數(shù)字電子技術卡諾圖化簡法課件

1、2.2 2.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.2.1 2.2.1 邏輯變量的最小項及其性質(zhì)邏輯變量的最小項及其性質(zhì)1 1. .最小項定義最小項定義: :如：如：A A、B B、C C是三個邏輯變量，有以下八個乘積項是三個邏輯變量，有以下八個乘積項為此三個變量的最小項為此三個變量的最小項CBACBACBACBABCACBACABABC 設有設有n n個變量，若個變量，若m m為包含全部為包含全部n n個變量的乘積項（每個變量個變量的乘積項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）則稱必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）則稱m m為該組為該組變量的最小項。變量

2、的最小項。n n個變量有個變量有2 2n n個最小項個最小項2.2.最小項的編號最小項的編號 最小項常用最小項常用m mi i表示，下標表示，下標i i即為編號。在最小項中，即為編號。在最小項中，原變量原變量11、反變量反變量 0 0，所對應的十進制數(shù)即為，所對應的十進制數(shù)即為i i值。值。二進制數(shù)二進制數(shù)十進制數(shù)十進制數(shù)編號編號0000m m0 00011m m1 1010011100101110111234567最小項最小項CBACBACBABCACBACBACABABC 以三變量為例以三變量為例或定義為：使最小項為或定義為：使最小項為“1 1”的的變量取值組合變量取值組合所對應的所對應的

3、十進制數(shù)十進制數(shù)最小項的編號與變量的高、低位順序有關最小項的編號與變量的高、低位順序有關注意注意m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 73.3.最小相的性質(zhì)最小相的性質(zhì)(1)(1)對于變量的任意一組取值組合，只有一個最小項的值為對于變量的任意一組取值組合，只有一個最小項的值為1 1(2)(2)對于變量的任意一組取值組合，任意兩個最小項的積為對于變量的任意一組取值組合，任意兩個最小項的積為0 0(3)(3)對于變量的任意一組取值組合，所有最小項之和對于變量的任意一組取值組合，所有最小項之和( (或或) )為為1 10 0 1A B CA B C0 0 0m m0

4、0CBAm m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7CBACBABCACBACBACABABC 1 -n20iimF1000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111A A、B B、C C三變量的最小項三變量的最小項 邏輯變量邏輯變量最小項之最小項之和形式和形式標準的與或式標準的與或式2.2.2 2.2.2 邏輯函數(shù)最小項表達式邏輯函數(shù)最小項表達式用摩根定律去掉非號用摩根定律去掉非號( (多個變量上多個

5、變量上) )直至只在一個變量上有非號為止直至只在一個變量上有非號為止用分配律去除括號，直至得到一個與或表達式用分配律去除括號，直至得到一個與或表達式配項得到最小項表達式配項得到最小項表達式由一般邏輯式由一般邏輯式最小項表達式方法最小項表達式方法F(AF(A、B B、C C、D)D)D C BADCBADC B AD C B A8510mmmm)8 5 1 0(m、如求函數(shù)求函數(shù) F(AF(A、B B、C)C)CB ABA的最小項的最小項表達式表達式解：解：F(AF(A、B B、C)C)CB A)CC(BA123mmm)3 2 1 (m、CB ABACB ACBABCA例1ABCBAABABCL

6、)()( ABCBAABABCBAAB6753mmmm)7 , 6 , 5 , 3(mABCBABA)()(CCABCBABCACABABCCBABCA例2對于一個具體的邏輯問題，邏輯表達式是對于一個具體的邏輯問題，邏輯表達式是不唯一不唯一的的唯一唯一真值表真值表最小項表達式最小項表達式真值表真值表實際上是函數(shù)最小項實際上是函數(shù)最小項表達式的一種表達式的一種表格表格表示表示ABCY00000010010001111000101111011110CABCBABCAY 最小項表達式的一種圖形表示最小項表達式的一種圖形表示卡諾圖卡諾圖2.2.32.2.3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1 1

7、、n n變量的卡諾圖變量的卡諾圖將將n n個邏輯變量的個邏輯變量的2 2n n個最小項分別用一個小方塊來表示，個最小項分別用一個小方塊來表示，并按照邏輯上相鄰的小方塊在幾何位置上也相鄰的規(guī)則并按照邏輯上相鄰的小方塊在幾何位置上也相鄰的規(guī)則排列成的一個方格圖形。排列成的一個方格圖形。邏輯上相鄰邏輯上相鄰：兩個最小項只有一個變量不同。例：兩個最小項只有一個變量不同。例CBACBA與2、n變量卡諾圖的引出卡諾圖的引出（P48P50 P48P50 自學）自學）折疊展開法折疊展開法目的：使邏輯上相鄰的最小項（小方塊）在幾何位置上也相鄰。目的：使邏輯上相鄰的最小項（小方塊）在幾何位置上也相鄰。3 3、n

