí)， 學(xué)生關(guān)于變換的知識(shí)變得更為正式和系統(tǒng)化。35 年級(jí)學(xué)生應(yīng)探究變換的效果并能用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)描述它們。使用動(dòng)態(tài)軟件，學(xué)生就會(huì)意識(shí)到定義一個(gè)變換所需的條件。例如，用一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換一個(gè)圖形， 學(xué)生需要定義旋轉(zhuǎn)的中心， 旋轉(zhuǎn)的方向以及旋轉(zhuǎn)的角在中間年級(jí)，學(xué)生應(yīng)理解全等變換，在變換中全等圖形重合，即

40、變換保距。學(xué)生應(yīng)將他們的變換知識(shí)擴(kuò)展到伸縮，并能從量上描述變換。變換應(yīng)是 912 年級(jí)學(xué)生解決幾何問(wèn)題的重要工具。 例如，它們?cè)谌扰c相似的學(xué)習(xí)中用到。復(fù)合變換的系統(tǒng)學(xué)習(xí)可以使中學(xué)生從幾何角度認(rèn)識(shí)函數(shù)集合的代數(shù)性質(zhì)。學(xué)生將能作出有關(guān)變換性質(zhì)的證明并用變換在其他領(lǐng)域進(jìn)行證明。使用想象和空間推理解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題空間想象包括建立二維和三維物體的表象并從不同方面認(rèn)識(shí)同一物體。 空間想象的一個(gè)方面包含二維和三維圖形與性質(zhì)的變換。 在小學(xué)低年級(jí)學(xué)生用網(wǎng)格紙折方塊作為學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)一個(gè)網(wǎng)格紙能否折成一個(gè)方塊的一步。 在中間年級(jí)，學(xué)生應(yīng)能作圖并有俯視圖或側(cè)視圖通過(guò)各種幾何物體的手工操作和使用能夠旋轉(zhuǎn)、 伸縮二維和

41、三維物體， 學(xué)生發(fā)展想象技能。隨著年級(jí)的增高， 學(xué)生應(yīng)熟練分析和畫(huà)出視圖， 數(shù)出組成部分， 描述不能看到但能推出的， 學(xué)生需要在當(dāng)他們形成對(duì)全等、 相似和變換的理解時(shí)， 學(xué)會(huì)實(shí)際操作在頭腦中改變實(shí)物的位置、方向和大小。想象可以用來(lái)作為形成推斷或論證的工具。 兒童確信如果他們把 " 菱形 " 看作旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度， 它實(shí)際上是一個(gè)正方形。 年齡稍大些的學(xué)生或許在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，用空間推理決定合適的對(duì)應(yīng)。 在更高水平上， 空間推理或許有助于比較平面曲域繞指定軸旋轉(zhuǎn)所成的立體的體積，相似有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)比例關(guān)系。想象與空間推理因?qū)W生日常廣泛接觸計(jì)算機(jī)與其他技術(shù)而得以促進(jìn)。 通過(guò)將

42、這一體驗(yàn)與學(xué)校幾何相聯(lián)系， 學(xué)生可以獲得解決幾何與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題的重要工具。在學(xué)生的整個(gè)發(fā)展過(guò)程中， 幾何與空間理解不僅增長(zhǎng)也在結(jié)構(gòu)上變化。 雖然本標(biāo)準(zhǔn)闡明的焦點(diǎn)領(lǐng)域應(yīng)在每個(gè)年級(jí)水平上詳述， 學(xué)生理解和打交道的幾何物體將隨他們不斷升學(xué)而擴(kuò)展。標(biāo)準(zhǔn) 4：測(cè)量數(shù)學(xué)教學(xué)綱要應(yīng)當(dāng)包括對(duì)于測(cè)量的注意，使得學(xué)生能夠理解物體可測(cè)量的屬性、測(cè)量單位和測(cè)量系統(tǒng)；應(yīng)用各種技巧、工具和公式進(jìn)行測(cè)量。說(shuō)明：幼兒園前 12 年級(jí)由于測(cè)量在日常生活的各個(gè)方面的實(shí)用性和滲透性， 因此它在 K12 年級(jí)以前的課程中是很重要的。 學(xué)習(xí)測(cè)量的過(guò)程也提供了一個(gè)學(xué)習(xí)和應(yīng)用其他數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)字運(yùn)算、幾何猜想、統(tǒng)計(jì)概念和函數(shù)觀念）

