極坐標知識講解及典型例題

1、極坐標一、直角坐標系、平面上的伸縮變換1、直角坐標系（ 1）一維直角坐標系（ 2）平面直角坐標系（ 3）空間直角坐標系注意：在平面直角坐標系與空間直角坐標系中都有右手系與左手系之分，我們習慣性地使用右手系。2、平面上的伸縮變換以正弦曲線為例， y sin x 曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?a 倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?b 倍，即 X=ax ，其中 a， b>0，該式是平面上伸縮變換的坐標表達式。Y=by二、極坐標系1、定義：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內(nèi)的任意一點M，用表示線段OM的長度，表示從Ox

2、到 OM的角，叫做點M的極徑，叫做點 M 的極角，有序數(shù)對 ( ,) 就叫做點 M 的極坐標。這樣建立的坐標系叫做極坐標系。MOx圖1練習 : 在極坐標系中，畫出以下三個點A（1，）B（2， 3）C（3，-）424思考：上述點關于極軸以及極點的對稱點說明：（1）通常限制0，當=0 時，該點與極點重合，不確定，也可以允許 <0，此時 M( , ) 位于與極軸成角的射線的反向延長線上，該點與（ - ,）重合；（2）極坐標系中的點與有序?qū)崝?shù)對( , ) 的對應關系：2、直角坐標與極坐標的互化：直角坐標（x， y）極坐標（，）=x 2y2tan=yx極坐標（，）直角坐標（ x，y）x=cosy=

3、sin注意：若已知直角坐標，在確定極坐標時，極角的確定光知道極角的正切值是確定不出來的，還必須知道該點對應在直角坐標的象限。練習 1：將下列直角坐標化為極坐標A（ 1， -1 ） B （ 1， ）練習 2：將下列極坐標化為直角坐標A（ 2， 2） B （1，2）3練習 3：分別求下列條件中AB 中點的極坐標（1）（ 4，）（ 6，- 2）；（ 2）（ 4，）（ 6，333三、曲線的極坐標方程2 ）31、定義：在極坐標系下，方程F (,)0 ，如果曲線C 是由極坐標 (,) 滿足方程的所有點組成的，則稱方程F (,)0 為曲線 C的極坐標方程。練習：說明下列極坐標方程分別表示什么曲線？（1）1（

4、2）42、圓的極坐標方程（ 1）圓心在極軸上，且過極點的圓MOax圖22 a cos注意：也可以先寫出圓的直角坐標方程，再化為極坐標方程。練習：寫出滿足下列條件的圓的極坐標方程（1）圓心為（ 3,0 ），半徑為1；（ 2）圓心為（ 0， 0），半徑為1；（3）圓心為（ -2,0 ），半徑為1；（ 4）圓心為（ 0,2 ），半徑為1；（5）圓心為（ 0， -2 ），半徑為1.3、直線的極坐標方程M（，）MM0Oxa OOa圖1圖3圖20 或0 +a0acoscos（4）（5）MaOaOM圖4圖5asinasin4、圓錐曲線統(tǒng)一方程（橢圓、拋物線、雙曲線）設OA=PMOeepeMN， p cos1

5、 ecos其中，當 0<e<1 為橢圓， e=1 為拋物線，當 e>1 為雙曲線極坐標練習題一選擇題1已知 M5,，下列所給出的不能表示點M 的坐標的是（）3A 5,B 5,4C5,2D5,533332點 P 1,3 ，則它的極坐標是（）A 2,B 2,4C 2,D2,433333極坐標方程cos表示的曲線是（）4A雙曲線B橢圓C拋物線D圓圓2(cossin) 的圓心坐標是（）4A 1,B 1,4C 2,4D 2,442在極坐標系中，與圓4 sin相切的一條直線方程為（）5A sin2Bcos2Ccos4D cos46、 已知點 A2, B2 , 3,O 0,0 則ABO 為

6、（）24A、正三角形B、直角三角形C 、銳角等腰三角形D 、直角等腰三角形7、(0) 表示的圖形是（）4A一條射線B一條直線C一條線段D圓8、直線與c o s ()1 的位置關系是（）A 、平行B 、垂直C、相交不垂直D 、與有關，不確定9. 兩圓2 cos,2 sin的公共部分面積是（）A.1B.2C.1D.224210. 極坐標方程c o s表示的曲線為（）2 s i n 2A一條射線和一個圓B兩條直線C一條直線和一個圓D 一個圓二填空題（每題5分共 25分）11、曲線的sin3 cos直角坐標方程為 _12極坐標方程 4sin 25 化為直角坐標方程是213圓心為 C 3,，半徑為3 的圓的極坐標方程為6214已知直線的極坐標方程為sin()，則極點到直線的距離是4215、在極坐標系中，點P 2,11到直線s