8、n變量卡諾圖的具體畫法：變量卡諾圖的具體畫法：二變量卡諾圖的畫法與書上不同，二變量卡諾圖的畫法與書上不同，由一變量卡諾圖折疊展開的方法不同造成的由一變量卡諾圖折疊展開的方法不同造成的2) 2) 三變量的卡諾圖三變量的卡諾圖 L(A,B,C)L(A,B,C)3) 3) 四變量的卡諾圖四變量的卡諾圖 L(A,B,C,D)L(A,B,C,D)0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCDABC0100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m71) 1) 二變量的卡諾圖二變量的卡諾圖

9、 L(A,B)L(A,B)AB1010 m0 m1 m2 m3 n n個變量函數(shù)的個變量函數(shù)的k k圖有圖有2 2n n個小方格，分別對應個小方格，分別對應2 2n n個最小項個最小項；k k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列， 使使幾何相鄰幾何相鄰的最小項之間具有的最小項之間具有邏輯相鄰性邏輯相鄰性。 幾何相鄰包括：幾何相鄰包括：鄰接、行列兩端、四角相鄰。鄰接、行列兩端、四角相鄰?？ㄖZ圖具有循環(huán)鄰接性，是使用卡諾圖具有循環(huán)鄰接性，是使用K K圖化簡邏輯函數(shù)的主要依據(jù)。圖化簡邏輯函數(shù)的主要依據(jù)。4 4、n n變量卡諾圖的特點：變量卡諾圖的特點：(1)

10、(1)已知邏輯表達式已知邏輯表達式) ) 邏輯表達式化成最小項表達式邏輯表達式化成最小項表達式) ) 畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖) ) 在最小項表達式中包含的最小項對應的小方塊中填在最小項表達式中包含的最小項對應的小方塊中填“1”1”； 其余填入其余填入“0”0”5 5、邏輯函數(shù)的卡諾圖畫法、邏輯函數(shù)的卡諾圖畫法v這樣，任何一個邏輯函數(shù)就等于其卡諾圖中這樣，任何一個邏輯函數(shù)就等于其卡諾圖中 填填“1 1”的那些的那些最小項之和最小項之和ACCDADCBAY CBBACDBBADCBA)()(0100011110001110CDAB1 11 11 11 11 11 11 10 00 00 00 0

11、0 00 00 00 00 0例例1 1：把函數(shù)化成最小項表達式，再畫卡諾圖：把函數(shù)化成最小項表達式，再畫卡諾圖。)()(DDCBADDABCCDBABCDADCBADCBACDBADABCABCDCDBABCDADCBAiiim)15,14,11,10, 9 , 7 , 3(例例2：將將F(AF(A、B B、C C、D)D)ACBCADCBABDCA的卡諾圖畫出的卡諾圖畫出解：解：0100011110001110CDABAB111111B CD11 ACD ABC11AC1111m14,m15兩次填兩次填10000例例2.2.32.2.3：在在 L L 的各最小項對應的方格中填的各最小項對應

12、的方格中填0,0,其余各方格填其余各方格填1 1。L(A,B,C,D)=(L(A,B,C,D)=( A A+ +B B + + C C+ + D D)()(+ +B B + +C C+ + D D )()(A A+ +B B+ +C C+ +D D) )A A（A+A+ B B + + C C + + D D)( A+B+C+D)( A+B+C+D)求卡諾圖求卡諾圖0100011110001110CDAB1 11 11 10 01 11 10 00 01 11 11 11 10 01 11 10 0= = m(0,6,10,13,15)m(0,6,10,13,15) ABCD + ABCD +

13、 ABCD + ABCD + ABCDABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCDL L= = m mi i=1=1例例: :已知真值表如圖已知真值表如圖A BC L00000011010101111000101011011110A A0 01 1BCBC010100001111 10100 00 00 00 0 1 11 11 11 10011010101111101 將真值表中函數(shù)值為將真值表中函數(shù)值為1的的變量組合對應的小方塊中填入變量組合對應的小方塊中填入“1”1”； 其余填其余填“0”0”即可即可(2)(2)已知真值表已知真值表卡諾圖卡諾圖2.2.4 2.2.4