43、的機(jī)會(huì)。測(cè)量包含很多重要方面，它們對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不是那么陌生。 這其中包括認(rèn)識(shí)事物具有可測(cè)量的屬性，例如長(zhǎng)度、質(zhì)量、面積；選擇合適的測(cè)量單位；理解測(cè)量系統(tǒng)的各個(gè)方面以便使得概括和擴(kuò)展成為可能。另外，測(cè)量可以通過(guò)各種手段（包括應(yīng)用工具、規(guī)則、間接測(cè)量、成功的估算、度量）來(lái)完成。理解物體可測(cè)量的屬性、測(cè)量單位和測(cè)量系統(tǒng)；物體的可測(cè)量的性質(zhì)是指它是可以度量的。線段有長(zhǎng)度，平面區(qū)域有面積，物體有質(zhì)量。對(duì)于兒童來(lái)說(shuō)，物體的自然屬性比其他性質(zhì)更為直觀。例如，一支鉛筆的長(zhǎng)度比起它的周長(zhǎng)和體積來(lái)說(shuō)更為顯而易見(jiàn)。 幫助兒童理解物體的屬性是幫助它們學(xué)習(xí)測(cè)量的一個(gè)關(guān)鍵步驟。測(cè)量對(duì)于兒童來(lái)說(shuō)是從應(yīng)用一些諸如"

44、;長(zhǎng)"、" 短" 之類的語(yǔ)言來(lái)比較物體的屬性時(shí)開(kāi)始的。 可以通過(guò)多種途徑把兒童的注意力吸引到它們要測(cè)量的屬性上來(lái)。例如：一種途徑，通過(guò)問(wèn)像 " 你能在教室里發(fā)現(xiàn)什么東西比你矮 " 之類的問(wèn)題來(lái)比較物體的長(zhǎng)度；另一種途徑是讓學(xué)生來(lái)看是否一個(gè)平面區(qū)域（例如它的手掌） 能用豆子蓋住。 其他的更抽象的屬性， 例如體積、溫度、角度等是不容易描述的，它們對(duì)于 35 年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)更容易理解。在中、高年級(jí)，描述屬性（測(cè)量的比），像速度、密度、三角比、分析數(shù)據(jù)等，已經(jīng)成為學(xué)生們經(jīng)常要做的東西。但是，無(wú)論什么水平，學(xué)生們?cè)谑褂霉ぞ邷y(cè)量或使用公式計(jì)算大小之前應(yīng)當(dāng)已

45、經(jīng)對(duì)所認(rèn)識(shí)的事物的屬性有了許多日常的經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生們對(duì)自然界不同的特性有不同的認(rèn)識(shí)時(shí)，它們就會(huì)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇計(jì)量單位去測(cè)量那些特性。兒童們用單位去比較事物，常常用單位去 " 替代 " 其屬性。例如，幼兒園前 2 年級(jí)的兒童會(huì)用裁紙刀去量鉛筆的長(zhǎng)度，或用選定的正方形為單位量一塊區(qū)域， 測(cè)量體積時(shí)， 它們會(huì)用玻璃杯里的水裝滿容器來(lái)測(cè)量。 兒童們會(huì)應(yīng)用各種物體， 比如裁紙刀、吸管量長(zhǎng)度，方形瓦片量面積， 用紙杯量體積，它們的大小被記錄成單位名稱。在低年級(jí)，單位的 " 標(biāo)準(zhǔn)化 " 后來(lái)變得非常重要，當(dāng)學(xué)生們注意到用 Joey 的腳量的教室長(zhǎng)度同用 Adriana 的

