無窮限的廣義積分的審斂法課件

1、無窮限的廣義積分的審斂法無窮限的廣義積分的審斂法一、無窮限的廣義積分的審斂法一、無窮限的廣義積分的審斂法收斂收斂上有界，則廣義積分上有界，則廣義積分在在若函數(shù)若函數(shù)且且上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間定理設(shè)函數(shù)定理設(shè)函數(shù) axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法斂性的判定方法.由定理由定理1，對于非負函數(shù)的無窮限的廣義積，對于非負函數(shù)的無窮限的廣義積分有以下比較收斂原理分有以下比較收斂原理無窮限的廣義積分的審斂法也發(fā)散也發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則且且并并也收斂；如果也收斂；如果收斂，則收斂

2、，則并且并且上連續(xù)，如果上連續(xù)，如果區(qū)間區(qū)間在在、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂原理比較審斂原理定理定理 aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),)()()(2證證.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收斂，得收斂，得及及，由，由設(shè)設(shè)上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbFba無窮限的廣義積分的審斂法由定理知由定理知收收斂斂 adxxf)(.)(,)(),()(0必必定定發(fā)發(fā)散散則則發(fā)發(fā)散散且且如如果果 aadxxfdxxgxfxg也收，這與假設(shè)矛盾也收，這與

3、假設(shè)矛盾收斂，由第一部分知收斂，由第一部分知如果如果 aadxxgdxxf)()(例如，例如， 時時發(fā)發(fā)散散當當時時收收斂斂；當當廣廣義義積積分分11)0(Ppaxdxap無窮限的廣義積分的審斂法發(fā)散發(fā)散則則，使得，使得常數(shù)常數(shù)收斂；如果存在收斂；如果存在則則，使得，使得及及存在常數(shù)存在常數(shù)如果如果上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10. 0)()0(),)()(3無窮限的廣義積分的審斂法例例.1134的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分 xdx解解,1111

4、03/43434xxx , 134 p根據(jù)比較審斂法，根據(jù)比較審斂法，.1134收收斂斂廣廣義義積積分分 xdx無窮限的廣義積分的審斂法發(fā)發(fā)散散則則或或如如果果收收斂斂；存存在在，則則使使得得，如如果果存存在在常常數(shù)數(shù)上上連連續(xù)續(xù)，且且在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)極極限限審審斂斂法法定定理理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.112的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所給廣義積分收斂所給廣義積分收斂無窮限的廣義積分的審斂法例例.1122/3

5、的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散例例.arctan1的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散無窮限的廣義積分的審斂法也收斂也收斂收斂；則收斂；則如果如果上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理 aadxxfdxxfaxf)()(),)(5證證).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且，且,)(收

6、收斂斂dxxfa .)(也收斂也收斂dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收斂收斂.無窮限的廣義積分的審斂法.)(5稱稱為為絕絕對對收收斂斂條條件件的的廣廣義義積積分分滿滿足足定定理理定定義義 adxxf必定收斂必定收斂絕對收斂的廣義積分絕對收斂的廣義積分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的收斂性的收斂性常數(shù)常數(shù)都是都是判別廣義積分判別廣義積分 abadxbxeax解解.,sin0收收斂斂而而 dxeebxeaxaxax.sin0收斂收斂 dxbxeax所以所給廣義積分收斂所以

7、所給廣義積分收斂.無窮限的廣義積分的審斂法二、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法二、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim, 0)(,()()2(60發(fā)散發(fā)散則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及收斂；如果存在常數(shù)收斂；如果存在常數(shù)則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及常數(shù)常數(shù)如果存在如果存在上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf無窮限的廣義積分的審斂法發(fā)散發(fā)散分分則廣義積則廣義積或或，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)收斂；收斂；則廣義

8、積分則廣義積分存在存在，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim, 0)(,()()2(0000無窮限的廣義積分的審斂法例例6.ln31的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xdx解解的的左左鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無界界被被積積函函數(shù)數(shù)在在點點1 x由洛必達法則知由洛必達法則知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法2

9、,所給廣義積分發(fā)散所給廣義積分發(fā)散.無窮限的廣義積分的審斂法例例7.1sin31的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解也收斂也收斂從而從而dxxx 101sin收收斂斂，而而 1,11sinxdxxxx收斂，收斂，dxxx 101sin根據(jù)比較審斂原理根據(jù)比較審斂原理,無窮限的廣義積分的審斂法)0()(01 sdxxessx定義定義特點特點: 1.積分區(qū)間為無窮積分區(qū)間為無窮;.001. 2右右領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)無無界界的的時時被被積積函函數(shù)數(shù)在在點點當當 xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx設(shè)設(shè);,1)1(1是常義積分是常義積分時時當當Is ,10時時當當 s函函數(shù)數(shù)

10、三三、 無窮限的廣義積分的審斂法,111111sxssxxexxe ., 2, 111收收斂斂根根據(jù)據(jù)比比較較審審斂斂法法而而Is , 0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex., 12也也收收斂斂根根據(jù)據(jù)極極限限審審斂斂法法I.0)2(),1(01均收斂均收斂對對知知由由 sdxxesxs)(s o無窮限的廣義積分的審斂法 函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時時，當當).10(sin)1()(3 ssss余余元元公公式式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中中，作作代代換換在在 無窮限的廣義積分的審斂法四、小結(jié)四、小結(jié)比較審斂法極限審斂法無窮限的廣義積分審斂法比較審斂法極限審斂法無界函數(shù)的廣義積分審斂法廣廣義義積積分分審審斂斂法法絕對收斂絕對收斂無窮限的廣義積分的審斂法練練 習習 題題;23. 4;)(ln. 3;1sin. 2;1. 12132213120242 xxdxxdxdxxdxxxx的收斂性：的收斂性：一、判別下列廣義積分一、判別下列廣義積分.)1(ln. 2);0(. 1100 dxxndxepxn收斂范圍：收斂范圍：指出這些積分的指出這些積分的函數(shù)