14、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1 1. .卡諾圖化簡的依據(jù)卡諾圖化簡的依據(jù)：循環(huán)鄰接性循環(huán)鄰接性2) 2) 相鄰相鄰四個四個最小項求和時最小項求和時, ,四項并一項并消去四項并一項并消去兩個兩個因子因子1) 1) 相鄰相鄰兩個兩個最小項求和時最小項求和時, ,兩項并一項并消去兩項并一項并消去一個一個因子因子3) 3) 相鄰相鄰八個八個最小項求和時最小項求和時, ,八項并一項并消去八項并一項并消去三個三個因子因子0 01 12 23 3ABAB00000101CDCD010100001111 10104 45 56 67 7111110101212 1313141415158 89 9

15、101011114 46 69 91 110100 08 82 210100 08 82 24 4121214146 6如如: :DCBDCBADCBAmm91DBADBCADCBAmm64如如: :DBDCBADCBADCBADCBAmmmm10820如如: :Dmmmmmmm留相同因子；消去不同因子2.2.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法和步驟用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法和步驟1) 1) 將相鄰的值為將相鄰的值為“1”1”的小方塊畫成若干個包圍圈的小方塊畫成若干個包圍圈)每個包圍圈中必須含有每個包圍圈中必須含有2 2n n個小方塊個小方塊 (n=0,1,2, )(n=0,

16、1,2, )小方塊可重復被包圍，但每個包圍圈中必須含有其他小方塊可重復被包圍，但每個包圍圈中必須含有其他 包圍圈沒有的新小方塊包圍圈沒有的新小方塊)不能漏掉任何值為不能漏掉任何值為1 1的小方塊的小方塊) ) 包圍圈所含的小方塊數(shù)目要盡可能多包圍圈所含的小方塊數(shù)目要盡可能多) ) 包圍圈數(shù)目要盡可能少，畫包圍圈的順序由大包圍圈數(shù)目要盡可能少，畫包圍圈的順序由大小小2) 2) 將每個包圍圈中的最小項合并成一項將每個包圍圈中的最小項合并成一項乘積項乘積項 留下相同因子，消去不同因子留下相同因子，消去不同因子3) 3) 對各個包圍圈合并成的乘積項求邏輯和對各個包圍圈合并成的乘積項求邏輯和設已得到邏輯

17、函數(shù)的卡諾圖邏輯函數(shù)的卡諾圖DBBDL BD 例例2.2.4 :用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù)用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù)（2）畫包圍圈合并最小項，得最簡與）畫包圍圈合并最小項，得最簡與-或表達式或表達式 解：解：(1) 由由L 畫出卡諾圖畫出卡諾圖 m)D,C,B,A(L(0，2，5，7，8，10，13，15) L C 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 D A B DB 例例2.2.52.2.51 10 00 00 0ABAB00000101CDCD010100001111 10101 11 10 00 0111110101 10 00 01 11 10 00 01

18、1給定函數(shù)真值表，給定函數(shù)真值表，ABCDLABCDL00001100010001010010001001010100110101100100111001010111101001100111000111011111用卡諾圖化簡成最簡與或式用卡諾圖化簡成最簡與或式化成與非與非式化成與非與非式ABCDDBACBADCLL=CDL=CD ABCABC ABDABD ABABCDCD寫出圈內(nèi)的邏輯表達式寫出圈內(nèi)的邏輯表達式0 01 13 32 24 45 57 76 68 89 91010111112121313141415150100011110001110CDABA AB BC CD DDCAA

19、A0100011110001110CDAB0 01 13 32 24 45 57 76 68 89 9101011111212131314141515B BC CD DA A0100011110001110CDAB0 01 13 32 24 45 57 76 68 89 9101011111212131314141515B BC CD DBABDBDD DABABACDACD例例A A0 01 1BCBC010100001111 10101 10 01 11 10 01 11 10 0ACBCCALACBACAL結(jié)論：結(jié)論：邏輯函數(shù)最簡與或式不是唯一的（但最小項表達式唯一）邏輯函數(shù)最簡與或式不

20、是唯一的（但最小項表達式唯一）例例2.2.62.2.615,14,13,11,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 3 , 2 , 1 , 0),(mDCBALABAB00000101CDCD010100001111 1010111110101 11 11 11 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 1DCBLDCBDCBLL結(jié)論：結(jié)論：含含0 0較少時，化包圍較少時，化包圍0 0 的小圓圈的小圓圈, ,并項得反函數(shù)。并項得反函數(shù)。 再求原函數(shù)。再求原函數(shù)。ABCDACBCBACBAL化簡化簡3 3. .具有無關項的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡具有無關