46、腳量的有很大出入時(shí)，決定用誰(shuí)的腳作為標(biāo)準(zhǔn)單位成為重要的事情。 在這個(gè)階段學(xué)生也開(kāi)始用給定的量度去認(rèn)識(shí)事物，比如，一個(gè)能裝滿 12 杯沙子的容器或一支有 3 個(gè)裁紙刀長(zhǎng)的鉛筆。在中學(xué)階段， 學(xué)生們能創(chuàng)造出畫(huà)一間房間和內(nèi)部家具的尺度。 計(jì)量單位是常規(guī)的測(cè)量系統(tǒng)的一部分， 像英寸和英尺 （在通常的英語(yǔ)體系中） 或厘米和立方厘米（在十進(jìn)制里），能在學(xué)生們用通常的事物作單位以后用作測(cè)量單位。測(cè)量依賴于計(jì)量單位是一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)。 在低年級(jí)的后期， 學(xué)生們會(huì)認(rèn)識(shí)到計(jì)量單位在測(cè)量中所扮演的角色的重要。 在中等年級(jí)，當(dāng)學(xué)生們測(cè)量事物的較為抽象的屬性時(shí)，計(jì)量單位也變得很復(fù)雜，包括米 / 時(shí)、磅 / 英寸 2、單位

47、的代數(shù)運(yùn)算成為 9 12 年級(jí)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)的一部分， 當(dāng)學(xué)生們學(xué)習(xí)測(cè)量單位時(shí)， 這些單位也在不斷變化著。學(xué)習(xí)如何選擇計(jì)量單位是理解測(cè)量的主要部分。 舉個(gè)例子：當(dāng)測(cè)量面積時(shí)重要的是要決定用哪種測(cè)量單位， 比如一個(gè)正方形區(qū)域。 方便也是一個(gè)要考慮的因素，用選中的測(cè)量單位測(cè)量時(shí)， 所得到的應(yīng)當(dāng)是一個(gè)合理的數(shù)字， 用裁紙刀去量鉛筆而不能用它去量足球場(chǎng)的長(zhǎng)度就是這個(gè)道理。 準(zhǔn)確也很重要， 用較小的計(jì)量單位可在測(cè)量中得到更精確的結(jié)果。 精確的要求包括計(jì)量單位的選擇和使用工具的選??；這些選擇決定于被測(cè)量事物的特點(diǎn)。 在 9 12 年級(jí)，對(duì)屬性的理解和單位的選取變得較為復(fù)雜。 這里關(guān)鍵是要弄清問(wèn)題存在的條件，

48、選取一個(gè)結(jié)構(gòu)來(lái)表示并進(jìn)行測(cè)量。在美國(guó)，用英制測(cè)量還很普遍， 從低年級(jí)到高年級(jí)學(xué)生們同時(shí)學(xué)習(xí)英制和十進(jìn)制。學(xué)生們必須認(rèn)識(shí)這兩種測(cè)量體系， 能夠換算，并用這兩種測(cè)量體系熟練地進(jìn)行測(cè)量。有一個(gè)例子，一個(gè)學(xué)生說(shuō)： " 我住在離學(xué)校一英里遠(yuǎn)的地方，大約有 2 公里 " ，學(xué)生們從此會(huì)發(fā)現(xiàn)了解英制與十進(jìn)制的關(guān)系是非常有用的。了解測(cè)量系統(tǒng)能加強(qiáng)和幫助學(xué)生們理解以十進(jìn)制為基礎(chǔ)的的體系的各個(gè)方面，以及使用比例的原因。例如：因?yàn)槭M(jìn)制是建立在十為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)上，學(xué)生學(xué)習(xí)十進(jìn)制的測(cè)量有助于它們理解位置值。十進(jìn)制有很好的內(nèi)部結(jié)構(gòu)， 下一個(gè)較大單位的大小總是以同樣的方式與前一個(gè)單位相聯(lián)系。例如 1 厘

49、米是 1 毫米的 10 倍， 1 分米是 1 厘米的十倍等等。有些關(guān)于測(cè)量的基本特征需要各個(gè)年級(jí)的學(xué)生研究和理解。 許多種兒童們用來(lái)測(cè)面積的測(cè)量方式和使用最精確的單位是相同的。 在低年級(jí)后期， 學(xué)生們認(rèn)識(shí)了全等三角形， 它們即使位置不同也有相等的周長(zhǎng)和面積。 測(cè)量面積需要把整體分成幾個(gè)部分。 低年級(jí)的學(xué)生需要把 1 個(gè)矩形分成 2 個(gè)三角形，即使把每一塊移走拼成新圖形， 它的面積與原來(lái)是相同的。 他們也能注意到周長(zhǎng)不再相等新圖形的周長(zhǎng)不等于最初圖形的周長(zhǎng)。這樣的觀察能給數(shù)學(xué)理論提供有意思的內(nèi)容，并涉及到像恒等不變量之類的較為復(fù)雜的概念。應(yīng)用各種技巧、工具和公式進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量過(guò)程包括選擇測(cè)量單位

50、、 根據(jù)被測(cè)量事物的屬性比較這些單位、 得出數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)的范圍。當(dāng)學(xué)生們對(duì)于被測(cè)量的屬性以及測(cè)量過(guò)程中單位的重要性的認(rèn)識(shí)得到發(fā)展時(shí)，他們能用技巧、工具和公式去測(cè)量。 測(cè)量技巧是進(jìn)行測(cè)量的戰(zhàn)略，技巧可能是計(jì)數(shù)，反復(fù)、判斷，或使用工具、公式。測(cè)量工具包括直尺、卷尺、容器、比例尺、鐘表、秒表等。公式通常含有變量，給定數(shù)值后可以得出大小。學(xué)生們對(duì)于不同的測(cè)量技巧的選用取決于要測(cè)量的特性和測(cè)量的目的。例如：用不同的方法得出矩形地板的面積，學(xué)生們可能會(huì)用以前關(guān)于尺寸標(biāo)準(zhǔn)的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)面積， 根據(jù)地板磚的大概面積求和得出地板面積， 或測(cè)量長(zhǎng)、寬用公式計(jì)算出面積。這些方法通過(guò)必要的單位換算可以得出大致相同的測(cè)量值。

51、在測(cè)量中使用的另一個(gè)重要技巧是取近似值。所有物理測(cè)量結(jié)果都是近似值，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生在他們的測(cè)量結(jié)果畫(huà)出界限。例如，要得到一個(gè)腳印的面積，學(xué)生們可以在腳印上畫(huà)出透明的正方形格子，計(jì)算出在邊界內(nèi)的正方形的面積，再計(jì)算出被腳印輪廓切過(guò)的正方形的面積。 學(xué)生們將認(rèn)識(shí)到面積落在內(nèi)、 外界之間。格子分得越細(xì)，內(nèi)、外邊界線越接近。在現(xiàn)實(shí)中，細(xì)分的程度是有限的。這種近似值的應(yīng)用是微積分學(xué)概念的重要先驅(qū)。測(cè)量工具是大多數(shù)人測(cè)量時(shí)所熟悉的裝置。 使用測(cè)量工具常常有賴于一些數(shù)學(xué)知識(shí)，比如分?jǐn)?shù)（這意味著不能在尺子上做記號(hào)）和數(shù)列。在日益發(fā)展中，測(cè)量工具越來(lái)越技術(shù)化因而掩蓋了它同屬性之間的聯(lián)系。 例如，尺子是真正接近長(zhǎng)度

52、特征的工具。 比較一下， 強(qiáng)有力的幾何軟件用于測(cè)量角度， 不如用量角器更容易觀察到聯(lián)系。兒童們熟悉的復(fù)雜的工業(yè)測(cè)量工具包括計(jì)時(shí)表、 溫度計(jì)、深度計(jì)、以及測(cè)量速度和距離的電腦傳感器。選擇與被測(cè)屬性適合的工具是非常重要的。公式可以用于得出測(cè)量結(jié)果。 并且無(wú)論什么時(shí)候， 數(shù)學(xué)教學(xué)將會(huì)幫助學(xué)生理解這些公式。許多中小學(xué)的孩子們理解周長(zhǎng)、面積、體積有困難（KenneyandSilver ；Lindqwst1989 ）通常，我們給出孩子們這些公式， 比如：P=2l+2w，A=l*w， V=l*w*h ，但是他們并不理解這些公式與被測(cè)量屬性之間的聯(lián)系，以及計(jì)量單位是如何選取的。 在公式和自然事物之間應(yīng)當(dāng)建立起