21、項的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡v 化簡方法：視化簡需要可作化簡方法：視化簡需要可作0 0或或1 1處理。處理。v 填真值表、卡諾圖時，只在無關項對應的格內(nèi)填任意填真值表、卡諾圖時，只在無關項對應的格內(nèi)填任意 符號符號“”、“d”或或“”對應于變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意的，或者這些變量的對應于變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意的，或者這些變量的取值根本不會出現(xiàn)，這些變量取值所對應的最小項稱為無關項或任意取值根本不會出現(xiàn)，這些變量取值所對應的最小項稱為無關項或任意項。項。無關項的定義無關項的定義例例2.2.72.2.7：N ABCDL00000010001120010030011140100

22、0501011601100701111810000910011設計一位十進制數(shù)的判奇電路，當為奇數(shù)時輸出為設計一位十進制數(shù)的判奇電路，當為奇數(shù)時輸出為1 1，否則為，否則為0 0。解：解：無關項：無關項：m m1010-m-m1515L L= =mm(1,3,5,7,9)+(1,3,5,7,9)+dd(10(1015)15)L L = = D D結(jié)論：結(jié)論：充分利用無關項，充分利用無關項， 可將函數(shù)化為最簡?？蓪⒑瘮?shù)化為最簡。ABAB00000101CDCD010100001111 1010111110100 01 10 01 10 01 10 01 1x xx xx xx x0 01 1x

23、xx x1 11 11 1 )13, 4 , 3()15,14, 5 , 1 , 0(),(. 4)15, 9()8 , 6 , 2 , 0(),(. 3)15,14,13,12,11,10()9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 3 , 2 , 0(),(. 2)12,11,10, 8 , 6 , 2 , 1 , 0(),(. 14321dmDCBAFdmDCBAFdmDCBAFmDCBAF用卡諾圖化簡：CBADCADCACBAF 1DBCBDAF 2ABCCAFDCBDCAF 43111101111011110010110100ABCDxx1110 xxxx111110111100101

24、10100ABCD2.8 用multisim進行邏輯函數(shù)的化簡與變換例:已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下,試用multisim求出Y的邏輯函數(shù)式,并將其化簡為與-或形式ABCDY1000010010101001011X1100X110101110X11111ABCDY0000000011001000011X01000010110110101111邏輯函數(shù)各種描述方法間的相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)各種描述方法間的相互轉(zhuǎn)換一、已知邏輯圖求邏輯表達式一、已知邏輯圖求邏輯表達式用基本邏輯符號和連線構(gòu)成的圖形用基本邏輯符號和連線構(gòu)成的圖形描述邏輯函描述邏輯函數(shù)的方法：數(shù)的方法：邏輯表達式邏輯表達式真值表真值表卡諾圖卡諾

25、圖邏輯圖邏輯圖BABABABABAL方法：方法：逐級寫出邏輯表達逐級寫出邏輯表達式然后化簡式然后化簡BBAAABABL&11時序圖時序圖)BA)(BA(BABAY 例例: 已知函數(shù)的邏輯圖如下所示，試求它的邏輯函數(shù)式。已知函數(shù)的邏輯圖如下所示，試求它的邏輯函數(shù)式。ABY1 1 1 11解：解：BABABA ABBA + +A+BA+B二、已知邏輯表達式求邏輯圖二、已知邏輯表達式求邏輯圖方法方法：先化簡：先化簡轉(zhuǎn)化為需要的形式轉(zhuǎn)化為需要的形式畫邏輯圖畫邏輯圖BCDBCCDABAABCDL)(CDABCBACDABCBA對其二次對其二次求非求非解：解：非非門門表表示示求求最最簡簡與與或或式

26、式，并并用用與與例例)CDB()BCA()ABCD(LACL&DB例例: :已知邏輯函數(shù)已知邏輯函數(shù)CCBACBAY對應的邏輯圖。對應的邏輯圖。畫出畫出&Y 1&1 11ABC1按照邏輯運算的優(yōu)先順序逐級畫出邏輯圖按照邏輯運算的優(yōu)先順序逐級畫出邏輯圖ABCY00000010010001111000101111011110CABCBABCAY 三、從真值表到邏輯函數(shù)式三、從真值表到邏輯函數(shù)式使函數(shù)為使函數(shù)為“1”1”的變量組的變量組合所對應的最小項之邏合所對應的最小項之邏輯和。輯和。四、從邏輯式列出真值表四、從邏輯式列出真值表解：解：ABCY00000011010101101001101111011111例例:已知邏輯函數(shù)已知邏輯函數(shù)CBACBAY 求它對應的真值表。求它對應的真值表。 真值表真值表ABL000101011110 五、真值表到波形圖的轉(zhuǎn)換五、真值表到波形圖的轉(zhuǎn)換用輸入端在不同邏輯信號作用下所對應的輸出信號的波形圖，用輸入