53、強(qiáng)大的聯(lián)系。 例如，當(dāng)一個(gè)學(xué)生被告知一個(gè)矩形的尺寸 4cm*8cm并要求用公式計(jì)算出面積時(shí)，那么這個(gè)學(xué)生必須這個(gè)公式是用平方厘米作單位計(jì)算矩形面積的一條捷徑。另一個(gè)例子，高年級(jí)的學(xué)生能根據(jù)圖 3 6，用計(jì)算平行四邊形面積的知識(shí)得出圓面積公式（ A=pr2）。圖 36在 3 5 年級(jí)，學(xué)生們要了解用類似于 "1035"的比例尺在紙上表示的矩形實(shí)際大小。比例尺，常被用在地圖或計(jì)算圖表的上，適用于用公式進(jìn)行測(cè)量。一張地圖，是運(yùn)用測(cè)量工具及技術(shù)將圖上距離通過(guò)比例與實(shí)際距離聯(lián)系起來(lái)的一個(gè)描述。在中學(xué)階段，學(xué)生們能處理更復(fù)雜的工業(yè)測(cè)量工具和測(cè)量原理。 出版的關(guān)于精確測(cè)量及使用的錯(cuò)誤方面

54、的資料更適合于這些年級(jí)。測(cè)量是 12 年級(jí)以前的學(xué)生要學(xué)習(xí)的一個(gè)內(nèi)容。對(duì)于使用具體事物尤其有意義。事實(shí)上，學(xué)生們不可能對(duì)沒(méi)有親身經(jīng)歷的事物用工具測(cè)量，得到對(duì)測(cè)量概念的深入理解。培養(yǎng)測(cè)量概念比較復(fù)雜，需要跨越多個(gè)年級(jí)，并且，教師的課程不能每年重復(fù)同樣的測(cè)量理論。 最終，測(cè)量對(duì)于數(shù)學(xué)本身以及數(shù)學(xué)領(lǐng)域外的像社會(huì)學(xué)、藝術(shù)、物理、以及學(xué)生自身的興趣及體驗(yàn)都是一種重要的工具。標(biāo)準(zhǔn) 5：數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計(jì)和概率數(shù)學(xué)教學(xué)綱要應(yīng)關(guān)注數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計(jì)和概率從而使學(xué)生提出問(wèn)題并搜集，整理和表示數(shù)據(jù)來(lái)解決提出的問(wèn)題；用數(shù)據(jù)分析方法解釋數(shù)據(jù)；形成并評(píng)價(jià)基于數(shù)據(jù)的推理，預(yù)測(cè)和爭(zhēng)論；理解和應(yīng)用機(jī)會(huì)和概率的基本術(shù)語(yǔ)。說(shuō)明 : 幼兒園前 12 年級(jí)不斷發(fā)展的技術(shù)使我們分析數(shù)據(jù)的能力有了顯著變化。 有助于商業(yè)，政治和研究領(lǐng)域被用于決策的數(shù)據(jù)的數(shù)量快速增長(zhǎng)。 消費(fèi)者調(diào)查被用于產(chǎn)品的研制和市場(chǎng)營(yíng)銷。民意測(cè)驗(yàn)被用于決定政治競(jìng)選的策略。實(shí)驗(yàn)被用于決定新的醫(yī)療處理。同樣重要地，統(tǒng)計(jì)常常被誤用來(lái)左右輿論和錯(cuò)誤地表示商品的質(zhì)量和效用。 統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)于學(xué)生成為有識(shí)之士和明智的消費(fèi)者是必不可少的， 而統(tǒng)計(jì)推理也是需要學(xué)習(xí)的。數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計(jì)和概率的學(xué)習(xí)為學(xué)生將數(shù)學(xué)與學(xué)校其他科目以及他們?cè)谌粘Ｉ?/p>